Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Современное состояние проблемы исследования систем регулирования энергетических турбин при детерминированных и случайных возмущениях 8
1.1. Виды и роль возмущений в системах регулирования турбин 8
1.2. Системы регулирования, управления и защиты турбин 17
1.3. Математическая модель системы регулирования турбин 23
1.4. Методы детерминированного и статистического анализа нестационарных систем 33
1.5. Выводы 49
ГЛАВА 2 . Методы детерминированного и статистического анализа нестационарных систем (теоретические положения) 51
2.1. Детерминированный анализ нестационарных линейных систем с переменными параметрами 51
2.1.1. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с полиномиальными коэффициентами 53
2.1.2. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с экспоненциальными коэффициентами 57
2.1.3. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с периодическими коэффициентами 60
2.1.4. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с коэффициентами, аппроксимируемые по функциям Хаара 63
2.1.5. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с коэффициентами,
аппроксимируемые по функциям Франклина 68
2.2. Статистический анализ выходного сигнала многомерной нестационарной системы с переменными параметрами 71
2.3. Детерминированный анализ нестационарных систем управления с запаздывающим аргументом 75
2.3.1. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с постоянным запаздыванием 84
2.3.2. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с линейным запаздыванием 89
2.3.3. Метод определения импульсных переходных функций нестационарных систем с запаздыванием 93
2.4. Статистический анализ выходного сигнала нестационарной системы с запаздывающим аргументом 96
2.4.1. Метод определения статистических характеристик выходных случайных процессов нестационарных систем с постоянным запаздыванием 96
2.4.2. Метод определения статистических характеристик выходных случайных процессов нестационарных систем с переменным запаздыванием 104
2.5. Детерминированный анализ нестационарных систем управления с распределенными параметрами 109
2.5.1. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с распределением пространственной координаты на [0;оо] 111
2.5.2. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с распределением пространственной координаты на [0; L ] 115
2.6. Статистический анализ выходного сигнала нестационарной системы с распределенными параметрами 118
2.7. Выводы 124
ГЛАВА 3. Алгоритмы автоматизированного исследования систем регулирования энергетических турбин при детерминированных и случайных возмущениях и их программная реализация 126
3.1. Особенности алгоритмов спектрального метода 126
3.2. Алгоритмы компьютерной реализации спектрального метода 130
3.3. Программная реализация алгоритмов автоматизированного исследования нестационарных систем 138
3.4. Примеры решения задач анализа нестационарных систем 139
3.5. Выводы 144
ГЛАВА 4. Исследование системы регулирования турбины с противодавлением БПТГ-12 145
4.1. Исследование системы регулирования турбины с одним регулируемым подводом пара и с двумя регенеративными отборами пара 145
4.2. Исследование системы регулирования турбины на режиме тепловой нагрузки 151
4.3. Экспериментальная проверка теоретических результатов исследования системы регулирования турбины 154
4.3.1. Методика проведения эксперимента 154
4.3.2. Результаты эксперимента 157
4.4. Количественная оценка воздействий возмущений системы регулирования на надежность элементов турбины 159
4.5. Выводы 162
Заключение : 163
Библиографический список 165
Приложение
- Математическая модель системы регулирования турбин
- Метод определения выходных реакций нестационарных систем с экспоненциальными коэффициентами
- Метод определения статистических характеристик выходных случайных процессов нестационарных систем с постоянным запаздыванием
- Алгоритмы компьютерной реализации спектрального метода
Введение к работе
Актуальность темы.
Развитие современных методов компьютерного моделирования динамических систем и методов цифрового анализа данных привело к получению новых знаний о поведении термодинамических нестационарных систем, включая нелинейные системы.
В то же время, переход от теоретических понятий и терминов нелинейной термодинамики нестационарных процессов к экспериментальным исследованиям показал, что применение на практике основных теоретических понятий весьма затруднено. Проблема усугубляется также тем, что существующие теоретические методы исследования нестационарных процессов мало эффективны. Поэтому для решения задач, возникающих при проектировании систем автоматического управления, при разработке оптимальных методов управления необходимы эффективные, удобные для решения экспериментальных задач, удобные в применении инженерные методы анализа процессов, протекающих в линейных системах с переменными параметрами, основанные на использовании практически всех новейших достижений в области обработки сигналов.
Обычно нестационарными динамическими системами называют системы автоматического управления, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями или системами уравнений с переменными коэффициентами. Под линейными нестационарными динамическими системами понимают системы с сосредоточенными параметрами, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Однако в современных реальных сложных системах всегда присутствуют элементы чистого запаздывания, например, время обработки информации на ЭВМ, включенной в контур управления. Поэтому логично привлекать аппарат дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом для более верного описания систем и объектов автоматического регулирования.
При управлении реальными термодинамическими объектами использование методов теории сосредоточенных систем зачастую приводит к значительному искажению выходного сигнала. Поэтому введение нескольких пространственных распределенных параметров позволяет решить задачу с достаточной точностью.
Методам анализа обычных сосредоточенных нестационарных систем посвящено большое количество работ. В то время как теория расчета нестационарных распределенных систем считается незавершенной.
Для нестационарных систем невозможность получения аналитических решений приводит к необходимости численного решения большого количества вариантов задач с применением средств современной вычислительной техники. Такой подход не всегда приемлем. Во-первых, при детерминированном, а также при статистическом анализе сложных многомерных систем высоки требования
ЮрМп
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.Петер( 09
к быстродействию и объему оперативной памяти ЭВМ, в то же время сам процесс программирования громоздок, что ведет к большой вероятности появления ошибки. Во-вторых, информация выводится в виде, мало пригодном для практического применения.
На основе работ А.Н. Дмитриева, В.В. Семенова, В.В. Солодовникова, Н.Д. Егупова разработаны методы обобщенных спектров на основе классических ортонормированных экспоненциальных функций. Данные методы в совокупности с аппаратом интегральных преобразований и проблемой моментов используются для детерминированного и статистического анализа широкого класса систем автоматического регулирования.
В диссертации разрабатываются методы анализа сосредоточенных и распределенных нестационарных САУ, основанные на использовании ортогональных разложений функций по ортонормированным ортогональным функциям Хаара, Франклина, определяемых на отрезке [о, ГІ-
Являясь дальнейшим развитием метода обобщенных спектров, данная работа расширяет класс исследуемых систем автоматического управления.
Следует отметить, что на современном этапе теорию регулирования простейших энергетических турбин, описываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, можно считать завершенной. Значительно менее совершенна на сегодняшний день теория регулирования турбин с несколькими регулируемыми параметрами, особенно паровых турбин с регулируемым противодавлением. Очевидно, что стремление повысить экономичность турбины заставляет учитывать при ее проектировании все более тонкие аэродинамические эффекты. Также необходимость дальнейшего повышения надежности требует учета относительно малых, но длительно действующих флуктуации параметров турбины. Реакция системы регулирования на постоянно возникающие в течение всего срока службы изменения регулируемых величин приводит к непрерывным изменениям расхода, давления, температуры рабочего тела на входе в турбину и в ее проточной части, а также к изменениям развиваемого крутящего момента, фактического значения частоты вращения ротора, осевого усилия и других характеристик. Эти изменения сказываются на качестве вырабатываемой энергии и несущей способности турбинных деталей. Поэтому вслед за неизбежным ужесточением требований к качеству энергии, надежности и уровню эксплуатации энергетического оборудования всемерно расширяются исследования динамики регулирования турбин в следующих направлениях:
углубленное изучение внешних и внутренних возмущений, действующих в системах регулирования турбин на базе целенаправленных экспериментальных исследований и статистической обработки данных;
создание более адекватных математических моделей, как для элементов объекта регулирования, так и для регулирующих устройств;
4V." і '
разработка нового математического, алгоритмического и программного обеспечения исследования систем регулирования турбин в классе нелинейных нестационарных систем.
При изучении динамических характеристик систем регулирования энергетических турбин особое значение имеют математические модели. Они являются не только основой аналитических методов, но и становятся составной частью экспериментальных исследований. Математическая модель позволяет определить количественные показатели качества регулирования турбин, что является ответственной задачей, т. к. без знания этих показателей нельзя ни эксплуатировать существующие системы регулирования и, следовательно, турбины, которыми они оснащены, ни разрабатывать новые системы. Особенно важной является возможность вычисления статистических характеристик параметров непосредственно по расчетным формулам.
Разработка математического обеспечения исследования динамики регулирования турбин в классе нестационарных систем обеспечивает, прежде всего, развитие свойств этих систем в нужном для практики направлении. Следовательно, актуальной становится задача разработки новых методов расчета и проектирования систем автоматического управления с учетом возможности случайных изменений их параметров и при наличии случайных воздействий, позволяющих не вводить грубых упрощающих допущений, удобных для применения в инженерной практике и ориентированных на использование ЭВМ, а также создания на их основе эффективного алгоритмического и программного обеспечения.
Цель работы и задачи исследования.
Предлагаемая работа посвящена проблеме автоматизированного исследования систем регулирования энергетических турбин при детерминированных и случайных возмущениях, а также оценки их влияния на надежность элементов турбины. Целью работы является разработка математического обеспечения в форме инженерных методов расчета, позволяющих с единых позиций подходить к решению задач расчета и проектирования систем регулирования турбин с учетом различных возмущений и ориентированных на создание высокоэффективных вычислительных алгоритмов и применение ЭВМ.
Для достижения сформулированной цели ставятся следующие задачи исследования:
Анализ существующих методов исследования динамики энергетических турбин при детерминированных и случайных возмущениях;
Разработка методов анализа систем регулирования турбин в классе нелинейных нестационарных систем, и построение на их основе методов исследования в классе линейных нестационарных систем с переменными параметрами, нестационарных систем с запаздывающим аргументом, нестационарных систем с распределенными параметрами;
Разработка эффективных вычислительных алгоритмов, реализующих предлагаемые методы исследования систем регулирования турбин;
Разработка комплекса программ автоматизированного исследования систем регулирования энергетических турбин при детерминированных и случайных возмущениях;
Исследование разработанными методами и алгоритмами динамики систем регулирования энергетической турбины с противодавлением БПТГ-12, установленной на Самарской ГРЭС, при различных возмущениях, а также оценка влияния возмущений на надежность элементов турбины.
Научная новизна работы.
1. Впервые получены методы анализа нестационарных САУ с
переменными параметрами, с запаздывающим аргументом, а также с
распределенными параметрами, основанные на использовании ортогональных
разложений спектров по ортогональным функциям Хаара, Франклина,
определяемых на отрезке [о, т]',
2. Разработано математическое обеспечение в форме новых инженерных
методов расчета, позволяющих исследовать системы регулирования
энергетических турбин с учетом детерминированных и случайных возмущений;
3. На основе предложенных методов разработаны эффективные
вычислительные алгоритмы и программное обеспечение в среде пакета MatLAB
для автоматизированного исследования систем регулирования энергетических
турбин при детерминированных и случайных возмущениях;
4. Разработанными методами получены качественные и количественные
оценки влияния случайных возмущений на динамику систем регулирования
паровой турбины с противодавлением.
Практическая ценность и внедрение.
Ценность работы состоит в том, что разработанное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение позволяет автоматизировать систему научных исследований энергетических турбин при различных видах возмущений.
Разработанные методы, а также построенное на их основе программное обеспечение, использованы для исследования надежности регулирования турбин Самарской ГРЭС, что подтверждается Актом внедрения метода математического моделирования объектов регулирования, а также внедрения алгоритмического и программного обеспечения исследования систем регулирования турбин в классе нелинейных нестационарных систем от 18.02.2003 года.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Спектральные методы детерминированного и статистического анализа и синтеза нестационарных систем с переменными параметрами. Полученные результаты обобщаются на класс многомерных САУ;
Спектральные методы детерминированного и статистического анализа и синтеза нестационарных систем с запаздывающим аргументом;
Спектральные методы детерминированного и статистического анализа и синтеза нестационарных систем с распределенными параметрами;
^Вычислительные алгоритмы исследования динамики систем регулирования энергетических турбин при различных видах возмущений и программное обеспечение, построенное на их основе;
5. Результаты детерминированного и статистического исследований систем регулирования энергетической турбины с противодавлением БПТГ-12.
Апробация работы и публикации.
Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях:
Первая международная конференция молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки", г. Самара, 2000 год.
Вторая международная конференция молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки", г. Самара, 2001 год.
Третья международная конференция молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки", г. Самара, 2002 год.
XI Международная научно-практическая конференция "Прикладные задачи математики и механики", г. Севастополь, СевНТУ, 2002 г.
V Всероссийская научная конференция "Современные технологии в машиностроении", г. Пенза, ПТУ, 2002 г.
Основное содержание работы отражено в [1-10].
Структура и объем работы.
Математическая модель системы регулирования турбин
Задачи динамики систем регулирования турбин решаются на базе дифференциальных уравнений движения их элементов и процессов в них протекающих. Совокупность этих уравнений составляет математическую модель - научную основу всех аналитических и экспериментальных исследований. Предельно простая математическая модель, но достаточно точно отражающая принципиальную постановку задачи, приводит к пониманию физических явлений и к правильным оценкам выдвигаемых инженерных решений. Также математическая модель позволяет определить количественные показатели качества регулирования турбин, что является ответственной задачей, т. к. без знания этих показателей нельзя ни эксплуатировать существующие системы регулирования и, следовательно, турбины, которыми они оснащены, ни разрабатывать новые системы.
Математическое моделирование в исследованиях систем регулирования турбин основано на методах общей теории автоматического управления, изложенных в соответствующей литературе. Это относится и к приемам составления моделей звеньев системы, и к способам аналитического исследования, которые выбирают в зависимости от цели исследования и особенностей математической модели.
Уравнение движения ротора. Если пренебречь изменениями фазового угла генератора относительно энергосистемы по сравнению со значением частоты валопровода, изменениями энергии в индуктивностях цепей статора и потерями мощности в этих цепях, уравнение ротора можно представить в следующем в виде
Камеры в проточной части. Наличие сжимаемой среды в тракте приводит к тому, что изменения расхода по сечениям проточной части не следуют мгновенно за изменениями расхода через клапаны. Вообще говоря, для анализа этого явления следовало бы рассмотреть систему с распределенными параметрами, непрерывно изменяющимися вдоль парового тракта. Однако, это существенно усложнило бы математическое моделирование. Обычно используют определенную степень дискретизации, выделяя камеры, где условно сосредоточенно определенное количество пара, и расположенные между этими камерами отсеки с турбинными ступенями, где условно сосредоточенно соответствующие сопротивление потоку пара, причем количество пара в самих отсеках можно считать пренебрежимо малым по сравнению с количеством пара в камерах.
Чтобы не увеличивать чрезмерно порядок системы дифференциальных уравнений модели, объемы камер между степенями ЧВД, ЧСД и ЧНД учтем эквивалентным увеличением объемов П1, ПЗ, П5 (см. рис. 1.1). Погрешность при этом обычно невелика, т.к. собственные значения постоянных времени промежуточных камер между ступенями сравнительно малы. Тогда соответствующие уравнения паровых объемов можно записать в следующем виде (принимаем процесс изменения параметров пара в камерах политропическим)
Система регулирования турбины. Турбины с противодавлением обычно применяются в энергосистемах, работающих при большом и стабильном внешнем потреблении теплоты пара. В этом случае турбина работает по графику тепловой нагрузки, отдавая в электрическую сеть вырабатываемую электроэнергию. Управляет турбиной регулятор давления, с заданной точностью поддерживая регулируемый параметр посредством изменения расхода пара. При этом частота вращения удерживается на уровне частоты электрической сети за счет силовой связи всей энергосистемы с ротором генератора. Частота же в сети регулируется с помощью регуляторов других турбогенераторов, параллельно работающих в общей энергосистеме.
В то же время регулятор частоты вращения турбины с противодавлением настроен так, чтобы вступать в работу лишь при недопустимом разгоне ротора в случае отключения генератора от электрической сети. Этот регулятор также необходим в процессе пуска турбины и синхронизации генератора при включении в электрическую сеть.
Таким образом, в нормальных условиях эксплуатации действует один регулятор давления. Но при этом регулятор скорости находится в состоянии готовности, и в какой-то момент могут оказаться в работе оба регулятора.
Здесь мы рассмотрим особенности регулирования турбины, работающей по тепловому графику и вращающей генератор, подключенный к мощной электрической сети. При этом поставим задачу исследования динамики регулирования противодавления пара или непосредственно расхода сетевой воды.
Регулирование частоты вращения. Органом управления турбины является регулирующий клапан, перемещаемый гидравлическим сервомотором с золотниковым управляющим механизмом с электроприводом, управляемым с помощью регулятора частоты частоты вращения. В этой схеме основной аккумулятор энергии - вращающиеся массы ротора.
Уравнение регулятора и сервомотора. Командные функции регулятора выполняет ЭВМ. В ней во входном преобразователе аналоговые сигналы превращаются в дискретные, а в выходном преобразователе происходит обратный процесс перехода дискретных сигналов в аналоговые с необходимым усилением. Протекающие в ЭВМ преобразования оказывают влияния на процесс регулирования. Не касаясь вопросов усиления сигнала, рассмотрим процесс своеобразного запаздывания, связанного с переходами в преобразователях от одного типа сигналов к другому с периодом дискретного сигнала ТА.
Математические дискретные процессы описываются разностными уравнениями. В данной АСУ применяется ПИ-регулятор. Это пропорционально-интегральный регулятор, состоящий из двух параллельно включенных звеньев. Запишем алгоритм регулятора в дискретной форме для и-го интервала
Метод определения выходных реакций нестационарных систем с экспоненциальными коэффициентами
В классическом варианте задача детерминированного анализа считается решенной, если определена импульсная переходная функция, или определена выходная реакция системы на произвольное входное воздействие.
Импульсная переходная функция представляет собой реакцию системы автоматического управления на единичное импульсное воздействие, т.е. на дельта - функцию 5{t) на входе при нулевых начальных условиях. Здесь дельтой-функцией называется функция, обладающая свойствами
Отсюда следует, что передаточная функция равна изображению по Лапласу от импульсной переходной функции и является исчерпывающей характеристикой САУ при нулевых начальных условиях.
Метод матричных операторов является классическим. При исследовании САУ на конечных нестационарных участках времени основное внимание сосредоточивается на отыскании нестационарных передаточных функций, на основе которых проводится как детерминированный, так и статистический анализ. Исследование САУ на полубесконечных интервалах времени производится главным образом прямыми методами, использующими непосредственно дифференциальные уравнения исследуемых систем. Это позволяет производить детерминированный и статистический анализ, не прибегая к понятию параметрической передаточной функции. Тем самым получить не только количественные характеристики интересующих процессов в исследуемой САУ с полной математической моделью, но и вскрыть факторы, влияющие на эти характеристики, и целенаправленно менять их, т.е. дает возможность получить общие закономерности функционирования САУ.
Данный метод предлагает разложение сигналов и временных динамических характеристик системы по ортогональным базисам. Совокупность коэффициентов Фурье функции времени по некоторому базису как обобщенном спектре этой функции, в котором номер коэффициента есть аналог частоты в частотной характеристике функции времени. Поэтому такая форма описания систем и сигналов называется спектральной.
Данные свойства показывают целесообразность использования сумм Фурье-Хаара и Фурье-Франклина для приближения функций. Равномерная аппроксимация гарантирована для очень широкого ряда функций. Одновременно получается и квадратичная аппроксимация. Точно передаются средние значения на некоторых более мелких отрезках [Л ns J. И, как показывают свойства, отсутствуют неприятные пики на аппроксимирующей функции, в отличие от функций, аппроксимированных многочленами высоких степеней. Единственное неудобство такой аппроксимации - это разрывность сумм Хаара.
Если функция f{x) обладает большой гладкостью (к примеру, несколько раз дифференцируема), то вряд ли кусочно-постоянная аппроксимация этой функции будет достаточной для практических реализаций. Однако, если про f{x) известно мало (например, только то, что она кусочно-непрерывна или удовлетворяет условию Липшица), то приближение суммами будет оптимально.
Таким образом, исходя из вышеприведенного, дальнейшую задачу детерминированного анализа определим следующим образом: используя интегральные преобразования и представление искомых реакций ортогональными рядами Хаара и Франклина, разработать методы детерминированного анализа обычных нестационарных систем; разработанные методы обобщить на классы нестационарных систем с запаздывающим аргументом и систем с распределенными параметрами; проверить работоспособность и эффективность полученных алгоритмов. 2.1.1. Метод определения выходных реакций нестационарных систем с полиномиальными коэффициентами
Пусть у if)- входное воздействие, а х(()- выходная реакция нестационарной системы, описываемой дифференциальным уравнением, коэффициенты которой представлены в виде степенных рядов. Введем г - время отсчета с начала приложения входного воздействия, так как, в общем, начало изменения коэффициентов уравнения (1) не совпадает с начальным моментом приложения входного воздействия. Имеем t = + г, где - момент приложения.
Метод определения статистических характеристик выходных случайных процессов нестационарных систем с постоянным запаздыванием
Функции Хаара являются разрывными. Вопрос о том, существует ли ортогональная система, которая состоит из непрерывных функций и такова, что каждая непрерывная функция имеет по этой системе равномерно сходящееся разложение, был решен в положительном смысле Ф.Франклином. Проводя аналогию с локальными сплайнами, которые в настоящее время считаются оптимальными по точности аппаратами приближения функций, следует отметить тот факт, что локальные сплайны не являются ортогональной системой, и, следовательно, не обладают всеми свойствами данных систем. Таким образом, данный метод определения выходных реакций нестационарных систем с коэффициентами, аппроксимируемыми по функциям Франклина, предпочтителен.
Линейные функции ортогональной системы Франклина получены ортогонализацией по методу Шмидта системы линейно-независимых функций Шаудера, которые в свою очередь определены в виде: Выходную реакцию определяем в виде ортогонального ряда Франклина Раскрывая выражения в квадратных скобках в формулах (6), (7) как производную v -го порядка от произведения двух функций и вводя замены Задавая комплексный переменной ряд действительных значений S\, 5 2, S3,..., так чтобы 5,щ(П сга, где та абсцисса абсолютной сходимости, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов {с„}: Окончательный алгоритм определение выходных реакций нестационарной системы автоматического управления, дифференциальное уравнение которой имеет вид (6), показан на рис. П2.5 Приложения 2. Заметим, что алгоритм легко обращается на случай многомерных нестационарных систем. т 2.2. Метод определения статистических характеристик выходного сигнала многомерной нестационарной системы Многомерные системы автоматического управления отличаются по числу управляющих воздействий, то есть имеют несколько входов и несколько выходов. Задача статистического анализа динамических систем такого вида сводится к анализу систем со многими входами и одним выходом. Обычно предполагается, что связь между входными и выходными сигналами имеет интегральную форму Нетрудно видеть, что для вычисления mx(t), Rxx(tvt2) необходимо, зная исходное дифференциального уравнение (1), найти импульсные переходные функции, после чего осуществлять операции, соответствующие выражениям (2), (3). Рассмотрим методы, позволяющие рассчитать математическое ожидание и корреляционную функцию выходного сигнала динамической системы на основе дифференциального уравнения (1) при стационарных и нестационарных входных воздействиях. Введем начальные условия: тх(6) = тх , т1 (6) = тх ,... , тх (0) = тх(т.\) Найдем уравнение для математического ожидания выходного случайного процесса, при этом осредняя обе части уравнения (1) по множеству. Получим Ы ) --±±Ь,, , (4) где M { (/) } = «!,(/), Л/ { (/) }=/я,Д/). N Алгоритм определения математического ожидания в виде ряда т x{f)=y c п х Jj) п=0 для всех рассматриваемых случаев аппроксимации коэффициентов уравнения (4), аналогичен разработанным в предыдущих параграфах. Оперируя с центрированными случайными процессами, найдем дифференциальные уравнения для взаимокорреляционной и автокорреляционной функции выходного случайного процесса. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайного процесса связана с автокорреляционной функцией зависимостью: я,( М„(/, /,),.,, = „( . 0; rx(t)=jDx{t). Считая, что коэффициенты дифференциальных уравнений (5), (6) аппроксимируются выражениями к и М 4=0 к-0 =0 g=0 преобразуем данные уравнения по двумерному преобразованию Лапласа по переменным /, /,. Дальнейшие выкладки проводим для определения взаимокорреляционной функции выходного и входного сигналов по q каналу: т R Q к d" RIV (s,-ap,s7) и1" (с -а V (7) IIZ«,lH ZC 2-а) Ms-aY- ,=о =о g=o //-о a\s\ ag) а \s\ ag) d Rr , (t,t,) IIMO— p— q ,=0y=0 ah F(slts2)=L } + P r dvRxyq {t,s2) dtv m It О i-\ jk (8) ;=1 Ы) g=0 V=0 Ci\i\ UgJ /«0 Взаимокорреляционную функцию, как функцию двух независимых переменных, определяем в виде двумерного ортогонального ряда Хаара: n,=0n2=0 2 Двумерный интеграл Лапласа от выражения (9) имеет вид: Rxy„ (w2) = Z Z S-, Я-,М H-2M n.=0n,=0 (9) Вводим обозначение: (10) Получим систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов \сп „ ], подставляя выражение (10) в уравнение (7)
Алгоритмы компьютерной реализации спектрального метода
Задача прямого статистического анализа нестационарных систем с постоянным запаздыванием сводится к нахождению математического ожидания выходного случайного процесса, определению взаимной корреляционной функции входного и выходного случайных процессов, дисперсии, а также автокорреляционной функции выходного случайного процесса. Пусть y(t) и X(i) - входной и выходной случайные сигналы нестационарной системы с постоянными запаздываниями, описываемой дифференциальным уравнением
Рассмотрим частный случай аппроксимации коэффициентов a,(t) и bj{t). Предположим, что коэффициенты дифференциального уравнения (1) имеют экспоненциально-полиномиальную аппроксимацию, а именно где ag, pf- в общем случае комплексные числа, afk, dk - постоянные.
Найдем математическое ожидание выходного процесса нестационарной системы с р запаздываниями при случайных входных воздействиях. Введем начальные условия: Метод определения математического ожидания тх (/) по уравнению (4), когда коэффициенты уравнения аппроксимируются выражениями (2), аналогичен рассмотренному в 2.3.1, поэтому мы не будем на нем подробно останавливаться.
Для определения тх (/) в виде ряда по ортогональному базису Хаара N применим разработанную в 2.3.1 методику. Коэффициенты {сп} определяются из системы алгебраических уравнений (3.1.9). Коэффициенты системы (3.1.9) рассчитываются по формуле (3.1.10). Расчет правых частей системы (3.1.9) — по формуле (3.1.6), где Y0 (s) заменяется на т (s) (" (/)= Л/{.у0(/)}, а дг(и (о) и у/Дм) соответственно на тху (0) и т (и). Для частных случаев аппроксимации коэффициентов а,(/) и dqj{t) применяются расчетные формулы (3.1.11)—(3.1.19).
Определим взаимную корреляционную функцию Rxy(tl,t2) входного и выходного случайных процессов. Для этого будем оперировать только с центрированными случайными процессами. Пусть "{ ,1г,)- Ц- ;;г, , ) тогда записав уравнение (1) для момента времени /,, умножив обе его части на y{t2) и ос-редняя по множеству, получим определяется из дифференциального уравнения без запаздывания.
С учетом выражений (2) уравнение (6) запишем в виде Лапласу по переменной /,, далее оставляя в правой части уравнения изображение искомой функции, имеем Правая часть уравнения (6) зависит как от автокорреляционной функции входного случайного процесса, так и от начальных взаимно-корреляционных функций RViy(tx,t2), определяемых из дифференциального уравнения без запаздывания:
Далее выражения (8) и (9) преобразуем по Лапласу по второй действительной переменной / 2. Получим Взаимную корреляционную функцию Rxy (/,/2), как функцию двух независимых переменных, определяем в виде двумерного ортогонального ряда
Хаара где коэффициенты Фурье [Сп „ } подлежат определению. Если функция Rxy(ti,t2) допускает разложение (12), то, применяя к выражению (12) двумерное преобразование Лапласа, имеем Найдем алгебраическое уравнение в комплексной области относительно неизвестных коэффициентов \Сп „ } подставляя выражения (14) в уравнение (10). Далее 100 задавая комплексным переменным - S, и S2 ряд действительных значений из области абсолютной сходимости двумерного интеграла Лапласа sl=ml,m2,...; s2=mx,m2,...vi ограничивая ряд (13) первыми (W, +\)-(N2 +1) членами разложения
