Введение к работе
Актуальность темы. — Изучение.хаотических и регулярных свойств нелинейных динамических систем является одним из бурно развивающихся направлений математической (ризики.
Различные проявления феномена хаоса (стохастичиостп) обнаружены и изучаются во многих областях фундаментальной и прикладной науки. Выявлено, что хаотическое поведение является типичным свойством N-мерных нелинейных детерминированных систем.
Мної не фундаментальные понятия и результаты эргоднческой теории такие как теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера , биллиард Синая, штроппя Колмогорова-Синая (КС), страдные аттракторы, дпфф/узпя и преобразование Арнольда, "подкова" Смейла, система Аносова, система Колмогорова и т.д. предопределили качественно новый взгляд как на многие традиционные проблемы (например, турбулентность), так и на проблемы, возникшие относительно недавно (например, спиновые стекла).
Одновременно, бурное развитие компьютерной техники сделало возможным не только проверку многих теоретических предсказаний, но н прпве К) к обнаружению новых эффектов в процессе самого численного ,им. пі іл. .^ же первое чиє іенное исследование системы нелинейных ОСИП. I-ія юрок предприия юс (14-)).4111. Паста 11 N ламом в 19") 1 году привело к обнаружению яв іенпя. впоследствии названном солптонамп. Компьютеры ока іллпсі, решающими, например, при обнаружении Фейгепбаумом унп-ве|к a.iuioi о (кеплпша при бифуркациях удвоения . Эта деятельность, в свою очередь, привела к необходимости разработки специальных численных меюдов и алгоритмов для исследования стохастичиостп систем эсновываясь на результатах теории динамических систем, например, для вычисления показателей Ляпунова многомерных систем.
Вопросы изучения различных хаотических и фрактальных свойств нелинейных динамических систем являются ключевыми также для многих астрофизических проблем. Ряд неожиданных эффектов, непосред-: твенно связанных с хаосом выявлены при исследовании динамики и эво-поцпп Солнечной спсіе.мьі и звездных систем, кругшомасшіабной структуры Вселенной, анизотропии Космического микроволнового релпкюво-~о излучения, неоднородных космологических моделей и т.д .
Примечательно, что одна из пионерских работ, положившая начало интенсивным исследованиям в области хаоса - численный анализ модс-
ли Хенона-Хейлеса была стимулирована астрофизической проблемой, а именно, имела цель описание движения в аксиально- симметричном потенциале Галактики.
В теории динамических систем сформулированы основные определения и критерии, позволяющие причислять заданную систему к разряду "хаотических". Правда, эти критерии не всегда легко применимы к конкретным проблемам.
Так, одним из наиболее распространенных методов анализа хаотических свойств нелинейных динамических систем является вычисление характеристических показателей Ляпунова и энтропии Колмогорова-Синая; эти методы, однако, эффективны лишь для систем малой размерности.
Другие методы включают анализ геометрических свойств фазового пространства, в частности, знакоопределенность двумерной кривизны фазового пространства , перекрывание резонансов Чирикова, сечение Пуанкаре п т.д., которые достаточно эффективны при компьютерных исследованиях. Представление системы в виде итерационных отображений в ряде случаев позволяет получить информацию о конкретном механизме перехода к хаосу. Дело в том, что хаотическое поведение не зависит от конкретного вида итерационного отображения, а, при определенных необходимых условиях, как было показано Фейгенбаумом, является типичным свойством целого класса разностных уравнений. Поскольку условия появления Фейгенбаумовского перехода достаточно естественны (унимодальность функции - гладкость отображения с единственным максимумом в заданном интервале и отрицательность производной Шварца), то вышеупомянутый переход наблюдается во многих нелинейных системах. Существует тесная связь между гамнльтоновыми системами с двумя степенями свободы и сохраняющими площадь отображениями двумерной поверхности на себя. И обратно, любую консервативную динамическую систему, заданную итерационным отображением, можно описать и гамильтонианом, который получается разложением отображения в ряд Фурье. Итерационные отображения, как правило, зависят от управляющего параметра, что эквивалентно величине возмущения в гамильтоновых системах. Например,для многих моделей включая Хенона- Хейлеса и Ула-ма (иллюстрирующей механизм ускорения Ферми космических лучей), показано, что при увеличении величины управляющего параметра траектории систем из регулярных становятся хаотическими. Во многих слу-
чаях такой переход происходит путем последовательного удвоения перп-
ола~;п)іТ/кеііпя".~ шпоттГдоОтекоторого критического-значения параметра. —
после коюрпіи .івлженпе системы становится полностью хаотическим. Разработан ряд количественных характеристик для описания хаотического <чп на. і а. В рамках данного подхода также можно проводить классификацию споем- по различнымпутям перехода к хаосу. В настоящее-время и тес і ц],1. по крайней мере, три механизма, по которы.м повеление не пшенных динамических систем становится хаотическим.
Существует обширный класс геометрических методов, позволяющих и< <міе/іока и, повеление динамических сіюсм. В частности, строгие результант получены для геодезических потоков на компактных многообразиях с отрицательной кривизной: близкие геодезические расходятся со скорое її.к) не ниже экспоненциальной, как в случае однополостпого гипербо.топлн. ')|ц системы являются системой Аносова, имеют положительную КС- жтропшо, обладают счетнократным лебеговским спектром и перемешиванием всех степеней.
Этот геометрический подход мы используем как для описания степени хаотичности систем N гравитирующих тел (критерий кривизны Рич-чп).а іак.ке і ;я ,н і іелованпя иерархической подструктуры э гпх спо<е\і: последнее ик iiw'i.n'i разработку «ют не і ствующего алгоритма с пос.іе,і\-іоіппм применением к конкретным физическим системам - скоплениям і а.іак пік.
Meio.'i S іревесньїх диаграмм, в отлпчне от других статне шчеекпх меюдов само(о1 іасованньш образом інчюльзует как позиционную, іак п чПнема і іічеі к\;о информацию о частицах системы.
Целью настоящей диссертационной работы является исследование
\ноі пче< и їх і: регулярных свойств некоторых классов динамических т-мем с iii/jiiiiiiMii ряда численных методов и алгоритмов. Исследованньїс
ПСТеМЫ ВЫДелЯЮТСЯ СВОеЙ СЛОЖНОСТЬЮ СреДН СИОеМ раССМОіреННЬІХ pcl-
іее. и хотя они имеют первостепенный астрофизический интерес, результаты и выводы могут иметь более широкое применение. Статистические войства сік іем \ іел занимают особое место в спектре этих проблем. В данной рабо іе в одних случаях мы используем известные крп їсти п соответствующие алгоритмы для систем, к которым они ранее к' прнмепя пив. в чругпх - памп развиты соответствуюупше алгорпі-1Ы, которые затем применены к конкретным проблемам. Л именно, мы
применяем следующие методы изучения статистических свойств нелинейных динамических систем:
1.Определение показателей Ляпунова и КС-энтропии
-
Метод кривизны Риччи
-
Бифуркации итерационных отображений
-
Геометрический метод S-диаграмм.
Научная новизна.
-
Для цепочной системы ф-і обнаружена область сильной нестабильности при определенных значениях параметров А и В путем применения метода показателей Ляпунова.
-
Система Кошшш-Канеко впервые исследована на предмет существования бифуркаций удвоения периода. Обнаружено наличие бифуркаций при переходе к хаосу и численно определено значение постоянной Фспгенбаума о и оценено критическое значение управляющего параметра к.
]. Впервые критерий Рпччп относительного хаоса применен к численному исследованию статистических свойств гамильтоновых систем в зависимое пі or времени.
4. Впервые разработан алгоритм обработки выходной информации метода S-древесных диаграмм.
о. Разработанный алгоритм обработки информации метода S- диаграмм применен к реальной системе, а именно для выявления иерархической подструктуры скоплений галактик.
Практическая ценность работы
Геометрические методы описанные в работе исследуют свойства фазового пространства п как критерий нестабильности рассматривается отрицательность кривизны фазового пространства. Это позволяет также избежать вышеупомянутые сложности и, например, основного недостатка метода характеристических показателей Ляпунова и КС-энтропии отсутствия универсального условия для выбора необходимого количествг итераций.
Проведенный анализ системы Кониши-Канеко дает новые возможно стц для исследования различных физических систем с большим количе
г і вом частіш, т.к. позволяет избежать многих трудностей, связанных с изучением статистических свойств системы N-тел.
Алгоритм обработки выходной "іТш]юр~машш метода"S-древесныхдиа-
і рамм шачптелыю облегчает исследование систем большой размерности, что особенно ощутимо в случае Л' > 1000 частиц.
IVivii.iaii.i работы в целом показали необходимость тщательного подбора численного метода и соответствующих критериев при исследовании сіапк пічесміх свойств заданной нелинейной системы: геометрические меюды при лом. как показано, обладают особой эффективностью при изучении многомерных систем.
Нп защиту выносятся:
-
Исследование хаотических свойств цепочной системы Ф-4 с применением численного метода характеристических показателей Ляпунова и определение зависимости КС-энтропии от параметров системы.
-
Численное исследование итерационного отображения - системы Конппш-Канеко и обнаружение механизма бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу. Определение основных количественных харак-іерік їй!. - мис іоятптоп Фейгсттблума и порогового значения параметра
Ч. lb с іе.'ювапне хаоїпчпосі и .\-час і пчиой системы с помоппло алт-|)ііі.\і;і крпвінни І'пччп. Определение зависимости криви шы 1'пччп оз. [).(!. іпчпьіх парамс і ров - чнерпш и вращательного момеша.
1. І'а ірабо і iwi ллгорніма обработки выходной ннфор.маипн меюда S-.іревесньїх диаграмм п его применение к скоплению галактик Персея.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на летен школе но космо к)1 ни и астрофизике (Ватикан. 1995). на симпозиуме по релятивистской астрономии (Рим. 1995). на Армяно-Французском коллоквиуме по астрофизике (Вюракан, 1995), на семинарах в ЕрФИ, ЕГУ, университетах Ла Гапиениа (Италия). Оассекс (Великобритания), в обсерватории Медои («Франция).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения,
чеіьірех їлан. 'іаключення п списка литературы; содержит )1)() страниц
напечатанного текста, включая 13 рисунков и 78 библиографических ссылок .
