Содержание к диссертации
Введение
1 Основные подходы к решению задачи синтеза робастного управления ... 13
Выводы к главе 1 26
2 Робастное управление линейным объектом без запаздывания 27
2.1 Естественное разделение выходного сигнала наряд составляющих 29
2.2 Принудительное разделение движений и расширенная математическая модель объекта 33
2.3 Синтез робастного регулятора состояния 34
2.4 Качественные показатели робастной системы 41
2.5 Сингез робастного регулятора выхода 45
Выводы к главе 2 56
3 Управление объектом, грубое по отношению к запаздыванию 57
3.1 Неполная компенсация запаздывания 59
3.2 Декомпозиция задачи синтеза регулятора при приближенной компенсации запаздывания 64
3.3 Синтез регулятора методом динамической компенсации 69
Выводы к главе 3 79
4 Робастное управление объектом с запаздыванием 80
4.1 Структурный синтез робастного регулятора выхода 80
4.2 Параметрический синтез робастного регулятора при помощи частотных характеристик 93
Выводы к главе 4 104
5 Практическое применение разработанных методик 105
5.1 Управление временем пребывания материала в реакторе 105
5.2 Управление процессом производства стеклопироулеродной ткани .116
5.3 Описание процесса синтеза аммиака 120
5.4 Робастное управление синтезом аммиака 129
Выводы к главе 5 143
Выводы 144
Литер атур а
- Основные подходы к решению задачи синтеза робастного управления
- Естественное разделение выходного сигнала наряд составляющих
- Неполная компенсация запаздывания
- Структурный синтез робастного регулятора выхода
Введение к работе
В любом технологическом процессе разработчик систем автоматического управления сталкивается с неточностью математического описания и заданием класса входных возмущений. С этим связано появление проблемы робастного управления, получившее наибольшее развитие в последние десятилетия.
Задачи синтеза регулятора и оценивания состояния с учетом неопределенности в модели объекта и характеристиках входных воздействий решаются в стохастических, нечетких, адаптивных системах управления. Каждое из этих направлений имеет свою нишу, робастное управление занимает видное место среди этих методов управления.
Теория робастных систем чаще всего предполагает описание объекта управления в виде системы дифференциальных уравнений, в которых присутствует неопределенность. Различают теорию систем с одним входом и одним выходом (siso) и систем, у которых векторный вход и векторный выход (mimo). Мы будем рассматривать системы с одним входом и одним выходом, которые находят широкое распространение при автоматизации нижнего уровня иерархии при построении АСУТП. Причем основное внимание будет уделено вопросам синтеза регуляторов и проектирования автоматических систем.
Существует большое количество подходов к решению задачи построения робастного регулятора. Укажем основные:
Использование регуляторов с бесконечно большим или конечным, но большим коэффициентом передачи.
Обеспечение максимального значения степени устойчивости системы, хотя без определенных сопутствующих условий это не является достаточным.
Минимаксное регулирование.
Оптимальное управление в различных функциональных пространствах.
Использование функций Ляпунова для синтеза систем.
Использование методов интервальной математики.
7. Использование принципов инвариантного управления.
При этом решаются следующие задачи:
1. Обеспечение робастной устойчивости, то есть одновременной устойчивости множества систем с неопределенностью из заданного класса.
Обеспечение малой чувствительности минимизируемого функционала качества системы к действию неопределенности.
Обеспечение максимальной робастности, то есть синтез системы устойчивой при максимально широком диапазоне изменения параметров неопределенности модели.
При достаточно большом числе подходов к решению проблемы, вследствие значительной сложности теории и методов проектирования, имеет место не значительное количество примеров решений, конкретных реальных задач автоматизации технологических процессов, на инженерном уровне. Поэтому актуальна задача построения таких методик синтеза промышленных робастных систем, которые позволяют получать близкие к оптимальным решения, но отличаются от оптимальных большей простотой и доступностью для специалиста по автоматизации технологических процессов.
При синтезе робастных.систем управления промышленными технологическими процессами, необходимо учитывать следующие особенности: В системах регулирования широко используются одноконтурные системы регулирования; наличие длительных постоянных времени и запаздываний объекта управления; возможно есть декомпозиции задачи управления; чаще всего объекты управления являются минимально фазовыми и устойчивыми, либо находятся на апериодической границе устойчивости; возможно аппроксимировать динамику одномерного объекта при помощи уравнений первого, второго и третьего порядка с запаздыванием; наличие шумов; наличие неопределенности в модели объекта управления; традиция использовать простейшие законы (П, ПИ, ПИД) регулирования, и законы позиционного регулирования; использование методов развязывания отдельных каналов регулирования в многосвязных системах;
Кроме того, заметим, что оптимальные системы редко непосредственно используются при решении практических задач автоматизации. Чаще всего решение оптимальной задачи используется в качестве эталона для конкретного направления синтеза, чтобы получить предельное значение заданного показателя качества системы достижимого для данного объекта. В идеальном случае необходимо иметь оптимальные решения для всех интересующих проектировщика критериев качества, чтобы была возможность объективной оценки полученной системы в каждом направлении ис-
7 следования. Но система оптимальная в одном отношении может не удовлетворять другим качественным показателям. Это и является причиной редкого использования оптимальных систем при автоматизации процессов.
С этой точки зрения необходимость учета фактора неопределенности в математическом описании объекта означает введение в традиционную процедуру синтеза регуляторов дополнительно еще одного направления исследования, предназначенного для увеличения грубости системы. То есть вместе с обычной процедурой синтеза теперь рассматривается еще проблема уменьшения чувствительности контролируемой переменной к наличию неопределенности, которая и называется увеличением грубости системы. При этом в качестве контролируемой переменной в одномерной системе удобно рассматривать сигнал ошибки системы. Передаточную функцию замкнутой системы по ошибке называют функцией чувствительности системы или просто чувствительностью. Тогда в качестве критерия качества, который оценивает грубость системы в динамике, может быть использована норма передаточной функции замкнутой системы по ошибке в каком либо из функциональных пространств.
Для линейных систем в рамках оптимального управления наилучшие результаты получаются при применении Нх — теории управления. При этом неопределенность модели искусственно приводится ко входу объекта в виде возмущения. Дальше
решается задача минимизации Н — нормы передаточной функции по ошибке относительно действующего на входе объекта возмущения, что составляет предмет задачи Нт — оптимального управления. Физически минимизация Н — нормы передаточной функции означает минимизацию отношения энергии контролируемой величины на выходе замкнутой системы к энергии возмущения на входе объекта.
Это позволяет уменьшить зависимость контролируемой величины от неопределенности модели, которая формирует возмущение, и, следовательно, увеличить грубость системы к действию неопределенности. Расширение класса возмущений соответствует реальному положению вещей и представляет собой практически очень удобную аксиому при постановке задачи синтеза в отличие от других подходов, например стохастического подхода.
В этой работе для оценки грубости системы также используется -^ — норма передаточной функции по ошибке, которая для siso системы представляег собой величину модуля максимально удаленной от начала координат точки годографа ампли-
8 тудно-фазовой характеристики системы по ошибке. Она достаточно просто вычисляется в отличии от mimo системы, где это весьма проблематично.
Кроме этого для оценки грубости системы удобно использовать величину интервала изменения коэффициента передачи передаточной функции объекта управления или запаздывания, при котором система не теряет устойчивости. Понятно, что чем больше этот интервал, тем более грубой является система к вариациям коэффициента передачи объекта и запаздывания. Это характеризует степень приспособленности системы к реальным условиям. Здесь также могут быть использованы и другие параметры передаточной функции объекта. Можно также рассматривать более узкий интервал изменения параметров модели объекта при ограничениях, накладываемых на какие-то показатели качества системы, например на перерегулирование.
Поэтому также актуальна задача разработка практических методик синтеза ро-бастных систем, которые кроме критерия грубости удовлетворяют другим качественным показателям системы таким как: время регулирования, перерегулирование, степень устойчивости, колебательность, характеристические числа системы, величины максимальных отклонений переменных состояния и управления, наличие астатизма, запасов устойчивости по фазе и по амплитуде, частота среза, сложность регулятора.
Эти методики должны быть относительно простыми и опираться на методы синтеза систем, которые стали уже классическими, чтобы обеспечить, таким образом, методологическую преемственность при проектировании систем управления технологическими процессами. Кроме этого полученные регуляторы не должны иметь высоких порядков. Также важно понять, как увеличение грубости системы может отражаться на изменении перечисленных выше классических показателях качества системы.
Предлагаемые в работе методы синтеза по решаемой задаче ближе всего к Н — теории управления. Но в отличие от нее здесь имеется возможность учесть ограничения на управляющий сигнал. Это очень важно с точки зрения практики, так как при
реализации оптимального управления, полученного в рамках Н — теории, может просто не хватить имеющегося ресурса управления.
В основе предлагаемой методологии лежат следующие предпосылки. Во - первых, это идея искусственного разделения движений в системе и синтез регулятора, обеспечивающего частичную взаимную компенсацию этих разделенных движений.
9 Так как каждое из движений зависит от действия неопределенности, то их взаимная компенсация позволяет уменьшить влияние неопределенности на контролируемую величину.
Такой подход возможен в рамках решения задачи АКОР, ЛКГ - теории и Н2-теории регулирования. Известно, что системы управления, полученные с минимизацией интегрального квадратичного критерия, по критерию грубости значительно уступают системам, полученным при минимизации Н ^-сигнала ошибки. С другой стороны Н '"-оптимальная стратегия управления является минимаксной. Она рассчитана на наиболее критичные виды возмущений и во многих случаях такая система может иметь заниженное качество в менее критичных условиях.
Указанная гипотеза позволяет сделать более грубой систему, полученную в результате Н -минимизации и приблизить ее в смысле грубости к Н ""-оптимальной системе.
Во-вторых, это идея неполной компенсации запаздывания, которая, в отличии от точных методов компенсации запаздывания Смита и Ресвика, позволяет обеспечить грубость системы к незнанию величины запаздывания.
В третьих, это использование критерия апериодической устойчивости, что позволяет получить простые алгоритмы управления для системы с запаздыванием, гарантирующие достаточную степень устойчивости, на основе которых далее могут быть построены алгоритмы робастного управления системой с запаздыванием, обеспечивающие астатизм в системе.
Все эти предпосылки позволяют относительно просто получать субоптимальные по критерию грубости системы, которые удовлетворяют также и другим качественным показателям. Процедура проектирования предполагает использование программного пакета MATLAB.
Целью работы является создание методики синтеза робастных систем управления технологическими процессами, которая позволяет увеличить грубость в классе оптимальных систем с минимизацией квадратичного интегрального функционала качества и обеспечивает простоту реализации.
Для достижения цели поставлены и решены следующие задачи: Модификация известных процедур синтеза систем управления на основании решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР),
10 //^-оптимизации и линейно квадратичной гауссовой (ЛТК) задачи за счет расширения математической модели и обеспечения частичной взаимной компенсации движений в расширенной модели объекта с целью увеличения грубости полученных решений.
Разработка методики синтеза робастного управления для объектов с запаздыванием, основанной на взаимной компенсации составляющих расширенного вектора состояния.
Разработка методов робастного управления для объектов, у которых глубина переработки сырья зависит от времени пребывания материала в реакционном пространстве, при управлении по скорости перемещения материала.
Разработка алгоритмов робастной стабилизации температуры в реакторе синтеза аммиака с целью обеспечения грубости к неопределенности в математической модели объекта, возмущениям и обеспечении заданного качества регулирования.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов по работе, списка использованных источников и приложений.
В первой главе приводится краткий обзор и анализ современного состояния проблемы связанной с синтезом робастных систем управления. Анализируются основные оптимальные задачи управления, связанные с минимизацией интегрально квадратичного функционала: задача АКОР, задача ЛКГ, Н2- оптимальное управление. Определены основные направления исследования.
Во второй главе рассматривается задача синтеза непрерывных робастных линейных систем при помощи разделения движений в объекте. Здесь рассмотрены случаи естественного и принудительного разделения движений, построена расширенная математическая модель объекта управления, показано каким образом получается управление, позволяющее осуществить частичную взаимную компенсацию элементов расширенного движения, приведена методика синтеза робастного регулятора выхода.
В третьей главе рассматривается задача синтеза регулятора грубого по отношению к запаздыванию. Для того чтобы дополнительно обеспечить грубость системы по отношению к неопределенности задания величины запаздывания т используется идея неполной компенсации запаздывания, в общем виде рассматривается идеология построения приближенного компенсатора запаздывания для синтеза системы управле-
ния произвольным инерционным линейным объектом с запаздыванием и синтез регулятора методом динамической компенсации.
В четвертой главе рассматривается синтез робастного регулятора для объекта с запаздыванием. В основу синтеза положена аксиома о максимальной взаимной компенсации элементов расширенного движения объекта. Для построения системы используется структурный и параметрический синтез.
В пятой главе рассмотрено практическое применение разработанных методик. В качестве первого практического примера в диссертации рассмотрено робастное управление классом объектов, у которых, глубина переработки и качественные характеристики на выходе зависят от времени пребывания материала в реакционном пространстве. Конкретным примером из этого класса рассмотрено производство стекло-пироуглеродной ткани. В качестве второго применения общей методики была рассмотрена робастная стабилизация температуры в зоне катализа реактора синтеза аммиака. Проведены примеры решений, и последующее сравнение показателей качества решений стабилизации классическими методами, а также методами Н2 и Я00 - оптимального управления.
Основные положения выносимые на защиту:
Методика синтеза линейных регуляторов выхода для робастной стабилизации технологических объектов, построенная за счет расширения модели объекта и выбора управлений, позволяющих осуществить взаимную компенсацию движений в расширенном объекте.
Методика синтеза робастного регулятора выхода пониженной размерности для объектов с одним входом и одним выходом.
Методика структурного и параметрического синтеза робастных систем для объектов с запаздыванием при которой структура система формируется на основе расширенной модели объекта и взаимной частичной компенсации составляющих расширенного вектора состояния, а параметры выбираются из условия повышения качества демпфирования.
Методы робастного управления по скорости перемещения материала в реакторном пространстве.
12 5. Алгоритм робастного управления температурой в реакторе синтеза аммиака, позволяющего улучшить качество стабилизации при действии возмущений и при наличии параметрической неопределенности в модели объекта.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на Международных научно-технических конференциях ММТТ-19 (г. Воронеж, 2006г.); ММТТ-20 (г. Ярославль, 2007г.); ММТТ-21 (г. Саратов, 2008 г.); межвузовской научно-технической конференции «Системы управления и передачи информации» (г. Санкт-Петербург, 2007 г.). Опубликовано учебное пособие «Робаст-ное управление технологическими процессами» объемом 201 страница.
Внедрение. Результаты внедрены в учебный процесс кафедры автоматизации технологических процессов химической промышленности СПбГТИ (ТУ), также переданы для использования в ОАО "АКРОН" для управления процессом синтеза аммиака, что подтверждается соответствующими актами.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 5 статей, среди которых 4 статьи вышли в изданиях рекомендованных ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям, 1 депонированная монография и 7 тезисов докладов.
Практическая значимость заключается в том, что в рамках решения задачи АКОР разработана процедура параметрического синтеза робастных регуляторов, порядок которых совпадает с порядком объекта, позволяющая получить систему управления с заранее заданными динамическими характеристиками и с учетом ограничений на управление. Для объекта с запаздыванием разработана методика расчета параметров робастного регулятора по известным коэффициентам номинальной передаточной функции объекта. Разработанные алгоритмы управления могут быть использованы для конкретного класса систем стабилизации времени пребывания материала в реакторе, и для робастной стабилизации температуры в реакторе синтеза аммиака.
Основные подходы к решению задачи синтеза робастного управления
В развитии теории управления можно выделить три основных периода [1]: начальный период (основной приоритет - устойчивость), второй - эпоха частотных методов, третий период продолжается в настоящее время - исследование оптимальных систем управления. На современном этапе работа систем автоматического управления в условиях неточности математического описания и задания класса входных возмущений, является логическим продолжением развития методов решения задач синтеза автоматизированных систем управления.
Во второй половине прошлого века вышли работы A.M. Летова [2] и Р. Калмана [3] по синтезу линейных динамических систем, оптимальных по квадратичному критерию качества, а также Р. Калмана и Р. Быоси [4] по оптимальной линейной фильтрации, послужившие теоретической основой для практического применения теории. Однако практика произошедших аварий показала, что синтезированные оптимизированные системы чувствительны к параметрам модели реального объекта и характеристикам входных воздействий [5] и из-за наличия неопределенности часто теряли работоспособность.
В следствии наличия параметрической (неточное знание физических параметров управляемой системы) и не параметрической (структурных неточностей в объекте) неопределенности возникла необходимость синтеза такого единственного регулятора, который позволил бы грубо (робастно) управлять "множеством" объектов определяемых заданным классом неопределенности.
Над проблемой робастного управления работали, как отечественные научные школы, так и иностранные, опубликовано большое количество научных работ, посвященных теме робастности. Основополагающим утверждением, определившим возникновение теории робастности, является теорема Харитонова, впервые сформулированная в работе [6].
Из отечественных работ можно также отметить гарантирующее управление [7, 8, 9]. Концепция этого направления заключается в расчете и использовании такого управления, которое гарантировало бы, что при любом спектре возмущающего воздействия с заданным средним квадратом, в том числе и при наиболее неблагоприятном спектре, критерий качества системы управления не превысил бы некоторого наименьшего из возможных предельного уровня, который можно гарантировать.
Однако наибольшее развитие получила статья Зеймса [10] в которой был предложен новый критерий оптимальности на основе Н нормы многомерной передаточной функции замкнутой системы. Использование ff - нормы в качестве критерия оптимальности при синтезе многомерных систем основано на том факте, что Н- норма может служить мерой усиления системы, так как Н -норма передаточной функции есть энергия выхода системы при подаче на вход сигнала с единичной энергией. Если выходом является ошибка, а входом возмущение, то минимизируя If - норму передаточной функции, мы минимизируем энергию ошибки для наихудшего случая входного возмущения.
Необходимо выделить следующие статьи этого периода: статья Дойла и Стейна [11], которая положила начало проблеме грубого или робастного управления для модели, заданной в условиях неопределенности, а также статьи с подходами к решению задач синтеза [12, 13, 14].
Для случая конечномерных линейных систем был развит, так называемый "подход 1984", предложенный Дж. Дойлом [15] на основе теории ганкелевской аппроксимации Гловера [16].
В труде [17] описана фундаментальная работа по решению задачи If, получившая название "2-Риккати подход". В настоящее время процедуры синтеза Ff -регуляторов в рамках "2-Риккати подхода" приняты в качестве стандарта.
Помимо непрерывных систем, получила развитие и была разработана И -теория для решения задач в классе дискретных систем [18, 19, 20, 21].
Изложению различных подходов по синтезу систем управления для систем с различными видами представления неопределенности (параметрическими, непараметрическими, структурированными и неструктурированными) посвящены сборники статей [22, 23, 24]. Существуют опубликованные обзоры [25, 26, 27, 28] по Ff - теории и в отечественной литературе.
Появление алгоритмизируемых процедур нахождения регуляторов, послужило поводом к созданию прикладных программных пакетов (ППП). Программы получившие наибольшее распространение относятся к системы Matlab и входят в группу "Оптимальные и робастные системы управления" (Robust Control, u-Analysis and Synthesis и LMI Control) [29, 30, 31]. В перечисленных ПГШ представлен инструментарий для анализа и синтеза систем, отражающий три похода в развитии теории робастности. Исторически первый из них связан с именами М. Сафонова, М. Этенса — он базируется на введенном в работе [32] понятии многомерной границы устойчивости. Основоположником второго подхода является Дж. Дойла [33], предложивший концепцию структурированного сингулярного числа \i. И, наконец, третий подход связан с применением линейных матричных неравенств в теории управления (подробное рассмотрение вопроса и библиография даны в работе [34]).
Неоднократно принимаются попытки получить робастные регуляторы обладающие меньшей степенью консервативности, одно из перспективных направлений связано с синтезом регуляторов в том случае, когда система функционирует в присутствии случайных возмущений с неточно известными вероятностными характеристиками. Наличие дополнительной информации о входном возмущении позволяет экономить энергию на управление, а также позволяет отступить от жесткого предположения о том, что входное возмущение является белым шумом. Это направление связано с применением теоретико-информационых критериев качества и носит название стохастической Ы00 -оптимизации. Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотопийную норму впервые поставлена и решена И. Г. Владимировым в 1995 году [35, 36, 37, 38].
Естественное разделение выходного сигнала наряд составляющих
Для примера рассмотрим идеальный (физически не реализуемый) случай полной компенсации, когда вектор состояния объекта xo(t) разделяется на две составляющие (2.1). Пусть за счет управления возможна полная взаимная компенсация этих составляющих Axi(t) и Xj(t), то есть для любого момента времени t выполняется условие bcc\(t) =-xj(t). Тогда время переходного процесса равно нулю и система вообще не чувствительна к влиянию неопределенности. Из приведенного примера также видно, что эта аксиома может быть использована для построения субоптимального управления по критерию быстродействия.
Такой подход аналогичен известному в теории измерений компенсационному методу измерений физических величин, который обеспечивает наивысшую точность получения информации при построении датчиков (сенсоров) [73], [74].
В основе данной аксиомы лежит одна из основных идей теории управления — идея компенсации нежелательного влияния на объект. В данном случае речь идет не о непосредственной компенсации неопределенности, которая невозможна. Здесь выполняется опосредованная компенсация неопределенности через искусственное разделение движения объекта на две составляющие с их последующей взаимной компенсацией.
Теоретически в данном подходе можно рассматривать любые виды неопределенности благодаря универсальности механизма компенсации. В работе рассматривается параметрическая неопределенность. В [75] доказана теорема, показывающая, что при наличии параметрической неопределенности данный подход приводит к уменьшению влияния разброса параметров модели объекта на регулируемую величину, и, что в рамках данного подхода существует единственное оптимальное решение задачи.
В [76], [84] такой подход применен, и показано, что такое решение дает значение Я00 — нормы функции чувствительности очень близкое к полученному при решении задачи Н — оптимального управления. Это показывает, что данная методика может быть эффективно использована для создания робастных систем. Этот подход к управлению был также опробован при построении робастных систем управления конкретными технологическими процессами [77, 78, 79]. Отметим также, что частичная взаимная компенсация составляющих есть основной механизм уменьшения функционала при решении задачи АКОР. Это будет показано в следующем параграфе.
Для остальных видов неопределенности нет аналогичных доказательств. В этих случаях синтез системы проводится на основании номинальной модели объекта, опираясь на сформулированное утверждение, которое принимается без доказательства.
Заметим, что в математике и теории управления существует подход к решению дифференциальных уравнений [80] и синтеза систем [81], связанный с введением малого параметра и разделением движения на быструю и медленную составляющие. То есть здесь таюке используется идея разделения движений. Но, несмотря на похожесть этих подходов, имеются принципиальные различия.
В данном случае составляющие Ax{(t) и x t), в отличии от [40], изменяются в примерно одинаковом темпе. Кроме этого само разделение может осуществляться принудительно путем расширения математической модели процесса тогда, как в существующих методах оно происходит естественно из-за специфики динамики объекта. Для того, чтобы подчеркнуть отличие используемого нами метода разделения движений от известного подхода, рассмотрим сначала естественное разделение движений, которое в дальнейшем может быть положено в основу синтеза робастного регулятора.
Вначале рассмотрим концепцию естественного разделения выходного сигнала объекта на несколько составляющих. При этом будет показано принципиальное отличие от известного подхода [80], [81], связанного с разделением движения на медленную и быструю составляющие. Будем рассматривать задачу синтеза регулятора состояния, то есть такого регулятора, который может быть реализован в виде обратной связи по состоянию и позволяет перевести изображающую точку объекта в пространстве состояний из любого начального состояния в начало координат. Такой регулятор всегда может быть получен для стабилизируемого объекта, то есть такого, у которого все неустойчивые моды управляемы.
Неполная компенсация запаздывания
Под номинальной моделью будем понимать такую единственную модель, которая соответствует номинальным значениям параметров к,т0. Эти номинальные значения считаются известными разработчику. Обычно они принадлежат к заданным интервалам изменения переменных. Номинальные значения параметров не обязательно совпадают с истинными значениями, которые не известны. Это просто заданные значения, принятые для проектирования. Полученная в процессе проектирования на основании номинальной модели объекта система должна быть грубой по отношению к параметрической неопределенности, то есть она должна обеспечивать устойчивость и малую чувствительность контролируемой величины на выходе к изменениям параметров в заданных интервалах.
При синтезе регулятора для объекта с запаздыванием обычно выполняют точную компенсацию запаздывания. При этом в систему вводится специальный корректирующий элемент называемый компенсатором запаздывания, наличие которого по 60 зволяет дальше проводить синтез также как и для объекта без запаздывания. Это облетает процедуру синтеза и позволяет получить систему с хорошими качественными показателями. Но для точной компенсации запаздывания необходимо точное знание величины запаздывания. Практически в большинстве случаев это не выполняется. Поэтому в данной работе использована идея неполной (частичной или приближенной) компенсации запаздывания, которая позволяет получить систему работоспособную при изменении величины запаздывания в широком диапазоне. Платой за это является некоторое ухудшение динамики системы и появления ограничений на процедуру синтеза[100].
Приближенная компенсация запаздывания выполняется на основании известной передаточной функции регулятора в системе управления объектом чистого запаздывания, причем предполагается, что этот регулятор не содержит в себе звена запаздывания. Иногда передаточная функция компенсатора совпадает с передаточной функцией такого регулятора. То есть в основе подхода лежит методология традиционного линейного управления объектом с запаздыванием.
Этот регулятор, как будет показано дальше, является одним из возможных вариантов приближенного компенсатора запаздывания.
Использование регулятора (3.2) для объекта (3.1) позволяет обеспечить астатизм и максимальную степень устойчивости системы в классе апериодических переходных процессов. Характеристическое уравнение поминальной замкнутой системы при аппроксимации запаздывания рядом Паде первого порядка имеет два корня в точке -0.828/г0. Это утверждение доказано в приложении Г. Движение замкнутой номинальной системы при этом осуществляется в соответствии с передаточной функцией ф(р)= ехр(-г0р)_ (33) р + асехр(-т0р) В знаменатель (3.3) входит элемент запаздывания, что свидетельствует о неполной компенсации запаздывания. Для сравнения кратко приведем схемы точной компенсации запаздывания. Схема Ресвика получается при непосредственном применении метода динамической компенсации [91] к передаточной функции объекта с запаздыванием. Для объекта чистого запаздывания желаемое движение замкнутой системы задается в виде передаточной функции Ф2 (р) = exp(-r0jp).
В эту формулу входит элемент запаздывания, но зато в знаменателе передаточной функции Фг (р) нет запаздывания, как это всегда и бывает при точной компенсации запаздывания.
Как и для построения регулятора Ресвика, здесь необходимо точное знание величины запаздывания. Далее компенсатор (3.5) используется для построения регулятора Смита. Но здесь, в отличии от регулятора Ресвика, используется параллельная структура, что усложняет регулятор. Дальше для простоты будем рассматривать последовательную структуру регулятора с компенсатором запаздывания. Таким образом, видно, что при точной компенсации запаздывания звено запаздывания непосредственно присутствует в регуляторе и это приводит к снижению грубости системы относительно величины запаздывания. Теперь вернемся к приближенной компенсации запаздывания.
В работе [93] на основании критерия устойчивости Понтрягина Л. С. показано, что полученная система с приближенной компенсацией запаздывания (3.1), (3.2) будет асимптотически устойчивой, если выполнено условие r0 0.2lS-k0/k . (3.6)
Это условие определяет границы интервалов изменений реальных значений параметров к0,т при выбранных номинальных значениях к,т0. При точном знании коэффициента передачи к =к0 ошибка в задании номинального значения запаздывания в сторону увеличения т0 т не приводит к потере устойчивости. При ошибке в задании номинального значения запаздывания в сторону уменьшения граничное значение т0 = 0.218-г может быть почти в пять раз меньше, чем истинное значение запаздывания т. Это показывает, что система имеет практически неограниченный запас возможных вариаций при задании величины запаздывания. Аналогично при точном знании величины запаздывания т0=т относительное увеличение коэффициента передачи ограничено сверху величиной к0/кд 1/0.218 = 4.6, что показывает достаточную грубость системы к вариациям коэффициента передачи.
Кроме перечисленного полученная система независимо от величины запаздывания г0 имеет запас устойчивости по фазе, равный примерно 71 и запас устойчивости по амплитуде, равный примерно \ЗдБ, что также свидетельствует о грубости полученной системы. Как будет видно из дальнейшего, эти значения являются максимальными в рассмотренном классе регуляторов для объекта чистого запаздывания. Независимость этих параметров от величины запаздывания есть следствие того, что величина частоты среза сос уменьшается с увеличением величины г0. Таким образом, время регулирования зависит от величины запаздывания. Регулятор (3.2) можно использовать непосредственно для решения задачи компенсации запаздывания при синтезе системы для более сложных, чем (3.1) моделей объекта, что будет подробно описано ниже.
Она совпадает с частотой среза разомкнутой номинальной системы (3.1), (3.8). Видно, что значение (3.9) больше значения частоты среза в (3.2). Это следствие большего быстродействия ПИ закона регулирования (1.8) по сравнению и интегратором (3.2). Это достоинство регулятора (3.8). Недостатками являются большая сложность и меньшая грубость по отношеншо к неопределенности задания номинального запаздывания. В приложении Г показано, что характеристическое уравнение номинальной замкнутой системы (3.1), (3.8) имеет двойной вещественный корень в точке -2/г0 и эта система при меньшей грубости обладает степенью устойчивости большей, чем ранее рассмотренная замкнутая система (3.1), (3.2).
Здесь независимо от величины запаздывания запас устойчивости по фазе составляет 53.8, а запас устойчивости по амплитуде 3.8дБ. Регулятор (3.8) обеспечивает меньшие значения этих параметров, чем регулятор (3.2). Пример сравнения систем с регуляторами (3.2) и (3.8) показывает, что увеличение степени устойчивости системы само по себе не достаточно ни для обеспечения грубости, ни для обеспечения удовлетворительных запасов устойчивости (в данном случае по амплитуде).
Структурный синтез робастного регулятора выхода
Целью данной главы является определение структуры робастного регулятора. В основе метода лежит принятая в этой работе аксиома, о взаимной частичной компенсации составляющих движения расширенной модели объекта. В данном случае эта аксиома непосредственно применяется в рамках структуры системы с одним входом и одним выходом. Предлагаемая методика может быть использована как для объектов с запаздыванием, так и для объектов без запаздывания. Рассмотрим объект с запаздыванием [101], пусть передаточная функция объекта имеет вид где ка — коэффициент передачи ( к 0 к0 k"Q ), г - запаздывание ( т т т"), Ап{р) - полином п -того порядка (Ап(6) = \), который может быть устойчивым, неустойчивым или находится на границе устойчивости.
При помощи этой передаточной функции могут быть аппроксимированы любые объекты, кроме неминимально фазовых. Если исходный объект не минимально фазовый, то в числителе он содержит неустойчивый полином, который не исчезает при аппроксимации инерционным звеном с запаздыванием и поэтому должен присутствовать в числителе передаточной функции (4.1). Если такой объект все же аппроксимировать передаточной функцией вида (4.1), то это будет достаточно грубая аппроксимация, хотя иногда получается хороший результат. Но для упрощения дальнейших рассуждений необходима именно такая форма представления передаточной функции объекта. Поэтому будем ее рассматривать в дальнейшем, несмотря на указанный недостаток. Тем более, что не минимально фазовые передаточные функции встречаются не так часто при автоматизации технологических процессов. Соответствующая номинальная передаточная функция имеет вид где к%,т0,А(р) - номинальные значения соответствующих элементов из (4.1).
Целью синтеза является построение такой передаточной функции регулятора Wp{p), которая обеспечит грубость, то есть малую чувствительность системы к ва 81 риациям параметров в (4.1). Для синтеза системы используется номинальная передаточная функция объекта (4.2). Будем искать решение задачи синтеза при помощи расширения математической модели (4.2) за счет введения в рассмотрение одной опорной траектории, как это было описано раньше.
Для реализации этой методологии в общем случае необходимо от (4.2) перейти к передаточной функции номинального объекта, не содержащей запаздывания. Это удобно сделать, используя идею приближенной компенсации запаздывания, которая была рассмотрена раньше и позволяет построить систему, грубую к вариациям величины запаздывания. Для компенсации влияния запаздывания будем использовать корректирующий элемент й)с/р,{о)с =0.343/г0), типа (3.2), который для передаточной функции чистого запаздывания обеспечивает астатизм, а также запас устойчивости по фазе #7-71 и запас по амплитуде Ь ІЗдБ. Можно использовать и другие корректирующие элементы (3.8) или в общем виде (ЗЛО), но мы для простоты рассмотрим здесь элемент вида (3.2).
Заметим, что полином р" +... + р +1 в числителе (4.15) строго устойчив только при п 2. Это означает, что элемент расширения, а, следовательно, и синтезируемый робастный регулятор может быть неминимально фазовым. Кроме того, передаточная функция (4.15) физически не реализуема, так как степень числителя всегда больше степени знаменателя. Чтобы сделать передаточную функцию (4.15) правильной можно регуляризировать ее, введением нужного количества постоянных времени в знаменатель.
Также заметим, что элемент расширения содержит п интеграторов, что видно из структурной схемы, так как преобразованная передаточная функция (4.3) для объекта с запаздыванием имеет порядок п + \. Как следствие, в числителе (4.15) стоит полином р" +... + р +1, а передаточная функция элемента расширения имеет порядок п +1. Если передаточная функция исходного объекта не содержит запаздывания, то элемент расширения содержит п-\ интегратор и соответственно в числителе (4.15) будет полином р" 1 +... + р + 1, а передаточная функция элемента расширения имеет порядок, равный п.
Построение АЧХ для составляющих сумм, входящих в (4.15), показывает, что их амплитуды различаются друг от друга на несколько порядков, что делает возможным переход от условий (4.9) к условию (4.10), как об этом сказано выше.
Регулятор с передаточной функцией Wp{p) на структурной схеме (рисунок 12) обеспечивает стабилизацию движения относительно пересечения гиперплоскостей (4.9) по относительному сигналу рассогласования є(/) после элемента расширения (4.15). Робастный регулятор Wp{p) в (4.4) получается в виде произведения
Таким образом, регулятор с передаточной функцией Wp{p) обеспечивает заданное качество регулирования для эквивалентной системы без запаздывания с преобразованной передаточной функцией объекта (4.3). Добавление элемента расширения к этой передаточной функции при правильной настройке параметров обеспечивает робастность регулятора (4.16).
Для номинального объекта с запаздыванием (4.2) методами первой главы может быть получена передаточная функция регулятора Wp(p), обеспечивающая заданное качество регулирования системы с запаздыванием и грубая по отношению к ва 86 риациям величины запаздывания. Тогда для увеличения грубости полученной системы по отношению к параметрической неопределенности модели (4.1) можно использовать передаточную функцию регулятора
Такая же передаточная функция регулятора будет, если исходная передаточная функция объекта управления не содержит запаздывания, по тогда элемент расширения имеет порядок на единицу меньший. Передаточная функция W (р) обеспечивает заданное качество системы. Таким образом, изложенная процедура структурного синтеза робастной системы применима также и к объектам без запаздывания с передаточными функциями (4.1), (4.2) при т0 =т = О. Тогда используется декомпозиция на две подзадачи синтеза: обеспечения заданных качественных показателей системы и расширения передаточной функции объекта.
Приведенная постановка задачи робастного регулирования удобна тем, что дает возможность провести структурный и параметрический синтез системы в передаточных функциях средствами классической теории регулирования. Это намного проще, чем проектирование с использованием других подходов, например при помощи FF — теории.
Для параметрического синтеза будем использовать формулу (4.17). В нее входит передаточная функция регулятора W(p), позволяющая обеспечить заданные качественные показатели (кроме показателей грубости) для системы с запаздыванием. Для получения этой передаточной функции могут использоваться различные методы, например, методы, изложенные в предыдущих параграфах этой главы.
