Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ методов и средств идентификации электроэнергетических процессов в электродуговых печах 12
1.1 Особенности электротехнологических процессов в электродуговых печах 12
1.2 Задача автоматизации текущего контроля внутренних электроэнергетических параметров и переменных при управлении технологическими процессами в электродуговых печах 16
1.3 Задача идентификации внутренних недоступных прямому измерению электроэнергетических параметров и переменных зон ванны электро дуговых печей 21
1.4 Анализ существующих методов идентификации и оперативного контроля электротехнологических процессов в ванне электродуговых печей 25
1.5 Цели и основные задачи исследования.,.,. 33
2 Нелинейные схемные модели электродуговых процессов и их параметризация на основе ортогональных многочленов : 35
2.1 Обобщенные нелинейные схемные модели относительно сигналов тока и напряжения 35
2.2 Параметризация характеристик обобщенных нелинейных моделей на основе ортогональных многочленов 49
2.3 Выводы 52
3 Алгоритмы параметрической идентификации нелинейных схемных моделей электроэнергетических процессов в режиме нормальной эксплуатации 54
3.1 Прямое определение параметров из уравнений нелинейных моделей по рабочим сигналам., 54
3.2 Параметрическая идентификация нелинейных схемных моделей на основе минимизации квадратичного критерия 59
3.3 Алгоритм определения параметров схемных моделей по непрерывным и дискретным сигналам на основе минимизации квадратичного критерия62
3.4 Определение параметров моделей при спектральном представлении непрерывных и дискретных сигналов тока и напряжения 68
3.5 Методика анализа погрешности определения параметров моделей при идентификации 74
3.6 Выводы 76
4 Аналитическая инженерная методика параметрической идентификации 78
4.1 Аналитическое определение параметров нелинейных характеристик схемных моделей в базисе степенных функций 78
4.2 Определение параметров нелинейных характеристик схемных моделей в базисе ортогональных многочленов Чебышева 91
4.3 Определение параметров нелинейных характеристик схемных моделей в базисе ортогональных многочленов Лежандра 98
4.4 Определение параметров нелинейных характеристик моделей при несинусоидальных полигармонических сигналах тока с преобладающей первой гармоникой 101
4.5 Декомпозиция задач идентификации параметров нелинейных характеристик статической и динамической частей обобщенной схемной модели 115
4.6 Выводы 125
5. Экспериментальные исследования, идентификация и автоматизированный контроль электротехнологических процессов в промышленных электропечах 127
5.1 Программный комплекс идентификации и исследования электроэнергетических процессов в дуговых печах 127
5.2 Методика определения электроэнергетических параметров подэлектродных зон ванны промышленных электропечей на основе идентифицированных параметров и нелинейных характеристик обобщенных моделей 146
5.3 Особенности использования ОРС-сервера 154
5.4 Экспериментальная проверка системы идентификации 161
5.5 Идентификация схемных моделей процесса выплавки феррованадия в промышленной электродуговой печи ДС-6Н1 166
5.6 Текущий контроль электродугового процесса плавки металлоотсева в промышленной сталеплавильной печи177
5.7 Выводы 180
Заключение 182
Список литературы 184
Приложение 201
- Особенности электротехнологических процессов в электродуговых печах
- Задача идентификации внутренних недоступных прямому измерению электроэнергетических параметров и переменных зон ванны электро дуговых печей
- Прямое определение параметров из уравнений нелинейных моделей по рабочим сигналам.,
- Программный комплекс идентификации и исследования электроэнергетических процессов в дуговых печах
Введение к работе
Актуальность работы. Одним из решающих условий повышения эффективности электродуговых рудно-термических и сталеплавильных печей (ЭДП) является снижение их энерго- и материалоемкости. Получение целевых продуктов в ЭДП (ферросплавов, стали, карбидов, минеральных удобрений и других продуктов) происходит за счет тепловой энергии, выделяемой при прохождении переменного электрического тока через токопроводяшую среду печи. Преобразование электрической энергии в тепловую совершается при прохождении электрического тока через зоны токопроводящей среды, отличающиеся агрегатным состоянием материалов: твердую шихту, жидкий расплав металла или шлака и электрическую дугу. Развитие электрической дуги позволяет обеспечить высокую концентрацию энергии и необходимую температуру, как для протекания реакций восстановления, так и для плавления тугоплавких материалов.
В настоящее время возрастают требования к уровню информационного обеспечения и автоматизированного управления электропечами, к поиску и поддержанию рациональных электроэнергетических режимов работы, обеспечивающих экономию сырьевых и энергетических ресурсов. Возрастают требования экологии к электротермическим производствам. Одной из первоочередных и важнейших задач, возникающих при автоматизации ЭДП, является идентификация и оперативный контроль электроэнергетических параметров зон токопроводящей среды, недоступных для непосредственного наблюдения.
В ходе оперативного управления ЭДП, для обеспечения преобразования электрической энергии в тепловую с наибольшим технологическим эффектом, должны обеспечиваться определенная степень развития электрической дуги и распределение энергии по зонам электропечи, при которых протекали бы главным образом реакции получения целевого продукта при минимальном развитии побочных процессов. Определение в ходе технологического процесса электроэнергетических параметров и характеристик токопроводящей среды в электропечах позволяет осуществлять непрерывный контроль важнейших технологических переменных и является основой оперативного управления электротехнологическими процессами (ЭТП).
Сложность получения текущей информации о преобразовании и распределении энергии в ванне ЭДП обусловлена высокой температурой и агрессивной средой в зонах плавления, невозможностью прямого измерения электроэнергетических параметров подэлектродных зон, взаимными связями между электродами. Существующие методы и системы контроля трудно реализуемы в результате сложности моделей электродуговых печей, или основаны на существенных допущениях, что снижает точность и достоверность результатов. Чаще всего они позволяют получать информацию только о внешних интегральных энергетических параметрах, что не достаточно.
Анализ литературных источников и экспериментальные исследования проведенные на промышленных ЭДП показали, ""-. цды<гшрг~ аги* кдатними
PUC КМ "<Ж*Л|,|Ц' ВИМ-.ІТЕК4
Щ *Ш.
моделями электроэнергетических процессов (ЭЭП) для целей эксплуатации и управления являются схемные модели. Перспективным является построение систем автоматизированного контроля на основе методов идентификации нелинейных схемных моделей токопроводяшей среды ЭДП в ходе нормальной эксплуатации. Состояние и ход технологического процесса отражается в электрических свойствах зон токопроводящей среды и электрической дуги, внешним проявлением этих свойств являются временные функции и спектральный состав рабочих токов и напряжений на электродах, через которые осуществляется подвод электрической энергии.
Таким образом, является актуальной разработка и исследование методов идентификации и оперативного контроля, недоступных для прямого наблюдения параметров и переменных электроэнергетических процессов в электродуговых печах. Решение этой задачи проводится в настоящей работе на основе идентификации нелинейных схемных моделей токопроводящей среды печи без вмешательства в технологический процесс, по периодическим сигналам рабочих токов и напряжений, при представлении нелинейных характеристик моделей в базисе ортогональных многочленов.
Исследования, проводимые по теме диссертации, выполнялись в соответствии с планами НИР ТулГУ.
Объектом исследования являются электроэнергетические процессы в зонах токопроводящей среды электродуговых печей.
Предметом исследования являются методы и алгоритмы идентификации нелинейных схемных моделей и автоматизированного оперативного контроля электроэнергетических процессов в режиме нормальной эксплуатации по периодическим сигналам рабочего тока и напряжения.
Выдвигаемая гипотеза исследований: класс существующих методов, алгоритмов, средств идентификации и оперативного контроля ЭЭП может быть расширен, упрошена их реализация, повышена точность и эффективность при использовании в качестве базисных функций в представлении нелинейных характеристик моделей ортогональных многочленов. При этом решение задачи идентификации нелинейных схемных моделей для ряда электротехнологических процессов может проводиться аналитически.
Целью работы является повышение точности и эффективности методов и средств автоматизации оперативного контроля электроэнергетических процессов в ЭДП на основе идентификации нелинейных характеристик схемных моделей ЭЭП в базисе ортогональных многочленов в режиме нормальной эксплуатации.
В работе ставятся и решаются следующие задачи исследования:
анализ методов получения информации о преобразовании энергии, электроэнергетических параметрах недоступных для наблюдения зон токопроводящей среды ЭДП в процессе нормальной работы;
построение для целей идентификации и оперативного контроля обобщенных нелинейных схемных моделей электроэнергетических процессов в ЭДП, на основе представления нелинейных характеристик в базисе ортогональных многочленов, отражающих внутреннюю зонную
нальных многочленов, отражающих внутреннюю зонную структуру токопро-водящей среды, электроэнергетические параметры подэлектродных зон, нелинейность электрической дуги;
разработка алгоритмов параметрической идентификации обобщенных нелинейных моделей электроэнергетических процессов в режиме нормальной эксплуатации по периодическим сигналам рабочего тока и напряжения, представленным в дискретной и спектральной форме на основе минимизации квадратичного критерия;
разработка инженерной методики аналитического определения параметров нелинейных характеристик схемных моделей по гармоническим составляющим тока и напряжения электродов при представлении нелинейных характеристик статической и динамической частей в базисе степенных функций и ортогональных многочленов Лежандра и Чебышева;
разработка, практическая реализация, экспериментальные исследования и применение в промышленности программного комплекса идентификации и исследования электроэнергетических параметров ЭДП в режиме нормальной эксплуатации.
Методы исследования. В работе использовались методы построения и идентификации моделей, теории автоматического управления, теории нелинейных цепей, теории аппроксимации, теории матриц, преобразования Фурье. Исследование методов и систем оперативного контроля проводилось на основе цифрового моделирования, на опытных установках и промышленных объектах.
Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена математическими доказательствами полученных результатов, компьютерным моделированием, экспериментальными исследованиями, опытно-промышленными испытаниями и практической реализацией разработанных методов и систем.
Научная новизна работы.
Разработана новая методика аналитического определения параметров нелинейных характеристик моделей ЭДП при представлении их в базисе ортогональных многочленов, позволяющая снизить вычислительную сложность за счет проведения декомпозиции процедуры нахождения параметров статической и динамической части, и повысить точность расчета электроэнергетических параметров, в сравнении с ранее существующими методиками определения параметров в базисе степенных функций.
Практическая ценность работы.
Разработаны алгоритмы параметрической идентификации нелинейных моделей электроэнергетических процессов в режиме нормальной эксплуатации по периодическим сигналам рабочего тока и напряжения, представленным в дискретной и спектральной форме на основе минимизации квадратичного критерия при представлении нелинейных характеристик статической и динамической частей модели в базисе ортогональных многочленов.
Разработана инженерная методика и простые в реализации алгоритмы
автоматизированного контроля недоступных для непосредственного измерения электроэнергетических параметров трехэлектродных электропечей, позволяющие определять активные и реактивные мощности, сопротивления и ВАХ подэлектродных зон (дуги, расплава, шихты) при ограничении количества измеряемых гармонических составляющих сигналов тока и напряжения в процессе нормальной эксплуатации.
Разработан программный комплекс автоматизированного оперативного контроля и исследования электроэнергетических процессов в ЭДГТ по рабочим токам и напряжениям в режиме нормальной эксплуатации. Комплекс позволяет проводить исследование различных типов ЭЭП в дуговых печах, анализировать их эффективность, определять степень развития и мощность электрической дуги, выбирать рациональные режимы работы. Практические исследования алгоритмов контроля на экспериментальных данных промышленных ЭДП позволили модифицировать существующие системы идентификации и повысить их эффективность.
Реализация результатов работы. Предложенные в диссертации методы и программный комплекс идентификации и исследования внутренних параметров и переменных электроэнергетических процессов в ЭДП прошли опытно-промышленные исследования на экспериментальных данных конкретных технологических процессов в ОАО "Ванадий-Тула" и используются при разработке систем управления электротехнологическими процессами. Разработанные методы и средства используются в учебном процессе на кафедре ATM ТулГУ.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались: на Второй Всероссийская научно-практической конференции "Системы управления электротехническими объектами" (Тула, 2002), XV Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-15 (Тамбов, 2002), Международной научно-техническая конференция "Компьютерные технологии в управлении, диагностике и образовании" (Тверь, 2002), XVI Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-16 (Ростов-на-Дону, 2003), XVII Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-17 (Кострома, 2004), 5-ой Международной конференции «Компьютерные технологии в соединении металлов - 2004 (Тула, 2004), XVIII Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" ММТТ-18 (Казань, 2005).
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 12 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, выводов по результатам исследований, библиографического списка из 163 наименования и приложения. Основная часть работы изложена на 200 страницах. Работа содержит 45 рисунков и 22 таблицы.
Особенности электротехнологических процессов в электродуговых печах
В электродуговых печах (ЭДП) в настоящее время проводят широкий спектр технологических процессов, таких как получение ферросплавов: сплавов железа с кремнием, марганцем, хромом, ванадием и другими элементами; процессы химической электротермии: возгонка желтого фосфора, получение карбидов, абразивных материалов; вьтлавка штейнов и шлаков, ферровольфрама и ферроникеля; выплавка высоколегированных сортов стали и т.д.
Особенность рассматриваемых электротехнологических процессов (ЭТП) в электропечах состоит в том, что получение целевого продукта происходит за счет тепловой энергии, выделяемой при прохождении электрического тока через подэлектродную среду ванны [9], содержащую исходное сырье, промежуточные и конечные продукты, недоступную для прямого контроля. Состояние и ход технологического процесса отражается в свойствах зон подэлектродной среды как токопроводящей среды, а внешним проявлением электрических свойств подэлектродных зон являются временные функции и спектральный состав сигналов тока и напряжения на электродах, через которые осуществляется подвод электрической энергии. Электродуговые печи в которых реализуются такие процессы являются печами прямого нагрева или прямого действия [33].
Обеспечение высокой концентрации энергии при весьма высоких температурах осуществляется с помощью электрической дуги, существующей в подэлектродных зонах печи в большей или меньшей степени [И]. Технологические процессы такого типа в настоящее время эксплуатируются в черной и цветной металлургии, в химической и стекольной промышленности, в машиностроении, а также при решении ряда экологических задач [18].
Основная часть электротехнологических процессов проводимых в электродуговых печах реализуется в руднотермических и сталеплавильных печах. Руднотермические процессы объединяют в себе рудовосстановительные и рудоплавильные процессы.
Рудовосстановительные процессы (РВП) применяют для получения ферросплавов, карбидов, фосфора, карборунда и т.д. При протекании рудовосстановительных процессов одновременно с нагревом руды производиться восстановление окислов руды за счет восстановителя, с образованием целевого продукта, содержащего один или несколько химических элементов [16].
К процессам рудной плавки, в основе которых лежит переплав и разделение расплава по удельному весу, относятся: выплавка штейнов и шлаков в цветной металлургии, а также выплавка ферровольфрама и ферроникеля. В рудоплавильных печах нагрев руды сопровождается лишь ее расплавлением без проведения химических реакций. Целью расплавления может быть гомогенизация нескольких окислов, или сегрегация (разделение) составляющих с целью получения более чистых продуктов.
Рудовосстановительные и рудоплавильные печи образуют класс руднотермических печей (РТП), являющийся наиболее широким и сложным классом электропечей прямого нагрева использующих дуговой нагрев [24], различающихся по назначению, особенностям технологического процесса и конструктивного исполнения. Промышленные РТП строят в основном трехфазными трех- и шестиэлектродными с круглой или прямоугольной ванной. Мощности руднотермических печей составляют от 1,5 до 80 МВ-А. В настоящее время установленная мощность РТП достигла 80—100 МВ-А и имеются предпосылки дальнейшего увеличения единичной мощности агрегатов [21]. Большим разнообразием конечного продукта характеризуются ферросплавные [31] рудовосстановительные электропечи, структура которой раскрыта на рис. 1.1.
Сырье, применяемое для получения ферросплавов, состоит из трех основных групп компонентов: руды, агломерата или концентрата, содержащих ведущий элемент; восстановителя, чаще всего кокса; в некоторых случаях флюсов и железосодержащей части. В каждом конкретном технологическом процессе шихта составляется из различного набора сырьевых материалов.
Подготовленные компоненты шихты системой поточно-транспортных средств подаются в дозировочное отделение, откуда дозированная шихта подается в печь, где она расплавляется в результате нагрева с помощью электроэнергии, вводимой в ванну печи через электроды от специальных печных трансформаторов. В электропечи протекают восстановительные процессы, в ходе которых оксиды ведущих элементов восстанавливаются совместно с железом, содержащимся в шихте. В результате физико-химических процессов на подине печи накапливаются сплав и шлак, которые периодически или непрерывно выпускаются через летки.
Для большинства технологических процессов получения ферросплавов в электропечах температура восстановления оксидов и образования необходимых соединений лежит в пределах 1500—2000С. Протекающие в ходе процесса реакции в основном резко эндотермичны, поэтому технологические процессы получения ферросплавов весьма энергоемки. Удельный расход электроэнергии в зависимости от марки сплава составляет отЗ до 12МВт-ч/т.
Большая энергоемкость процесса является одной из причин применения печей большой мощности, так как с увеличением единичной мощности печей снижается доля потерь в общем балансе энергии, повышается производительность печи на единицу вводимой мощности и снижается удельный расход электроэнергии. Относительно небольшая экономия электроэнергии при автоматизации дает значительный экономический эффект [8].
Задача идентификации внутренних недоступных прямому измерению электроэнергетических параметров и переменных зон ванны электро дуговых печей
Для обеспечения эффективного ведения технологического процесса в электродуговых руднотермических печах кроме обеспечения заданной или максимально возможной активной полезной мощности в цепи каждого электрода необходимо рациональное, требуемое технологией развитие электрической дуги и распределение энергии по внутренним зонам ванны печи, недоступным для непосредственного контроля, обеспечивающее требуемый температурный режим, разогрев и расплавление шихты, интенсивность протекания восстановительных реакций.
Как отмечалось ранее, важнейшим электроэнергетическим параметром, определяющим интенсивность протекания востановительных процессов, является мощность электрической дуги, которая для каждого процесса должна находиться в определенных пределах. Обеспечение необходимого соотношения и величины мощностей во внутренних зонах ванны печи, в дуге, шихте и расплаве и управление на основе этого электротехнологическим процессом возможно только на основе решения проблемы оперативного контроля мощности и электрических параметров этих недоступных зон в ходе технологического процесса.
В бесшлаковых процессах (выплавка ферросилиция различных марок и ферросиликохрома) основным элементом, задающим распределение тока и определяющим стабильность режима плавки, является зона шихты и ее электрическое сопротивление. Сопротивление зоны шихты зависит в основном от электропроводности шихтовых материалов и особенно от содержания в шихте высоко проводящего восстановителя - кокса. Сопротивление шихты и зоны расплава имеют близкие значения, наибольшее сопротивление имеет электрическая дуга. Средняя мощность, вьщеляемая на сопротивлении шихты, составляет 60-90 %, на сопротивлении дуги 6-25 %, на сопротивлении расплава 8-15 % общей мощности цепи электрода [б].
Уменьшение сопротивления шихты является признаком наличия в шихте и накопления в печи большого избытка углерода. Высокое сопротивление расплава указывает на зарастание подины оксидно-кремниевыми образованиями. Изменение сопротивления зоны расплава во времени носит циклический характер. В период выпуска оно растет по мере того как металлический расплав освобождает поры (полости) оксидно-карбидной основы гарнисажа. Последующее их заполнение новой порцией сплава вновь вызывает снижение сопротивления этой зоны.
В результате этих явлений при относительном равенстве результирующих активных сопротивлений цепей электродов, распределение энергии по зонам имеет разный характер с существенным различием мощности дуги. При уменьшении сопротивления шихты происходит снижение тока в цепи дуга-расплав и соответственно мощности дуги, что приводит к торможению процесса восстановления и образования сплава.
При проведении шлаковых процессов (выплавка ферро- и силикомарганца, углеродистого феррохрома, возгонка фосфора) подавляющая часть тока 85-95 % проходит по цепи шихта-расплав, минуя электрическую дугу. В основном мощность дуги составляет около 5 % от мощности электрода. В период выпуска сплава, а также в случаях недостатка углерода в шихте мощность дуги увеличивается до 10-15 %. Доля энергии, выделяющейся на сопротивлении шихты, шунтирующем дугу, может составлять 20-30 %. Основная доля электроэнергии 60-90 % преобразуется в тепло на сопротивлении коксошлакового слоя между торцом электрода и расплавом.
Доя удовлетворения необходимой теплопотребности в зоне термохимических превращений необходимо обеспечивать достаточную мощность в зоне дуги и шихты [6]. Контролируемыми параметрами в данном случае могут выступать как отношение мощностей в цепи электрода в целом и в расплаве, так и отношение их сопротивлений n = Z0/Zp или падений напряжения в этих зонах. Кроме того, контроль отношения сопротивлений шихта-дуга и расплава 2-щ„д1%р может служить критерием управления составом шихты. Отклонение содержания восстановителя в шихте от нормы приведет к увеличению (при недостатке углерода), или к уменьшению (при избытке) этого отношения от нормального уровня.
В работе [19] показано для целого ряда технологических процессов, что определение кроме распределения мощности в ходе технологического процесса электрического сопротивления подэлектродных зон ванны электропечей, позволяет осуществлять непрерывный контроль таких важных технологических параметров, как уровень и состав расплава в печи, степень восстановления целевых продуктов, содержание в реакционной зоне восстановителя, необходимость корректировки подачи шихтовых материалов, определения времени вскрытия летки в периодических процессах и необходимость перепуска электродов. Однако реализация такого контроля затруднена в результате нерешенности проблемы текущего оперативного контроля электрических параметров и характеристик подэлектродных зон электропечей.
В ДСП процесс плавки стали и сплавов является периодическим и цели управления в каждом из периодов различны [33]. В период расплавления для быстрого перевода шихты в жидкое состояние и создания высокой рабочей температуры в печь вводится максимальная мощность. В окислительный и восстановительный периоды в печь вводится мощность, необходимая только для компенсации тепловых потерь, расплавления легирующих добавок и компенсации затрат тепла на эндотермические реакции.
Электротехнологический режим ДСП может задаваться и контролироваться по различным параметрам [8], из которых важнейшими являются фазные токи электродов, напряжения и мощности дуг, коэффициенты износа футеровки. В период расплавления стремятся к симметрии мощности дуг по фазам, а в технологические периоды- к симметрии коэффициента износа футеровки. Однако строгое симметрирование одного из параметров приводит к значительной (до 12-15%) асимметрии других. В результате многочисленных исследований и экспериментов было показано, что удачным компромиссом в указанном выше смысле является режим симметрирования напряжений дуг на протяжении всей плавки с определенными значениями отношения напряжения дуг к фазному напряжению на различных интервалах.
Прямое определение параметров из уравнений нелинейных моделей по рабочим сигналам.,
При детерминистском подходе к идентификации схемных моделей предполагается, что цепь электрода и его параметризованная обобщенная схемная модель описываются полученным ранее нелинейным дифференциальным уравнением (2.6), а входные и выходные сигналы тока и напряжения электрода x(t) и y(t) являются детерминированными вещественными функциями времени, которые в установившемся режиме являются периодическими с периодом Г (1.10) частоты питающей сети.
В ходе технологических процессов множества сигналов рабочего тока и напряжения ограничены. При этом входные и выходные сигналы: принадлежат эксплуатационным областям х(і)єХ3; y(t)eY3. Под эксплуатационными областями Хэ е1г[0,Тэ];Уэ е?[0,Тэ] входных и выходных сигналов понимаются те множества функций x(t) и y(t), которые могут иметь место в процессе эксплуатации. В идентификационных экспериментах, в качестве которых рассматриваем режимы нормальной работы, а в общем случае и специально создаваемые режимы, переменные x(t\y(t) измеряемые непрерывно на интервале [0,ТЭ] или дискретно в моменты времени Ц [0,ГЭ], i—UN подчинены условиям: х(0єХаХ3; у(1)еГс:Гэ, (3.1) где XtY - функциональные пространства, определяющие множество функций x(t), y(t) в идентификационных экспериментах.
В результате регистрации сигналов в процессе нормальной работы или проведения идентификационных экспериментов в течение некоторого интервала времени получены множества функций (3.1). Ввиду того, что нелинейные функции F(x,a) активных и S(.x,P) реактивных элементов параметризованы на основе разложения в базисе ф k(x) и считаются известными с точностью до векторов параметров аир, которые входят в уравнение модели линейно: от Итс п 1Р Ф И0] +2О Ф4 (0]= (0- (3.2) При измерении входного сигнала тока x(t) и его производной можно сформировать с помощью нелинейных преобразований сигналы известных базисных функций разложения нелинейных характеристик Ф СО —Ф [х(0] , , ... cftp k[x(t)] ФМО]" . ... -J. и на основе уравнения модели (3.7) сформировать dx выходной сигнал модели yM(t), чему соответствует структура на рисунке 3.1. Более простую структуру формирования сигнала модели можно получить на основе представления дифференциального уравнения модели в виде (2.2) относительно производных сигналов базисных функций Р +ІВД» ИО]=Й,«. (3.3)
Сигналы производных базисных функций могут быть получены как путем непосредственного дифференцирования так и путем вычисления при измерении производной сигнала x(t)
При этом неизвестные параметры модели определяются на основе решения уравнений, получающихся путем подстановки в уравнение модели последовательностей измеренных временных функций входных и выходных величин реального объекта. Это означает, что реальный измеренный выходной сигнал и сигнал модели совпадают.
Одним из путей определения параметров из уравнения модели (3.5) является использование последовательностей мгновенных значений переменных x(t)ny(t), измеренных в дискретные моменты времени tt е[0,Гэ], і = l,N в процессе нормальной работы или проведения эксперимента. При таком подходе идентификация будет проводится в классе дискретных моделей Пт$] г + Пх(і),а.] = У(і)., (3.6) at где / пробегает ряд значений /=1,2,...,N; соответствующих дискретным моментам времени /,-, временные функции сигналов (/) и y(t) заменяются на последовательность измеренных значений сигналов объекта в дискретные моменты времени x(i) = Х( І) и y(i) = y(tf). На основе линейной параметризации функций производится формирование системы алгебраических уравнений линейных относительно неизвестных параметров т п ІІ М0+ІЗД А(0М0»/=: 2,3, N. (3.7) к=\ к=\ Количество дискретных отсчетов определяет число уравнений в системе. Если полученная система имеет единственное решение, то оно однозначно определяет величину неизвестных параметров а и р. Минимальное количество дискретных отсчетов, определяющее число уравнений в системе (3.7) может быть взято равным числу неизвестных параметров N = (/и+и). Полученная система (3.7) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров в матричной форме будет иметь вид: NW Ч ФГ.Ф? P„"HPr,aT = Y", (3.8) где 4 , р ,Y - вектор столбцы размерности N, образованные из дискретных отсчетов базисных функций Ч/ (і) Ф (0 и переменной y(i). Если квадратная матрица системы М = [ Р1ЛГ,Чг2Г,...,Ч дi(pf ,4) ,...,(() ] размерностью (n+m)x(n+m), образованная из вектор столбцов дискретных отсчетов сигналов базисных функцийуу к(і), ср д(/), невырождена, то неизвестные параметры определяются из решения системы (3.8) однозначно: [$T,aT]T = M.-lYN. (3.9)
Для невырожденности матрицы М дискретные осчеты сигналов должны быть такими, чтобы вектор столбцы отсчетов сигналов базисных функций были линейно независимыми. Однако снятие N дискретных отсчетов соответствующих переменных не гарантирует невырожденность матрицы М, она может оказаться плохо обусловленной и тогда найти решение на практике бывает трудно.
Для обеспечения линейной независимости вектор столбцов отсчетов сигналов базисных функций необходимо брать количество дискретных отсчетов превышающее число неизвестных параметров. При этом в системе (3.7) количество уравнений будет превышать количество неизвестных и решение можно получить на основе псевдообращения матрицы М. Если матрица М, в которой число строк превышает число столбцов, имеет полный ранг и число линейно независимых строк равно числу неизвестных, то полученное решение является одновременно единственным решением системы (3.8).
Программный комплекс идентификации и исследования электроэнергетических процессов в дуговых печах
Разложение нелинейных характеристик эквивалентного резистивного и индуктивного элементов обобщенных схемных моделей по системе линейно-независимых базисных функций (2.33) в задачах параметрической идентификации приводит к необходимости определения спектральных составляющих периодических сигналов, формируемых базисными функциями ф [ ( )] и их производных t/q jfc[je(f)]/ # при действии на их входе измеряемых сигналов (/) переменного тока, в общем случае несинусоидальных, имеющих некоторый спектральный состав.
Так, если нелинейная характеристика статической резистивной частипредставлена в виде разложения по системе линейно-независимых базисных функций, то реакция такой нелинейности на входной сигнал x(t) будет определяться суммой откликов базисных функций Дх(О) , взятых с соответствующими коэффициентами (рис 4.1,а). Спектр выходного сигнала также будет представлять собой соответствующую сумму спектров выходных сигналов базисных функций (4.1). Для динамической индуктивной части выходной сигнал и его спектр определяются соответственно линейной комбинацией производных сигналов базисных функций или спектров (рис. 4.1,б,в,г).
Для определения неизвестных коэффициентов аппроксимирующих многочленов необходимо формировать системы алгебраических уравнений, матрицы которых состоят из векторов спектральных составляющих сигналов заданном входном сигнале x(t), при известном его спектре, спектр сигналов базисных функций можно определить с помощью преобразования Фурье, сформировав эти сигналы с помощью соответствующих нелинейных преобразований [51] из входного сигнала x(t)t или выразив его аналитически через спектральные составляющие входного сигнала x(t). Спектры производных сигналов базисных функций выражаются непосредственно через спектры самих базисных функций на основе дифференцирования преобразования Фурье непрерывных функций (3.54). Применяя для аппроксимации нелинейностей различные системы базисных функций, построенные на основе степенных функций (многочлены Лежандра, Чебышева), необходимо определять спектры сигналов базисных функций для каждой системы при каждом заданном входном сигнале.
В том случае когда сигнал х( содержит только одну гармоническую составляющую можно аналитически определить спектральный состав сигналов базисных функций. Так, при использовании в качестве базисных функций для аппроксимации нелинейных характеристик степенных функций рк{х) = хк , спектральный состав сигналов формируемых степенными функциями х О можно определить на основе определения спектра произведения двух функций времени с известным спектром на основе операции свертки [49].
При известном спектре исходного сигнала XW можно последовательно рассчитывать спектры степеней этого сигнала как спектры произведений двух функций:
Как видно при гармоническом косинусоидальном сигнале каждая степенная функция содержит только косинусоидальные составляющие гармоник, причем не имеет гармонических составляющих с номером большим ее степени. Амплитуды гармоник степенных функций пропорциональны соответствующей степени амплитуды первой гармоники входного сигнала. При этом матрица косинусоидальных составляющих системы (4.17) будет иметь следующий вид а матрица синусоидальных составляющих будет нулевая Ms - 0. При нормировании входного сигнала к единичному диапазону, когда амплитуда ХІС = 1, элементы матрицы Мс не будут зависеть от величины входного сигнала, она будет постоянна и на ее основе формируется система уравнений относительно неизвестных параметров
Правая часть системы представляет собой вектор амплитуд гармонических составляющих приведенного выходного сигнала, каждая составляющая представлена своим относительным значением по отношению к амплитуде входного сигнала fkc = Yke/Xim , P=yfa/xlm. Система состоит из двух независимых подсистем относительно коэффициентов статической и динамической частей
Матрица системы (4.5) статической безинерционнои части состоит из векторов спектральных составляющих сигналов степенных функций, вектор правой части содержит косинусоидальные составляющие выходного сигнала. Матрица системы (4.6) относительно коэффициентов динамической части состоит из векторов спектральных составляющих производных сигналов степенных функций, вектор правой части содержит синусоидальные составляющие выходного сигнала. Поскольку соответствующие матрицы систем (4.5), (4.6) треугольные, то решение находится в аналитическом виде.
