Введение к работе
Актуальность темы
Математическое моделирование распространения звуковых и внутренних волн в океане важно не только для более глубокого понимания этих процессов, но и для решения различных прикладных задач. В последнее время интересные для практики задачи относятся в основном к океанскому шельфу, мелким морям и заливам, что приводит к необходимости разработки математических моделей, учитывающих особенности таких акваторий.
Типичные задачи подводной акустики состоят в определении звукового поля в некоторой области пространства по данным, измеренным в отдельной точке или на кривой (трассе). Таким образом, соответствующие математические модели должны допускать постановку начально-краевых задач, эволюционных по выделенной пространственной переменной. Такие задачи для типичных волновых уравнений (уравнение Гельмгольца, классическое волновое уравнение) являются, как правило, некорректными. Поэтому на практике большое распространение получили модели однонаправленного распространения, которые получаются лучевым методом (методом ВКБ), а также методом параболического уравнения.
Метод параболического уравнения, широко применяющий также для решения задач распространения электромагнитных и поверхностных волн, появился в работах М. А. Леонтовича и В. А. Фока при рассмотрении задач приземного распространения радиоволн, далее развивался трудами многочисленных отечественных и зарубежных исследователей, в (далеко не полный) список которых входят Г. В. Малюжинец (электромагнитные волны), F. D. Tappert, Н. Е. Мальцев, К. В. Авилов, О. А. Годин,М. D. Collins, S. Т. McDaniel, В. J. Orchard, P. Joly, J. A. Kriegsmann, L. Fishman и W. L. Sieg-mann (подводная акустика и сейсмика), J. Т. Kirby, R. A. Dalrymple, С. C. Mei, P. L. Liu (поверхностные волны). Количество работ, связанных с этим методом, достаточно велико.
Наиболее распространенным методом получения параболических моделей является метод факторизации с последующей рациональной аппроксимацией операторного квадратного корня. Следует отметить, что в этом методе коммутатор операторного квадратного корня с оператором дифференцирования по эволюционной переменной считается пренебрежимо малым и тем самым предполагается лишь слабая зависимость коэффициентов исходного волнового уравнения от эволюционной переменной. Поэтому такой подход
применим при рассмотрении только достаточно крупномасштабных задач, в случаях, когда допустимо усреднение по вариациям параметров среды более мелких масштабов.
При рассмотрении мезомасштабных и мелкомасштабных задач подводной акустики необходим тщательный учет переменности свойств среды, как водной, так и морского дна. В таких задачах большое значение имеет горизонтальная рефракция звука, а также рефракция и рассеяние звука на внутренних волнах (Наугольных и др., Кацнельсон и др.). Для учета этих факторов вывод параболических моделей следует производить с использованием асимптотических методов, их которых наиболее подходящим представляется метод многих масштабов. Известные ранее примеры применения этого метода (Orchard et al.) содержат неточности и в целом не достигают указанной цели.
Классический метод параболического уравнения применим только для сред с бесконечно малым изменением показателя преломления по поперечным переменным. Этот вопрос подробно разобран в третьем разделе первой главы диссертации. Поскольку при включении в рассмотрение морского дна вертикальные изменения скорости звука и плотности не могут считаться бесконечно малыми, большое значение для подводной акустики среднего и малого масштабов имеет разработка моделей, использующих модовое представление волнового поля по вертикали и параболических по горизонтальным переменным. Впервые такое уравнение (adiabatic mode parabolic equation) получил Collins (1993) методом факторизации и применил к одной крупномасштабной задаче. Проблема получения таких моделей (как стационарных, так и нестационарных), пригодных для расчета звуковых полей в мелком море, является актуальной. Для таких уравнений следует ставить условия прозрачности на искусственных границах, ограничивающих расчетную область. Граничные условия такого типа рассматривались в многочисленных работах, но задача их получения остается весьма актуальной.
Задача разработки простых моделей распространения внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане с переменной топографией дна важна как сама по себе, так и в связи с существенным влиянием этих волн на звуковое поле. Развитие для этих волн метода параболического уравнения, хорошо работающего для поверхностных волн, является актуальной задачей.
Цель работы
Получить новые параболические модели для двумерных и трехмерных задач распространения звуковых и внутренних волн в океане, рассмотреть и исследовать постановки основных начально-краевых (смешанных) задач для полученных уравнений, численно реализовать полученные модели и провести тестирующие модельные расчеты.
Вывести новые граничные условия прозрачности для параболических и волновых уравнений.
В качестве первого шага к построению модовых моделей распространения волн в движущейся среде построить теорию возмущений спектральных задач для звуковых и внутренних волн с учетом течения.
Методы исследования
Для вывода уравнений применялся обобщенный метод многих масштабов и метод разложений по собственным функциям самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов. Для анализа начально-краевых задач применялись классические методы общей теории уравнений в частных производных. В отдельных задачах использовались элементы спектральной теории операторных пучков и теории упорядоченных операторов. Для проверки полученных моделей были использованы тестовые численные расчеты и выполнено сравнение с точными и приближенными (приближение Борна) аналитическими решениями.
Научная новизна
В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
Разработаны параболические модели для задач распространения звука в нестационарных морских волноводах с зависящими от пространственных переменных и времени параметров и течениями;
Рассмотрена в характерном для задач распространения звука в океане случае проблема применения стандартного параболического уравнения для двумерных волноводов, имеющих границу раздела, на которой показатель преломления имеет конечный скачок (разрыв первого рода);
Систематически развит метод многих масштабов в сочетании с методом разложения по собственным функциям для вывода широкоугольных модовых параболических уравнений;
Выведены широкоугольные модовые параболические уравнения, учитывающие все основные характеристики звуковых волноводов в мелком море и излучение звука в другие моды;
Разработан метод параболического уравнения для внутренних волн;
На основе лучевого метода получены и численно реализованы простые абсорбирующие граничные условия для численного решения краевых задач для параболического и волнового уравнений в неограниченных областях;
Методом упорядоченных операторов получены абсорбирующие граничные условия для численного решения смешанных задач для волнового уравнения в неограниченных волноводах с сильной стратификацией скорости звука;
Разработаны методы асимптотического решения спектральных задач для операторных пучков, относящихся к звуковым нормальным волнам на слабом течении и внутренним нормальным волнам на течении со слабым сдвигом, являющиеся расширением классического метода Рэлея для самосопряженных задач.
Практическая значимость работы
Полученные результаты могут быть использованы для акустического мониторинга акваторий и проектирования систем обнаружения подводных объектов на акваториях.
Выведенные уравнения могут быть использованы для новых постановок обратных задач нахождения свойств морской среды по измеряемому звуковому полю или полю внутренних волн.
Параболическое уравнение для внутренних волн может быть использована для прогноза внутреннего волнения в морях и заливах, включая акватории портов.
Апробация работы и публикации
Большая часть результатов работы доложены на семинаре "Нелинейная динамика" Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, профессор С. В. Пранц.). Часть результатов докладывалась на школе-семинаре им. Бреховских (Москва) (1998 и 2003 гг), VII Дальневосточной научно-технической конференции по судовой радиоэлектронике (1-3 мая 1994 г.) Владивосток, 1994, IV Всероссийской акустической конференции
"Исследование и освоение Мирового океана", 22-23 декабря 1998 г. Владивосток, 1998, The 8th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Technique of the Atmosphere and Oceans, Moscow, Russia, 27-31 May 1996, The Sixth Pan Ocean Remote Sensing Conference (PORSEC), Bali, 3-6 September 2002, Дальневосточной школе-семинаре им. Золотова, МЭС "Восток", 2008, конференции памяти Шишмарева, Владивосток, 2008, международном семинаре "Акустика неоднородных сред X", Новосибирск, 1-6 июня 2009. Полностью материалы диссертации были доложены на расширенном семинаре лаборатории механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управления ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН А. А. Буренин), расширенном семинаре отдела физики океана и атмосферы (руководитель д.ф.-м.н, профессор С. В. Пранц), объединенном семинаре Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН М. А. Гузев), Акустическом семинаре Тихоокеанского океанологического института (руководитель д.ф.-м.н, чл.-корр. РАН Г. И. Долгих).
Основные результаты работы опубликованы в 13 статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации результатов докторских диссертаций. Список этих, а также некоторых дополнительных работ приведен в конце реферата.
Личный вклад автора
В работах теоретического характера автору принадлежат постановки задач и основные результаты, в работах, выполненных совместно с экспериментаторами, автором сделан определяющий вклад в теоретическую часть работы.
Структура и объем работы
