Содержание к диссертации
Введение
1 Соотношения в НРКМ и SU(3) 9
1.1 Соотношения между магнитным моментом Е и магнитными моментами октета в НРКМ
1.2 Соотношения между магнитными моментами Е и Л в НРКМ
1.3 Соотношения между магнитными моментами Е или Л с переходным магнитным моментом ЕЛ в НРКМ 12
1.4 Соотношения между сильными константами взаимодействия для 7Г между 7гЕЕ0 и тгВВ, и для г] между 77ЕЕ и цВВ в SU(3) 13
1.5 Соотношения между сильными константами взаимодействия для 7Г между 7гЕЕ0 и 7гЕЛ, и для г] между 77ЕЕ и г)АА в SU(3) 15
1.6 Соотношения между сильными константами взаимодействия для К мезона с константами для 7Г мезона в SU(3) 15
2 Соотношения в КХД 20
2.1 Поляризационные операторы и токи в КХД 20
2.2 Соотношение между поляризационными операторами и токами в КХД
2.3 Соотношения между борелевскими правилами сумм для масс Е и Л гиперонов в КХД 24
2.4 Соотношения между борелевскими правилами сумм для магнитных моментов Е и Л гиперонов в КХД 31
2.5 Соотношения между сильными константами взаимодействия для 7Г между 7ГЕЕ0 и 7гЕЛ, и для т) между 77ЕЕ и туЛЛ в КХД . 42
2.6 Соотношения между сильными константами взаимодействия для К мезона с константами для 7Г мезона в КХД 40
2.7 К мезоны 53
2.7.1 Параметризованные поляризационные операторы 53
2.7.2 Борелсвские правила сумм для лоренц-структуры
2.7.3 Борелевские правила сумм для сильных констант взаимо
действия при лоренц-структуре І75 63
2.7.4 Борелевские правила сумм для сильных констант взаимодействия при лоренц-структуре
2.7.5 Выводы 68
2.8 Таблицы 69
2.9 Графики 71
3 Соотношения на световом конусе в КХД. 76
3.1 Правила сумм КХД на световом конусе для сильных констант взаимодействия мезонов и барионов 76
3.1.1 Соотношения между поляризационными операторами . 78
3.1.2 Выражения для функций Пг 84
3.2 Численный анализ 91
3.3 Выражение для поляризационных операторов 95
3.4 Предел SU(2) 98
3.5 Графики 100
Заключение 118
А Приложение: Сильные константы взаимодействия в SU(3). 120
В Приложение: Преобразование Бореля. 122
Список литературы
- Соотношения между магнитными моментами Е и Л в НРКМ
- Соотношения между сильными константами взаимодействия для 7Г между 7гЕЕ0 и 7гЕЛ, и для г] между 77ЕЕ и г)АА в SU(3)
- Соотношение между поляризационными операторами и токами в КХД
- Соотношения между поляризационными операторами
Введение к работе
Проблематика, обзор литературы
Квантовая хромодинамика в настоящий момент является общепринятой теорией сильных взаимодействий.
В последние годы метод правил сумм в квантовой хроме-динамике стал основным инструментом для вычисления масс, магнитных моментов и констант взаимодействия низко-лежащих состояний мезонов и барионов.
Метод правил сумм в квантовой хромодинамике был впервые предложен Шиф-маном, Вайнштейном и Захаровым в 1979 году в работах [1, 2], где были успешно посчитаны массы некоторых мезоных резонансов.
В работе Иоффе [3] этот метод был обобщен на случай барионов, были получены первые результаты для масс как обычных [6], так и странных [7] барионов. (Аналогичные вычисления были проделаны Chung в [5])
Позже Иоффе с соавторами [8, 9, 12] определили некоторых динамических свойств барионов, в частности, электромагнитных форм-факторов мезона при средних Q2 значениях в рамках борелевских правил сумм.
В последующих работах на эту тему Иоффе и Беляев в [10,11] и независимо от них Балицкий и Юнг в [13] нашли корреляционную функцию бариона во внешнем электромагнитном поле F . Посчитав член, линейный по F в этой корреляционной функции, они вычислили магнитные моменты протона и нейтрона с 10% погрешностью.
Позже были вычислены магнитные моменты гиперонов Е и S° и переходный магнитный момент Е°Л [28]. Также был вычислен в определенных приближениях и магнитный момент Л. В работах [19, 20, 22], были построены борелевские правила сумм для аксиально-векторных констант слабых распадов гиперонов и / -распада нейтрона, а также для магнитных моментов барионов октета р, п, 2і и 2° . Трудности с расчетами магнитного момента Л были практически преодолены в последующих работах этой группы [21, 23]. В дальнейшем правила сумм и их модификации применялись при вычислении магнитных моментов барионов октета [24, 26, 28], [44, 45], Е, Ес, Лс, Аь и др. Адронные константы взаимодействия с участием мезонов, необходимые для понимания динамики мезон-барионного рассеяния, фоторождения и электророждения мезонов на барионах, а также для понимания картины нарушения унитарной симметрии сильных взаимодействий, также изучались в рамках борелевских правил сумм квантовой хромодинамики. Вначале были вычислены борелевские правила сумм для константы TriV-взаимодействия [32, 33, 34, 35] в достаточно хорошем соответствии с опытными данными. Это дало надежду, что наконец можно вычислять константы взаимодействия мезонов и барионов октета не только в рамках чисто теоретико-групповых моделей. Последующие работы по правилам сумм для пион - барионных констант взаимодействия (см., например, [40, 41, 42, 43] ) позволили сравнить полученные результаты с результатами унитарной симметрии. (Как правило, расхождение в предсказаниях для констант джвв оказывалось довольно большим.) В [72] при участии автора из правил сумм для константы #7гЕ были выведены правила сумм для констант д к и лл Отдельно от работ по пион - барионным константам взаимодействия несколько групп получили правила сумм КХД для каонных констант взаимодействия с барионами (см.,например, [36, 37, 38, 39] ). Характерно, что они были получены и проанализированы практически независимо от аналогичных правил сумм, связанных с пионными константами взаимодействия. В [73, 74] при участии автора было показано, что из известных правил сумм для пион-барионных констант можно построить правила сумм для констант взаимодействия каонов с барионами октета.
Автором были предложены алгебраические соотношения, позволяющие проверять результаты вычислений магнитных моментов барионов и сильных констант взаимодействия и вычислить сильные константы взаимодействия для К мезонов.
Основные цели данной диссертации
Перечислим основные цели данной диссертации:
1. Построение соотношений между поляризационными операторами в рамках квантовой хромодинамики (КХД) для изоскалярной частицы А и изовек торной частицы Е°.
2. Построение соотношений между борелевскими правилами сумм в рамках КХД для масс Е° и Л гиперонов.
3. Построение соотношений между борелевскими правилами сумм в рамках КХД для магнитных моментов Е° и Л гиперонов.
4. Построение соотношений между поляризационными операторами в рамках КХД с участием 7Г° и К мезонов.
5. Построение соотношений между борелевскими правилами сумм и вычисление значений в рамках КХД для сильных констант взаимодействия 7г° и г/ мезонов с Е° Л гиперонами.
6. Построение соотношений между борелевскими правилами сумм и вычисление значений в рамках КХД для сильных констант взаимодействия К мезонов с барионами.
Актуальность
Невозможность непосредственно сравнить между собой результаты различных, часто очень сложных и громоздких вычислений для масс, магнитных моментов, сильных констант взаимодействия Е- и Л -подобных барионов, которые ведутся раздельно, что представляется естественным из-за различного строения соответствующих волновых функций, а также трудности с расчетом Л- подобных барионов, отмеченные еще Иоффе, заставляют нас искать связь между соответствующими борелевскими правилами сумм.
Новизна
В диссертации впервые получены соотношения между поляризационными операторами в КХД для Е°- и Л- гиперонов. Результаты имеют общий характер и позволяют связать между собой правила сумм для масс Е°- и Л- подобных частиц, а также правила сумм для магнитных моментов Е°- и Л- гиперонов. Впервые построены соотношения между правилами сумм для сильных констант взаимодействия л-0 и т] мезонов с Е°- и Л- гиперонами. Построено обобщение этих соотношений на случай сильных констант взаимодействия К мезонов с барионами, позволившие получить в рамках единого подхода константы взаимодействия дкуы, дкУЕ0- Y= Е°, Л. Результаты обобщаются на случай произвольных Е°-подобных и Л-подобных барионов.
Краткое содержание
Во введении кратко изложена история возникновения решаемых в диссертации задач, обоснована актуальность обсуждаемой проблематики, сформулированы цели и аннотировано содержание диссертации.
Первая глава посвящена описанию основных идей и методов на примере нерелятивистской кварковой модели (НРКМ) и SU(3). Вначале дано определение операций us и ds (которые широко используются в дальнейшем) на примере магнитных моментов НРКМ. Далее приведены алгебраические соотношения между волновыми функциями НРКМ (которые являются базисом для последующих утверждений в случае НРКМ). Проиллюстрирована общая идея одного из результатов диссертации на примере соотношений между магнитными моментами гиперонов Е°, Л и магнитного момента перехода Е° —» Л7 в случае НРКМ. Приведены токи для 7Г° и г] мезонов и алгебраические соотношения сильных констант для 7Г°
Между 7Г°Е°Е0 И 7Г°ВВ (дпорр, дпопп, 7тг°+2:+, #тг°Е--, дп°Е»Е°, №=.-=.-), И ДЛЯ 7/
между TJE°E° и г]ВВ (д рр, дщп, Е+Е+, Е--, &р° °, н-н-) в случае 77(3). Проиллюстрирована общая идея одного из результатов диссертации на примере соотношений между сильными константами взаимодействия для 7Г° между 7Г°Е0Е° и 7Г°ЛЛ, и для г] между 77Е°Е° и rjAA в случае 577(3). Приведены алгебраические соотношения между сильными константами взаимодействия для К мезона и константами для 7Г° мезона в случае 577(3). Приведен пример как можно вычислить значения констант дк-ptpi 9к-РЬ 9К°Е°Ё0 И 9К0Е0А зная только соотношения между волновыми функциями (введенные во втором параграфе) и значения констант ur-E+go и g -z+i через F и D.
Во второй главе сформулированы основные результаты диссертации и получе ны борелевские правила сумм в квантовой хромодинамике. Для этого определены поляризационные операторы, токи и алгебраические соотношения между ними (которые являются базисом для дальнейших вычислений) в квантовой хромодинамике. Показано, что соотношения, приведенные в первой главе для магнитных моментов НРКМ, справедливы в случае борелевских правил сумм для масс Е° и Л гиперонов в квантовой хромодинамике. Показано, что соотношения, приведенные в первой главе для магнитных моментов НРКМ, справедливы в случае борелевских правил сумм для магнитных моментов Е° и Л гиперонов и магнитного момента перехода Е° — Л7 в квантовой хромодинамике. Приведены соотношения между борелевскими правилами сумм сильных констант взаимодействия для 7Г° между 7Г0°Е0 и 7Г°ЛЛ, и для г} между г]ТРТР и туЛЛ в квантовой хромодинамике и произведен численный расчет. Построены борелевские правила сумм для сильных констант взаимодействия дк-ptp, 9к-рАі 9К°Е0Т,0 и 9К°Е°А в квантовой хромодинамике и произведен численный расчет.
В третьей главе рассмотрены борелевские правила сумм на световом конусе для сильных констант взаимодействия К и 7г мезонов с октетом барионов в КХД. Токи второй главы обобщены введением свободного параметра t. Показано, что справедливы соотношения, аналогичные рассмотренным во второй главе. Построены борелевские правила сумм на световом конусе для сильных констант взаимодействия Кип мезонов с октетом барионов. Вычислены значения сильных констант взаимодействия К и 7Г мезонов с октетом барионов.
В заключении сформулированы основные результаты диссертации.
В приложении А приведены сильные константы взаимодействия в модели SU(Z). В приложении В приведено преобразование Бореля.
Соотношения между магнитными моментами Е и Л в НРКМ
Квантовая хромодинамика в настоящий момент является общепринятой теорией сильных взаимодействий. В последние годы метод правил сумм в квантовой хроме-динамике стал основным инструментом для вычисления масс, магнитных моментов и констант взаимодействия низко-лежащих состояний мезонов и барионов. Метод правил сумм в квантовой хромодинамике был впервые предложен Шиф-маном, Вайнштейном и Захаровым в 1979 году в работах [1, 2], где были успешно посчитаны массы некоторых мезоных резонансов. В работе Иоффе [3] этот метод был обобщен на случай барионов, были получены первые результаты для масс как обычных [6], так и странных [7] барионов. (Аналогичные вычисления были проделаны Chung в [5]) Позже Иоффе с соавторами [8, 9, 12] определили некоторых динамических свойств барионов, в частности, электромагнитных форм-факторов мезона при средних Q2 значениях в рамках борелевских правил сумм.
В последующих работах на эту тему Иоффе и Беляев в [10,11] и независимо от них Балицкий и Юнг в [13] нашли корреляционную функцию бариона во внешнем электромагнитном поле F . Посчитав член, линейный по F в этой корреляционной функции, они вычислили магнитные моменты протона и нейтрона с 10% погрешностью.
Позже были вычислены магнитные моменты гиперонов Е и S и переходный магнитный момент ЕЛ [28]. Также был вычислен в определенных приближениях и магнитный момент Л. В работах [19, 20, 22], были построены борелевские правила сумм для аксиально-векторных констант слабых распадов гиперонов и / -распада нейтрона, а также для магнитных моментов барионов октета р, п, 2і и 2 . Трудности с расчетами магнитного момента Л были практически преодолены в последующих работах этой группы [21, 23]. В дальнейшем правила сумм и их модификации применялись при вычислении магнитных моментов барионов октета [24, 26, 28], [44, 45], Е, Ес, Лс, Аь и др. Адронные константы взаимодействия с участием мезонов, необходимые для понимания динамики мезон-барионного рассеяния, фоторождения и электророждения мезонов на барионах, а также для понимания картины нарушения унитарной симметрии сильных взаимодействий, также изучались в рамках борелевских правил сумм квантовой хромодинамики. Вначале были вычислены борелевские правила сумм для константы TriV-взаимодействия [32, 33, 34, 35] в достаточно хорошем соответствии с опытными данными. Это дало надежду, что наконец можно вычислять константы взаимодействия мезонов и барионов октета не только в рамках чисто теоретико-групповых моделей. Последующие работы по правилам сумм для пион - барионных констант взаимодействия (см., например, [40, 41, 42, 43] ) позволили сравнить полученные результаты с результатами унитарной симметрии. (Как правило, расхождение в предсказаниях для констант джвв оказывалось довольно большим.) В [72] при участии автора из правил сумм для константы #7гЕ были выведены правила сумм для констант д к и лл Отдельно от работ по пион - барионным константам взаимодействия несколько групп получили правила сумм КХД для каонных констант взаимодействия с барионами (см.,например, [36, 37, 38, 39] ). Характерно, что они были получены и проанализированы практически независимо от аналогичных правил сумм, связанных с пионными константами взаимодействия. В [73, 74] при участии автора было показано, что из известных правил сумм для пион-барионных констант можно построить правила сумм для констант взаимодействия каонов с барионами октета. Автором были предложены алгебраические соотношения, позволяющие проверять результаты вычислений магнитных моментов барионов и сильных констант взаимодействия и вычислить сильные константы взаимодействия для К мезонов. Основные цели данной диссертации Перечислим основные цели данной диссертации: 1. Построение соотношений между поляризационными операторами в рамках квантовой хромодинамики (КХД) для изоскалярной частицы А и изовек торной частицы Е. 2. Построение соотношений между борелевскими правилами сумм в рамках КХД для масс Е и Л гиперонов. 3. Построение соотношений между борелевскими правилами сумм в рамках КХД для магнитных моментов Е и Л гиперонов. 4. Построение соотношений между поляризационными операторами в рамках КХД с участием 7Г и К мезонов. 5. Построение соотношений между борелевскими правилами сумм и вычисление значений в рамках КХД для сильных констант взаимодействия 7г и г/ мезонов с Е Л гиперонами. 6. Построение соотношений между борелевскими правилами сумм и вычисление значений в рамках КХД для сильных констант взаимодействия К мезонов с барионами.
Соотношения между сильными константами взаимодействия для 7Г между 7гЕЕ0 и 7гЕЛ, и для г] между 77ЕЕ и г)АА в SU(3)
Невозможность непосредственно сравнить между собой результаты различных, часто очень сложных и громоздких вычислений для масс, магнитных моментов, сильных констант взаимодействия Е- и Л -подобных барионов, которые ведутся раздельно, что представляется естественным из-за различного строения соответствующих волновых функций, а также трудности с расчетом Л- подобных барионов, отмеченные еще Иоффе, заставляют нас искать связь между соответствующими борелевскими правилами сумм.
В диссертации впервые получены соотношения между поляризационными операторами в КХД для Е- и Л- гиперонов. Результаты имеют общий характер и позволяют связать между собой правила сумм для масс Е- и Л- подобных частиц, а также правила сумм для магнитных моментов Е- и Л- гиперонов. Впервые построены соотношения между правилами сумм для сильных констант взаимодействия л-0 и т] мезонов с Е- и Л- гиперонами. Построено обобщение этих соотношений на случай сильных констант взаимодействия К мезонов с барионами, позволившие получить в рамках единого подхода константы взаимодействия дкуы, дкУЕ0- Y= Е, Л. Результаты обобщаются на случай произвольных Е-подобных и Л-подобных барионов.
Во введении кратко изложена история возникновения решаемых в диссертации задач, обоснована актуальность обсуждаемой проблематики, сформулированы цели и аннотировано содержание диссертации.
Первая глава посвящена описанию основных идей и методов на примере нерелятивистской кварковой модели (НРКМ) и SU(3). Вначале дано определение операций us и ds (которые широко используются в дальнейшем) на примере магнитных моментов НРКМ. Далее приведены алгебраические соотношения между волновыми функциями НРКМ (которые являются базисом для последующих утверждений в случае НРКМ). Проиллюстрирована общая идея одного из результатов диссертации на примере соотношений между магнитными моментами гиперонов Е, Л и магнитного момента перехода Е —» Л7 в случае НРКМ. Приведены токи для 7Г и г] мезонов и алгебраические соотношения сильных констант для 7Г
Между 7ГЕЕ0 И 7ГВВ (дпорр, дпопп, 7тг+2:+, #тгЕ--, дпЕ»Е, №=.-=.-), И ДЛЯ 7/ между TJEE и г]ВВ (д рр, дщп, Е+Е+, Е--, &р , н-н-) в случае 77(3). Проиллюстрирована общая идея одного из результатов диссертации на примере соотношений между сильными константами взаимодействия для 7Г между 7ГЕ0Е и 7ГЛЛ, и для г] между 77ЕЕ и rjAA в случае 577(3). Приведены алгебраические соотношения между сильными константами взаимодействия для К мезона и константами для 7Г мезона в случае 577(3). Приведен пример как можно вычислить значения констант дк-ptpi 9к-РЬ 9КЕЁ0 И 9К0Е0А зная только соотношения между волновыми функциями (введенные во втором параграфе) и значения констант ur-E+go и g -z+i через F и D. Во второй главе сформулированы основные результаты диссертации и получе ны борелевские правила сумм в квантовой хромодинамике. Для этого определены поляризационные операторы, токи и алгебраические соотношения между ними (которые являются базисом для дальнейших вычислений) в квантовой хромодинамике. Показано, что соотношения, приведенные в первой главе для магнитных моментов НРКМ, справедливы в случае борелевских правил сумм для масс Е и Л гиперонов в квантовой хромодинамике. Показано, что соотношения, приведенные в первой главе для магнитных моментов НРКМ, справедливы в случае борелевских правил сумм для магнитных моментов Е и Л гиперонов и магнитного момента перехода Е — Л7 в квантовой хромодинамике. Приведены соотношения между борелевскими правилами сумм сильных констант взаимодействия для 7Г между 7Г0Е0 и 7ГЛЛ, и для г} между г]ТРТР и туЛЛ в квантовой хромодинамике и произведен численный расчет. Построены борелевские правила сумм для сильных констант взаимодействия дк-ptp, 9к-рАі 9КЕ0Т,0 и 9КЕА в квантовой хромодинамике и произведен численный расчет. В третьей главе рассмотрены борелевские правила сумм на световом конусе для сильных констант взаимодействия К и 7г мезонов с октетом барионов в КХД. Токи второй главы обобщены введением свободного параметра t. Показано, что справедливы соотношения, аналогичные рассмотренным во второй главе. Построены борелевские правила сумм на световом конусе для сильных констант взаимодействия Кип мезонов с октетом барионов.
Соотношение между поляризационными операторами и токами в КХД
Пользуясь этой аналогией, можно показать, каким образом, отправляясь от величин, относящихся к Е-гиперону, можно получить соответствующие величины для Л и наоборот. С тем, чтобы получить искомые соотношения, введем наряду с написанными изоспиновыми операторами также соответствующие операторы [/- и V- спина. Прежде всего введем полевые операторы, преобразующиеся как [/-вектор ( с [/з = 0 ) и [/-скаляр, сделав формальную замену (d -» s) в (34): rF = -j=eabc[(uaTCd%sc - (saTCdb)Vc -(uaTCj5db)sc+(saTC%db)uc], г]А = - eabc[-2(uaTCs%dc + (uaTCd%sc + {saTCdb)lbuc +2{ual Clbsb)dc - (ual C%db)sc - (sal Clbdb)uc]. (35) Аналогично введем V-вектор ( с V = 0 ) и ]/-скаляр заменой (и - s) в (34): т? = -Leabc[(saTCub)l5dc - {daTCub)lbsc 1 7=2 -{saTClbub)dc+(daTClbub)s% т]А = -Leabc{-2(saTCdb)%uc + (saTCub)lbdc + (daTCub)l5sc +2{saTCj5db)uc - (saTCj5ub)dc - {daTClbub)sc]. (36) Токи (34), (35) и (36) связаны между собой соотношениями: 2f s) = _ л (37) Здесь надо иметь в виду, что справедливо соотношение [45]: eabc(uaTC%db)sc = -eabc(daTCj5ub)sc (38) Используя равенства (34-37), можно связать между собой двухточечные функции Грина (33) для гиперонов Е и Л следующими соотношениями: 2[пЕ(М + ff - ПЕ = ЗПЛ, (39) 2рЛ( 5) + nA(u s)j _ пл = зп до)
Это существенно нелинейные соотношения. Они показывают, что, получив правило сумм, скажем, для -подобного бариона, мы простой заменой кварко-вых полей, которая является нелинейной операцией, может перейти к правилу сумм для соответствующего Л-подобного бариона и наоборот. Более того, можно получить правило сумм для переходного магнитного момента Е — Л, используя соотношения 2[nEV ) - ПЕ ] = х/3[ПЛЕ + ПЕЛ], (41) 2[пЛ( - ) _ ПА(и" )] = - 3[ПЛЕ + ПЕЛ]. (42) 2.3 Соотношения между борелевскими правилами сумм для масс Е и Л гиперонов в КХД Чтобы увидеть, как работают предложенные нами соотношения, мы продемонстрируем их на примере работы [26] (Hwang), в которой вычислены борелевские правила сумм (БПС) для масс Е и Л. Мы полагаем, что массы ти, rrid, ms не вырождены, т.е. не равны нулю и попарно не равны. А величины aq, b и aqm% ч определены в (30) Мы также определим, следуя [3], множитель для подавления вкладов континуума: Еп{х) = 1 - е х(1 + Х + ... + хп/п\), х = W2B/M\ В = Е, Л, Мы сделаем следующее: возьмем за основу первое из правил сумм (член при структуре 1) (21) в [26] для Е, получим первое правило для Л и сравним результат с (23) в [26].
Если также положить ao(u) = ащ = а к mu = rrid = 0, возвращаемся к борелевским правилам сумм для масс [3] в виде, полученном в формуле (3) в [23]. Итак, начав с борелевских правил сумм при структуре 1 для массы гиперона Е (21) в [26], мы смогли получить с помощью нелинейных соотношений (39) борелевские правила сумм при структуре 1 для массы гиперона Л (23) в [26]. Кроме того, воспользовшись нелинейным соотношениям (40), мы смогли получить борелевские правила сумм при структуре р для массы гиперона Е (22) в [26] из борелевских правил сумм при структуре р для массы гиперона Л (24) в [26].
Теперь обратимся к более сложной задаче построения борелевских правил сумм для магнитных моментов барионов. Повторим вычисления для первого из борелевских правил сумм для магнитных моментов барионов октета из [20], основываясь на [3], и следуя [20], и сохраняя невырожденными массы, вакуумные средние и другие величины кварков и, d и s . Мы не будем повторять вывод этих борелевских правил сумм , сосредоточившись на переходе от борелевских правил сумм для Е - гиперона к борелевскому правилу сумм для Л и для переходного магнитного момента Е — Л , основываясь на соотношениях (39) и (41) соответвенно.
Но пример всех остальных вкладов, включая рассмотренный далее 9-й член ( вклады которого исчезают для всех барионов октета кроме Л в пределе нулевых масс легких кварков) убеждают нас в том, что вклад возможно пропущенной диаграммы также подчиняется соотношениям (39).
Недавно в работах [40], [41], [42] были получены правила сумм КХД для констант взаимодействия 7г- и 7у-мезонов с октетом бариоиов с учетом ненулевой массы ms и (ss) (йи) = (dd). Эти правила сумм хорошо подходят для независимой проверки наших соотношений. Мы воспользуемся соотношения из [40] ( они соответствуют выбору в [42] ло-ренцовой структуры Z75 и параметру t = — 1 в токе, т.е. выбору тока Иоффе).
Правило сумм для 7ГЕ0 обращается в ноль как и в 51/(3), но это дает нам возможность построить борелевские правила сумм для 7Г +Ё и 7Г+_Ё. Для иллюстрации как можно построить правила сумм для 7г Е+Ё или 7г+-Ё из 7гЕЁ0 мы приведем две серии диаграмм (см. диаграммы 16, 17). (Надо также учесть диаграммы с глюонами, но сейчас для простоты мы не будем этого делать, т.к. это не влияет на конечный результат.
Теперь мы можем вывести борелевские правила сумм для констант взаимодействия / -мезонов с октетом барионов, начав с правил для 7гЕЛ и 7гЕЕ заданных выражениями (78,82). Создадим вспомагательпые константы используя выражения для Л , Es и Ли5, E s заданные выражениями (13), а потом вернемся к обычным выражениям с помощью преобразований d «-» s и и - s.
Определим также гиперонные токи rj d3(x;t) с заменой d - s и f]i:us(x;t) с заменой и н s и с их помощью построим вспомогательные корреляторы ПЕ и П us так же как мы это сделали ранее. Для этих величин также справедливы соотношения (39, 40) и (41, 42), полученные нами ранее. Правила сумм, основанные на этом соотношении, играют у нас ключевую роль. Поляризационный оператор (94) для каждого бариона октета В содержит три различные лоренц-инвариантные функции в соответствии с тремя дираковскими структурами, а именно, Ъ цА Р1\ г7б и ЪЪ каждая из которых может быть использована для построения правил сумм.
Соотношения между поляризационными операторами
Соотношения, представленные в выр. (141) и (140), позволяют нам записать все функции корреляции для сильных констант взаимодействия %Q:± и KQ,± с октетом барионов в терминах всего четырех функций. В пределе SU(3)f симметрии, все эти константы взаимодействия связаны через соотношения симметрии. Главное достоинство нашего подхода состоит в том, что наши соотношения не используют точную SU(3)f симметрию, и следовательно, могут быть использованы для изучения различных эффектов нарушения SU(3)f симметрии. Две из этих четырех независимых функций могут получены из слегка видоизмененной функции корреляции ПЕ п .
Заметим, что ток для Е симметричен относительно замены полевого оператора и кварка на полевой оператор d кварка. Следовательно, вклад испускания из d кварка может быть получен из вклада испускания из и кварка простой заменой и и d кварков, т.е. Щ(и, d, s) = U\(d, и, s). Это оставляет нам только два независимых выражения - Пі (и, d, s) и Пг(гг, d, s). Далее, будем использовать формальное выражение: Ui(u,d,s) = {йи\Е\0) n2(w,d,s) = (ssSE00) (144) В Пі, заменяя d на и и используя тот факт, что E(d —» и) = \/2Е+, получим 4Пі(и,и,в) = 2(шЕ+Е +0) (145) (введен множитель 4 с левой стороны, т.к. Е+ имеет два и кварка, существуют 4 способа испускания 7Г, но Пі(гі,и, s) учитывает только один из них.) Также замечая, что Е+ не содержит никаких d кварков, nS o = B uuE+E-+0 + je fsE+E-+0) = \/2Щи,и,з) (146) Аналогично, для Е- получим ПЕ Е_7Г = u(JdS-E-0)+ ,e(wE-S-0 = -x/2n i(d,(i,s) = -\/2ni(d,d,5) (147) что завершает вывод соотношения между константами взаимодействия 7г и Е барионов.
Чтобы вывести соотношения для константы взаимодействия между 7Г и протоном и нейтроном, нам нужны элементы матрицы (uu\NN\0) и (dd\NN\0). Чтобы получить первый элемент матрицы, заметим, что ток протона может быть получен из Е+ тока заменой s кварка на d кварк.
По сравнению с аналитическим выражением для константы взаимодействия нейтрального пиона, аналитическое выражение для константы взаимодействия заряженного пиона получается более сложно. Для этого рассмотрим элемент матрицы (ddEE0). Этот Е барион содержит по одному из и, d и s кварков. В этом элементе матрицы, d кварки испускают конечное dd, а другие и и d кварки являются спектаторами. Аналогично, в элементе матрицы (wdE+E0), d кварк в Е и один из и кварков в Е+ формируют состояние (ud\, а другие и и s кварки в обоих барионах являются спектаторами. Таким образом, логично ожидать, что (GWE0E00) и (udE+E0) - пропорциональны.
Следовательно, заключаем, что все 45 сильных констант связей пионов и каонов с октетом барионов могут быть выражены в терминах только 4х независимых функций без использования цветовой симметрии. В приложении А мы представим каждую функцию корреляции в терминах 4х функций Ui(u,d, s), (і = 1, 2, 3, 4). В этой работе, мы будем работать в точном пределе изосимметрии. В этом пределе не все константы связей независимы. В приложении В мы представим соотношения между константами связей в этом пределе. 3.1.2 Выражения для функций П В предыдущей подсекции было показано, что все функции корреляции могут быть выражены в терминах только 4х аналитических функций, которые могут быть получены из функций корреляции для переходов Е —» Е7г, Е —» БК и Е —» ТРК. Следовательно, достаточно вычислить только функции корреляции только для этих переходов.
В областях — р\ — со и — р\ — со корреляторы могут быть вычислены, используя ОРЕ. Для этих вычислений понадобятся пропагаторы легких кварков и элементы матричной формы (M\q(xi)rq (x2)\0), где М = К0 или 7Г, и Г -Г-матрица. Чтобы изучать SU(3)f эффекты, разложим выражение для пропага-тора легкого кварка до 1го члена по mq и затем для численных расчетов положим ти = rrid = 0 к ms у 0. Элементы матрицы {M\q(xi)Tq (x2}\0) могут быть записаны в терминах амплитуд распределения светового конуса.
Используя дополнительные выражения для полного пропогатора легкого кварка, выр. (163), волновые функции мезона, и разделяющей структуры коэффицен-тов ф 75 можно получить теоретическое выражение для функции корелляции в терминах нескольких конденсатов, амплитуд распределения мезонов и КХД параметров.
Используя точное выражение для коррелятора из КХД, правила сумм можно получить преобразованием Бореля к переменным р\и.р\ = {р\ + q)2 (для подробностей см. например [6]). Тогда, приравнивая конечные результаты феноменологического и вильсоновского подхода, получим правила сумм для соответствующих констант взаимодействия каона и бариона.
Для получения константы взаимодействия мезона и бариона нужно знать перекрывающие амплитуды адронов. В этой секции представлены численные результаты для правила сумм, полученного в предыдущей секции для мезон-барионых констант взаимодействия. Так как мезон-бариоиные константы взаимодействия являются физически измеримыми величинами, они должны быть независимы от вспомогательного Борелевского параметра М2, границы непрерывности so, и параметра t. Таким образом нам нужно найти области этих параметров, в которых мезон-барионные константы взаимодействия не зависят от них.
