Введение к работе
Актуальность темы.
Теория обратных волновых задач представляет собой активно развивающееся направление в современной как математической, так и прикладной физике. В акустике под обратными задачами этого типа понимается восстановление источников звука и характеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле, по измерениям акустического поля. Значительно возросший в последние десятилетня интерес к акустическим обратным задачам главным образом обусловлен необходимостью решения актуальнейших проблем медицинской диагностики, разработки акустических томографов, более безопасных, чем рентгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы.. Помимо медицинских приложений, которым в последнее время посвящается все больший объем теоретических и экспериментальных исследований в различных областях науки я. техники, неослабевающий интерес к развитию теории обратных задач излучения и рассеяния в значительной степени связан с решением обширного класса важных прикладных проблем дефектоскопии, геоакустики и акустики океана.
Широкий спектр практических приложений и, соответственно, многообразие постановок обратных задач породило большое количество различных методов их решения. Потребность в учете различных вероятностных аспектов при рассмотрении обратных задач приводит к тому, нто одним из наиболее эффективных является статистический подход. Так, например, к статистической постановке приводит учет ошибок и шумов, неизбежно сопровождающих измерения в любой реальной системе. Обратные задачи рассеяния (ОЗР) являются, как и большинство обратных задач, некорректными, т.е. их решения могут быть весьма критичными к ошибкам в измерениях. Нелинейность ОЗР относительно неизвестных характеристик рассеивателя, .усугубляет положение, делая проблему регуляризации решения значительно более многогранной, по сравнению с линейными задачами. Теория построения регуляризующих .алгоритмов для линейных некорректных задач к настоящему времени детально разработана: определены границы применимости теории регуляризации, исследованы проблемы оценки погрешности решения, получены достаточно полные результаты по сравнению регуляризующих алгоритмов, позволяющие определить наиболее эффективные схемы регуляризации для данного класса задач (работы А.Н. Тихонова, В.Я.Арсенина, А.Б, Бакушинского, В.Г.Васильева, А.В. Гончарского, В.К.Иванова, М.М. Лаврентьева, А.С. Леонова, О.А. Лисковца, В.А.Морозова, А.П. Петрова, В.П. Тананы,
. ?.
А.М.Федотова, А.Г. Яголы и "Др.). ''--' 'Вместе с тем методы решения нелинейных некорректных задач далеко не так полно изучены и продолжают активно развиваться.
В качестве примера некогерентной обратной задачи'излучения (ОЗИ), имеющего важное практическое значение, можно привести обратную задачу акустотермографии - построения карты пространственного распределения внутренней температуры объекта по результатам наблюдения акустического термического шумового излучения. Методы, основанные на регистрации собственных излучений исследуемого объекта, в последнее время преобретают особую актуальность в связи с активным развитием новых методов неинвазивной медицинской диагностики и дефектоскопии. Перспективы применения метода акустотермографии в медицинских приложениях привлекают к нему внимание все большего числа исследователей. В литературе неоднократно обсуждалось создание устройства для измерения распределения глубинной температуры объектов по их собственному тепловому акустическому излучению, проводились численные расчеты и эксперименты (А.А.Аносов, T.Bovven, А.Е.Вилков, В .В. Герасимов, Э.Э. Годик, Ю.В.Гуляев, М.Г.Исрефилов А. Д. Мансфельд, В,й.Миргородский, В.И.Пасечник, С.В.Пешин, А.М.Рейнман и др.). В задачах статистической характеризации излучающих структур или рассеивающих объектов (выявление присутствия 'данной структуры' в исследуемой области и оценки ее параметров, выделение одной структуры на фоне другой или нахождение границы между ними и т.д.) сам процесс формирования поля носит статистический характер. В этом случае исследуемая структура рассматривается как реализация из некоторого ансамбля пространственных случайных функций. Искомыми могут быть или сам вид реализации, или же параметры, характеризующие поведение источника (рассеивателя) как статистического объекта (например, пространственная функция корреляции). Возможна задача одновременной оценки неизвестных параметров распределения и оценки вида конкретной реализации, наблюдаемой в конкретном эксперименте. Практические приложения такого типа задач могут быть весьма разнообразными. В частности, различия в структуре здоровых и имеющих патологии тканей (размеров, ориентации зерен и т.п), кровеносных сосудов могут служить основой для их статистической характеризации.
Перечисленные выше и подобные им задачи относятся к задачам проверки статистических гипотез, и их решение представляет собой статистическую оценку тех или иных характеристик источника или рассеивателя. Наиболее простыми (в принципиальном отношении) являются задачи, имеющие в качестве своего предельного случая детерминистическое
решение. Следует подчеркнуть, однако, что статистический подход и современная интерпретация статистических оценок (например, восстановление недостающей информации с точки зрения максимизации энтропии) позволяют ставить и решать задачи, не имеющие аналога в классе детерминистических. Подход к решению обратных задач как к статистической оценке является традиционным в статистической радиофизике, однако, до сих пор наиболее разработанными являются методы решения обратных задач в детерминистической постановке, с последующим введением процедур регуляризации в те или иные этапы решения. Поэтому на настоящем этапе развитие статистических подходов к решению волновых обратных задач излучения и рассеяния является актуатьным.
Целью диссертационной работы является развитие методов решения акустических обратных задач излучения и рассеяния в статистической постановке.
В связи с этим основные задачи работы состояли в следующем:
-
Разработка статистических методов решения некогерентных волновых обратных задач акустического излучения в приложении к задачам пассивной акустической термотомографии и статистической характериза-ции источников и обратных задач акустического рассеяния с учетом эффектов перерассеяния в случае зашумленных исходных данных.
-
Анализ физических и технических факторов, определяющих возможности использования рассмотренных методов в практических задачах пассивной и активной томографии.
-
Разработка пакета прикладных программ, реализующих предложенные алгоритмы іг проверка их работоспособности на модельных данных, воспроизводящих работу различных акустических систем активной и пассивной томографии. Оценка объема вычислительных затрат, необходимого для численной реализации рассмотренных алгоритмов.
Научная новизна работы.
-
Решена в полной статистической постановке задача получения оценки распределения интенсивности случайных источников с произвольной степенью пространственной когерентности, что позііоляєт производить статистическую характеризацию излучающих структур.
-
Показана практическая перспективность использования метода максимального правдоподобия и предложенной модификации метода Кейпона в задачах томографирования и характеризации термоакустических источников (например, кровеносных сосудов).
.-4-
3. Получено нелинейное обобщение метода винеровской фильтрации для решения обратной задачи рассеяния с учетом эффектов многократных рассеяний в случае зашумленных исходных данных.
Практическая ценность работы.
Одним из наиболее важных, в смысле практической ценности, является сделанный впервые в данной работе вывод о возможности использования метода акустотермотомографии для неинвазивного исследования патологий кровеносной системы, как важного диагностического фактора. Помимо непосредственного исследования состояния кровеносных сосудов, эта методика может быть полезна в качестве источника дополнительной информации при диагностике таких заболеваний, как раковые опухоли, циррозные изменения ткани и т.д. Предложена оптимальная структура и упрощенные схемы реализации акустического термотомографа, основанные на принципе корреляционной обработки сигналов, принимаемых многоэлементной решеткой датчиков, окружающей исследуемый объект.
Разработан алгоритм получения регуляризованных оценок характеристик рассеивателей с учетом эффектов перерассеяния, в случае зашумленных данных рассеяния. Подготовлена теоретическая база, проверенная и уточненная численным моделированием, для применения предложенного алгоритма статистического оценивания в прикладных задачах томографического типа.
Апробация диссертации.
Материалы диссертации докладывались на 22-ом Международном симпозиуме Acoustical Imaging (Флоренция, 1995), на 23-ом Международном симпозиуме Acoustical Imaging (Бостон, 1997) и на семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ. Принят доклад на 25-й Международный симпозиум Acoustical Imaging (Бристоль, 2000).
Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ, перечень которых приводится в конце автореферата.
Структура її объем работы.
Диссертация состоит из трех глав (первая глава - вводная), заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы. Изложение материала систематизировано по параграфам. Общий объем диссертации составляет 211 страниц, в том числе 151 страница основного текста, 43 страницы рисунков, 5 страниц приложений и 12 страниц литературы из 192 наименований.
