Содержание к диссертации
Введение
1. Проблемы развития экологического и технико-экономического комплекса на региональном уровне. Задачи диссертационного исследования 13
1.1. Правовые основы совершенствования экологических систем 13
1.2. Информационные аспекты при создании системы устойчивого регионального развития 17
1.3. Модели компонент природной среды 27
1.4. Цели и задачи диссертационных исследований 34
2. Компьютерное моделирование популяций в экологических системах 39
2.1. Математические модели непрерывного роста отдельных популяций 39
2.2. Об эквивалентах модальной мощности и энергии в линейных экологических системах 43
2.3. Нелинейные модели роста плотности популяций 51
2.4. Дискретные модели роста 55
2.5. Моделирование в условиях изменения во времени окружающей среды и структуры системы 69
2.6. Модели двух взаимодействующих популяций 71
2.6.1. Модели «жертва-хищник» двух популяций 72
2.6.2. Две популяции: модель конкуренции 83
2.6.3. Две популяции: мутуализм
3. Информационное обеспечение и моделирование элементов комплекса частных моделей системы регионального управления
3.1. Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой 94
3.2. Информационное обеспечение и моделирование нелинейных ' дискретных систем. Хаос 99
3.3. Информационное обеспечение и моделирование экологической системы межвидового взаимодействия 109
3.4. Информационное обеспечение и моделирование роста популяции в условиях изменяющихся запасов растительной массы 114
3.5. Алгоритмическое и программное обеспечение модели роста с периодически изменяющимися во времени коэффициентами 123
4. Экологические модели на основе цепей Маркова и их информационная поддержка 134
4.1. Общие положения 134
4.2. Моделирование генетических популяций на основе цепей Маркова 135
4.3. Случайные спаривания в конечных популяциях: модель на основе цепей Маркова 143
4.4. Модель случайного генетического дрейфа 148
4.5. Цепи Маркова с поглощающими состояниями 155
4.6. Марковская модель прохождения загрязняющего вещества через экосистему 159
5. Идентификация и оценка параметров нелинейных моделей динамических систем по экспериментальным данным 164
5.1. Рекурсивный метод наименьших квадратов 166
5.2. Алгоритм оценивания параметров моделей в условиях ограничений 171
5.3. Идентификация параметров экологической системы методом дифференциальной аппроксимации 175
5.4. Идентификация дискретной логической системы в хаотическом режиме 184
Заключение 188
Библиографический список 191
- Правовые основы совершенствования экологических систем
- Математические модели непрерывного роста отдельных популяций
- Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
- Моделирование генетических популяций на основе цепей Маркова
Введение к работе
Окружающая среда - важнейшая часть нашей жизни, ибо наше будущее и будущее потомков зависит от того, какой мир нас окружает, каким воздухом мы дышим, какую воду мы пьем.
В последние годы, как на государственном, так и на региональных уровнях в сфере охраны окружающей среды делается достаточно много. В частности, во многих регионах с большой численностью населения, в крупных городах и в местах сосредоточения промышленных объектов внедряются системы контроля воздуха и чистоты воды, создаются информационно-измерительные комплексы для принятия решений по управлению ситуацией на основании анализа переменных состояний и текущих параметров окружающей среды. Все это способствует и должно улучшить экологию, причем уже в обозримо близком будущем.
Для управления экологической ситуацией используются последние достижения в области техники очистки сточных вод и загрязненного воздуха[43]. На предприятиях, где действуют современные воздухоочистители, выброс вредных веществ в атмосферу не превышает тысячных долей от предельно допустимой концентрации (ПДК).
В течение последних лет, благодаря принятым мерам, в нашей стране возросло понимание важности экологической чистоты. Это не раз отмечали специалисты контролирующих органов различных уровней, таких, как Госсанэпиднадзор. И дело здесь не в предпринимаемых штрафных санкциях (они для крупных производств не так уж и страшны), а в изменении стиля работы и мышления руководителей предприятий с экологически вредными производствами [5 ].
Управление качеством окружающей среды представляет собой исключительно сложную и ресурсоемкую организационно-технологическую проблему, входящую в состав концепции устойчивого развития государства по главным направлениям.
Основное содержание понятия «устойчивое развитие» состоит в том, что социально-экономическое развитие должно осуществляться таким образом, чтобы не допустить экологической катастрофы, обусловленной антропогенным воздействием. Вместе с тем в него, безусловно, должно входить управление естественными природными процессами и, в частности, теми, которые нарушают или тормозят поступательное движение общества вперед. Кибернетический подход, основанный, по определению Н.Винера, на универсальности методологии изучения управления различными объектами и процессами, независимо от их физической природы, позволил приступить к решению самой сложной проблемы — управлению состоянием геофизической природной среды. Математические модели природных процессов весьма сложны. Практически все они многомерны и описываются нелинейными уравнениями в частных производных, решение которых представляет огромные трудности даже при использовании ресурсов современных суперкомпьютеров и распределенных систем компьютерного моделирования на базе Интернет -технологий. Концепция устойчивого развития определила необходимость создания информационных систем поддержки принятия решений при формировании экологической политики на государственном и региональных уровнях[20].
Всесторонний анализ обстановки и различных эффектов воздействий, с учетом тенденций в развитии человеческой деятельности, свидетельствует о том, что в ближайшие годы и даже десятилетия наиболее серьезными будут оставаться следующие загрязнители окружающей среды:
- двуокись серы и продукты ее реакций (серная кислота, сульфаты
тяжелых металлов - ртути, свинца, кадмия и др.);
канцерогенные вещества, вызывающие злокачественные опухоли;
нефтепродукты, попадающие в результате действия человека в воду и почвы;
хлорорганические пестициды;
- окись углерода и окислы азота в местах скопления транспорта и расположения крупных преобразователей энергии топлива в другие виды энергии.
Поэтому на информационные системы поддержки принятия решений 6 состоянии экологической обстановки должны возлагаться оценки по различным критериям: предельно допустимым концентрациям загрязняющих веществ в природных средах «ПДК»; предельно допустимым нормам выбросов (ПДВ) и сбросов (ПДС), накоплению отходов (ПДО), а также предельно допустимым экологическим нагрузкам (ПДЭН).
Данные оценок должны передаваться исполнительной власти и заинтересованным организациям для принятия необходимых мер по стабилизации обстановки. Информационные системы должны составлять прогноз о состоянии экологической обстановки в будущем. Наиболее важными наукоемкими задачами информационных систем являются процессы определения экологического резерва с учетом предельно допустимых экологических нагрузок и изменений антропогенного характера. Именно решение этих задач позволит установить дополнительные природные возможности для использования их в интересах человека, оценивать ущерб экологический, экономический и социальный при неправильных воздействиях в определенных ситуациях на природу.
В настоящее время в экологии широко используется понятие «эстетического ущерба», характеризирующего уменьшение эстетической ценности уникальных и заповедных экосистем, которая не поддается экономическим оценкам. Количественная мера эстетического ущерба может быть установлена в том случае, когда можно определить ущерб от уменьшения потока туристов, вызванного снижением эстетической ценности природной среды (так называемый рекреационный ущерб), либо в случае ухудшения здоровья людей. Видно, что, оценка «эстетического ущерба», требующая использования большого объема информации и соответствующей базы данных вообще невозможна без использования информационных систем поддержки
принятия решений, осуществляющих сбор и обработку информации о наблюдениях за изменением состояния окружающей среды.
В работе [7] предложено определять степень воздействия на природную экосистему (сообщество, популяцию) с помощью следующего функционала:
R t m I I
где An- степень воздействия на и-экосистему; /^/^концентрация загрязняющего вещества (или интенсивность воздействия какого- либо фактора в пространстве и во времени);
Wi(t) и fti(t)- коэффициенты соответствующих превращений или переходов;
Сцт- геометрический фактор, учитывающий воздействие на данный организм (элементы биосферы), фактически распределенный во времени и пространстве, фактора загрязнения Ia(Rbt)\
Ецт- эффект биологически вредного воздействия;
Nm- количество организмов и-популяции в т-экосистеме, подвергающихся воздействию;
/^-коэффициент, характеризующий эффект одновременного воздействия /-го и (і+к)-то ингредиентов;
..«+* -коэффициент, учитывающий эффект одновременного воздействия
на п-ю и (п+к)- ю популяцию данной экосистемы.
Следует заметить, что приведенная выше формула была предложена
академиком Израэлем Ю.А. в работе [13] для контроля состояния природной
среды как многомерной системы. Не отрицая важности системного подхода к
оценке состояния с помощью этой формулы, мы отметим большие сложности,
возникающие при практическом ее использовании. Во-первых, требуется иметь
аналитические зависимости функций концентрации, коэффициентов
превращений и эффекта вредного биологического воздействия, которые могут быть установлены для каждой экосистемы лишь путем моделирования
процессов при непрерывном получении данных измерений (все составляющие являются непрерывными функциями времени). Во-вторых, функции являются нелинейными, и методы идентификации таких объектов составляют серьезную научно-техническую задачу даже при введении целого ряда упрощений, определяющих ковариационные свойства сигналов в процессе взаимного влияния. В-третьих, количество организмов популяции N и чувствительность К популяции к данному воздействию в формулу входят как постоянные коэффициенты. Вместе с тем, мир биологических популяций в своем поведении настолько сложен и разнообразен, что учет динамики популяций в функционале крайне необходим. Даже в самых простых ситуациях, связанных с ростом одной биологической популяции в условиях изменяющейся внешней среды, процесс моделирования требует немало искусства для обеспечения свойств адекватности системы и модели. Представляется вполне закономерным и тот факт, что для исследования задач взаимодействия популяций создается адекватный математический аппарат экологического инжиниринга, математической теории экологии, которые составляют сегодня важное научное направление в прикладной математике.
Предмет исследования математической экологии составляют:
неструктурированные модели популяций (одновидовые взаимодействующие популяции, модели получения урожая, модели гибели -размножения, «хищник - жертва», мутуализма и др.);
модели структурированных популяций (модели пространственно размещенных структур (линейные и нелинейные), модели распространения (кластеризации));
возрастно-структурированные модели (линейные, модель Лотки, разностные, модели на матрицах Лесли, модели Мак Кендрика - Ван-Фостера (дифференциальные, в частных производных));
- структурно зависимые модели размножения и др.
Широкий спектр математических приемов в аналитическом описании перечисленных моделей свидетельствует о большом разнообразии поведения
систем, необходимости использования современных информационных технологий и компьютерных вычислительных сред для анализа и управления экосистемами. Несмотря на огромное число публикаций и их постоянный рост в данной предметной области, лишь в отдельных частных случаях достигнуты конкретные результаты и созданы модели, получившие всеобщее признание. Основная причина создавшегося положения состоит в том, что по своей природе модели экологических систем являются сугубо нелинейными. Системы дифференциальных уравнений в аналитической форме, как правило, не решаются, а численные методы требуют использования компьютерных вычислительных оболочек и соответствующей информационной поддержки. Поведение моделей оказывается весьма чувствительным к изменению параметров и граничных условий. В результате при одном и том же аналитическом представлении поведение -моделей в динамике может быть совершенно различным. Например, простейшая логистическая модель в форме разностного уравнения первого порядка с квадратичной функцией может иметь аттрактор в виде точки, устойчивый предельный цикл, ґ-периодический режим, режим детерминированного хаоса и т.п.
Модели экологических систем, и в частности, роста популяций имеют много общего с математическими моделями технических систем, геофизических процессов, экономики, социологии и др. Общность определяется, очевидно, тем, что в основе процессов поведения систем лежат одни и те же законы. Это законы сохранения массы, момента количества движения и энергии, которые наряду с законами термодинамики, магнитной и электродинамики описывают процессы, протекающие в окружающем нас мире. Проблема сохранения популяции во многом сходна с задачами о необратимых процессах в термодинамических и экономических системах. Очевидно, невозможно обеспечить рост одной популяции только за счет другой, без каких либо иных изменений. Аналогично при управлении ресурсными потоками, согласно формулировке Леонтовича, невозможно построить устройство, в результате действия которого производилась бы положительная работа только за счет
11
охлаждения одного тела без каких - либо других изменений. М. Планк
сформулировал следующее фундаментальное положение: «Всякий
происходящий в природе процесс протекает в таком направлении, что сумма
энтропии всех участвующих в процессе тел увеличивается». Эти формулировки,
в свою очередь, оказываются приемлемыми для описания процессов в
экономических системах. Так, в микроэкономике им соответствуют
утверждения:
поток ресурса не может переходить от экономического агента (ЭА), у которого его оценка выше, к ЭА с более низкой оценкой без того, чтобы не осталось других изменений;
невозможно извлечь капитал за счет обмена ресурсами с одним ЭА без каких- либо других изменений.
Интересно также отметить что, формулировке Планка соответствует совершенно аналогичное утверждение, относящееся к необратимой микроэкономике: «Всякий процесс ресурсообмена протекает в таком направлении, что суммарные потери прибыльности участвующих в процессе экономических агентов положительны. В равновесии прибыльность замкнутой экономической системы достигает минимума, совместимого с наложенными на нее ограничениями» [17].
Вопросы потокораспределения в природных системах с энтропийных позиций ранее рассматривались в целом ряде работ сотрудников Института энергетики Сибирского отделения Академии Наук. Так, в трудах Л.М. Кагановича было показано, что принцип наименьшего действия непосредственно происходит из второго начала термодинамики. Это означает, что физические процессы казалось бы, в совершенно внешне не связанных системах, системах различной природы (экологических, технических, биологических, социально-политических, геофизических и т.п.) описываются одними и теми же математическими уравнениями. Следовательно, мы можем получить идентичные модели для систем различной природы и назначения, если их математическая интерпретация одинакова, т.е. исследовать
динамически аналогичные системы. Согласно работе Ильи Пригожина и Изабеллы Стенгерс [24, с. 105], в динамических системах будущее и прошлое играют в уравнениях движения симметричные роли. Эволюция динамических переменных-координат или скоростей — во времени представляется уравнениями движения. Координаты и скорости можно выбрать в качестве координат фазового пространства. В этом пространстве каждому состоянию системы соответствует точка, и ее эволюции во времени соответствует траектория. Рассмотрим совокупность таких точек, заполняющих некоторый объем в фазовом пространстве. Он соответствует ансамблю- совокупности систем, описываемых одними и теми же уравнениями движения, но с различными начальными условиями. Фундаментальное свойство динамической эволюции заключается в том, что объем, занятый ансамблем, остается постоянным в фазовом пространстве. Это следствие из классической динамики называется теоремой Лиувилля. Важно подчеркнуть, что хотя объем в фазовом пространстве сохраняется, его форма может изменяться. Так как в хаотических системах две траектории, первоначально сколь угодно близкие, экспоненциально «разбегаются», исходный объем сильно фрагментируется и порождает геометрического монстра.
В связи с вышеизложенным, нам представляется целесообразным в процессе моделирования экологических систем выделить классы моделей с подобными аналитическими описаниями, но относящимся к системам другой физической природы, в том числе - к техническим. Это позволит не только с единых методологических позиций исследовать поведение сложных систем, но и использовать результаты, полученные в одной области знаний, для выводов и обоснованных заключений в другой - менее исследованной в силу тех или иных обстоятельств. Этим вопросам посвящены диссертационные исследования. Их конкретизация, определение класса задач, направленных на решение вопросов совершенствования моделей экологических систем и управления технологическими процессами, выполнены в первой главе диссертации.
Правовые основы совершенствования экологических систем
В настоящее время резко возросла интенсивность техногенных процессов и освоения природных ресурсов, доходящая до экстремального уровня. В этих условиях происходят бифуркационные изменения, возникает хроническая нехватка природных и жизненных ресурсов, а окружающая среда пополняется продуктами (отходами), представляющими реальную угрозу дальнейшему существованию экологической среды. Поэтому дальнейшее развитие становится невозможным без использования самых совершенных форм производства, производственных отношений и эффективных методов управления, основанных на применении новых информационных технологий. Системность требует структурной, функциональной, динамической согласованности отдельных частей процессов в единое целое, определяющее их «групповое» поведение. «Сборка» частей должна быть полной, эффективной и устойчивой. В приложении к взаимодействию экологических и промышленно-экономических элементов регионального комплекса это означает, что должно быть обеспечено устойчивое развитие региона.
Интенсификация производства на уровне предельных ресурсных возможностей требует разработки новых высоких наукоемких технологии, с учетом случайных возмущений внешней среды и флуктуации внутренних состояний рассматриваемых процессов[5].
Любое управление связано с целесообразным воздействием на объект для достижения определенных качественных показателей. В соответствии с международным стандартом ИСО9000:2000, качество - это степень, с которой совокупность собственных характеристик объекта выполняет требования, оцениваемые набором характеристик (свойств) [4]. Совокупность принципов, методов и средств управления, направленных на достижение поставленной цели, определяет менеджмент. Менеджмент качества составляют восемь основных принципов, среди которых в части взаимодействия с экологической системой необходимо отметить следующие: - принцип процессного подхода, согласно которому деятельностью и ресурсами следует управлять как процессом; - системный подход, предусматривающий выявление, понимание и менеджмент взаимосвязанных процессов при достижении цели; - постоянное улучшение воздействия на объект; - принятие решений, основанное на фактах.
Перечисленные принципы определяют рекомендованные подходы к моделированию и созданию менеджмента качества, отвечающие международным стандартам. К ним относятся: - разработка методов для измерения результативности и эффективности каждого процесса; - применение данных измерений для решения конкретных задач; - разработка и применение процесса для постоянного улучшения системы менеджмента качества.
Согласно ИСО9000:2000, «процессный подход» состоит в систематической идентификации и менеджменте качества применяемых процессов, с учетом взаимодействия.
При концептуальном моделировании процесс постоянного улучшения системы менеджмента качестве на региональном уровне можно обеспечить за счет новых информационных технологий, позволяющих совершенствовать принципы построения моделей и повышать их степень адекватности. Если на верхнем уровне иерархии возможна оценка поведения регионального комплекса по укрупненным показателям (в квазистатических режимах), то на последующих уровнях требуется учет динамики. Постоянное улучшение системы управления (менеджмента) следует обеспечивать за счет расширяющегося комплекса частных моделей, разработки методов обработки информации. Если в условиях, далеких от экстремальных, ресурсные модели характеризуются, например, устойчивым динамическим поведением, то при хронической их нехватке картина может координально измениться. На практике мы уже встречались с положением, когда в результате вырубки леса в районах, близких к Осетровскому порту, существенно нарушался водный режим, что на длительное время исключало подход судов к причалам, ввиду значительного снижения глубин. Очевидно, на качестве работы порта сказался процесс неучета динамики лесных ресурсов во взаимосвязи с моделью «река», а также с блоком «информации и управления на региональном уровне».
Наиболее сложной частью расширяющегося комплекса частных моделей являются экологические и эколого-технологические модели. Для их создания и совершенствования в настоящее время разработана серия международных стандартов ISO 14000, которую называют одной из наиболее значительных международных инициатив. Предшественником ISO 14000 безусловно, является ISO 9000, в котором определены «организационные» подходы к качеству продукции (например, концепция «глобального управления качеством» - total quality management) и другие. Стандарты систем экологического менеджмента обеспечивают уменьшение неблагоприятных воздействий на окружающую среду на трех уровнях: международном, национальном и организационном.
Система стандартов ISO 14000, в отличие от многих других природоохранных стандартов, ориентирована не на количественные параметры (объем выбросов, концентрации веществ и т.п.) и не на технологии (требование использовать или не использовать определенные технологии, требование использовать «наилучшую доступную технологию»). Основным предметом ISO 14000 является система экологического менеджмента - environmental management system, EMS. Типичные положения этих стандартов состоят в том, что в организации должны быть введены, и соблюдаться определенные процедуры, должны быть подготовлены определенные документы, должен быть назначен ответственный за определенную область деятельности экологического менеджмента. Основной документ серии - ISO 14001 не содержит никаких «абсолютных» требований к воздействию организации на окружающую среду, за исключением того, что организация в специальном документе должна объявить о своем стремлении, соответствовать национальным стандартам.
Таким образом, соблюдая определенные процедуры и требования ISO 14000 и природоохранных стандартов и стандартов менеджмента, разработанных в России (ГОСТ ИСО 9001-2001, ГОСТ ИСО 2004-2001 и другие), мы можем без формальных ограничений применять те методы и средства для моделирования и управления экологическими и промышленно-экономическими комплексами в их взаимодействии, которые являются наиболее эффективными в данном регионе, с учетом его специфики, связанной с производством, имеющимися ресурсами, географическим положением и т.д.
Это также значит, что среди методов измерений, используемых для обеспечения эффективности каждого процесса, можно использовать методы восстановления координат по моделям системы, при неполной информации о состоянии объекта, т.е. фактически применять наблюдатели и оцениватели для контроля состояния экологического комплекса в регионе. Кроме того, принципы идентификации и математической обработки данных могут использоваться для диагностики технических, экологических и промышленно-экономических элементов регионального комплекса в режиме «on-line».
Математические модели непрерывного роста отдельных популяций
Модели непрерывного роста применимы к популяциям, численность которых возрастает от поколения к поколению. Примером таких популяций может служить непрерывный рост населения в отдельных развитых странах. Динамические процессы в таких экологических системах описываются дифференциальными уравнениями, устанавливающими связь между производными dx(t)/dt и численностью популяции в любой момент времени x(t).
С помощью (2.5) осуществлена модальная декомпозиция вектора состояния. В этом уравнении сомножитель vjx0 определяет суммарное rn Sj возбуждение системы на і-ой моде. Если направление х0 изменяется, то оно приводит к вариации суммарного возбуждения на каждой моде. Однако, если х0 = ип то воздействие на систему производится лишь на і-ой моде. Таким образом, путем выбора вектора начальных условий, которые возбуждают систему на каждой моде, можно управлять запасом энергии в динамической системе (2.4), исходя из требований к переходному процессу в экологическом объекте с п популяциями.
Из неравенства (2.10) также следует, что при малых начальных «вкладах» по отдельным модам для устойчивых систем соответствующие им популяции фактически не оказывают существенного влияния на переходный процесс. К такому положению следует стремиться, если, например, отдельные популяции бактерий вызывающих серьезные заболевания, оказывают массовое воздействие на другие компоненты экологических систем и должны быть уничтожены. С другой стороны, если т.е. система является неустойчивой, то наличие даже небольшого начального «вклада» может привести к экспоненциальному росту популяций и нарушению баланса в экологических системах. Устойчивое равновесие в основных сферах деятельности человека может быть нарушено, а биосфера, обладающая ограниченными ресурсами восстановления равновесия, может утратить эти свойства.
Для устойчивых систем путем вариации і от 1 до п можно ранжировать факторы РА,(о) , представляя их в виде вектора-строки. В результате можно получить матрицу «вкладов» размерности (пхп), причем сумма элементов каждой строки матрицы равна единице. Сумма элементов каждого ее столбца также равна единице. Объяснить такой результат можно тем, что каждая сумма (строк и столбцов) равна внутреннему произведению вектора и его дуального вектора, которое по условиям выбора векторов равна единице. Факторы «вкладов», очевидно, можно считать мерами связи между модами и переменными состояния, оцениваемыми в момент t=0.
В пространстве состояний сфера единичного радиуса R" с центром в начале координат представляет собой сферу с постоянной запасенной энергией. По мере того, как вектор состояния совершает движение вокруг сферы, запасенная энергия SSE , определяемая по формуле (2.15), не изменяется. Однако, модальная энергия, которая является «вкладом» каждой моды в SSE , изменяется в зависимости от направления вектора состояния.
Каждая мода, очевидно, будет характеризовать возбуждение системы в зависимости от степени связи с модальной энергией, которая зависит от меры взаимодействия ек и моды. Если Еы имеет сравнительно большие значения, это означает, что /-тая мода и к-я переменная составляющая имеют сильную связь. По существу, Ек! может рассматриваться как мера связи между к-ът состоянием И Ґ-ОЙ модой.
При возбуждении системы только по одной моде энергия системы также равна модальной энергии. Если Х\ расположена в левой части полуплоскости корней, SP, согласно (2.20), будет иметь отрицательные значения. Если один или несколько параметров системы подвергнуть изменениям, приводящим к перемещению собственных значений в правую полуплоскость, модальная энергия, которая в этом случае равна SP, изменяет знак и становится положительной, что приводит к беспредельному увеличению SSE. Это и есть признак неустойчивости[22].
Теперь предположим, что вектор состояния совпадает по направлению с одним из базисных векторов е . Тогда, согласно (2.18), для действительных собственных значений модальная энергия будет представляться действительным числом. Если изменять моду, которая имеет сильную связь с к-ым состоянием при положительной модальной энергии, величина Еы будет сравнительно большой. Соответствующая мощность Р\=\І(2Е будет иметь тот же знак, что и Я,-. Таким образом, доминантная модальная мощность изменяет знак, если система переходит в неустойчивый режим. Изменение знака доминантной модальной мощности может быть использовано в качестве граничного критерия апериодической неустойчивости.
В приложении к экологическим системам, где вектор состояния x(i) характеризует численность отдельных популяций, приведенные аналитические зависимости модальной мощности и энергии целесообразно интерпретировать, соответственно, как эквивалент модальной мощности и энергии и использовать изложенные теоретические положения для совершенствования процесса моделирования в теоретической экологии. Для получения аналитических зависимостей модальной мощности и энергии мы использовали системы линейно независимых векторов, на основании которых определялась ортогональная система, состоящая из п векторов. Если длина каждого вектора в ортогональной системе равна единице, то такую систему принято называть ортонормированной.
Если для заданного множества векторов xlt Х2 ,... хп требуется построить ортонормированную систему уц, у2і, узь— Упь то Для этои Цели целесообразно использовать процедуру ортогонализации Грамма - Шмидта.
Согласно процедуре, в качестве первого вектора системы yt можно выбрать произвольный вектор х{. Для определенности выберем yj—xj. Далее из исходной системы векторов выберем другой вектор х?. Теперь можно определить вектор у2, исходя из условия ортогональности yj и у2.
Дискретные динамические модели первого порядка со сложной динамикой
Прежде всего, мы рассмотрим модели, описываемые разностными уравнениями первого индекса, с которыми приходится встречаться в биологических, экономических, технических и социальных системах. Несмотря на то, что уравнения имеют достаточно простой вид и описывают детерминированные процессы, в динамическом поведении моделей наблюдаются самые разнообразные режимы. Это обстоятельство требует сосредоточения особого внимания на выборе структуры и параметров моделей, адекватных поведению реальных объектов и систем.
Изучение динамических свойств дискретных моделей, представляемых разностным нелинейным уравнением первого порядка, обычно сводилось к определению условий устойчивости путем линеаризации при допущении условия, что модель подвергается малым возмущениям, приводящим к малым приращениям координат состояния. Однако дальнейшие исследования показали, что простейшие нелинейные разностные уравнения обладают широчайшим спектром поведения — от устойчивости точек, через каскад устойчивых циклов — к режиму детерминированного хаоса, а затем к стохастическому режиму.
Для эффективного использования моделей данного класса следует остановиться кратко на обзоре результатов исследований в этом направлении. Мы остановимся на рассмотрении особенностей поведения нелинейной модели „), п=0,1,.... (3.1)" где f(.) - нелинейная функция. Предположим, что эта функция не аналитическая, т.е. она не может быть разложена в ряд.
В приложениях к моделям биологических популяций переменная состояния х имеет тенденцию роста на последующем шаге для малых значений на предыдущем, и тенденцию уменьшения - для больших JC. В начале координат f(0) 0\ функция монотонно возрастает в диапазоне 0 х А (/ (х) достигает максимума в точке х=А)\ монотонное уменьшение происходит при значениях х А. Функция может содержать один, либо несколько параметров, вариация которых оказывает существенное влияние на поведение (3.1). Иначе говоря, наблюдается высокая чувствительность модели к изменению параметров «настройки». Эти параметры, безусловно, имеют биологическую, экономическую, либо социологическую интерпретацию. Наиболее часто встречающиеся модели вида (3.1) содержат квадратичную нелинейность NM=N,(a-bNt),t=0,l, (3.2)
Это логистическое разностное уравнение. В пределе, когда Ь=0, с помощью (3.2) описывается чисто экспоненциальный рост популяции (для а 1). Для О квадратичная нелинейность определяет функцию, обладающую свойством строгой выпуклости. Крутизна функции зависит от параметра а. Вместо (3.2) часто используется ее каноническая форма, которая получается путем подстановки х = bNla; t=n : Хп аХп(\-Хп) (3.3)
В дальнейшем мы будем также использовать запись (3.3), в которой а=Фг: Х„+ї=4-г.Х„(1-Хп), (3.4) поскольку в этом случае диапазон вариации г можно установить неравенство 0 г /.Практические соображения, связанные с невозможностью получения отрицательных значений популяций на любом шаге, определяют ограничения диапазона изменения переменной состояния 0 х 1. В этой связи следует также отметить, что максимум/() соответствует х=0,5 и равен а/4. Уравнение (3.3) поэтому обладает нетривиальными свойствами, если а 4. Кроме того, все траектории сходятся в точке х=0, если а 1. Для уравнения (3.4) аналогичные свойства обеспечиваются при г 1 и r V..
В математической теории экологических процессов часто используется уравнение я+, = „-exp[r.(l-Xn)]. (3.5)
Оно также может быть отнесено к классу нелинейных систем (3.1). Модель (3.5) также описывает поведение популяции, соответствующее простому экспоненциальному росту при низких плотностях, и тенденцию к уменьшению численности популяции при высоких плотностях. Поведение модели весьма чувствительно к изменению параметра г. С помощью (3.5) принято описывать процессы роста популяций, вызывающих эпидемические болезни с высокими значениями плотности. Условия адекватности обеспечиваются, прежде всего, за счет экспоненциальной составляющей нелинейной функции.
Конечно, моделями (3.2) и (3.5) список динамических систем, простых в аналитическом описании, но сложных в изучении, ввиду большого разнообразия динамических свойств при неизменных структурах, вовсе не ограничивается [35] . В этой же работе, а также в работах [37], [40] можно найти большое число различных приложений, свидетельствующих (по названию последней работы) о важном научном направлении, связанным с изучением хаотических процессов и фракталей.
Остановимся кратко на анализе динамических свойств процессов, описываемых уравнением (3.1). Прежде всего отметим, что возможно определить равновесные значения (или «фиксированные точки») для переменной состояния X, если положить в установившемся режиме ХП+1=ХП=Х . В этом случае (3.1) становится алгебраическим нелинейным уравнением X = f(X ), (3.6) что соответствует нулевому значению роста популяции. Для решения (3.6) можно использовать графические методы, отображающие Хп в состояние Xn+i , которые представляются точками пересечения нелинейной функции с прямой, определяющей равенство Хп= Хп+1 (при одинаковых масштабах по осям абсцисс и ординат - это прямая в первом квадранте в декартовой системе координат под углом 45 и проходящая через начало координат. Для простой строго выпуклой функции с одним максимумом, представляемой уравнениями (3.3) и (3.5), существуют две таких точки: тривиальное решение Х=0 и нетривиальное решение X (которое для модели (3.3) равно Х =1- V).
Следующий вопрос, также связанный с устойчивостью модели в точке X , состоит в оценке ее поведения, если тангенс угла наклона нелинейной характеристики в точке пересечения с вышеупомянутой прямой будет изменяться. Наклон можно определить с помощью простого соотношения яо1(х.)=і_Ш.иі. (3.7) Из (3.7) следует, что если наклон поддерживается в диапазоне от 45 до - 45 (т.е. значения /I изменяются на интервале от 1 до -1), точка равновесия X будет устойчивой. Она будет обладать свойством притяжения, т.е. являться аттрактором для любой из наблюдаемых траекторий. В частности, модель (3.3) с наклоном 2-а будет обладать свойством притяжения всех траекторий к точке в начале координат в интервале 0 х 1, если и только если 1 а 3. За пределами этого интервала параметр а определяет совершенно иные свойства модели. Заметим, что координата состояния на (п+2)-ом интервале, согласно (3.1), равна хп+2 = Я и+1) = /[/( „)] = /(2)( „) (3.8) Используя вместо (3.8) выражение, соответствующее установившемуся режиму, мы получим алгебраическое уравнение X\=f2\X 2) (3.9) Пересечение кривой f(2)(X z)c прямой линией X„+, = Хп теперь будет происходить в двух точках, т.е. будет порождаться двухпериодический процесс. Если наклон характеристики (3.9), определяемый по уравнению (3.7) находится в интервале 0 Л,(2) 1, что соответствует углу наклона от 0 до 45, будет наблюдаться устойчивый режим при нетривиальном решении (3.9). Если же углы наклона нелинейной характеристики в точке пересечения с прямой будут таковы, что по абсолютному значению в системе (3.9) установятся двухпериодические колебания. Базовая точка при этом, соответствующая режиму Х.(1), является неустойчивой. В частности, двухпериодический цикл можно наблюдать в системе (3.3), если а=3.414. Тогда кривая f (Х 2) пересекает прямую (т.е. получается решение (3.9)) в трех точках. Между точками, соответствующими устойчивому двухпериодическому процессу, лежит базисная фиксированная точка, в которой процесс неустойчив. Дальнейшее увеличение параметра а порождает неустойчивость двухпериодического процесса и устойчивый четырехпереодическии цикл, а затем порождает также устойчивые циклы с периодами 8,16,32,64,...,2". Иначе говоря, каждый предшествующий процесс с периодом к с увеличением а становится неустойчивым, одновременно бифурцирует, в результате возникает устойчивый цикл периода 2к. Наконец, возникает режим детерминированного хаоса, который далее (при значениях а, близких к 4) будет иметь настолько \ «узкие» границы («окна») сохранения устойчивого t-периодического процесса, что они могут быть сравнимы с погрешностью «машинного нуля». В этом случае хаотический процесс практически становится стохастическим.
Моделирование генетических популяций на основе цепей Маркова
Марковские цепи используются для моделирования технологических процессов и поведения систем во многих областях науки и их предложениях. Концептуальные положения теории марковских цепей создают основу для их применения в таких разнородных областях, как техника, экология, социология, метеорология, генетика и др.[31].
Стохастический процесс называют цепью Маркова, если он обладает следующими свойствами: 1. Существует конечное множество исходов, включающее все возможные исходы всех испытаний. 2. Вероятность появления исхода Sj при (к+1) - ом использовании Pk+i (Si) известна, если известен исход к- го испытания, хотя информация об этом исходе не обязательно используется. 3. Зависимость вероятности PK+i(Si) от исхода к- го испытания инварианта относительно к, т.е. она одна и та же, например, для испытания к=2 и к=1000. 4. В марковской цепи информация о предшествующих испытаниях, а также относительно номера проводимого испытания не влияет на вероятности будущих событий, если известен последний исход.
Цепь Маркова содержит множество исходов (элементов), включающее всю совокупность исходов {S}, S2, ..., S„J при всех возможных испытаниях. По традиции эти исходы называются состояниями)" 161. Поэтому говорят, что марковская цепь находится в состоянии 5,- в момент времени к, если исход ,-произошел в момент к. Если при некотором испытании произошел исход Sit, а при следующем испытании появится исход Sj_, то можно ввести число Рф которое представляет собой вероятность перехода цепи из состояния с индексом і в состояние с индексов j. Числаpij переходных вероятностей обычно представляются в матричной форме с помощью матрицы переходов (переходной матрицы) цепи Маркова.
Это квадратная матрица, обладающая тем свойством, что сумма элементов каждой ее строки равна единице. Поскольку элементами Р являются вероятности, то все они положительны: ру 0. Если считать каждую строку вектором, состоящим из неотрицательных чисел, то можно воспользоваться термином «вероятностный вектор». Матрица, состоящая из вероятностных векторов — стохастическая матрица, которая определяется соответствующей цепью Маркова. Можно также сказать, что каждой стохастической матрице соответствует цепь Маркова, состояния которой определяются строками. Элементы строки — переходные вероятности.
Заметим, что данные таблицы могут использоваться для анализа процессов доминантно-гибридного скрещивания и гибридно-гибридного скрещивания растений. В теории наследственности используются модели, основанные на вероятностных способах предсказания, что вызвано существованием в естественных условиях колебаний, которые не определяются детерминированными методами, а также при проведении ограниченного числа экспериментальных исследований.
Вероятности, приведенные в таблице 4.1 для различных спариваний, определены следующим образом. Вероятность того, что первое потомство имеет форму А]А] родителя мужского пола, равна fo. Такое же значение имеет вероятность того, что форма родителя женского пола также соответствует A]Aj.
Рассмотрим численный пример генной модели применительно к генотипу человеческого организма. Человеческий генотип был установлен сначала по эксперименту, проводимому на кроликах. Когда человеческие красные кровяные тельца были введены в кровяной поток кроликов, в иммунной системе кроликов возникли реакции (выработка антител). Однако кровь от разных людей вызвала различные реакции, по которым были установлены три различных человеческих генотипа, классифицированных группами MM, MN и NN. В группе, состоящей из 104 индейцев Северной Америки, были обнаружены 61 MM, 36MNVL 7NN индивидуумов.
Положим, что л частота гена М и у=1-х — частота гена N. Если генные процессы подчиняются условию равновесия по Харди — Вейнбергу, то частоты генотипов MM, MN и JY7V, должны быть, соответственно, равны х2,2ху к у2. Теперь мы можем вычислить генные частоты и проверить, подчиняются ли частоты генотипов ранее установленным теоретическим положениям.
Рассмотрим поведение конечной по численности популяции и, в частности, изменения генных частот при численности N диплоидных индивидуумов и сосредоточим внимание на генотипах AJAJ, AjA2 и А2А2. В воспроизводстве участвует фиксированное число генов, равное 2N. Предположим, что численность популяции на определенных временных интервалах сохраняется постоянной. Для аналитического описания модели введем следующие обозначения:
Похожие диссертации на Информационное обеспечение и моделирование элементов экологического и технико-экономического комплекса управления регионом
