Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Особенности комплексных решений диспер-сионных задач для электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами 21
1.1 Введение 21
1.2 Виды краевых задач электродинамики 23
1.2.1 Самосопряженные и несамосопряженные краевые задачи 24
1.2.2 Присоединенные краевые задачи электродинамики 27
1.3 Определение типа оператора для структур, рассматриваемых в диссертации 36
1.3.1 Определение типа оператора для экранированных направляющих структур 36
1.3.2. Определение типов операторов, описывающих открытые направляющие структуры 42
1.4 Особенности методов поиска комплексных решений дисперсионных уравнений 45
1.4.1 Использование метода бисекции для поиска комплексных решений 45
1.4.2 Использование метода Мюллера для поиска комплексных решений дисперсионных уравнений 48
1.4.3 Использование метода вариации фазы для поиска комплексных решений дисперсионных уравнений 50
1.4.4 Комбинированный метод поиска комплексных решений дисперсионных уравнений 51
1.5 Оценка корректности найденных решений краевых задач прикладной электродинамики с использованием комбинированного метода поиска комплексных корней 55
1.6 Особенности программы поиска комплексных решений дисперсионных уравнений 63
1.7 Выводы 70
Глава 2 Решение краевых задач для направляющих электродинамических структур без потерь с использованием МЧО 71
2.1 Введение 71
2.2 Экранированная микрополосковая линия 72
2.2.1 Постановка и решение краевой задачи 72
2.2.2 Критерии корректности алгоритма расчета дисперсионных характеристик ЭМПЛ 86
2.2.3 Графический метод построения структуры электромагнитного поля на основе алгоритма Эйлера 93
2.2.4 Согласующая нагрузка для прямоугольного волновода 99
2.3 Волноводно-щелевая линия 103
2.3.1 Постановка и решение краевой задачи 103
2.3.2 Оценка корректности постановки и решения краевой задачи по нулевому потоку мощности комплексных волн ВЩЛ 121
2.3.3 Расчет фильтра на основе нерегулярной ВЩЛ 127
2.4 Круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод 135
2.5 Выводы 140
Глава 3 Направляющие электродинамические структуры с резистивными пленками 141
3.1 Введение 141
3.2 Экранированная микрополосковая линия с резистивными пленками 142
3.2.1 Постановка краевой задачи 143
3.2.2 Экранированная МПЛ с резистивной пленкой расположенной между слоями диэлектрической подложки 150
3.2.3 Расчет характеристик аттенюатора на базе
экранированной МПЛ с резистивными пленками 159
3.3 Круглый открытый диэлектрический волновод, покрытый резистивной пленкой 168
3.4 Выводы 182
Глава 4 Постановка и решение присоединенной краевой задачи для двухслойных цилиндрических направляющих структур 183
4.1 Введение 183
4.2 Первый вариант решения краевых задач для двухслойных цилиндрических направляющих структур 184
4.3 Второй вариант решения краевой задачи. Присоединенная краевая задача 186
4.3.1 Круглый экранированный двухслойный волновод 186
4.3.2 Круглый открытый диэлектрический волновод 203
4.4 О кратности собственных значений одного из видов краевых задач на уравнении Гельмгольца 205
4.5 Выводы 210
Глава 5 Плазмон-поляритонные волны в металлических наноструктурах на оптических частотах 211
5.1 Введение 211
5.2 Плазмон-поляритонные волны в тонкой металлической пленке 214
5.3 Плазмон-поляритонные волны в структуре металл-диэлектрик-металл 235
5.4 Плазмон-поляритонные волны в цилиндрических направляющих структурах 257
5.4.1 Плазмон-поляритонные волны в круглом металлическом наностержне
258
5.4.2 Плазмон-поляритонные волны в круглом открытом диэлектрическом
волноводе с металлической нанопленкой 263
5.5 Выводы 274
Глава 6 Оптические устройства на базе брегговских волоконных решеток 275
6.1 Введение 275
6.2 Постановка задачи расчета характеристик брэгговских волоконных решеток 276
6.3 Аналитический синтез полосно-заграждающего фильтра на основе неоднородной БВР 285
6.4 Синтез полосно-заграждающего фильтра и компенсатора дисперсии на основе неоднородной БВР с использованием метода Мюллера 295
6.5 Расчета характеристик распространения волн волоконных световодов произвольного профиля показателя преломления 304
6.6 Выводы 316
Глава 7 Решение дифракционных задач проекционными методами с использованием базиса гаусса-лагерра
7.1 Введение 317
7.2 Постановка дифракционной задачи на торцевой границе полубесконечного ОДВ со свободным пространством 318
7.3 Результаты расчета дифракционной задачи 321
7.4 Результаты расчета дифракционной задачи на открытом конце серебряного наностержня 333
7.5 Выводы 337
Заключение 338
Список литературы
- Самосопряженные и несамосопряженные краевые задачи
- Оценка корректности постановки и решения краевой задачи по нулевому потоку мощности комплексных волн ВЩЛ
- Экранированная МПЛ с резистивной пленкой расположенной между слоями диэлектрической подложки
- Первый вариант решения краевых задач для двухслойных цилиндрических направляющих структур
Введение к работе
Современная техника предъявляет повышенные требования к
компонентам, входящим в состав отдельных узлов и блоков радиоаппаратуры
СВЧ и КВЧ диапазонов. Создание надежных узлов с расширенными
функциональными возможностями, удовлетворяющих низким
массогабаритным показателям непосредственно связано с необходимостью разработки новых методов и алгоритмов численного расчета, которые позволят не только улучшить характеристики приборов, но и откроют новые возможности в освоении более высокочастотных диапазонов частот в частности терагерцового и оптического диапазонов, которые интенсивно осваиваются в настоящие время[1-4].
Актуальность проблемы. Широкое освоение СВЧ и КВЧ диапазонов
ставит перед разработчиками задачи создания новой функциональной базы,
использующей неоднородные по поперечному сечению и продольно-
нерегулярные направляющие структуры. Физические явления, происходящие в
таких структурах, представляют собой довольно сложные процессы, для
математического описания которых необходимо составлять корректные
математические модели и алгоритмы с привлечением строгого
электродинамического подхода, основанного на решении уравнений Максвелла. Сложность математического аппарата, адекватно описывающего физические процессы в исследуемых структурах, приводит к тому, что решение поставленных задач невозможно без привлечения современных вычислительных технологий. С этой целью необходимо создавать пакеты программ расчета базовых элементов, ориентированных на работу с имеющимися персональными компьютерами.
Одним из основных вопросов, решаемых при исследовании любой электродинамической структуры, является получение информации о спектре ее волн. Исчерпывающая информация о спектре волн необходима для решения дифракционных задач, на которых, как правило, основывается строгий расчет всех СВЧ и КВЧ устройств [5-9]. Если для регулярных однородно заполненных направляющих структур на основе достаточно простого математического аппарата получена исчерпывающая информация о спектральном составе собственных волн [10-12], то в неоднородных по поперечному сечению и продольно-нерегулярных направляющих структурах хорошо изучены свойства лишь распространяющихся и реактивно-затухающих волн[13-15].
В силу того, что краевые задачи для таких структур являются, как правило, несамосопряженными[16], в спектре должны присутствовать волны с комплексными волновыми числами - комплексные волны(КВ)[17-19], которые существуют в системах без диссипации энергии. Данный класс волн является наиболее общим [20], поэтому исследование свойств комплексных волн (KB) должно дать новый толчок к пониманию моделирования физических процессов, происходящих в электродинамических структурах, и созданию
функциональных узлов, действующих на новых физических принципах. Кроме того, информация о наличии в рабочем диапазоне частот комплексных волн необходима для корректной постановки дифракционных задач, т.к. неучет KB при решении указанных задач может приводить к получению неверных результатов[21, 22].
Наряду с распространяющимися, реактивно затухающими и комплексными волнами в электродинамических структурах, описываемых несамосопряженными операторами, в точках жордановой кратности волновых чисел нормальных волн могут возникать так называемые присоединенные волны [18]. Наличие присоединенных решений в точках жордановой кратности восстанавливает полноту спектра волн рассматриваемой структуры.
Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что исследование
структур, направляющих волны с комплексными волновыми числами, создание
алгоритмов и программ для расчета этих структур с использованием
вычислительной техники является актуальным, что не раз подчеркивалось в
печати, отмечалось на научных конференциях и семинарах. Актуальность
исследования электродинамических структур, описываемых
несамосопряженными операторами, возрастает с развитием интегральной СВЧ и КВЧ техники и технологии объемных и планарных интегральных схем [23], а так же в связи разработкой принципиально новых устройств, например, на основе плазмы [24,25].
Цель работы и программа исследований. Цель диссертации - создание методов решения дисперсионных задач волн электродинамических структур СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов; исследование трансформации спектров волн с комплексными волновыми числами неоднородных и нерегулярных электродинамических структур, получивших достаточно широкое распространение при производстве СВЧ, КВЧ устройств; разработка программных пакетов для машинного проектирования СВЧ, КВЧ компонентов, используемых в радиоэлектронике (аппаратура связи, радиоизмерительная и диагностическая аппаратура и др.), что приведет к сокращению материально-временных затрат на производство указанных компонентов.
Программа исследований состоит из следующих этапов, необходимых для достижения поставленной цели:
формулировка теоретических положений, необходимых для определения типов решаемых краевых задач; априорное определение возможности существования в исследуемых структурах комплексных и присоединенных волн путем анализа краевых задач, описывающих эти структуры;
разработка метода поиска комплексных решений дисперсионных задач, а также метода проверки корректности составленных алгоритмов расчета характеристик электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами [26];
разработка метода поиска решений дисперсионной задачи для присоединенных волн;
разработка графического метода построения картин силовых линий электромагнитных полей;
получение решения дисперсионного уравнения, полученного в результате постановки присоединенной краевой задачи для цилиндрических направляющих структур;
расчет спектров волн базовых электродинамических структур таких как волноводно-щелевая линия (ВЩЛ), экранированная микрополосковая линия (ЭМПЛ), круглый экранированный двухслойный диэлектрический волновод(ДВ), а также направляющих структур с резистивными и металлическими пленками;
анализ трансформации спектра плазмон-поляритонных волн (включая KB) рассматриваемых в диссертации направляющих структур при изменении параметров;
создание основы для разработки программного пакета машинного проектирования;
приложение полученных результатов к расчету функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов.
Методы исследования. При расчете дисперсионных характеристик исследуемых в диссертации электродинамических структур использовались строго обоснованные методы расчета такие как: метод частичных областей (МЧО) [9]и метод поверхностного тока (МПТ) [16, 27, 28].
Научная новизна. В результате выполнения работы:
разработан комбинированный метод поиска комплексных корней дисперсионного уравнения на основе метода Мюллера и метода «Вариации фазы» [18];
предложена методика оценки корректности результатов полученных с использованием МЧО, предложен новый критерий оценки корректности математических моделей, использующих МЧО, по потоку мощности KB;
разработан метод решения дисперсионной задачи для присоединенных волн. Получены собственные значения присоединенной краевой задачи;
разработан графический метод построения силовых линий электрического и магнитного полей на основе алгоритма Эйлера.
предложен метод поиска глобального минимума целевой функции на основе метода Мюллера в применении к расчету устройств на основе брегговских волоконных решеток;
исследованы особенности собственных волн, включая KB, базовых электродинамических структур: ЭМПЛ, ВЩЛ, экранированный двухслойный ДВ, рассмотрена трансформация спектров волн при
изменении параметров структуры, рассчитан поток мощности комплексной волны;
показано существование комплексной волны в структуре с металлической нанопленкой без учета диссипации энергии в металле;
исследована трансформация дисперсионных характеристик плазмон-поляритонных волн в направляющих электродинамических структурах с металлическими нанопленками с учетом комплексности диэлектрической проницаемости металла;
предложен проекционный метод решения дифракционной задачи в неограниченном пространстве с использованием базиса Гаусса-Лагерра;
разработаны алгоритмы и программы для расчета ряда базовых электродинамических структур, широко применяемых при разработки радиоэлектронной аппаратуры.
Практическая ценность. Исследования, проведенные при выполнении работы, и полученные результаты позволили: получить информацию о поведении распространяющихся, реактивно затухающих и комплексных волн ряда базовых направляющих структур, необходимую для решения дифракционных задач, связанных с расчетом СВЧ устройств; созданы математические модели, алгоритмы и программы для проектирования функциональных узлов СВЧ и КВЧ техники.
Результаты, полученные при выполнении диссертационной работы, вошли в отчеты госбюджетным НиР в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг» и в отчеты по хоздоговорным работам, проводимым НГТУ с ОАО «ФНПЦ «ННИПИ «Кварц» им. А.П. Горшкова», ФГУП «ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е. Седакова», «ИХВВ РАН им. Г.Г. Девятых», ФГУП НПП «Салют 27». Программы для расчетов функциональных устройств внесены в библиотеки стандартных программ указанных предприятий.
Обоснованность и достоверность результатов работы. Теоретические результаты, представленные в диссертации, получены на основе строгого электродинамического подхода с применением метода частичных областей и поверхностного тока (МПТ). Проверка корректности полученных результатов осуществлялась: исследованием внутренней сходимости разработанных алгоритмов; с помощью предельных переходов, на основе которых полученные результаты, сравнивались с тестовыми, приведенными в литературе; контролем выполнения граничных условий и закона сохранения энергии; сравнением с результатами эксперимента.
Публикации и апробация работы. По результатам диссертации опубликовано 81 печатная работа, в том числе 19 в журналах, рекомендованных ВАК, 7 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ, сделаны доклады: на Всероссийской конференции «Высокие технологии в
радиоэлектронике», посвященной 100-летию Нижегородской промышленно-художественной выставки 1896 года, на научно-технической конференции факультета информационных систем и технологий НГТУ «ФИСТ-99», Н.Новгород, 1999 год, на Международных конференциях: «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ», Самара, 1999 год, «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2001, 2008, 2011), «Информационные системы и технологии» (Н. Новгород, 2000, 2001, 2003, 2004, 2005, 2010, 2011, 2012, 2013), «Физика и технические приложения волновых процессов» (Челябинск, 2010), «Физика и технические приложения волновых процессов» (Екатеринбург, 2012), «Излучение и рассеяние электромагнитных волн» (2013, Дивноморское, Краснодарский край).
Положения, выносимые на защиту:
-
Модифицированный метод поиска комплексных корней дисперсионных уравнений.
-
Метод оценки корректности результатов решения дисперсионных задач, поставленных в незамкнутой форме, по нулевому среднему потоку мощности собственной комплексной волны.
-
Графический метод расчета структуры электромагнитного поля на основе алгоритма Эйлера.
-
Доказательство существования и метод поиска присоединенных решений несамосопряженных краевых задач.
-
Метод поиска глобального минимума целевой функции на основе метода Мюллера в применении к расчету устройств на основе БВР.
-
Проекционный метод решения дифракционной задачи в неограниченном пространстве с использованием базиса Гаусса-Лагерра.
-
Разработка основы для создания пакета программ для ЭВМ для расчета характеристик базовых электродинамических структур.
-
Результаты исследования трансформации полного спектра волн(включая комплексные волны) экранированных направляющих структур: ЭМПЛ, ВЩЛ.
-
Результаты исследования трансформации полного спектра волн электродинамических структур с резистивными анизотропными пленками:
а) в ЭМПЛ с двухслойной подложкой и резистивной пленкой между
слоями;
б) в круглом открытом диэлектрическом волноводе, покрытом
резистивной пленкой.
10. Результаты расчета характеристик плазмон-поляритонных
волн(включая KB) в электродинамических структурах с
металлическими слоями в оптическом диапазоне частот.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы из 229 наименований. Общий объем работы без учета приложения составляет 364 страницы. Диссертация содержит 220 рисунков и 17 таблиц.
Самосопряженные и несамосопряженные краевые задачи
С развитием функциональной базы радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов, а также в связи с огромным интересом к тонкопленочным технологиям, позволяющим минимизировать размеры узлов РЭА, большое внимание уделяется изучению неоднородных электродинамических структур, которые составляют основу современных СВЧ и КВЧ узлов, датчиков, антенн, интегральных схем планарного и объемного типов [9, 46–51].
Если при проектировании однородно заполненных направляющих структур и устройств на их основе ограничиваются рассмотрением характеристик распространяющихся и реактивно затухающих волн, то при анализе неоднородно заполненных структур приходится учитывать наличие в них комплексных волн(КВ) - волн с комплексными волновыми числами при отсутствии диссипации энергии [9, 21, 23, 32, 52–55].
Полная информация о спектре волн базовых направляющих структур РЭА СВЧ и КВЧ диапазонов позволяет правильно ставить и решать дифракционные задачи, к которым, как правило, приводит расчет различных СВЧ устройств. Поскольку волны с комплексными волновыми числами соответствуют наиболее общему классу решений краевых задач[55], их всестороннее изучение необходимо для получения исчерпывающей информации о физических процессах, происходящих в исследуемых электродинамических структурах. Неучет комплексных волн может привести к неадекватному моделированию создаваемых СВЧ узлов. Поэтому при разработке функциональных узлов РЭА необходимо иметь информацию о возможном существовании КВ в рабочем диапазоне частот создаваемой аппаратуры. Априорно такую информацию можно получить из анализа оператора краевой задачи. Если краевая задача описывается несамосопряженным оператором[56], то можно говорить о наличии в исследуемой структуре КВ [31, 32, 57,58], если краевая задача описывается самосопряженным оператором, то КВ в исследуемой структуре быть не может. Под электродинамическим оператором понимается совокупность дифференциального уравнения и системы граничных условий. Наличие в рассматриваемых электродинамических структурах КВ необходимо учитывать в дифракционных задачах[59, 60].
Широкое изучение за последние десятилетия свойств материалов и создание адекватных математических моделей, учитывающих их свойства, а также развитие компьютерных технологий позволяют создавать алгоритмы расчета тех или иных узлов РЭА, в которых используются реальные характеристики материалов, применяемых в том или ином устройстве. В общем случае электродинамические свойства материалов описываются комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями, поэтому решения краевых задач будут также лежать на плоскости комплексных чисел.
Совершенствование технологии производства элементов РЭА, открытие новых физических явлений, развитее вычислительной техники и программного обеспечения ставят перед разработчиками РЭА следующие задачи: 1. Всестороннее использование новых физических эффектов; 2. Создание адекватных моделей, описывающих свойства структур и материалов, используемых при создании тех или иных узлов РЭА; 3. Расчет узлов и компонентов РЭА, в частности, использующих нанопленки [61, 62] и содержащие области с комплексной диэлектрической проницаемостью[63], с использованием современных средств раз 23 работки программного обеспечения и систем автоматизированного проектирования; 4. Использование современной экспериментально-измерительной базы, необходимой для проверки полученных результатов расчетов и измерения характеристик материалов с комплексной диэлектрической и магнитной проницаемостями. В первой главе дается формулировка прямой краевой задачи и задачи ей сопряженной. Формулируются условия, которые должны выполняться для того, чтобы оператор был самосопряженным.
Для рассматриваемых в диссертации экранированных и открытых электродинамических структур определяются тип оператора и классы ожидаемых решений, на основании чего делается вывод о возможности существования в той или иной структуре комплексных волн.
Приводится постановка и решение присоединенной краевой задачи на примере двухслойных цилиндрических направляющих структур. Делается вывод о кратности собственных значений краевой задачи на уравнении Гельмгольца.
Так как комплексные решения дисперсионных уравнений соответствуют наиболее общим решениям несамосопряженных краевых задач, в главе рассматриваются их особенности и методы поиска.
Виды решений дисперсионной задачи напрямую зависят от того, является краевая задача самосопряженной или несамосопряженной. Решения дисперсионного уравнения, полученного в результате постановки несамосопряженной краевой задачи, в общем случае будут комплексными. Комплексные решения дисперсионного уравнения для направляющих электродинамических структур без диссипации энергии соответствуют комплексным волнам, которые возникают в точке жордановой кратности волновых чисел, и их средний за период поток мощности через поперечное сечение электродинамической структуры равен нулю[23, 31, 32, 57].
Кроме решений, соответствующих нормальным волнам электродинамических структур, описываемых несамосопряженными операторами, существуют так называемые присоединенные решения. Присоединенные решения - это особый вид решений краевых задач, которые соответствуют присоединенным волнам, имеющим линейную зависимость поля от продольной координаты [23]. Характеристики присоединенных волн более подробно будут рассмотрены в параграфе 1.2.2 настоящей главы.
Для присоединенных волн решения дисперсионного уравнения находятся в точках жордановой кратности решений дисперсионного уравнения [64], которые одновременно являются точками возникновения комплексных волн. Два решения краевой задачи на уравнении Гельмгольца, для электродинамических направляющих структур, соответствующих одним и тем же собственным значениям, говорят о кратности собственных значений несамосопряженных краевых задач. Можно утверждать, что существование присоединенных решений является достаточным условием наличия в данной структуре комплексных волн.
Следовательно, определение вида краевой задачи дает нам информацию о наличие тех или иных решений, в том числе и решений присоединенной краевой задачи.
Оценка корректности постановки и решения краевой задачи по нулевому потоку мощности комплексных волн ВЩЛ
Комбинированный метод поиска корней[76–78] является комбинацией метода Мюллера и метода вариации фазы, что позволяет использовать только лучшие стороны обоих методов, а именно: быстроту метода Мюллера и возможность идентификации ложных корней методом вариации фазы.
Одновременное использование метода Мюллера и метода вариации фазы, позволило создать подпрограмму поиска комплексных корней, обладающую хорошим быстродействием. Эта подпрограмма была включена в программы расчета дисперсионных характеристик электродинамических структур, рассматриваемых в настоящей диссертации. На рисунке 1.8 приведена блок схема алгоритма расчета комплексных корней комбинированным методом.
Рассмотрим более подробно суть комбинированного метода поиска комплексных корней. На определенной частоте область поиска по комплексному волновому числу P=P1+ip2 разбивается на К = N-Мподобластей (рисунок 1.9.) на интервале Рє[рнач, Ркон]. На рисунке 1.9 кружками показаны подобласти в которых существуют решения.
Если предполагаемое решение в исследуемой подобласти найдено, то обходом по контуру (рисунок 1.7, а), используя метод вариации фазы, проверяется, является ли найденное решение истинным корнем или локальным минимумом. Если методом вариации фазы подтверждается истинность найденного решения, оно записывается в память. Возможен также вариант поиска, когда сначала методом ва 54 риации фазы определяется наличие в данной подобласти решения, которое затем уточняется методом Мюллера и записывается в память. После этого происходит переход к следующей подобласти.
Когда анализ всех K подобластей закончен, происходит переход на следующую частоту fi+1= fi+hi и описанные выше действия повторяются, до тех пор, пока не пройден заданный частотный диапазон.
Комбинированный метод поиска лишен недостатков, присущих методу Мюллера и методу вариации фазы. Он позволяет использовать быстроту нахождения комплексных корней методом Мюллера и однозначность идентификации комплексного корня методом вариации фазы.
В таблице 1.1. приведены результаты замеров времени при поиске комплексных корней одного и того же дисперсионного уравнения различными методами на персональном компьютере с процессором Intel i7 950 с тактовой частотой 3.07 ГГц, размер ОЗУ – 6 Гб. Результаты были округлены в большую сторону. Для каждого метода в определенном частотном диапазоне найдено одинаковое количество комплексных корней дисперсионного уравнения волн экранированной микрополосковой линии с резистивной пленкой. видно, что наилучшие быстродействие показал метод Мюллера, но наравне с истинными решениями были получены ложные корни, которые метод Мюллера не исключает. Наибольшее время было затрачено при рас 55 чете методом вариации фазы, однако этот метод обладает свойством точной идентификации наличия или отсутствия корня в заданной области.
Метод половинного деления обладает достаточно большим временем поиска комплексных корней и кроме истинных решений выдает ложные(полюса).
Комбинированный метод показал быстродействие близкое к методу Мюллера, но в отличие от него, благодаря использованию метода вариации фазы, он выдает только истинные решения.
На основе комбинированного метода поиска комплексных корней была создана подпрограмма расчета дисперсионных характеристик исследуемых в диссертации направляющих структур в интегрированной среде разработки Microsoft Visual Studio 2010, на языке C++, и получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ[79]. Подпрограмма поиска комплексных корней включена в авторскую программу расчета характеристик волн различных электродинамических структур. Принцип работы разработанной программы будет рассмотрен в параграфе 1.6 данной главы. Листинг подпрограммы поиска комплексных корней дисперсионного уравнения приведен в приложении А.
Основной проверкой корректности решений краевых задач является эксперимент, который может подтвердить или опровергнуть полученные результаты. Однако не всегда имеется возможность быстро и недорого создать экспериментальную установку и найти требуемую измерительную аппаратуру для проведения экспериментальных исследований. Часто требуется провести проверку и оценку полученных результатов расчетов с меньшими материальными и временными затратами. Особенно это важно, если дисперсионное уравнение получается в неявном виде[24, 81, 82]. Рассмотрим корректность решений дисперсионного уравнения полученных комбинированным методом на примере ВЩЛ (рисунок 1.3 б). Общее решение краевой задачи для рассматриваемой структуры представляется бесконечными суммами. Такие задачи называются, поставленными в незамкнутой форме[82].
Используя процедуру метода частичных областей, разбиваем структуру на четыре области, как показано на рисунке 1.3 б. Векторы Герца в выделенных областях, удовлетворяющие уравнению Гельмгольца и граничным условиям Дирихле и Неймана на экране, записываются в виде:
На границе раздела областей записываем условие непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей, из которых получаем систему функциональных уравнений. Применяя условие ортогональности собственных функций краевых задач для выделенных частичных областей, приходим к системе линейных однородных алгебраических уравнений(СЛАУ) бесконечно высокого порядка относительно неизвестных коэффициентов разложения полей в частичных областях, которую решаем методом редукции.
Экранированная МПЛ с резистивной пленкой расположенной между слоями диэлектрической подложки
Наличие комплексных решений дисперсионного выражения подтверждает выводы, сделанные в главе 1, о том, что, если структура описывается несамосопряженным оператором, то в ней могут существовать КВ.
При увеличении ширины щели до размера b1=0.75b2 происходит уменьшение диапазонов частот, в которых существуют КВ. Волны, обозначенные на рисунке 2.24 как НЕк(1), НЕк(2), НЕк(4), исчезают, возникает КВ в точке слияния характеристик НЕ(2) и НЕ(4) (НЕк(1), рисунок 2.25), и происходит увеличение частотного диапазона существования КВ, образованной в точке слияния характеристик волн НЕ(9) и НЕ(10) (НЕк(2), рисунок 2.25).
При дальнейшем увеличении ширины щели происходит уменьшение диапазона частот, в котором существуют КВ НЕк(1) и НЕк(2) (рисунок 2.25), а при ширине щели b1=0.99b2 (рисунок 2.26) остается лишь КВ НЕк(2). При такой ширине щели полученную структуру можно рассматривать как прямоугольный волновод с диэлектрической пластиной. Краевая задача для такой структуры является самосопряженной [23]. В структурах, описываемых самосопряженными операторами, КВ не существуют. Однако, поскольку ширина щели все же не равна ширине экрана (b1=0.99b2), оставшиеся небольшие металлические выступы
При уменьшении диэлектрической проницаемости второй области, влияние металлических выступов ослабевает и диапазон существования КВ НЕ уменьшается. На рисунке 2.27 приведены характеристики для s2=2, b\=0.99b2, a2=0.085aь aз=0.085aь b=0.5b2, а4– a3=0.005aи a5=aи аг=23мм, b2= 1.0мм.
При дальнейшем уменьшении диэлектрической проницаемости КВ НЕк(2) исчезает, а дисперсионные характеристики обычных волн приближаются к дисперсионным характеристикам, соответствующим волнам однородно заполненного прямоугольного волновода с воздушным заполнением.
Обозначения волн (рисунок 2.29) приняты аналогично волнам однородно заполненного прямоугольного волновода. Проведенный предельный переход к однородно заполненному волноводу с воздушным заполнением и полученные при этом результаты могут служить подтверждением корректности разработанного алгоритма и правильности работы созданной программы.
Уменьшение ширины щели приводит к тому, что волна, обозначенная на рисунке 2.24, как НЕ(4), смещается в область более высоких частот и становится шестой по порядку следования критических частот при ширине щели b1=0.2b2(рисунок 2.30, другие параметры те же, что для рисунка 2.24).
В точке слияния характеристик данной волны с характеристикой волны НЕ(7) образуется КВ НЕк(1). Другая КВ, обозначенная на рисунке 2.30 как НЕк(2), образуется в точке слияния дисперсионных характеристик гибридных волн НЕ(10) и НЕ(11).
Области существования комплексных волн при уменьшении ширины щели смещаются в сторону более высоких частот. При дальнейшем уменьшении ширины щели происходит уменьшение диапазона частот, в котором существуют КВ НЕк(1) и НЕк(2) (рисунок 2.31, b1=0.05b2). ВЩЛ трансформируется в два прямоугольных волновода, один с воздушным заполнением, а другой двухслойный. Так как щель оказывает влияние на спектр волн, КВ, по всей видимости, могут существовать до момента полной трансформации ВЩЛ в прямоугольный волновод. Кроме того, при уменьшении ширины щели наблюдается эффект вырождения некоторых волн. Так характеристики волны НЕ(8) и НЕ(9) сближаются (рисунок 2.30) и при b1=0.05b2 (рисунок 2.31), полностью совпадают. Данное вырождение, по всей видимости, также связано с тем, что происходит переход от ВЩЛ к двум прямоугольным волноводам.
Большое влияние на спектр волн ВЩЛ оказывает толщина диэлектрического слоя. Так уменьшение толщины этого слоя до a2+а3=0.086a1 приводит к тому, что КВ, образовавшиеся в точке слияния гибридных волн НЕ(4), НЕ(5) и НЕ(9), НЕ(10) (см. рисунок 2.24) исчезают. При этом возникает КВ в точке слияния характеристик НЕ(7) и НЕ(8) (рисунок 2.32). Дальнейшее уменьшение толщины диэлектрического слоя до a2+а3=0.04a1 приводит к тому, что КВ – НЕк(1) (рисунок 2.33) исчезает, и ни одна из первых десяти волн высших типов не переходит в комплексную волну.
Первый вариант решения краевых задач для двухслойных цилиндрических направляющих структур
Рассматриваемая структура описывается самосопряженной краевой задачей. С позиции теории несамосопряженных операторов комплексные волны в ней существовать не должны. Однако в диапазоне частот, где диэлектрическая проницаемость серебра отрицательна(рисунок 5.3а), вектор Умова-Пойнтинга в пленке направлен в сторону противоположную направлению распространения волны. В точке образования комплексных волн наблюдается выравнивание по модулю потоков мощности в пленке и окружающих средах, а полный поток мощности становится равным нулю.
На рисунке 5.11 изображена частотная зависимость дисперсии и затухания комплексной волны, возникающей в точке 3(рисунок 5.10), в структуре без учета потерь в металле(Рі и р2 - действительная и мнимая часть продольного волнового числа).
Одним из свойств комплексной волны является то, что средний за период поток мощности через поперечное сечение электродинамической структуры равен нулю. На рисунке 5.12 изображена зависимость модуля среднего за период потока мощности от частоты. Модуль среднего за период потока мощности через поперечное сечение металлической пленки изображен сплошной линией, а суммарный модуль потока мощности через внешнюю среду пунктирной линией. Значения потоков мощности в пленке и в окружающей среде имеют противоположные знаки.
Расчеты проводились для значений продольных волновых чисел при движении вдоль дисперсионной характеристики нечетной волны от точки 1 (рисунок 5.10) через точку 3 к точке 2. В точке 3 суммарный поток мощности через поперечное сечение становится равным нулю, эта точка является точкой образования комплексной волны. Нулевой суммарный поток мощности через поперечное сечение электродинамической структуры в среднем за период сохраняется во всем диапазоне существования комплексной волны.
Распределение Ez для комплексной волны вблизи частотной точки ее возникновения 1/А, = 2,872 мкм1 аналогично распределению поля для нечетной волны (рисунок 5.13). Компонента поля Ez для нечетной волны чисто мнимая величина. В точке образования комплексной волны мнимая часть продольного волнового числа равна нулю (продольное волновое число чисто действительное Р/&0 =2,61), поэтому компонента поля Ez комплексной волны так же как и у нечетной волны чисто мнимая величина.
В общем случае продольное волновое число комплексной волны -комплексное Р = P1 + ф2, а, следовательно, компонента поля Ez - комплексная величина, поэтому в дальнейшем приводится зависимость модуля EZ от координаты х.
На рисунке 5.16 приведены дисперсионная характеристика и характеристика затухания с учетом мнимой части диэлектрической проницаемости серебряной пленки толщиной 10 нм, г1 = 3 = 2.84- Видно, что дисперсионная характеристика принципиально отличается от дисперсионной характеристики, полученной для данной структуры без учета потерь в металле(рисунок 5.4). На частоте 1/А, 2,5 мкм1 , наблюдается явно выраженный максимум Р1 k 0 20,7. Данный максимум наблюдается на частоте, где диэлектрическая проницаемость металла по модулю равна диэлектрической проницаемости внешней среды є2 = S1 = 2.84 . В этой частотной точке поверхностная плазмон поляритонная волна становится наиболее замедленной и происходит резкое уменьшение постоянной затухания. Распределение мнимой части (рисунок 5.17) и действительной части компоненты Ez (рисунок 5.18) волны на частоте 1/Я,« 2,5 мкм1 вблизи максимума Р1 k 0 «20,7, р2-a = -0,8 соответствуют распределению Ez нечетной волны в структуре без потерь(рисунок 5.6), граница металл-диэлектрик показана пунктирной линией.
