Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор методов моделирования, используемых в системах прочностных расчетов, интегрированных в САПР 11
1.1. Постановка задачи математического моделирования напряженно- деформированного состояния конструкций 11
1.2. Метод конечных разностей и пути повышения точности решения по определению напряженно-деформированного состояния конструкций 22
Глава 2. Математическое обеспечение для решения краевых задач по определению напряженно-деформированного состояния статических систем 29
Введение. Единый подход к основным задачам численного анализа 29
2.1 Обращение матрицы Вандермонда 30
2.1.1. Постановка задачи нахождения обратной матрицы 31
2.1.2. Определитель матрицы Вандермонда 33
2.1.3. Миноры матрицы Вандермонда 37
2.1.4. Обращение матрицы Вандермонда 44
2.1.5. Обращение матрицы Вандермонда с нулевым элементом 45
2.2. Формулы численного дифференцирования 48
2.2.1. Подходы к выводу формул численного дифференцирования 48
2.2.2. Общая формула аппроксимации производной п-порядка... 49
2.2.3. Погрешность формул численного дифференцирования 54
2.3. Задача интерполирования 56
2.3.1 Вывод интерполяционного многочлена 57
2.3.2 Метод интерполяции Лагранжа 58
2.3.3 Дифференцирование интерполяционного многочлена Лагранжа 62
2.4. Квадратурные формулы 63
2.4.1. Постановка задачи численного интегрирования 63
2.4.2. Построение квадратурных формул 64
2.5. Выводы 66
Глава 3. Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов и интерполяционных многочленов 68
3.1 Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов для функции одного переменного 68
3.2 Процедура, генерирующая коэффициенты интерполяционных многочленов для функции одного переменного 71
3.3 Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов
для функции п - переменных. Аппроксимация смешанных производных... 72
3.4 Процедура, генерирующая коэффициенты интерполяционных
многочленов для функции п- переменных. Многомерная интерполяция 78
3.5. Выводы 80
Глава 4. Алгоритмы, программы и примеры численного решения краевых задач по определению напряженно-деформированное состояние системы 81
4.1. Определение напряженно-деформированного состояния стержневых конструкций 82
4.2. Определение напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок 91
4.3. Выводы 114
Заключение 115
Список использованных источников
- Метод конечных разностей и пути повышения точности решения по определению напряженно-деформированного состояния конструкций
- Постановка задачи нахождения обратной матрицы
- Процедура, генерирующая коэффициенты интерполяционных многочленов для функции одного переменного
- Определение напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок
Введение к работе
Последние десятилетия характеризуются стремительным развитием вычислительной техники: от ЭВМ "Мир", "Наири" через "Минск-32" и "ЕС-1066", VAX и СМ к ПЭВМ 5-го и 6-го поколений (PC) и рабочим станциям (WS). Одновременно с ростом мощности вычислительной техники совершенствуются и возможности соответствующих программных продуктов (SOFTWARE). В последние годы наиболее эффективно ПЭВМ используются в небольших научных и производственных коллективах и отдельными квалифицированными пользователями. Соответствующую эволюцию претерпели и программные средства (ПС), обеспечивающие проведение основных видов расчетов (прочность, устойчивость, колебания, усталость, долговечность) строительных и машиностроительных конструкций. Не останавливаясь на истории вопроса, отметим состояние дел по развитию программных средств обеспечения прочностных расчетов. В настоящий момент существуют две основные тенденции развития ПС: создание специализированных ПС для узкого класса задач, отличающихся легкостью освоения и невысокими требованиями к мощности ПЭВМ; разработка универсальных пакетов прикладных программ, позволяющих решать практически любую задачу механики сплошных сред, достаточно сложных в освоении и эксплуатации.
Отметим программные продукты, получившие распространение в мире и России: FESTA - расчеты на прочность, устойчивость, а также проектирование плоских и пространственных судовых конструкций в рамках стержневых моделей, реализующие метод конечных элементов (МКЭ), GIFTS - версия 6.2.8 1988 г, и версия 6.5 1993г. Аризонского университета США. В библиотеку входит более 30 конечных балочных, пластинчатых и объемных элементов. В этом пакете достаточно удобно реализованы контактные задачи и задачи, требующие применения метода суперэлементов,
5 ANSYS - фирмы ANSYS (г. Хьюстон, США), COSMOS - фирмы SRAC (США), пакеты NASTRAN и ABAQUS для рабочих станций, отечественные пакеты ЗЕНИТ, ИСПА, ЛИРА, SCAD и ряд других.
Использование преимущественно зарубежных универсальных ПС объясняется тесной связью, прежде всего интерфейсов ввода-вывода, с последними возможностями вычислительной техники, новейшими операционными системами и интерфейсами CAD/САМ технологий.
При создании интегрированной в САПР подсистемы прочностных расчетов стоит задача - сделать подсистему более автоматизированной и более доступной для пользователей, не являющихся специалистами в области прикладной механики и вычислительных методов - удовлетворяющей следующим требованиям: наличие полной и ясной документации, дающей возможность пользователю самостоятельно решать мелкие проблемы, возникающие в процессе эксплуатации; простота и наглядность задания исходной геометрии; автоматизированная подготовка исходных данных для расчета объекта, на основе геометрической модели, созданной с помощью геометрического моделирования; программный анализ исходной информации на ее корректность; наличие мер контроля вычислений и средств проверки достоверности результатов; представление результатов в удобном виде; высокая надежность программы для заявленных классов задач. Важным требованием на этапе разработки такого программного комплекса является его «открытость». С самого начала следует учесть возможности расширения, модификации программных модулей. Для этого должны быть предусмотрены следующие меры: выделены наиболее характерные программные модули, обеспечивающие типичные шаги расчета, и стандартизованы их входные и выходные данные; выработана типовая технология построения и разработки программных процедур в рамках данного комплекса. Перечисленные требования во многом относятся к области сервиса, которые не преуменьшают важности построения и использования эффективных алгоритмов. Программное обеспечение расчетов на прочность характеризуется высокой сложностью применяемых математических моделей, алгоритмов и численных методов.
В настоящее время математическое моделирование и вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ стали составными частями общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Принципиально важно то, что математическое моделирование позволило объединить формальное и неформальное мышление и естественным образом сочетать способность ЭВМ "во много раз быстрее, точнее и лучше человека делать формальные, арифметические операции, отслеживать логические цепочки с удивительными свойствами человеческого интеллекта -интуицией, способностью к ассоциациям и т.д.", не менее важно и то, что современные средства отображения информации дают возможность вести с ЭВМ диалог - анализировать альтернативы, проверять предположения, экспериментировать с математической моделью [1,2,3].
Построение расчетной модели сложной конструктивной системы состоит из нескольких этапов, каждый из которых вносит свои допущения и погрешности. Основная часть из них зависит от опыта расчетчика и слабо связана с возможностями программного средства. Описание основных этапов построения численного моделирования («в это понятие мы включаем собственно математическое моделирование, сопряженное с численным экспериментом» [3]) осуществимо с помощью излагаемой ниже блок-схемы, предложенной в соответствии с идеями академика А.А. Самарского (рис. 1.1).
Упрощенный вариант ММ
Рис. 1.1. Блок-схема вычислительного эксперимента Здесь введены следующие обозначения:
ФМ - физическая модель объекта. Она содержит описание основных свойств самого объекта; описание учитываемых граничных условий и внешних нагрузок, допущений о характере деформирования и распределения напряжений в подструктурах, свойств материала и т.п.
ММ - математическая модель объекта. Для описания физической модели, как правило, используются интегро-дифференциальные уравнения математической физики. С точки зрения описания характера поведения физической модели, ММ приближенно отражает свойства ФМ.
ЧМ - численная модель физического объекта. ЧМ строится, как правило, из ММ при помощи соответствующих численных алгоритмов. Большинство из них сводят ЧМ к системе линейных алгебраических уравнений.
Отметим, что начальные этапы - построение физической и математической модели - очень важны. Неудачно выбранная физическая модель не позволит перейти к удачной математической модели; некачественная математическая модель не позволит предложить эффективный численный метод, а недостатки в реализации метода не дадут удовлетворительного результата.
В большинстве случаев полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одной и той же ФМ, отличающихся различным уровнем упрощения. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания о физическом объекте. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислительного эксперимента, если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ФМ, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.
Итог анализа на рассматриваемом этапе - это обоснованный выбор рабочей ММ, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении этого этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ФМ, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.
Следующий этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ и в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, и далее - в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения этих этапов необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики и обладать профессиональной подготовкой в области программирования на ЭВМ.
Получаемые в итоге работы программы результаты вычислений должны, прежде всего, пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ. Тестирование может выявить недочеты, как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке ММ и соответствующей ЧМ. После устранения всех выявленных недочетов триаду "модель - алгоритм -программа" можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование физического объекта [4].
Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ФМ можно использовать типовые ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным.
Современный уровень развития промышленности и строительства сопровождается широким внедрением все более сложных конструкций и сооружений, состоящих из различных типов конструктивных элементов. В большинстве случаев для их расчета невозможно применить точные
10 аналитические методы. С другой стороны, ускорение технического прогресса привело к созданию и интенсивному использованию при решении инженерных задач современных компьютерных технологий, в частности вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения. Все это обусловило дальнейшее развитие и совершенствование используемых численных методов. В настоящее время, как фундаментальные исследования, так и задачи, имеющие практическое приложение, выполняются, как правило, с применением вычислительных средств. Причем ЭВМ не только обеспечивает проведение вычислительных операций, но и берет на себя значительную часть работ по подготовке исходных данных, обработке результатов и представлению их в любом удобном виде. На долю же научного работника или инженера приходятся другие, более интеллектуальные задачи - создание эффективных физических и математических моделей, выбор наиболее подходящего численного метода решения конкретной задачи, квалифицированный анализ полученных результатов.
В общем случае реальная конструкция имеет бесконечно много особенностей геометрии, свойств материала, внешнего воздействия, которые в той или иной мере влияют на ее поведение. На практике при проведении инженерных расчетов учесть все эти особенности, как правило, невозможно. Достоверное решение может быть получено путем замены исходного объекта на некоторую физическую модель, обладающую конечным числом идеализированных особенностей из числа тех, которые присуще данной конструкции. Следующий шаг - построение математической модели объекта, под которой понимается совокупность математических соотношений, описывающих поведение соответствующей физической модели. Замена подобным образом реального объекта математической моделью позволяет сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для ее решения универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта [5].
Метод конечных разностей и пути повышения точности решения по определению напряженно-деформированного состояния конструкций
Метод конечных разностей - метод численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, называемый также методом сеток. Первые работы по применению МКР к задачам линейной теории упругости были выполнены Г. Маркусом в начале XX столетия. Широкий круг задач был решен Н.П. Абовским, П.М. Варваком, М.А. Колтуновым и др.
Алгоритм метода конечных разностей состоит из традиционных этапов для построения сеточной модели: - построение сетки в заданной области; - замена дифференциального оператора в исходном дифференциальном уравнении и краевых условий разностными операторами, построенными на одном из разностных шаблонов; - решение полученной системы алгебраических уравнений относительно значений функции в узлах сетки.
Рассмотрим более детально второй этап при построении разностной модели. Замена дифференциального оператора разностным означает, что любую производную, как частную, так и смешанную можно заменить ее разностным аналогом. Методы нахождения формул численного дифференцирования широко известны и, практически, наиболее часто используемые формулы можно найти в справочниках. Как правило, все эти разностные шаблоны приведены для равноотстоящих узлов сетки, что объясняется, прежде всего, их способом вывода и применением. Но, хотелось бы отметить, что в задачах с быстроменяющейся функцией на одной из подобластей и медленноменяющейся в остальной части области, естественно было бы применять формулы численного дифференцирования для неравномерной сетки. Это можно отнести также к задачам, рассматриваемым на криволинейной области, где возникают проблемы интерполяции граничных условий. Использование неравномерных сеток открывает большие возможности эмпирического повышения точности сеточного решения без увеличения числа узлов, если имеется предварительная информация о поведении решения исходной задачи. Чтобы получить предварительную информацию, можно провести расчет на грубой сетке и после этого окончательный расчет- на специальной сетке [13,14,15,16].
Один из способов улучшения точности решения по методу конечных разностей требует уменьшение шага h при аппроксимации производных. При этом приходиться повторять процесс счета с более мелким шагом, однако из-за более медленной сходимости данного метода при уменьшении шага объем вычислительной работы растет много быстрее, чем точность. Другой из подходов повышения точности решения состоит в использовании более точных формул численного дифференцирования
Известные выводы формул численного дифференцирования основываются на разложении функции в ряд Тейлора, применении операции дифференцирования к интерполяционным полиномам и методе неопределенных коэффициентов [20,21,22 и др.]. Эти три подхода являются эквивалентными [22]. При этом обнаруживаются следующие закономерности. С ростом количества узлов и соответствующей гладкости функции порядок точности формул увеличивается, а с ростом номера производной, порядок точности относительно шага h убывает. Выражения производных в узлах, расположенных ближе к середине рассматриваемого отрезка, более простые, чем у его концов. При нечетном количестве узлов в среднем узле для четной производной порядок точности формулы 0(hn+I) на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой берется производная. Также стоит проблема выбора оптимального шага, поскольку из вида формул численного дифференцирования с постоянным шагом видно, что при малом h погрешность собственного метода стремится к нулю, а неустранимая погрешность растет.
Способы вывода и расчета позволяют дать априорную и апостериорную оценки погрешности формул численного дифференцирования [16,18,21].
Постановка задачи нахождения обратной матрицы
Сделаем преобразования: разделим и умножим каждый элемент матрицы (2.1.5) на соответствующие скобки (хр-Хщ), так, чтобы знаменатели всех элементов матрицы были равны и вынесим общий множитель , знаменатель которого есть определитель Вандермонда матрицы (2. 1.1). Получим матрицу вида: f (T) (T) (2) (2) где "И -г определитель Вандермонда п-1- порядка матрицы вида (2.1.1) в которой отсутствует строчка с элементом xj (j=i п) и последний столбец.
Ясно, что матрица (2.1.6) эквивалентна матрице (2.1.2). Отметим, что вынесение общего множителя, т.е. определителя Вандермонда в общепринятой форме, будет влиять на знак элементов матрицы, что отражено во множителе (-l)l+J.
Докажем, что матрица (2.1.2) и ей эквивалентная (2.1.6) является обратной к матрице (2.1.1). Для доказательства предварительно рассмотрим определитель матрицы (2.1.1) и некоторые ее миноры. 2.1.2. Определитель матрицы Вандермонда
Напомним процедуру разложения на множители определителя Вандермонда. Порядок операций может быть следующим: 1) Из всех нижерасположенных строк определителя вычитаются элементы первой строки; 2) Из всех строк, начиная со второй, выносятся общие множители вида (х -ЛГр), (к р) 3) Последовательность вычислений 1)-2) пунктов повторяется для элементов 2-ой, 3-й и так далее строк. Разложим на множители определитель п-го порядка:
Рассмотрим некоторые миноры матрицы X. 1. Разложим на множители минор Мц элемента х{1 в определителе W„ матрицы X. Допустим, что это минор Mnj. Вычеркиваем в определителе элементы первого столбца и и-ой строки
Выносим из каждой строки минора множители х, Заметим, что вынесенные множители составили симметрическую функцию S„.i из («-./ -элементов, то есть, из всех элементов матрицы (2.1.1), кроме X . Оставшийся после вынесения множителей определитель представляет собой определитель Вандермонда (п-І)-порядка, составленный также из всех X (i=l,...,n-l), кроме X . і п Обозначим: Mnl = sZwZ Для минора любого другого элемента из первого столбца разложение будет иметь вид: M,, = sZwZ (2.1.20) где /-номер элемента, отсутствующего в сочетаниях из (х ,х ,...,х х , х ) \ 1 2 /-1 /+Г я-1/ функции 5 1 и не входящего в разложение определителя -ц; . Вычеркивание /-строки в определителе (2.1.7) не влияет на процесс разложения определителя.
2. Разложим на множители минор Mi n элемента хіп в определителе Wn матрицы X. Видим, что миноры элементов последнего столбца Mi n представляют собой определители Вандермонда (и-7)-порядка, составленные из всех элементов"определителя (2.1.7) кроме Xi
Для минора любого элемента из четвертого от конца столбца разложение будет иметь вид: М,„-з= wZ S (2-1.28) где /-номер элемента, отсутствующего в сочетаниях из (х,хч...,х ,Х , X ) \ 1 2 1-І 1+Г я-1/ функции 3 и не входящего в разложение определителя у\? п\. Ясно, что количество элементов равно п-1, что согласуется с (2.1.27). 6. Выпишем общий вид для произвольного минора определителя W„ матрицы X. При использовании процедуры разложения определителя на множители из пункта 2.1.2 матрица любого значащего определителя имеет почти треугольный вид. Ее определитель раскрывается по рекуррентному соотношению [31]
Выражение имеет чередующие знаки согласно правилу раскрытия определителя. Для любого значащего определителя, полученного в результате раскрытия произвольного минора определителя (2.1.7), можем найти выражение (2.1.29), воспользовавшись формулами (2.1.18) и (2.1.30-2.1.31), выписанными ниже В результате получим для произвольного значащего определителя Гі-Г=ї (2.1.32) что мы и видели в пп.4,5 для конкретных случаев. Но подобная работа будет сопряжена с большими техническими (вычислительными) сложностями.
Процедура, генерирующая коэффициенты интерполяционных многочленов для функции одного переменного
Рассмотрим алгоритм аппроксимация смешанных производных любого порядка через произвольное количество узловых значений.
Ради удобства изложения ограничимся случаем двух независимых переменных х,у. Рассмотрим прямоугольную сетку с шагом h по горизонтали и / по вертикали (рис.1). Точки с координатами Хі=х0+ік, yj yo+flr (ij= 0,1,2,...) называются узлами. Можно применять и другие, отличные от прямоугольной, сетки, но при этом выражение для аппроксимации производных усложняются.
Рассмотрим функцию двух переменных f(x,y), заданную в табличном виде: fij=f(Xi,yj). Функция имеет непрерывную производную до (п+т)-порядка и задана на прямоугольнике размерности шт.
1. Определить для всех точек /-столбца (столбец фиксируется) частные производные к- порядка по х через значения функции в узловых точках каждой строки. Для аппроксимации этих производных имеем выражение: ск t=aj j J т+1- количество узлов, к - порядок производной, j - номер коэффициента при значении функции в j- узле (j=0,l,...,m) SU-i -симметрический многочлен есть сумма всех произведений, каждое из которых составлено как всевозможное сочетание из элементов вида (х - xj (k t,j; к=1,...,т), xt- точка, в которой берется производная.
Для простоты ограничимся двумерным случаем. Рассмотрим алгоритм нахождения интерполяционного многочлена приближающего функцию двух переменных, заданную своими значениями в узловых точках прямоугольной области. Обобщение на большее число размерности не вызывает сложностей.
На прямоугольной сетке удобна последовательная интерполяция. Пусть задана f(Xi,yj) = fy в каждой узловой точке рассматриваемой области и надо определить f(x,y). На сетке выбирается прямоугольник из кхт узлов, в который попадает искомая - точка (рис.3).
Проводим интерполяцию по строкам, т.е. при каждом фиксированном значении j находим значение f(x,yj). Затем проводим интерполяцию по столбцу, т.е. по значению f(x,yj) и строим интерполяционный многочлен для функции двух переменных, который выражается через значение функции в узловых точках области и соответствующие коэффициенты
Последовательная интерполяция позволяет брать по каждой переменной свое число узлов, вычисления удобнее производить последовательно, применяя одномерные формулы. Значения интерполяционного многочлена целиком определяются величинами fij в узлах интерполирования, положением узлов на плоскости и положением точки, для которой проводится интерполирование, на плоскости. Изменение нумерации узлов интерполирования не меняет значение L(, ,Jx,y). Выписывание интерполяционного многочлена в явном виде затруднительно (большое количество слагаемых), хотя и возможно [29].
3.5. Выводы — - L Приведен алгоритм нахождения смешанной производной для функции двух переменных на основе процедуры генерирующей коэффициенты разностных шаблонов.
2. Приведен алгоритм последовательного интерполирования для функции двух переменных на основе процедуры генерирующей коэффициенты интерполяционных многочленов. Математическими моделями рассматриваемых задач, на которых будет иллюстрироваться метод решений, являются краевые задачи для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающее напряженно-деформированное состояние системы.
Алгоритм предлагаемого способа решения заключается в следующем: в разбиении области определения искомой функции на промежутки ( области ), в которых функция должна быть гладкой; - обозначение через координаты определенного числа точек в каждом промежутке, необходимого для обеспечения построения интерполяционного полинома назначенной степени; - в замене дифференциального оператора и краевых условий разностными операторами; - в формировании системы линейных уравнений, корни которой суть значения искомой функции в назначенных точках; - в решении сформированной системы; - в выводе назначенных дискретных значений искомых функций -вектора решения системы линейных уравнений; - построение и вывод интерполяционных полиномов, которые представляют аналитический вид искомого решения.
Определение напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок
Модель 2. Бигармоническое уравнение, рассматриваемое на прямоугольной области с заданными краевыми условиями - расчет двумерной конструкции (пластинка).
Рассмотрим результаты расчета пластинки на действие поперечной равномерно распределенной нагрузки, полученные разностным методом и модифицированным методом КР (метод конечных разностей повышенной точности), алгоритм которого представлен выше. Сравним полученные результаты с результатами академика Бориса Григорьевича Галёркина, приведенные в [8] на странице 362 и считающиеся точными. Для удобства сравнений примем следующие исходные данные: - плита, прямоугольная в плане со сторонами а = Ъ = 1 м ; - равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 1 кН/м ; - граничные условия на четырех краях - заделка; - цилиндрическая жесткость: D = 0.0916 кН/м2 ; - коэффициент Пуассона: /i = 0.3;
Продолжим сравнения: проверим влияние на точность МКРпт разных граничных условий и соотношений длин сторон прямоугольного плана пластинки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой при следующих условиях на краях (один край - защемлен, остальные -шарнирные (КУ№2)):
Продолжим сравнения: проверим влияние на точность решения по МКРпт порядка полинома. Примем иные граничные условия, однако, также рассмотренные акад. Галеркиным и опубликованные в уже цитированном источнике [8], с данными которого будем сравнивать. В таблице 18 проведено сравнение решений по определению НДС пластинки на прямоугольном плане, загруженной равномерно распределенной нагрузкой при шарнирном опираний по четырем краям периметра плана конструкции. Сравнение имеет целью: выявить оптимальный порядок полинома, обеспечивающий погрешность в определении изгибающих моментов и поперечных сил не более чем 5%, достаточной для нужд строительной практики.
Из анализа таблицы 15, где сравниваются с точными результатами, результаты расчетов по МКР и МКРпт заключаем: решение, с использованием сетки 9x9 по МКРпт, имеет наибольшую погрешность 2.21% от точного, а решение по МКР имеет наибольшую погрешность 62.87%. Из анализа таблицы 16, где сравниваются с точными результатами, результаты расчетов по МКРпт, заключаем: решение, с использованием сетки 9x9 по МКРпт, при варьировании соотношениями сторон имеет наибольшую погрешность 3.34%. Из анализа таблицы 17, где сравниваются с точными результатами, результаты расчетов по МКРпт, заключаем: решение, с использованием сетки 9x9 по МКРпт, при варьировании соотношениями сторон и условиями закрепления краев имеет наибольшую погрешность менее одного процента.
Из анализа таблицы 18, где сравниваются с точными результатами, результаты расчетов по МКРпт для сеток 5x5,9x9, 13x13, заключаем: решение, с использованием сетки 9x9 по МКРпт - оптимально, так как дальнейшее измельчение сеток весьма мало повлияло на погрешность, которая для решения с сеткой 9x9 составила в самом неблагоприятном случае 2.3%.
Проведено сравнение результатов расчетов по определению напряженно-деформированного состояния, полученных по предложенному методу, то есть методу конечных разностей повышенной точности с методом конечных элементов в реализации Scad [39]. Расчет по двум программам проведен на сеточной области с одинаковым количеством узлов 9x9. Исходные данные для расчета пластины по программному комплексу SCAD имеют вид:
