Содержание к диссертации
Введение
1. Проблема оптимизации технологических процессов тепломассопереноса 11
1.1 Общая постановка задачи 11
1.2 Примеры постановки задач оптимизации технологических процессов тепломассо переноса 21
1.3 Обзор методов решения 26
1.4 Модельная задача оптимального быстродействия 32
2. Алгоритмы оптимального по быстродействию управления типовыми объектами тепломассопереноса 36
2.1 Метод редукции к дуальной вариационной задаче 36
2.2 Аналитические приближения для линии переключения оптимального по быстродействию управления на координатно-временнои плоскости при управлении объектом второго порядка. 44
2.3 Аналитические приближения для линии переключения при управлении объектом третьего порядка. 72
3. Краевая задача оптимального быстродействия 82
3.1 Общая характеристика точного метода решения краевой задачи оптимального быстродействия. 82
3.2 Свойства результирующих состояний и расчетные системы уравнений . 86
3.3 Методика решения краевой задачи и анализ результатов. 90
4. Задача быстродействия с фазовым ограничением 108
4.1 Оптимальное управление на участках движения по ограничению 108
4.2 Краевая задача оптимального быстродействия с учетом фазового ограничения 118
5. Оценка конечномерных приближений в задаче оптимального управления процессом тепломассопереноса 123
5.1 Постановка задачи оценки конечномерных приближений алгоритмов оптимального быстродействия 123
5.2 Эквивалентная задача минимаксной оптимизации 127
5.3 Конечномерные приближения в задаче быстродействия 131
5.4 Сходимость конечномерных приближений по управляющим воздействиям 134
5.5 Оценки конечномерных приближений при управлении базовой моделью процесса тепломассопереноса. 135
6. Синтез и реализация оптимальных по быстродействию систем пространственно-временного управления процессами тепломассопереноса 137
6.1 Квазиоптимальные алгоритмы с сосредоточенным управлением по мощности источников воздействия 137
6.2 Общие принципы построения замкнутых САО с неполным контролем функции состояния 140
6.3 САО с двухинтервальным управлением 147
6.4 Система автоматического управления температурным полем изделия в процессе индукционной пайки 153
Заключение 159
Библиографический список 161
Приложение 170
- Примеры постановки задач оптимизации технологических процессов тепломассо переноса
- Аналитические приближения для линии переключения оптимального по быстродействию управления на координатно-временнои плоскости при управлении объектом второго порядка.
- Свойства результирующих состояний и расчетные системы уравнений
- Краевая задача оптимального быстродействия с учетом фазового ограничения
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке инженерных методов решения задач оптимизации по критерию производительности процессов пространственно-временного управления типовыми объектами технологической теплофизики.
Актуальность проблемы. Современное развитие ведущих отраслей промышленности связано с широким применением самых разнообразных технологических процессов, базирующихся на фундаментальных явлениях тепломассопереноса. Существующие здесь перспективы применительно к передовым технологиям определяются ярко выраженными тенденциями дальнейшего роста удельного веса промышленных установок технологической теплофизики, возрастанием их энерго- и материалоемкости, ужесточением требований к технико-экономическим показателям.
В этих условиях, в соответствии с центральной задачей всемерного повышения экономической эффективности производственных процессов за счет максимального использования внутренних ресурсов, особое значение приобретает проблема достижения предельных возможностей по этим критериям качества путем соответствующей организации режимов функционирования и усовершенствования конструктивных характеристик промышленного оборудования.
Указанная проблема может быть решена в основных своих аспектах на базе современной теории и техники оптимального управления системами с распределенными параметрами, для которой типовые модели тепломассопереноса, описываемые уравнениями математической физики в частных производных, являлись основными объектами исследования с самого начала ее основания.
В основополагающих работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Ю.В. Егорова, Ж.Л. Лионса, К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдинова и др. получены принципиально важные результаты применительно к типичным задачам оптимального управления математическими моделями процессов тепломассопереноса [1-Ю].
Однако, конструктивные алгоритмы разработаны в большинстве случаев применительно к частным ситуациям использования управляющих воздействий, являющихся функциями только одной переменной - времени или пространственной координаты.
В то же время, максимальный эффект по оптимизируемым качественным показателям достигается на более широком множестве пространственно-временных управлений, являющихся функциями не менее двух аргументов в соответствующих пространственно-временных областях, что приводит к значительным трудностям при разработке инженерных методов расчета алгоритмов оптимального управления, свя-
>г
занным прежде всего с отсутствием конструктивных способов определения в явной форме поверхностей переключения релейных управляющих воздействий в пространственно-временных областях. Другой аспект проблемы заключается в необходимости постановки для рассматриваемых объектов краевых задач оптимизации, соответствующих реальным технологическим требованиям оценки в равномерной метрике точности достижения требуемых результирующих состояний в конце оптимального процесса. Это обстоятельство приводит к заданию допустимой области результирующих распределений функции состояния управляемого объекта с негладкой границей в бесконечномерном фазовом пространстве, что создает известные трудности теоретического и вычислительного характера при решении задач оптимизации процессов тепломассопереноса [11].
Сложная актуальная проблема разработки инженерных методов решения указанных краевых задач оптимизации пространственно-временного управления типовыми объектами технологической теплофизики не укладывается в известные схемы и требует самостоятельного исследования.
Некоторым аспектам этой проблемы и посвящается настоящая работа [12-21].
Цель и задачи исследования. Основная цель данной диссертационной работы заключается в разработке и реализации на практике инженерных методов решения краевых задач оптимизации процессов пространственно-временного управления типовыми моделями объектов технологической теплофизики в постановках, соответствующих требованиям реальной технологии. Для достижения указанной цели в работе поставлены следующие основные задачи:
- разработка методов поиска аналитических приближений для описания ли
ний переключения управляющих воздействий релейной формы на координатно-
временной плоскости в задаче оптимального по быстродействию управления типо
выми моделями процессов тепломассопереноса;
- разработка метода поиска аналитических приближений для пространственно-временных алгоритмов управления на участках движения по основным фазовым ограничениям;
разработка метода параметрической оптимизации при решении краевой задачи оптимального управления объектами тепломассопереноса в условиях заданной точности равномерного приближения к требуемому конечному состоянию объекта;
анализ сходимости квазиоптимальных алгоритмов управления конечномерными аппроксимациями моделей объекта и разработка оценок потерь по величине
оптимизируемых функционалов качества в зависимости от точности моделирования управляемой системы;
- разработка математического, алгоритмического и программного обеспечения и создание пакетов прикладных программ для автоматизированного расчета пространственно-временных алгоритмов оптимального по быстродействию управления типовыми моделями технологических процессов тепломассопереноса;
разработка принципов построения замкнутых систем автоматической оптимизации для рассматриваемых объектов управления;
реализация разработанных алгоритмов и систем управления объектами технологической теплофизики.
Решения сформулированных выше задач составляют в совокупности основное содержание диссертации, выполненной автором в Самарском государственном техническом университете.
Диссертационная работа выполнена в рамках программы Госкомвуза РФ
"Надежность конструкций" и ряда научно-исследовательских и опытно-
конструкторских работ, выполненных в СамГТУ по госбюджетной и хоздоговорной тематике.
Научная новизна и значимость работы определяются тем, что она расширяет и углубляет теоретические представления о характере и закономерностях оптимальных процессов пространственно-временного управления типовыми моделями технологических объектов тепломассопереноса; дает методы их количественного описания, построения и исследования соответствующих систем автоматической оптимизации. В диссертации получены следующие основные научные результаты:
разработан конструктивный метод расчета оптимальных по быстродействию алгоритмов пространственно-временного управления типовыми моделями процессов тепломассопереноса путем редукции исходной проблемы к решению дуальной вариационной задачи, на втором этапе которой в качестве управляющего воздействия фигурирует искомая линия переключения на координатно-временной плоскости;
на основе разработанного метода определены в явном виде пространственно-временные зависимости для квазиоптимальных по быстродействию алгоритмов управления объектами тепломассопереноса, обеспечивающие параметрическое представление искомых управляющих воздействий;
разработан метод поиска аналитических приближений для оптимальных по быстродействию пространственно-временных алгоритмов управления на участ-
*
ках движения по фазовым ограничениям на максимально допустимые значения функций состояния управляемых объектов тепломассопереноса;
- разработан конструктивный метод двухпараметрической оптимизации для решения краевых задач квазиоптимального по быстродействию управления усеченными моделями процессов тепломассопереноса в условиях заданной допустимой ошибки равномерного приближения к требуемому результирующему состоянию объекта, оцениваемой по точной бесконечномерной модели распределенной системы;
установлена сходимость по минимизируемым функционалам качества и управляющим воздействиям к точному решению задачи для последовательности предлагаемых конечномерных приближений оптимальных алгоритмов управления процессами тепломассопереноса;
получены конструктивные оценки потерь по критериям быстродействия и точности приближения к заданному конечному состоянию системы в зависимости от числа удерживаемых при поиске субоптимальных алгоритмов гармоник обобщенных рядов Фурье, описывающих функции состояния управляемой системы.
Практическая ценность работы. Прикладная значимость выполненных исследований определяется следующими полученными в диссертации результатами:
разработана инженерная методика расчета оптимальных по быстродействию алгоритмов пространственно-временного управления типовыми моделями технологических процессов тепломассопереноса в соответствующих реальным технологиям условиях заданной абсолютной точности приближения к требуемому результирующему состоянию управляемой системы;
разработано специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение, на базе которого созданы пакеты прикладных программ для подсистемы автоматизированного расчета оптимальных алгоритмов управления;
- предложены удовлетворительные по точности, отличающиеся простотой
конструкторских решений и легкостью реализации квазиоптимальные алгоритмы
пространственно-временного управления для исследуемых технологических объектов
тепломассопереноса;
- предложены реализуемые структуры замкнутых систем оптимального по
быстродействию пространственно-временного управления распределенными систе
мами, моделируемыми типовыми уравнениями тепломассопереноса;
- полученные в диссертации результаты использованы при разработке промы
шленной системы автоматической оптимизации процессов индукционной пайки специ-
зделий.
Основные положения диссертационной работы по разработке методов расчета пространственно-временных алгоритмов оптимального управления процессами тепломассопереноса включены в программы лекционных курсов учебного плана специальности 21.02.00 "Автоматизация технологических процессов и производств", по которой ведется подготовка инженеров в СамГТУ.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной
работы докладывались на двух международных и 8 Всероссийских, республиканских,
региональных, межвузовских и других конференциях, симпозиумах, совещаниях и
семинарах по математическому моделированию, методам оптимизации, авто-
матическому управлению и электротехнологии. Доклад автора по теме диссертации был отмечен дипломом 1-ой степени и научной стипендией на Международном научном конгрессе студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (г.Москва, 1996 г.). Материалы диссертации рассматривались на научно-технических семинарах кафедры "Теплофизика и управление теплоэнергетическими процессами". По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Общий объем диссертации страниц.
Краткое содержание работы. В первой главе рассматриваются постановочные аспекты проблемы оптимизации технологических процессов тепломассопереноса. Рассмотрены базовые модели объектов управления и определены основные виды критериев оптимальности.
Приводится строгая постановка рассматриваемых в работе задач оптимизации. Дается краткий обзор известных методов решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, обсуждаются возможности их приложения в задачах оптимизации процессов технологической теплофизики.
Вторая глава посвящена разработке оптимальных по быстродействию алгоритмов пространственно-временного управления типовыми объектами тепломассопереноса, описываемыми уравнениями Фурье в частных производных параболического типа.
Установлена релейная форма искомых алгоритмов; сформулирована дуальная вариационная задача, решением которой является искомая линия перек-
лючения оптимального управления на координатно-временной плоскости; с помощью аппарата принципа максимума Понтрягина найдены все возможные по краевым условиям варианты аналитических приближений различной степени точности для линии переключения.
Третья глава посвящена разработке методов решения краевой задачи оптимального управления технологическими процессами тепломассопереноса в характерных условиях заданной точности равномерного приближения к требуемому конечному состоянию распределенной системы. Показано, что при известной форме линии переключения оптимальных управляющих воздействий, определяемой найденными аналитическими приближениями, задача параметризуется и сводится к специальной негладкой задаче математического программирования с бесконечным числом ограничений, где в роли искомых переменных фигурируют не более двух неизвестных параметров оптимального алгоритма.
На базе известных альтернансных свойств решений таких задач разработана инженерная методика и конструктивная вычислительная процедура для расчета алгоритмов оптимального управления рассматриваемыми объектами.
Приводятся конкретные результаты расчета оптимальных процессов тепломассопереноса в широком диапазоне изменения исходных данных, и дается сравнительный анализ полученных зависимостей.
В четвертой главе разрабатывается методика решения рассматриваемых оптимальных задач с учетом основного фазового ограничения на максимально допустимые значения управляемой функции состояния.
Предлагается оригинальный метод определения аналитических приближений для оптимальных по быстродействию алгоритмов пространственно-временного управления на участках движения по фазовому ограничению в специфических условиях существования бесконечного множества вариантов для управляющих воздействий, стабилизирующих максимум функции состояния на предельно допустимом уровне.
Разработанная в главе 3 методика решения краевой задачи оптимального управления распространяется на оптимальные по быстродействию алгоритмы, усложняемые участками движения по фазовым ограничениям.
Пятая глава посвящена оценкам полученных аналитических приближений
алгоритмов оптимального управления для конечномерных аппроксимаций моделей рассматриваемых объектов оптимизации по минимизируемым функционалам.
Доказывается сходимость к точному решению соответствующих задач оптимального управления последовательности предлагаемых алгоритмов, квазиоптимальных по критериям быстродействия и погрешности равномерного приближения к заданному конечному состоянию, а также поточечная сходимость по управляющим воздействиям.
Получены конструктивные оценки для потерь по соответствующим показателям качества в зависимости от точности аппроксимации модели объекта при поиске квазиоптимальных алгоритмов управления.
В шестой главе рассмотрены способы построения замкнутых систем автоматической оптимизации и приводится краткая характеристика реализованной системы пространственно-временного управления процессами индукционной пайки специзделий.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Метод редукции задачи оптимального по быстродействию пространственно-временного управления типовыми моделями технологических процессов тепломассопереноса к дуальной вариационной задаче.
Аналитические представления линии переключения оптимальных по быстродействию управляющих воздействий релейной формы на координатно-временной плоскости в задачах управления типовыми объектами тепломассопереноса.
Аналитические приближения для оптимальных по быстродействию алгоритмов пространственно-временного управления процессами тепломассопереноса на участках движения по фазовым ограничениям.
Метод двухпараметрической оптимизации и соответствующее специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение для автоматизированного решения краевых задач оптимального по быстродействию пространственно-временного управления типовыми моделями технологических процессов тепломассопереноса.
Оценки конечномерных приближений для квазиоптимальных алгоритмов оптимального управления.
Результаты оптимизации конструктивных и режимных параметров технологических процессов тепломассопереноса.
//
Примеры постановки задач оптимизации технологических процессов тепломассо переноса
Во многих производственных процессах большое значение придается экономичному нагреву металла ( быстрому, качественному, с минимальными потерями и затратами). В современной промышленности широко применяется сквозной нагрев заготовок из черных и цветных металлов перед пластической деформацией в многозонных или многосекционных газовых, индукционных и электрических печах сопротивления периодического, непрерывного и методического действия (прокатка, прессование, штамповка, резка, волочение и др.).
Температурный фактор играет определяющую роль в технологических процессах пластической деформации металла.
Согласно типичным требованиям технологии нагревательные установки (НУ) должны обеспечить достижение заданной конечной температуры нагреваемого изделия с определенным допустимым абсолютным отклонением результирующего температурного поля от заданного в пределах фиксированной области изменения пространственных координат. Величина этого отклонения зависит от особенностей последующей обработки давлением нагретых деталей. Например, нагрев стальных заготовок до 1000... 1200 С допускает перепад температур до ±100 С, если предполагается прокатка изделий, и до ±25 С при штамповке. Прессование алюминиевых сплавов накладывает более жесткие технологические требования, а именно: при нагреве до 450...480 С допустимое отклонение температуры составляет ±10... 15 С [3, 4, 11, 22, 32 - 35].
Некоторые технологические процессы требуют получения заранее заданного неравномерного распределения температур с допустимой точностью нагрева. Таким образом, технологический процесс обработки металла давлением требует, чтобы непосредственно перед обработкой давлением в НУ, исходя из технологических инструкций, было получено соответствующее результирующее температурное поле изделий. Основная цель получения требуемых конечных температурных распределений может быть достигнута различными способами организации режимов работы НУ. В общем случае возможно управление температурным полем как за счет изменения во времени, так и с помощью пространственного распределения по длине печи температуры греющей среды или интенсивности источников тепла. В качестве управляющих воздействий при этом могут использоваться мощности тепловыделения, температуры внешней среды в автономно управляемых зонах или секциях, количество таких секций, темп выдачи заготовок из НУ и др. В частности, для управления процессом индукционного нагрева по интенсивности распределенных вдоль нагревателя внутренних источников тепла, возбуждаемых электромагнитным полем индуктора, применяются автономно управляемые секции индуктора, регулируемые по напряжению на индукторе и по частоте питающего тока, различные способы изменения заглубления изделия в индукторе, специальные схемы питания НУ и др. [11, 32, 36 - 38].
Так как традиционная технология нагрева металла перед пластической деформацией далеко не всегда позволяет получить удовлетворительные характеристики конкретных производственных процессов, возникает задача поиска изменяющихся во времени и пространстве оптимальных управляющих алгоритмов. Кроме того, часто при реализации найденных указанным образом оптимальных режимов необходимо выполнить технологические ограничения, в большинстве случаев связанные с заданием предельно допустимой величины максимальной температуры по объему загрузки НУ, превышение которой приводит к недопустимым изменениям структуры металла в перегреваемых слоях и их оплавлению. В процессе нагрева могут также фиксироваться предельно допустимые величины растягивающих термонапряжений, переход за которые приводит к образованию трещин и разрушению заготовок.
Таким образом, для эффективного функционирования технологического комплекса "нагрев - деформация" необходимо решить проблему такой организации работы НУ, которая бы обеспечила достижение требуемого конечного распределения температуры в нагреваемом изделии с предельно возможными в условиях заданных ограничений технико-экономическими показателями. Сформулированная проблема легко интерпретируется в рамках задач теории оптимального управления [1, 2]. Процесс нагрева металла можно рассматривать в качестве объекта управления с распределенными параметрами, состояние которого характеризуется распределением температуры нагреваемого изделия во времени и пространстве, описываемым математической моделью в виде дифференциального уравнения теплопроводности в частных производных вида (1.2) с соответствующими краевыми условиями (1.3) [3, 4, 11, 22, 39].
В качестве возможных управляющих воздействий рассматриваются различные параметры НУ, а предельные допустимые значения этих параметров учитываются в качестве соответствующих ограничений на управление типа (1.5). Максимально допустимые значения температуры и растягивающих термонапряжений учитываются вводом соответствующих фазовых ограничений вида (1.6). В роли критерия оптимальности может выступать выбираемый показатель технико-экономической эффективности (1.7).
Таким образом, проблема получения требуемого конечного распределения температуры в нагреваемом изделии с максимальными качественными показателями может рассматриваться как вариационная задача на условный экстремум некоторого критерия оптимальности с соответствующими уравнениями связей и ограничениями, определяемыми используемыми математическими моделями объекта управления.
Аналитические приближения для линии переключения оптимального по быстродействию управления на координатно-временнои плоскости при управлении объектом второго порядка.
Остановимся в заключение на вопросе о возможности распространения полученных в настоящей главе результатов на более сложные модели объекта по сравнению с базовой (1.12), (1.13). Нетрудно видеть, что предлагаемый метод редукции к дуальной вариационной задаче и последующего определения соответствующих аналитических приближений для линии переключения оптимального управления релейной формы сохраняется при моделировании процесса тепломассопереноса уравнением (1.11) более общего вида ( при управлении по W) в том случае, когда управляющее воздействие по-прежнему можно рассматривать на координатно-временной плоскости, считая его распределенным только по одной пространственной координате вне зависимости от размерности г пространственной области Q, эх изменения функции состояния объекта Q(x,%) в (1.2). Подобная ситуация соответствует, например, управлению двух- или трехмерным температурным полем массивных заготовок, нагреваемых в многозонных или многосекционных агрегатах периодического или методического действия при выборе в качестве управляющего воздействия пространственно-временного распределения мощности тепловыделения (или температуры греющей среды) по длине печи [11, 23, 39, 45, 46].
Аналогичным образом может быть рассмотрена задача оптимизации пространственно-временного распределения углеродного потенциала внешней атмосферы по длине проходного агрегата химико-термической обработки в процессе цементации металлических изделий при заданном распределении концентрации углерода в поперечном сечении обрабатываемых заготовок [22].
Анализ, подобный приведенному в пп. 2.1-2.3, снова приводит в рассматриваемых случаях к оптимальным по быстродействию алгоритмам управления (2.8) или (2.9) релейной формы и к моделированию объекта во "вторичной" оптимальной задаче бесконечной системой уравнений вида (2.16), откуда опять могут быть получены приближения для линии переключения, аналогичные (2.117) и (2.135). Основное различие по сравнению с базовой моделью объекта заключается при этом в соответствующем усложнении выражения типа (2.10) для описания функции состояния объекта, которое, например, может содержать кратные ряды Фурье вместо разложения в ряд по одной пространственной переменной, фигурирующей в зависимости (2.10).
При сходном с базовой моделью параметрическом представлении алгоритма оптимального управления указанное обстоятельство лишь изменяет вид функциональной зависимости результирующей функции состояния от соответствующих параметров и переносит все трудности на решение краевой задачи, где одномерное условие (1.17) заменяется на требование вида (1.10) равномерного приближения с требуемой точностью к заданному конечному состоянию в г-мерной пространственной области Qr. Известные конструктивные методы поиска вектора оптимальных параметров в подобных задачах позволяют получить приемлемые инженерные решения в наиболее характерных технологических ситуациях. Следует, однако, отметить, что в подобных случаях, как правило, точность получаемых приближений для линии переключения / ""(ф) уменьшается по сравнению с базовой моделью при одном и том же порядке конечномерной модели, получаемой "усечением" бесконечной системы вида (2.16) в процессе поиска квазиоптимальных управляющих воздействий.
В главе 2 с помощью аппарата принципа максимума Понтрягина определены алгоритмы оптимального по быстродействию управления исследуемыми процессами с точностью до вектора параметров A = (9,,9). Принцип максимума, определяя характер оптимального управления с точностью до указанных величин, не позволяет, вообще говоря, непосредственно вычислить ф, ,ф и тем самым однозначно установить искомый алгоритм uonm(l,q ). Возникающая сложная краевая задача по нахождению параметров оптимальной программы мои/я(/,ф) из условия попадания в требуемое конечное состояние (1.17) для объекта, моделируемого уравнениями (1.12), (1.13), и представляет собой основную трудность при конкретных расчетах оптимальных процессов.
В данной диссертационной работе эту задачу предлагается свести к специальной негладкой задаче математического программирования (НЗМП) с бесконечным числом ограничений [86, 87]. В подобную схему укладывается целый ряд параметризуемых задач оптимального управления, например, нестационарными процессами теплопроводности и взаимосвязанными полями термодиффузионных процессов по типичным критериям качества в условиях заданных допусков на отклонение от требуемого конечного состояния объекта, оцениваемых в равномерной метрике [88].
Свойства результирующих состояний и расчетные системы уравнений
В [11] сформулированы свойства пространственных распределений результирующих температурных полей оптимальных по быстродействию процессов нестационарной теплопроводности для линейных одномерных моделей объекта вида (1.12), (1.13) с сосредоточенным управлением по мощности внутреннего тепловыделения или по граничным условиям задачи. Пользуясь полученными результатами, можно выявить весь набор возможных вариантов по форме кривой распределения температуры по пространственной координате в конце оптимального по быстродействию процесса управления в зависимости от требуемой точности равномерного приближения к заданному температурному распределению, и тем самым обеспечить трансформацию определяющей системы соотношений вида (3.6) к соответствующей расчетной системе уравнений относительно искомых параметров оптимального процесса.
Полученные в [И] результаты по характеру распределения температурного поля по пространственной координате в конце оптимального процесса нагрева легко распространяются на результирующее распределение функции состояния для более широкого круга оптимальных процессов тепломассопереноса прежде всего в силу тождественности описывающих данные процессы уравнений и вытекающих отсюда аналогий физических закономерностей.
При этом существенно заметить, что физические закономерности оптимизируемых процессов, положенные в основу установленных в [11] свойств результирующих функций состояния, сохраняются во многих случаях для рассмотренной в [11] задачи быстродействия и за рамками частного случая сосредоточенных управляющих воздействий. Это дает основания (подтверждаемые опытом решения большого числа конкретных задач) считать всюду далее, что основные следствия альтернансных свойств (3.6) результирующих функций состояния управляемых объектов, сформулированные в [11], сохраняются и в более общем случае пространственно-временного управления базовой моделью процесса тепломассопереноса (1.12), (1.13) по алгоритмам и0П1 1,ц ) вида (2.8) с линиями переключения типа (2.117) или (2.135), не нарушающим общую конфигурацию пространственного распределения этих функций в конце оптимального процесса, установленную для типовых процессов нестационарной теплопроводности .
Сказанное позволяет распространить на изучаемую краевую задачу следующие свойства q(l,A), уточняющие соотношения (3.6) в характерном случае q (l) = q = const, и редуцирующие их непосредственно к соответствующим расчетным системам уравнении. Результирующее пространственное распределение функции состояния иллюстрируется рис. 3.3. Решение систем уравнений (3.7)-(3.9) относительно соответствующих неизвестных исчерпывает решение рассматриваемой краевой задачи быстродействия в классе принятых параметрических представлений оптимальных алгоритмов для управляющих воздействий.
Во всех расчетных системах уравнений (3.7)-(3.9) зависимость q(l,A) зададим как явную функцию своих аргументов при оптимальном управлении (2.8), подставляя в общее решение (2.13) уравнений объекта (1.12), (1.13) линию переключения (2.135). В итоге получим следующее выражение для результирующей функции состояния оптимального процесса в (3.7)-(3.9) при p(q ) = Р0= const, q(l, 0) = 0.
Краевая задача оптимального быстродействия с учетом фазового ограничения
Традиционной и достаточно сложной проблемой при применении методов конечномерной аппроксимации точного описания базовой модели объекта бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений является исследование сходимости соответствующих итерационнных процессов при N -» оо, где N - число учитываемых первых членов разложения функции состояния объекта в бесконечный сходящийся ряд Фурье по полной системе собственных функций.
Существенный интерес при этом представляет оценка погрешности получаемых приближений по оптимизируемым функционалам качества и управляющим воздействиям в зависимости от величины N.
Некоторые типичные задачи такого рода при аппроксимации моделей объекта по методу Галеркина рассматривались, например, в работах [8, 97, 98]. Известные результаты получены в этом направлении, как правило, для случая квадратичных интегральных оценок отклонения конечного состояния системы от требуемого, вычисляемых для каждого N по соответствующей конечномерной модели объекта, что приводит, при описании в этих терминах краевых условий, к возникновению на каждом шаге итерационной процедуры дополнительной, зависящей от N погрешности по точности приближения к заданному результирующему распределению функции состояния [97].
Менее изучены подобные задачи с подвижным правым концом траектории при использовании характерных чебышевских оценок отклонения функции состояния в конце оптимального процесса от заданной точки в соответствующем функциональном пространстве [89], рассматриваемых в условиях сохранения требований по допустимой величине этого отклонения в равномерной метрике при управлении "усеченной" моделью объекта для всех рассматриваемых значений TV [11]. Задача именно такого типа исследуется в настоящей работе.
В данной ситуации на любом шаге итерационного процесса без погрешностей удовлетворяются исходные краевые условия по точности приближения к требуемому конечному состоянию ОРП, оцениваемой в нормах, наиболее адекватных потребностям достаточно широкого круга прикладных задач [11]. Именно указанное обстоятельство позволяет ограничиться здесь анализом качества конечномерных приближений только по соответствующим потерям оптимизируемых функционалов.
В данной главе исследуются в указанной постановке вопросы сходимости и предлагаются конструктивные способы вычисления верхних оценок погрешностей конечномерных приближений для рассматриваемых модельных процессов оптимального управления распределенными системами тепломассопереноса, описываемыми уравнениями в частных производных параболического типа.
В рассмотренной в главе 2 "вторичной" задаче оптимального по быстродействию управления в качестве математической модели объекта используется его эквивалентное представление в виде бесконечной системы уравнений первого порядка (2.16) относительно коэффициентов т(ф) разложения функции состояния объекта д(1,ф) в ряд Фурье по собственным функциям cos \iml. Здесь искомая линия переключения /„(ф) выступает в роли сосредоточенного кусочно-непрерывного управляющего воздействия /(ф) , подчиненного ограничению 0 /(ф) 1.
Тем самым осуществляется переход к поиску приближенных решений на существенно более простом классе управляющих воздействий, реализующих оптимальное по быстродействию управление конечномерной моделью (5.1) для всевозможных фиксированных конечных состояний qN( pN) Последующий выбор экстремального элемента на этом множестве должен производиться из условия выполнения основного ограничения (5.4) на допустимую величину чебышевской оценки отклонения результирующего распределения q(l,tyN) от заданного q (J), вычисляемой при точном описании объекта бесконечной системой уравнений (5.1) при N = оо. Всюду далее предполагается, что искомые управления UN((p) существуют. Для целого ряда характерных ситуаций описанная задача поиска U N( p) параметризуется с помощью известных условий оптимальности, подобно тому, как это было выполнено для изучаемой в настоящей работе задачи оптимизации процессов тепломассопереноса в главе 2, после чего сводится к специальной негладкой задаче математического программирования с основным ограничением вида (5.4), которая может быть решена описанным выше методом (гл. 3).
Для оценки погрешностей получаемых приближений необходимо исследовать их сходимость к точным решениям при N - со и оценить потери по минимизируемому функционалу в зависимости от величины N. Существенной особенностью предлагаемого подхода к приближенному решению задачи оптимального по быстродействию управления является отсутствие погрешности в достижении требуемого согласно (5.4) конечного состояния системы для всех рассматриваемых значений NB противовес традиционным схемам, согласно которым краевая задача для каждого N формулируется в рамках соответствующей конечномерной модели [1, 3, 66], что приводит к возникновению дополнительной ошибки по отклонению q(l,q N) от q (l), зависящей от выбора N. Указанное обстоятельство порождает определенную специфику используемых ниже процедур вывода оценок для погрешностей приближенных решений рассматриваемых задач оптимизации.
