Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 7
1.1 Кривые выживаемости, таблицы смертности и их виды 7
1.2 Когортные и периодические данные 10
1.3 Цензурированные данные 11
1.4 Возрастная структура распределения ПЖ 12
1.5 Некоторые подходы к моделированию старения популяций 13
1.6 Функция Гомпертца как модель распределения ПЖ 21
1.7 Функция Гомпертца-Мейкема как модель распределения ПЖ 23
1.8 Корреляция Стрелера-Милдвана 25
1.9 Результаты, получающиеся при использовании функции Гомпертца, как модели кривой выживаемости 31
1.10 Распределение Вейбулла как модель распределения ПЖ 35
1.11 Корреляция между параметрами распределения Вейбулла 36
1.12 Внутренний (собственный) временной масштаб 36
2. Материалы и методы 41
2.1 Материалы 41
2.1.1. Банк данных выживаемости людей 41
2.1.2 Банк данных выживаемости животных 43
2.2 Выбор методологий 43
2.2.1 Методика аппроксимации 43
2.2.2 Сравнение когортных и периодических данных. Адекватность периодических данных 45
2.2.3 Расширения нижней границы интервала аппроксимации 46
2.2.4 Погрешности полученных оценок, связанные с не полнотой данных 47
2.2.5 Оценка погрешности аппроксимации выживаемости крыс 49
З. Моделирование исторической динамики распределения ПЖ людей функцией Гомпертца 52
3.1 Историческая динамика параметров функции Гомпертца 52
3.2 Корреляционная зависимость между параметрами функции Гомпертца 55
3.3 Историческая динамика характеристики распределения ПЖ 61
3.3 Прогноз характеристик распределения ПЖ на основании коредя-ционной зависимости между параметрами функции Гомпертца 67
4. Сравнение результатов, полученных при моделировании исторической динамики распределения ПЖ людей функцией Гомпертца и распределением Вейбулла 73
4.1 Динамика параметров распределения Вейбулла 74
4.2 Динамика характеристик распределения Вейбулла 81
5. Сходство и различия в закономерности смертности людей и животных 86
5.1 Динамика выборочных значений средней ПЖ и дисперсии людей и животных 86
5.2 Теоретическая зависимость между средней ПЖ и дисперсией 90
6. Обсуждение результатов и выводы 100
Список цитируемой литературы 110
- Когортные и периодические данные
- Результаты, получающиеся при использовании функции Гомпертца, как модели кривой выживаемости
- Выбор методологий
- Динамика характеристик распределения Вейбулла
Введение к работе
Актуальность работы. Демографическое старение населения - увеличение доли пожилых и старых людей в общей численности населения, в настоящее время охватывает практически весь мир [53]. По данным ООН, наиболее быстро растущий сегмент старческой популяции - лица 80 лет и старше [53]. Эта тенденция вызывает обоснованное беспокойство, так как увеличение доли лиц старших возрастов сопряжено с увеличением заболеваемости, инвалидности и экономического груза на работоспособную часть человечества [53]. Все это приводит к увеличению общественного и научного интереса к проблемам демографии, теоретической и экспериментальной геронтологии. В ООН существует специальная программа исследований по вопросам старения в 21-м веке.
В течение последних 160 лет средняя продолжительность жизни (ПЖ) в экономически развитых странах постоянно увеличивалась со средней скоростью 3 месяца в год [86, 66]. В 1840 году эта величина у женщин (Швеция) составляла 45 лет, а к 2000 г. у женщин (Япония) она достигла 85 лет. Большая часть прироста этой величины была обусловлена снижение смертности в младших возрастных группах [41]. Это явление получило в литературе специальное название «compress of morbidity» [41]. По видимому, эти изменения связаны с прогрессом личной и общественной гигиены, улучшением жилищных условий и медицинского обслуживания, улучшением питания. Поэтому проблема прогноза дальнейших изменений распределения ПЖ вызывает большой интерес у специалистов [40, 41, 67, 90, 87].
Одним из интенсивно развивающихся направлений на стыке биологии, математики и демографии стало исследование динамики распределения продолжительности жизни (ПЖ) людей и лабораторных животных. Целесообразность применения математического аппарата развитого в демографии, в геронтологических исследованиях не вызывает сомнений. Однако следует подчеркнуть, что перед демографией стоят иные, чем перед популяционной геронтологией задачи. Изучая одно и то же реальное явление (возрастное увеличение смертности) геронтологи видят в нём проявление старения на популяционном уровне, а демографы - естественное движение населения. Если первых интересует, почему с возрастом увеличивается смертность, то для вторых - это объективная реальность, которую следует учитывать при построении демографических моделей. Математические методы, имитационное моделирование и системный анализ объектов сложной структуры не только увеличивают эффективность геронтологических исследований, но и открывают принципиально новые возможности [19, 16].
Увеличение вероятности смертности, по-видимому, является фундаментальным проявлением старения. Это явление нашло свое отражение во многих определениях старения [58, 22]. Изучение смертности лабораторных животных широко применяется для определения эффективности действия геропротекторов, т.е. веществ, которые замедляют старение [3, 39> 61, 26]. Актуальной задачей является сравнение динамики смертности человека и лабораторных животных, и выяснение, какие именно результаты по выживаемости и старению лабораторных животных возможно перенести на человека.
В связи с ростом загрязнения окружающей среды приобретает актуальность проблема ее влияния на ПЖ организмов. Под факторами среды будем иметь в виду как благоприятные, так и неблагоприятные воздействия: радиационное и химическое загрязнение, улучшение медицинского обслуживания, улучшение социально-бытовых условий, успехи фармакологии, изменения в питании, эпидемии, войны и др. Все эти факторы, изменяя скорость старения и смертности, отражаются на распределении ПЖ людей.
Цели работы. Изучение закономерностей динамики распределения ПЖ у человека и животных выявление роли биологических и социальных факторов в закономерности динамики распределения ПЖ.
Задачи исследования.
1.Сформировать банк данных по выживаемости людей и животных. Проанализировать историческую динамику распределения продолжительности жизни (ПЖ) людей, используя аппроксимационные модели выживаемости.
2. На основании проделанного анализа попытаться предсказать будущую динамику распределения ПЖ людей.
Сравнить результаты, полученные с помощью различных моделей смертности.
Сравнить динамику распределения продолжительности жизни (ПЖ) нескольких поколений людей и животных. Выявить общие для них закономерности.
Когортные и периодические данные
При анализе смертности лабораторных животных исследователи часто имеют дело с животными, родившимися в одно и тоже время. Такая популяция называется когортой, а данные о выживаемости когорты называются когортными данными. Однако составление и анализ когортных таблиц смертности людей сталкивается с рядом трудностей. Для того, чтобы составить когортную таблицу смертности для людей, необходимо наблюдать их более ста лет. В течение этого времени условия жизни людей могут сильно измениться. На форму распределение ПЖ могут повлиять как локализованные во времени факторы, например война или эпидемия, так и постоянно действующие факторы, например, улучшение медицинского обслуживания. Поэтому, часто используют не когортные таблицы смертности, построенные для поколения одновременно родившихся людей, а периодические таблицы смертности, построенные для так называемого условного поколения, где смертность в каждом возрасте равна смертности людей в этом возрасте, живущих в одно и тоже время. На рис. 2 представлены плотность распределения ПЖ мужчин США в 1920 году когортные и периодические данные. Поскольку в течение жизни людей, родившихся в 1920 году, произошли значительные улучшения в области медицины и здравоохранения, то максимум плотности распределения сместился в более поздние возраста. Бывает так, что часть объектов наблюдения уходит из поля зрения наблюдателя во время эксперимента. Например, часть животных может быть забита для проведения каких-либо биохимических исследований до завершения эксперимента. При этом данные по выживаемости наблюдаемой группы животных не будут полными. Подобные неполные данные называются цензурированными данными. Моменты ухода из-под наблюдения называются временами цензурирования [8]. Для анализа цензурированных данных существует целый ряд специальных методов. Поскольку в данной работе использовались, в основном, не цензурированные данные, мы не будем останавливаться подробно на этих методах, ограничимся их кратким перечислением. Для оценки функции дожития используют методы множительной оценки Каплана-Мейера [8, 54], актуариальный метод (метод таблиц смертности). Существуют также методы для оценки доверительных интервалов функции дожития и её характеристик.
При анализе результатов экспериментов часто бывает необходимо проверить достоверность отличия выживаемости в группе, испытывавшей какое-либо воздействие, от контрольной группы. Для этих целей применяются критерии Мантеля-Кокса, Гехана-Бреслоу, Колмогорова-Смирнова [8, 54]. 1.4. Возрастная структура распределения ПЖ Рассмотрим кривые выживаемости, интенсивности смертности и плотности распределения ПЖ человека, соответственно (рис 1). На этих кривых можно выделить несколько участков: первый участок 0-10 лет соответствует детской смертности. На этом участке интенсивность смертности понижается. В XVII и XIX веках детская смертность была очень велика и составляла до 40 % от общего числа умерших. С начала XX века, по-видимому, в связи с развитием медицины, улучшением социально-бытовых условий, детская смертность постепенно уменьшается и в развитых странах сейчас составляет порядка 1-2% [85]. Второй участок 12-30 лет. Начиная с возраста 10-15 лет, - кривая интенсивности смертности начинает расти и выходит на особый участок (плато, а иногда пик) в возрасте 20-25 лет. Это связано с тем, что в этом возрасте наблюдается локальный максимум интенсивности смертности от несчастных случаев [32]. У животных такого эффекта нет. Третий участок - после 25-30 лет - кривая интенсивности смертности монотонно возрастает примерно до 80-85 лет. На этом участке на кривой плотности распределения ПЖ наблюдается максимум. Возраст, в котором он наблюдается, называется модальным. Этот максимум соответствует точке перегиба на кривой выживаемости. Модальный возраст в течении XX века увеличился примерно с 60 до 80 лет. Именно этот участок кривой 30-85 лет обычно и описывают различные модели старения, некоторые из которых будут рассмотрены ниже. В старших возрастах ( 85лет) интенсивность смертности иногда стабилизируется, а порой даже начинает уменьшаться. Это явление наблюдается не только у людей, но и у лабораторных животных, таких как, например, фруктовые мушки или нематоды. [83]. Подобные отклонения иногда объясняют неоднородностью популяций и наличием в ней небольшой «примеси» индивидуумов, которые характеризуются относительно большой (по сравнению с основной массой выборки) жизнестойкостью [7, 34]. Однако существует и другое мнение, согласно которому, такая стабилизация является кажущейся и может быть связана с малостью выборки и, следовательно, объясняется относительно большими флуктуациями [7, 24]. 1.5. Некоторые подходы к моделированию старения популяций. Существует множество теорий старения [3, 52, 79], объясняющих этот процесс как с позиций молекулярной биологии, например, свободнорадикальная теория старения [14, 13] или концепция концевой недорепарации ДНК [21], так и с позиций целого организма [7, 76, 81]. Соответственно, существует большое количество математических моделей старения. Анализ всех моделей выходит за рамки этой работы, поэтому мы коротко остановимся на самых содержательных и, с нашей точки зрения, привлекательных моделях.
Одним из самых перспективных подходов к моделированию старения является подход, основанный на теории надёжности [5, 7, 12, 51], Надёжность любого механизма принято характеризовать интенсивностью отказов, которая определяется следующим образом: это вероятность отказа механизма за короткий промежуток времени, при условии, что до этого отказов не было где /(f) - плотность распределения отказов, F(t) - функция распределения длительности безотказной работы. [1-F(/-)] - вероятность безотказной работы до момента времени t ( надёжность в момент времени t), h(t)dt обозначает долю элементов, безотказно работавших до момента времени t, которые выйдут из строя в промежутке времени (/,/ + dt). Кривая интенсивности отказов для сложных технических систем имеет «корытообразную» форму, очень похожую на кривую интенсивности смертности людей. Одной из моделей старения, основанных на теории надёжности, является модель старения В.К. Кольтовера [11, 12], базирующаяся на следующих постулатах: 1) в организме существует конечное число (Q) критических структур («управляющих элементов»); 2) в этих структурах со временем происходят стохастические (случайные) изменения, которые характеризуются параметром неоптимальности; 3) существует пороговое значение параметра неоптимальности, при котором происходит отказ соответствующего «управляющего элемента». Отказ любого из элементов приводит к смерти организма. Основываясь на этих постулатах, автор получил следующее выражение для функции дожития; ег -1 где t-возраст, Т- предельная продолжительность жизни (ПЖ) организма. Её появление математически следует из постулата существования порогового значения неоптимальности. При величинах t близких к значениям Т модель предсказывает резкое увеличение интенсивности смертности, что связано с существованием предельной ПЖ, однако, в реальных популяциях этого увеличения не наблюдается. К достоинствам этой модели можно отнести то, что из нее следуют закон Гомпертца, наличие корреляции между параметрами модели, а также прозрачен биологический смысл параметров модели. К недостаткам можно отнести использование математически некорректной (хотя и часто употребляемой) величины - предельной ПЖ. Однако, в принципе, не существует четко выраженной максимальной ПЖ вида, т.к. максимальная ПЖ в популяции линейно растет с ее размером, т.е. является функцией размера выборки [40]. В более поздней работе В.К. Кольтовер попытался преодолеть это ограничение свой модели, введя неоднородность популяции.
Результаты, получающиеся при использовании функции Гомпертца, как модели кривой выживаемости
При различных воздействиях на популяцию лабораторных животных кривые выживаемости смещаются по сравнению с контролем. Спектр возможных воздействий чрезвычайно широк: это может быть ионизирующее и неионизирующее излучение, изменения в диете (калорийно ограниченная диета или пищевые добавки, лекарства), изменения температуры содержания. Л.К. Обухова в своих работах [20, 39] предложила следующую классификацию действия внешнего агента, увеличивающего продолжительность жизни (геропротектора), которую, по нашему мнению, можно распространить на любые действующие факторы. На рис.6 представлены возможные виды изменения формы кривой выживаемости: Агенты первого типа (рис.6, строка А) увеличивают или уменьшают продолжительность жизни всех членов популяции на равную величину, при этом кривая выживаемости смещается параллельно относительно контроля. Кривая интенсивности смертности также смещается параллельно относительно контроля. Средняя и максимальная ПЖ изменяются, скорость старения (наклон кривой интенсивности смертности) не изменилась, при таком воздействии дисперсия распределения ПЖ не изменяется. Агенты второго типа (рис.6 строка Б) мало действуют на короткоживущих членов популяции, однако долгоживущие особи живут либо существенно дольше контроля, либо существенно меньше контроля (как показано на рис.6). Угол наклона логарифма интенсивности смертности изменяется, однако стартовое значение остаётся прежним, при этом средняя и максимальная ПЖ изменяются, скорость старения также изменяется. Агенты третьего типа (рис.6 строка В) наоборот изменяют продолжительность жизни короткоживущей субпопуляции, однако, мало влияют на долгоживущую субпопуляцию, при этом изменяется и угол наклона, и стартовое значение логарифма интенсивности смертности. В этом случае средняя ПЖ изменяется, а максимальная - нет. Изменения кривой выживаемости по первому типу характерны для кратковременных воздействий одиночными дозами ионизирующей радиации или токсиканта [76, 24]. G.A. Sacher [76] объясняет подобное поведение кривых тем, что полученные повреждения не восстанавливаются, и степень смещения кривых отражает степень нерепарируемого повреждения в зависимости от дозы. Подобное изменение кривых, только в сторону увеличения ПЖ, наблюдалось в некоторых опытах с мышами и дрозофилами при использовании синтетического антиоксиданта 2-этил-6-метил-3-оксипиридина [20]. Аналогичные кривые наблюдались при изучении влияния температуры содержания на выживаемость Drosophila melanogaster [19, 60], при увеличении температуры D. melanogaster погибали быстрее. Изменения кривой выживаемости по второму типу характерны для хронического ионизирующего облучения [76].
Возможная интерпретация этого явления состоит в том, что нерепарируемые повреждения при хроническом облучении аккумулируются с увеличением возраста и приводят к увеличению интенсивности смертности [76]. В ряде случаев наблюдалось увеличение продолжительности жизни мышей под влиянием препарата 2-этил-6-метил-3-оксипиридина [20]. Изменения кривых выживаемости по типу три (рис. 6В) характерны для исторической динамики продолжительности жизни людей [85]. Изменения в распределении ПЖ людей связаны, по-видимому, с уменьшением детской смертности и смертности от инфекций в молодом возрасте за счет достижений в области медицины, и в первую очередь, за счёт использования антибиотиков. В. Н. Анисимов [2] отмечает, что: «за увеличение продолжительности жизни, достигаемое снижением детской и юношеской смертности, человечество «расплачивается» в старости увеличением вероятности развития опухолей и некоторых других болезней цивилизации, например, атеросклероза и сахарного диабета». Утверждается, что ректангулизация кривой отражает существование биологических пределов, влияющих на продолжительность жизни человека. [40, 5]. Это явление называют в англоязычной литературе "compression of morbidity". Плотность вероятности смертности в средних и особенно в младших возрастах уменьшилась, однако значение максимума плотности вероятности увеличилось. Другими словами, уменьшилась дисперсия распределения ПЖ. Подобное наблюдалось и в опытах с животными [20, 39]. Таким образом, к меняется в пределах от 0 до 1. Чем больше к, тем кривая выживаемости больше ректангулизирована. Конечно, степень ректангулизации кривой выживаемость можно оценить по дисперсии распределения ПЖ, однако на значение этой величины оказывает влияние «хвосты» распределения ПЖ (детская смертность и долгожители), тогда как индексе к отражает именно степень «ступенькообразности» средней части кривой. Приведенные выше рассуждения не зависят от модели старения. Авторы в качестве конкретных моделей старения рассмотрели функцию Гомпертца и распределение Вейбулла. Для функции Гомперца индекс к , К оказался зависящим от отношения параметров = - : индекс к Г монотонно уменьшается от 1 до нуля при увеличении значения параметра ф. При анализе распределения Вейбулла оказалось, что индекс ширины ректангулизации к зависит только от одного параметра модели /? = Ь -1. С увеличением /7 величина к увеличивается. Интересно, что р в оригинальной модели Вейбулла являлось числом переходных стадий старения. Авторы применили развитые выше представления к целому ряду экспериментальных данных по выживаемости нематод и крыс, также эта методика была применена для анализа демографических данных. Для этого использовались таблицы смертности мужчин и женщин США за период 1900-1980 годы с десятилетним хронологическим интервалом (9x2 таблиц). Была получена историческая динамика перечисленных выше параметров, на основании которой авторы прогнозировали таблицу смертности на 1990 год и сравнили её с реальной таблицей смертности. Прогноз для женщин оказался более точным, чем для мужчин. Прогноз производился на основании следующих предположений: возраст fillf/, в котором наблюдается точка перегиба, S(t) линейно растёт с течением календарного времени, а ф считалось постоянным, и, следовательно, осталось постоянным к. Отметим, что наш прогноз предсказывает другую динамику этих параметров, при этом, однако, он не привязан к календарному времени. В работе [36] задавался вопрос: « Кто старше типичная 20 летняя лошадь или типичный 20-тидневный червяк?» Для ответа на него авторы ввели следующие понятия: х(а) -геронтологическое расстояние (gerontological distance) от рождения до возраста з,не зависящее от вида функции выживания S(t)b ІДх1,2І - сравнительная геронтологическая дистанция между индивидуумом в возрасте а; из популяции, описываемой функцией выживания S; И индивидуумом в возрасте а2 из популяции, описываемой функцией выживания.%. -внутренний геронтологическии путь от рождения до д(т) = In внутреннего возраста т, и соответствующую внутреннюю геронтологическую дистанцию между индивидуумом внутреннего возраста г, из популяции, описываемой внутренней функцией выживания G/ и индивидуумом внутреннего возраста т2 из популяции, описываемой функцией выживания G2: G2(T2) Дб"іг = In Как видно д(а) = х(а) и д$-,2 = Дж12. Т.е. геронтологическая дистанция не зависит от того, какой временной масштаб используется.
Для функции Гомпертца и распределения Вейбулла были получены в явном виде аналитические выражения для внутреннего геронтологического пути в возрасте аи оказалось, что геронтологическая дистанция будет меньше, чем внутренний возраст в ранних возрастах, и больше - в поздних возрастах. Используя этот математический аппарат, авторы сравнили различные популяции людей и животных. Таким образом, рассмотренные литературные данные приводят нас к следующим выводам: 1. В настоящее время не существует общепринятой математической модели старения, которая описывала бы смертность во всех возрастах - от младенческого возраста до преклонного. 2. Существует ряд двух-, трехпараметрических аппроксимаций, которые хорошо описывают смертность на некоторых возрастных интервалах, из них наиболее широко применяются функция Гомпертца и распределение Вейбулла. 3. Между параметрами функции Гомпертца существует корреляционная зависимость, обнаруженная Стрелером и Милдваном, которая отражает биологические особенности старения популяции организмов. В связи со всем изложенным выше, нам представлялось наиболее актуальным решить следующие задачи: 1. Проанализировать историческую динамику распределения продолжительности жизни (ПЖ) людей, используя аппроксимационные модели. 2. На основании проделанного анализа попытаться предсказать будущую динамику распределения ПЖ людей. Сравнить когортные и периодические данные на примере различных аппроксимаций (моделей). 3. Сравнить динамику распределения продолжительности жизни (ПЖ) нескольких поколений людей и животных.
Выбор методологий
Для получения численных оценок параметров математических моделей выживаемости обычно используют нелинейную регрессию, качество которой оценивается суммой квадратов разностей между значениями экспериментальными и рассчитанными с помощью аппроксимирующей функции. Нелинейная регрессия считается наилучшей, когда значение этой суммы наименьшее, В геронтологии данные о выживаемости популяции часто представляют собой таблицу, в которой показана доля выживших к данному возрасту людей, или таблицу, в которой представлена повозрастная интенсивность смертности. При решении поставленной задачи мы столкнулись с несколькими проблемами. Одна из них заключается в том, что нам приходится минимизировать сумму квадратов формально разных функций (функцию выживаемости и функцию интенсивности смертности), поэтому полученные результаты будут отличаться друг от друга [36]. Другая проблема состоит в том, что при логарифмировании, дифференцировании и других численных операциях происходит искажение «экспериментальных» данных, изначально определённых с некоторой ошибкой. Мы аппроксимировали кривые дожития, которые являются исходными данными - без всяких преобразований (см. литературный обзор). В работе мы использовали математические модели, аппроксимирующие реальные данные выживаемости людей в средних и старших возрастах. Обычно, аппроксимирующие функции не учитывают детской смертности, хотя её доля, особенно в XIX веке, значительна. Для того чтобы избежать искажений параметров аппроксимации по этой причине (не учёт детской смертности) аппроксимирующие функции были перенормированы. Подробности перенормировки приведены в Приложении 2. Для численной аппроксимации мы использовали нелинейный метод наименьших квадратов Гаусса-Ньютона. Все расчеты проводили в среде MATLAB 5,3. Для решения поставленных задач нами был написан ряд оригинальных программ на языке MATLAB. 2.2.2 Сравнение когортных и периодических данных. Адекватность периодических данных. Поскольку обычно демографические таблицы составляются не для реального поколения людей (когорты людей родившихся в одно и тоже время), а для так называемого условного поколения, а мы использовали именно такие таблицы, то использованные нами данные - периодические1. Они охватывают существенно больший временной интервал, чем когортные данные, поскольку когорта людей вымирает в течение более ста лет, и, таким образом, жизнь современных когорт ещё продолжается и данных о порядке их вымирания пока ещё не существует.
На примере данных для населения Швеции мы сравнили результаты, полученные при аппроксимации функцией Гомпертца, когортных и периодических данных. На рис. 7 видно, что характер динамики параметров функции Гомпертца полученных при аппроксимации когортных и периодически данных повторяется, и численные значения параметров функции Гомпертца близки для обоих типов данных. Таким образом, нами установлено, что использование в работе периодических данных, не вносит существенных искажений в полученные нами численные оценки. Долгое время было принято считать, что для данных по выживаемости, относящихся к человеку, аппроксимирующие функции (функция Гомпертца или распределение Вейбулла) наиболее точно описывают смертность в интервале возрастов 35-85 лет. Недавно было показано, что границы этого интервала можно расширить до 10-85 лет [32, 15, 16]. Известно, что для людей старших возрастов отклонения кривых смертности от закона Гомпертца носят достоверно неслучайный характер [27, 24], но поскольку они незначительны, то в первом приближении ими можно пренебречь. Нижняя граница интервала возрастов определяется концом линейного участка функции 1п(А(0). Если же продлить линейную аппроксимацию ниже 35 лет, то она «срезает» подъем в возрастном интервале 17-25 лет, отражающий локальное возрастное повышение смертности от несчастных случаев и, следовательно, не имеющий отношения к старению, и вновь выходит на кривую интенсивности смертности (Рис. 3 показано пунктиром). Это позволяет расширить интервал допустимых для линеаризации возрастов с 35-85 лет до 10-110 лет. Для сравнения погрешности аппроксимации в обоих случаях, мы проделали параллельный анализ для двух возрастных интервалов 10-110 лет и 35-110 лет. Результаты, полученные для двух возрастных интервалов, хорошо согласуются между собой (см. гл. 3). 2.2.4 Погрешности полученных оценок, связанные с неполнотой данных. Объём доступных нам данных для различных стран оказался разным. Полученные нами в следующих главах численные оценки могут зависеть от того, каким именно объёмом данных для той или иной страны мы располагали. Для целого ряда стран в нашем распоряжении были полные таблицы выживаемости (с возрастным интервалом в 1 год), однако для некоторых стран нам удалось найти только укороченные таблицы выживаемости. В этих таблицах возраст, для которого приведена выживаемость, указан с интервалом в 5 лет. На примере данных по выживаемости мужчин (Норвегия) мы сравнили, как изменяется значение параметра у? корреляции Стреллера-Милдвана (как одного из наиболее важных параметров в данной работе) при переходе от полных таблиц выживаемости к укороченным. Оказалось, что неполные данные дают оценку р равную 83.7 лет, а полные - 83.6 лет, причем разность между оценками сохраняется при любой нижней границе аппроксимации. Таким образом, ошибка, связанная с неполнотой таблиц выживания составляет примерно на 0.1%. Для разных стран нам оказались доступны данные для различных исторических интервалов.
На примере данных по выживаемости мужчин (Норвегия) мы сравнили, как длина исторического интервала влияет на численную оценку параметра р, как одного из наиболее значимых параметров в данной работе. Нам были доступны данные по выживаемости с 1846 по 2000 год. Мы оценили значение параметра fi для этих данных на трех исторических интервалах 1846-2000 год, 1900 - 2000 год и с 1950 по 2000 год, как наиболее типичных исторических интервалах в нашей работы. Для первого исторического интервала значение параметра {5 корреляции Стреллера-Милдвана оказалось 83.6 лет, для второго - 81.5 лет, а для третьего - 95.7 лет. Таким образом, короткий исторический интервал завышает оценку параметра р примерно на 10%, это означает, что корреляция Стреллера-Милдвана является линейной только в первом приближении. Мы считаем, что в рамках данной задачи этим эффектом можно пренебречь. Для части стран нам были доступны данные о выживаемости людей с временным интервалом в один календарный год, а для части стран - с иными временными интервалами. Мы исследовали, как такая неполнота выборки отражается на численной оценке параметра у?. Мы сравнили две выборки данных выживаемости мужчин (Норвегия): в одной выборке данные были представлены для каждого календарного года, в другой - с десятилетним интервалом по времени. При анализе первой выборки значение параметра /? оказалось 83.6 лет, а второй - 82.4 лет. Таким 2 См. Литературный обзор п. 1.8 образом, неполнота объёма выборки искажает значение параметра /3 примерно на 1%. Из приведённого выше анализа видно, что хотя численные оценки значений параметров зависят от объёма выборки, однако искажения, связанные с неполной выборкой не превышают 10 % абсолютной величины. 2.2.5 Оценка погрешности аппроксимации выживаемости крыс. При анализе распределения продолжительности жизни крыс во временном интервале 1980-1990 гг. мы воспользовались цензурированными данными. Возраст крыс не превышал 747 дней (к этому времени вымирает примерно половина популяции), поэтому средняя ПЖ и дисперсия распределения ПЖ для этих данных рассчитывались не по экспериментально полученным кривым выживаемости, а с помощью численной методики, описанной в работах В.Н. Крутько [16]. Мы аппроксимировали экспериментальные точки функцией Гомпертца, которая, как известно, хорошо описывает кривые выживаемости крыс, и по полученным параметрам функции Гомпертца рассчитывали выборочные значения средней ПЖ и дисперсии.
Динамика характеристик распределения Вейбулла
Одной из характеристик распределения ПЖ является модальный возраст, причем для нормального распределения мода совпадает со средним. Известно, что распределение ПЖ людей не является нормальным, и для данного распределения мода (модальный возраст) не совпадает со средним. Численные значения этих двух характеристик достаточно близки, однако между ними существует принципиальное различие: мода - это локальная характеристика, она определяется положением максимума распределения, а средняя ПЖ - это интегральная характеристика и она зависит не только от максимума распределения ПЖ, но и от «хвостов» распределения. Мы же в своей работе моделируем только часть кривой выживания, на которой как раз и расположен максимум, поэтому анализ именно такой характеристики как модальный возраст кажется нам наиболее корректным. В предыдущей главе было приведено аналитическое выражение для модального возраста распределения Гомпертца (1.5): mod Г Исходя из определения, можно легко получить выражение для модального возраста распределения Вейбулла: = Г (4 2) На рисунке 19 представлены исторические динамики величин модального возраста для данных выживаемости женщин (Канада), рассчитанные для двух моделей аппроксимации. Видно согласие результатов для двух различных моделей. В демографической практике кроме средней ПЖ используют величину «среднего времени предстоящей жизни (СВПЖ) в некотором заданном возрасте». Поскольку аппроксимация кривых выживания начинается с возраста 35 лет, рассмотрим СВПЖ в возрасте 35 лет: Как уже говорилось выше, эта интегральная характеристика была выбрана потому, что она отражает уровень смертности только на рассматриваемом возрастном интервале 35-100 лет. Использовав определение среднего времени предстоящей жизни и подставив в него распределение Вейбулла, мы получили аналитическое выражение для величины СВПЖ в возрасте 35 лет: Согласованность изменений параметров распределения Вейбулла 1п(а) и Ъ в течение 2.5 веков дает основание предположить, что и в дальнейшем высокая корреляция между 1п(а) и Ъ сохранится. Это предположение дает основание для прогноза параметров распределения и, как следствие, его модального возраста и других характеристик. Если подставить параметры корреляционной зависимости Стреллера-Милдвана (4.1) между параметрами распределения Вейбулла в выражение для модального возраста, то мы получим следующее выражение: При этом модальный возраст оказывается функцией одной переменной Ь, которая увеличивается с течением календарного времени, при этом зависимость ограничена и стремится к вычисляемой величине ер (см. Таблицу 5). Аналогичный вывод мы получили и в предыдущей главе работы при использовании функции Гомпертца. На рисунке 20 представлены прогнозируемые динамики величины модального возраста распределения ПЖ мужчин (Канада) для обеих моделей. Основной результат, полученный в данной главе: 1. На основе анализа обеих моделей распределения ПЖ мы можем сделать вывод, что при сохранении в дальнейшем наблюдаемых уже в течение 2.5 веков демографических тенденций, с течением времени модальный возраст будет асимптотически стремиться к некоторой вычисляемой величине, связанной, возможно, с видовой ПЖ человека.
Хорошее согласие двух моделей позволяет делать вывод, что полученные результаты не являются специфическими для этих распределений, а отражают общие свойства динамики формы распределения ПЖ, инвариантные относительно вида распределения ПЖ. Продолжительность жизни любого организма является случайной величиной, имеющей сложное распределение. Средняя продолжительность жизни (ПЖ) и дисперсия являются интегральными величинами, отражающими влияние на распределение внешних и внутренних факторов. Временная зависимость между средней ПЖ и дисперсией ПЖ, характеризует, в свою очередь, динамику формы распределения ПЖ и позволяет выявлять те свойства распределения, на которые окружающая среда действует в первую очередь. Известны работы, в которых изучается влияние того или иного фактора на продолжительность жизни людей или животных. Чаще всего исследуется только один вид, и практически не существует работ, в которых одновременно исследовались бы закономерности смертности, как людей, так и животных. Известно, что возрастная смертность в популяциях людей и животных подчиняется одним и тем же законам [1]. Поэтому, представляется актуальным сравнить не отдельные когорты, а временные тренды распределений ПЖ для нескольких поколений людей и животных. 5.1 Динамика выборочных значений средней ПЖ и дисперсии людей и животных. В предыдущих главах была изучена историческая динамика распределения ПЖ людей 17 развитых стран. Известно, что кривые выживания человека изменяются со временем закономерным образом как показано на рис. 21. На рис. 21А представлена историческая динамика кривых выживаемости мужчин Норвегии за период с 1846 года по 2000 год. С течением календарного времени кривые выживаемости становятся всё более ректангулизированнымии (ступенеообразными). На рис.21 Б, где представлена плотность распределения продолжительности жизни мужчин Норвегии, видно, что средняя ПЖ людей растёт, а дисперсия убывает, так как ширина распределения уменьшается, а максимум распределения с течением календарного времени сдвигается в сторону всё более старших возрастов. Это происходило, по-видимому, в основном за счёт снижения детской смертности, улучшения медицинского обслуживания и социально-бытовых условий. Это явление даже получило в литературе специальное название «compress of morbidity» [41]. В работе [87] исследовалась динамика формы кривых выживаемости людей. Авторы исследовали корреляцию между средней ПЖ и дисперсией, и обнаружили, что корреляция между этими двумя характеристиками отрицательна. Для каждой таблицы выживаемости населения Норвегии с 1846 нами были рассчитаны выборочные значения средней ПЖ и дисперсии. Как и ожидалось, между ними наблюдается обратная корреляция. В таблице 6 приведены значения коэффициентов линейной корреляции между этими характеристиками для мужчин и женщин отдельно. Следует отметить, что коэффициент корреляции между средней ПЖ и дисперсией очень высок. Таким образом, полученный нами результат согласуется с литературными данными.
