Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы получения и обработки случайных чисел 12
1.1. Введение 12
1.2. Методы программной генерации псевдослучайных чисел 13
1.3. Методы и устройства для получения случайных чисел на основе физических датчиков 16
1.3.1. Генераторы шума на электронных лампах 17
1.3.2. Источники случайного сигнала, регистрирующие процесс радиоактивного распада 18
1.3.3. Полупроводниковые генераторы шума 19
1.3.4. Аппаратные генераторы случайных чисел, встроенные в микропроцессоры 21
1.3.5. Аппаратные генераторы случайных чисел, выполненные в виде периферийных устройств ЭВМ 27
1.4. Методы формирования случайных последовательностей с заданной корреляционной функцией 32
1.5. Методы формирования случайных последовательностей с заданной плотностью распределения вероятностей 36
1.5.1. Формирование последовательностей некоррелированных случайных чисел с заданным законом распределения методом обратной функции 38
1.5.2. Формирование последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения и корреляционной функцией 39
1.6. Методы идентификации законов распределения 42
1.6.1. Метод кривых Пирсона 43
1.6.2. Метод топографической классификации распределений 45
1.6.3. Методы, основанные на аппроксимации гистограммы 47
1.7. Выводы 49
Глава 2. Аппаратно-программный генератор случайных чисел 51
2.1. Введение 51
2.2. Аппаратный генератор случайных чисел 51
2.2.1. Блок первичного источника шума 52
2.2.2. Блок преобразования и обработки шумового сигнала 55
2.2.3. Блок сопряжения с ЭВМ через интерфейс USB 61
2.3. Программное обеспечение генератора случайных чисел 62
2.3.1. Модуль сбора и первичной обработки данных 64
2.3.2. Модуль генерации коррелированных случайных чисел 66
2.3.3. Модуль преобразования закона распределения случайной последовательности 81
2.4. Тестирование генерируемых случайных последовательностей по методике NIST 96
2.5. Выводы 102
Глава 3. Идентификация и моделирование законов распределения, наблюдаемых в экспериментах 104
3.1. Введение 104
3.2. Метод идентификации плотности распределения на основе алгоритма чувствительности и уравнения Пирсона 105
3.2.1. Описание алгоритма чувствительности 108
3.2.2. Идентификация плотностей распределений, получаемых при помощи аппаратно-программного генератора 112
3.2.3. Исследование свойств получаемых оценок параметров уравнения Пирсона 117
3.3. Развитие метода идентификации закона распределения на основе использования априорной информации о функции распределения . 125
3.4. Получение последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения 150
3.5.1. Получение последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения на основе результатов использования уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности 150
3.5.2. Получение последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения на основе результатов использования полиномов Эрмита 153
3.6. Выводы 156
Глава 4. Результаты применения разработанного аппаратно-программного комплекса 158
4.1. Введение 158
4.2. Моделирование процессов трения и износа материалов 158
4.3. Идентификация плотностей распределений значений хода пружин манометров 162
4.4. Использование разработанного комплекса в учебном процессе 171
4.5. Выводы 176
Заключение 177
Список использованных источников 179
Приложения
- Методы и устройства для получения случайных чисел на основе физических датчиков
- Тестирование генерируемых случайных последовательностей по методике NIST
- Метод идентификации плотности распределения на основе алгоритма чувствительности и уравнения Пирсона
- Идентификация плотностей распределений значений хода пружин манометров
Введение к работе
В целом ряде областей науки и техники изучение влияния случайных возмущений на протекание тех или иных физических процессов является ключевой задачей. Случайные возмущения накладывают принципиальные ограничения на точность контроля того или иного процесса, что создает серьезные трудности при решении задачи управления данным процессом [1]. Полностью устранить влияние шумов невозможно, однако, существуют способы минимизации этих влияний, иными словами, способы подавления шума.
Вместе с тем, существует ряд областей, в которых наличие шума является необходимым условием, К таким областям относятся, в первую очередь, задачи моделирования на основе метода Монте-Карло [2,3], задачи криптографии [4], генерации паролей и т.д. В таких системах используются специальные средства, позволяющие получать последовательности реализаций некоторой случайной величины, обладающей заданными статистическими характеристиками.
Развитие современной вычислительной техники обусловило применение цифровых вычислительных машин как для решения задач борьбы с влиянием случайных факторов, так и для задач получения и исследования случайных величин. Как показал анализ существующих разработок, различные авторы предлагают лишь частные решения задачи генерации случайных чисел, а также оценивания параметров случайных величин [5-8]. В частности, существует большое количество аппаратных и программных генераторов случайных чисел, множество алгоритмов формирования реализаций случайной величины с заданными параметрами, а также идентификации закона распределения случайной величины. Однако, несмотря на это, не удалось обнаружить систем, позволяющих решать указанные задачи в комплексе. Более того, предлагаемые разработки
зачастую являются недостаточно исследованными, либо детальные характеристики предлагаемых программных и аппаратных продуктов не приведены, что ставит под сомнение возможность их практического применения. Следует отметить также определенную утрату интереса к разработке данной тематики в России, несмотря на то, что за рубежом она продолжает бурно развиваться, о чем свидетельствует большое количество публикаций [9-12], посвященных методам генерации истинно случайных чисел, обладающих требуемыми статистическими характеристиками.
В рамках данной работы создан аппаратно-программный комплекс, предназначенный для генерирования и исследования последовательностей случайных чисел. Данный комплекс позволяет решать следующие задачи:
получение последовательностей истинно случайных чисел на основе аппаратного датчика;
идентификация закона распределения случайной величины на основе выборки, полученной экспериментально, для дальнейшего компьютерного моделирования исследуемого физического процесса;
генерирование случайных последовательностей с заданным законом распределения;
получение последовательностей случайных чисел, характеризующихся заданной пользователем корреляционной функцией. Актуальность работы обусловлена отсутствием на российском рынке
законченных программно-аппаратных решений, которые могут быть использованы в задачах исследования и моделирования случайных процессов. Не найдены отечественные разработки, которые являются завершенными и достаточно универсальными. Зарубежные разработки весьма дорогостоящи, кроме того, они не всегда доступны отечественному пользователю. В частности, это связано с тем, что, например, в США существует запрет на вывоз «сильных» датчиков случайных чисел, которые могут быть использованы в задачах криптографии [] 3].
7 Цель работы заключается в создании аппаратно-программного генератора истинно случайных чисел, а также в разработке программных средств, позволяющих получать случайные последовательности требуемого объема, элементы которых подчиняются заданному закону распределения, при этом статистическая взаимосвязь между элементами определяется заданной пользователем автокорреляционной функцией.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи;
создание аппаратного устройства, позволяющего генерировать истинно случайные равномерно распределенные числа и передавать их в ЭВМ;
исследование качества генерируемых случайных чисел, сравнение его с существующими в мире аналогами;
разработка и программная реализация алгоритмов формирования случайных чисел с требуемым законом распределения;
создание алгоритмов генерации последовательностей случайных чисел с заданной автокорреляционной функцией;
разработка способов идентификации законов распределения случайных выборок, получаемых экспериментально, а также методик генерации случайных чисел с идентифицированными законами распределения.
Методы выполнения исследований, Теоретическая часть работы выполнена с использованием методов теории вероятностей и математической статистики, методов математического моделирования и методов идентификации нелинейных динамических объектов.
Для исследования статистических свойств случайных чисел,
г получаемых при помощи предложенного генератора, создан опытный
образец аппаратного генератора случайных чисел, сопрягаемого с ЭВМ типа
ІВМРС. Проведено тестирование получаемых случайных чисел на основе пакета NIST Statistical Test Suite [14].
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что впервые были получены следующие результаты:
предложен способ генерации случайных чисел на основе использования специализированного шумового диода, с автоматической настройкой генератора случайных чисел при помощи обратной связи;
разработан способ одновременной идентификации плотности и функции распределения случайной величины на основе алгоритма чувствительности и уравнения Пирсона;
разработана методика генерирования случайных последовательностей с заданной корреляционной функцией, на основе метода скользящего суммирования с применением псевдообратных матриц;
предложен способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнений, получаемой при аппроксимации плотностей распределения при помощи полиномов Эрмита, путем использования диагональной матрицы весовых коэффициентов, пропорциональных относительным ошибкам вычисления полиномов;
предложен алгоритм формирования истинно случайных чисел, подчиняющихся требуемому закону распределения, на основе использования ортогональных полиномов Эрмита,
Практическая ценность работы заключается в следующем. Созданный аппаратно-программный генератор случайных чисел использован при задании разброса механических свойств материала при моделировании процесса износа методом подвижных клеточных автоматов, разработанном в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН. Применение разработанного генератора позволило в ряде случаев повысить достоверность результатов моделирования, за счет отсутствия «дефектов случайности» получаемых случайных чисел.
На основе предложенного алгоритма идентификации плотностей распределений получено аналитическое выражение для плотности распределения перемещения наконечника (хода) трубчатой пружины манометра в процессе настройки [15]. Данный результат был применен при проведении на ОАО «Манотомь» НИР в направлении автоматизации процесса настройки манометров.
Разработаны и внедрены в учебный процесс лабораторные работы, использующие аппаратно-программный комплекс для моделирования и исследования стохастических процессов.
Реализация результатов работы. Изготовлено четыре экземпляра аппаратно-программного комплекса для моделирования и исследования стохастических процессов. Данные комплексы применяются для математического моделирования, для решения задач идентификации законов распределения, а также используются в учебном процессе при подготовке студентов. Результаты диссертационной работы были внедрены в ИФПМ СО РАН, на ОАО «Манотомь», а также в ТУСУРе.
Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на X и XI Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, соответственно 2004 г. и 2005 г.), Международных научно-практических конференциях «Электронные средства и системы управления» (г. Томск, 2004 г. и 2005 г.), Всероссийских научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2004-2006 г.г.), а также на научных семинарах кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР), Выполнение данной работы осуществлялось при поддержке гранта А04-3.20-558 для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ВУЗов Федерального агентства по образованию.
Личный вклад автора в выполнение работы. Определение основных направлений деятельности, постановка задач и выбор методик исследований осуществлялись автором совместно с научным руководителем. Все результаты, описанные в данной работе, были получены автором лично,
Публикации. По материалам диссертации опубликовано десять печатных работ.
Основные положения, выносимые на защиту.
Способ получения равномерно распределенных истинно случайных чисел на основе физического датчика, представляющего собой полупроводниковый диод - генератор шума.
Результаты исследований статистических свойств генерируемых случайных чисел, показывающие их высокое качество в смысле прохождения тестов по методике NIST.
Способ формирования последовательностей случайных чисел, коррелированных по заданному закону.
Методика идентификации закона распределения случайной величины на основе уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности.
Способ регуляризации решения СЛАУ, основанный на использовании диагональной матрицы весовых коэффициентов, пропорциональных относительным ошибкам вычисления.
В первой главе рассмотрены существующие способы получения истинно случайных и псевдослучайных чисел с заданными статистическими свойствами, проведен анализ практической применимости данных способов. Рассмотрены существующие алгоритмы идентификации плотностей статистических распределений.
Во второй главе представлены результаты разработки аппаратно-
i программного комплекса для моделирования и исследования стохастических
процессов. Описаны аппаратная и программная части комплекса, приведены
результаты тестирования получаемых случайных последовательностей на
основе пакета NIST Statistical Tests Suite. Рассмотрены реализованные в программном обеспечении способы генерации последовательностей случайных чисел, плотность распределения и автокорреляционная функция которых имеют вид, заданный пользователем.
В третьей главе приведены результаты использования уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности для идентификации плотностей статистических распределений, оценено влияние параметров исходных данных на получаемые оценки параметров уравнения Пирсона. Представлена разработанная методика аппроксимации плотностей распределений при помощи полиномов Эрмита. Рассмотрены результаты применения разработанных методов аппроксимации плотностей распределений для генерации последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения.
В четвертой главе представлены результаты применения разработанного аппаратно-программного комплекса для решения задач математического моделирования, в учебном процессе, а также при исследовании случайных факторов в производственном процессе.
В приложениях приведены схема электрическая принципиальная разработанного устройства, результаты тестирования последовательностей случайных чисел, полученных при помощи различных генераторов, а также документы, подтверждающие внедрение и использование результатов диссертационной работы.
Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору кафедры ИИТ ТУСУРа Светлакову А.А., коллективу кафедры ИИТ, а также своим родителям за всемерную помощь и поддержку при написании диссертационной работы.
Методы и устройства для получения случайных чисел на основе физических датчиков
Класс устройств, используемых для получения случайных чисел в ЭВМ, получил название аппаратных или физических датчиков случайных чисел. Такой датчик подключается к ЭВМ и выдает случайное число в одну из ячеек памяти машины. Отличительной особенностью подобных устройств является то, что генерируемые ими случайные числа являются, по сути, измеренными значениями какого-либо случайного физического процесса, и, вследствие этого, генерируемые датчиком последовательности значений случайной величины непериодические (если, конечно, не периодичен используемый физический процесс) и непредсказуемые. К недостаткам подобного рода устройств можно отнести невозможность повторного воспроизведения вычислений, и, что более важно, возможность изменения параметров устройства в процессе работы под влиянием внешних факторов -температуры, электрических и электромагнитных полей, старения элементной базы и т.д. В силу этих причин физические датчики используются достаточно редко. Необходимо заметить, что аппаратно-программные генераторы случайных чисел, выполненные путем сопряжения физического датчика и ЭВМ, являются более универсальными по сравнению с чисто аппаратными устройствами. К преимуществам аппаратно-программных датчиков относятся: 1) возможность диагностики характеристик физического датчика, а также стабилизации этих характеристик на основе использования обратных связей; 2) возможность преобразования статистических характеристик получаемых случайных чисел (вид и параметры закона распределения, автокорреляционная функция) к виду, задаваемому пользователем; 3) возможность сохранения в памяти ЭВМ полученных последовательностей случайных чисел для их повторного использования.
Основой большинства физических датчиков является первичный источник шума. В настоящее время в качестве первичных источников шума используются электронные приборы различных типов. К ним относятся специальные шумовые сопротивления, полупроводниковые приборы, электронные лампы и т.д.
Исторически, первые генераторы шума были основаны на использовании электроламповых диодов. Шумы в таких устройствах обусловлены дискретной природой электрического тока лампы и называются дробовыми. Вылет электронов из катода и немедленное их движение к аноду (в случае, если диод работает в режиме насыщения) приводит к появлению импульса анодного тока. Вылеты электронов из катода суть явления случайные и независимые. Поэтому анодный ток диода представляет собой сумму независимых случайных импульсов. В связи с тем, что одновременно в пространстве между катодом и анодом находится очень большое количество электронов (порядка 2.54017 при среднем анодном токе 40 мА), несмотря на строго определенную форму одиночного импульса, суммарный шумовой ток имеет нормальное распределение мгновенных значений амплитуд и близок к т.н. «белому шуму» [7]. Достоинствами данного подхода являются: 1) большая ширина спектра шумового сигнала; 2) возможность контролировать интенсивность шумов по величине входного тока; и 3) малая чувствительность к изменению анодного напряжения. В то же время анодный ток сильно зависит от напряжения накала, поэтому необходимо питать нить накала лампы от высокостабильного источника. Недостатком данного класса устройств являются большая потребляемая мощность и габариты, и, как следствие, неэффективность использования данного подхода. Схожими недостатками обладают также первичные источники шума на газоразрядных приборах и тиратронах [7].
Наряду с электронными лампами получили распространение первичные источники случайного сигнала, основанные на регистрации процесса радиоактивного распада. Радиоактивный распад - явление случайное, весьма стабильное во времени и не зависящее от внешних условий. Каждый акт радиоактивного распада атома - явление случайное и независимое или, во всяком случае, весьма слабо связанное с другими аналогичными актами.
В общем случае радиоактивные изотопы испускают альфа- и бета частицы и гамма лучи. Воздействуя на детекторы излучения, они в конечном итоге преобразуются в импульсы напряжения. Характеристики этого напряжения зависят как от типа изотопа, так и от типа детектора излучения. В зависимости от требований, предъявляемых к генератору, применяются различные типы детекторов. Преимущественно в них используется явление ионизации газовой среды (ионизационные камеры и газоразрядные счетчики). При необходимости получать достаточно высокие средние частоты следования импульсов применяются сцинтилляционные и полупроводниковые детекторы [7].
Тестирование генерируемых случайных последовательностей по методике NIST
Возможность использования того или иного генератора случайных чисел в практических приложениях определяется качеством случайных чисел, которые могут быть получены при помощи данного генератора. Необходимо отметить, что на функционирование как аппаратных, так и программных генераторов случайных чисел всегда оказывают влияние те или иные факторы, приводящие к появлению детерминированной составляющей в генерируемой последовательности случайных чисел. Так, на работу практически любого аппаратного генератора влияют электромагнитные наводки, колебания напряжения питания, изменение температуры окружающей среды и т.д. С другой стороны, функционирование всех программных генераторов осуществляется по некоторомгу заранее заданному алгоритму, т.е. оно детерминировано по своей сути. Таким образом, под качеством случайных чисел в данном случае понимается степень соответствия получаемых последовательностей случайных чисел некоторым требованиям. При этом требования задаются таким образом, что позволяют выявить степень детерминированности (либо меру энтропии) генерируемых случайных чисел, а значит, определить, насколько адекватной моделью реализаций некоторой случайной величины являются получаемые с помощью данного генератора случайные числа.
В настоящее время развито большое количество подходов к оценке качества результатов работы генераторов случайных чисел [14, 24]. Однако наибольшее распространение в мире получила методика, предложенная в 1999 году Национальным институтом стандартов и технологий (NIST) США. Данная методика основана на применении для анализа качества случайных чисел пакета из 16 статистических тестов, при этом результаты данных тестов особым образом обрабатываются [14]. Суть методики тестирования NIST состоит в следующем.
Пусть дана двоичная последовательность S = {s\, s2, ..., }, я, є {0; 1} длиной п бит. Принятие решения о том, проходит ли данная последовательность статистический тест, опирается на вычисление для статистики теста c(S) соответствующего значения вероятности Р. Здесь статистика теста рассматривается как реализация случайной величины, которая подчиняется известному закону распределения. Статистика теста строится таким образом, чтобы её большие значения указывали на какой-либо дефект случайности последовательности. Значение вероятности Р есть вероятность того, что статистика теста примет значение большее, чем наблюдаемое при опыте в предположении случайности последовательности. Следовательно, малые значения Р (Р 0.05 или Р 0.01) интерпретируются как доказательство того, что последовательность не случайна. Критерий принятия решения о случайности либо неслучайности последовательности формулируется так: для фиксированного уровня значимости а, двоичная последовательность S не проходит статистический тест, если значение вероятности Р а. Значения а рекомендуется выбирать из интервала [0.01; 0.05]. Использование данного подхода имеет дополнительное преимущество, которое заключается в том, что однажды рассчитанное значение вероятности Р может сравниваться с произвольно выбранным уровнем значимости а без проведения дополнительных расчетов.
Пакет NIST STS включает в себя 16 статистических тестов, которые разработаны для проверки гипотезы о случайности двоичных последовательностей произвольной длины, порождаемых ГСЧ или ГПСЧ. Все тесты направлены на выявление различных дефектов случайности.
Основным принципом тестирования является проверка нулевой гипотезы Щ, заключающейся в том, что тестируемая последовательность является случайной. Альтернативной гипотезой На является гипотеза о том, что тестируемая последовательность не случайна. По результатам применения каждого теста нулевая гипотеза либо принимается, либо отвергается. Решение о том, будет ли заданная последовательность нулей и единиц случайной или нет, принимается по совокупности результатов всех тестов.
Тестирование отдельной двоичной последовательности S производится следующим образом: 1. выдвигается нулевая гипотеза Я0 - предположение о том, что данная двоичная последовательность S случайна; 2. по последовательности S вычисляется статистика теста c(S); 3. с использованием специальной функции и статистики теста вычисляется значение вероятностиР-f{c(S) ),Рє [0, 1]; 4. значение вероятности Р сравнивается с уровнем значимости а, а є [0.01, 0.05]; если Р а, то гипотеза Я0 принимается, в противном случае принимается альтернативная гипотеза.
Как уже было сказано, пакет включает в себя 16 статистических тестов. Но фактически, в зависимости от входных параметров вычисляется 189 значений вероятности Р, которые можно рассматривать как результаты работы отдельных тестов. В Приложении 2 приведены своднвіе данные по всем тестам с указанием количества вычисляемых значений вероятности Р, математического смысла статистики теста и дефекта, на выявление которого направлен тест.
Метод идентификации плотности распределения на основе алгоритма чувствительности и уравнения Пирсона
Для идентификации типа закона распределения случайной величины и нахождения его параметров часто применяется метод, основанный на использовании уравнения К. Пирсона [43]. Данное уравнение, в соответствии с (1.21), имеет следующий вид:
где у(х) - плотность распределения вероятности случайной величины X. Заметим, что здесь и далее буквами X и х обозначаются соответственно случайная величина и ее конкретное значение. Решение уравнения (3.1) в общем виде представляет собой следующую формулу:
Как показано в [43], в зависимости от значений коэффициентов а0, bo, Ъ) и Ь2 выражение (3,2) может описывать одиннадцать классов законов распределения, среди которых встречаются такие распространенные законы, как нормальный и равномерный законы распределения, а также гамма-распределение, бета-распределение и др. Класс закона распределения устанавливается на основе анализа значений критериев D и Я, определяемых равенствами
Коэффициенты ао, bo, bi и b2 вычисляются на основе выборочных оценок первых четырех центральных моментов случайной величины X следующим образом: где jik - выборочные оценки центральных моментов случайной величины Хк-го порядка соответственно. Отметим, что, как видно из соотношений (3.5) и (3.7), коэффициенты ао и Ь/ равны. Отметим также, что коэффициент а0 численно равен моде случайной величины X.
Как известно из теории вероятностей [61], оценки центральных выборочных моментов вычисляются следующим образом: где N- объем выборки.
Использование уравнения Пирсона для аппроксимации плотности распределения некоторой случайной величины требует, чтобы исследуемая случайная величина была центрированной, т.е. ее математическое ожидание было равно нулю. Как будет показано далее, попытки аппроксимации нецентрированной случайной величины приводят к существенному смещению значений неизвестных коэффициентов уравнения Пирсона, что может сказаться на результате идентификации закона распределения. Однако в рамках поставленной в данной главе задачи моделирования случайной величины с требуемым законом распределения данный факт не является большой проблемой. Можно вначале, центрировав исследуемую выборку, провести идентификацию ее плотности распределения, затем получить реализации центрированной случайной величины, и, наконец, прибавив к полученным реализациям оценку математического ожидания, получить последовательность реализаций искомой случайной величины, закон распределения которой совпадает с наблюдаемым в эксперименте.
Таким образом, задача идентификации закона распределения некоторой случайной величины X и нахождения его параметров сводится к вьиислениго коэффициентов а0, b0, bj и Ъ2 уравнения (3.1) и критериев D и Я на основе имеющихся реализаций х:, х2,...,хп. Накопленный к настоящему времени опыт практического применения изложенного выше метода идентификации законов распределения случайных величин показывает, что при его реализации в целом ряде случаев возникают весьма значительные вычислительные проблемы, связанные с плохой обусловленностью и, как следствие, с неудовлетворительной точностью получаемых решений. В рамках данной работы к решению указанной задачи предложен подход, основанный на использовании алгоритма чувствительности [63].
Одним из наиболее эффективных алгоритмов, позволяющих оценивать порядок и неизвестные параметры обыкновенного дифференциального уравнения, является алгоритм чувствительности [44]. Он основан на использовании хорошо известного в численном анализе метода линеаризации нелинейных функций и так называемых функций чувствительности W, по параметрам решения у = у(л,х) дифференциального уравнения, определяемых равенствами где а = (аиа2,...,ап)т - вектор-столбец неизвестных параметров размерности п; Т - символ операций транспонирования векторов и матриц. Из данных равенств непосредственно видно, что функция чувствительности W, - это частная производная по параметру а{ от у=у{я,х), являющейся функцией переменной х и параметров д,. і = I, n. Алгоритм чувствительности является итерационным. Для описания последовательности вычислительных операций, выполняемых на каждой итерации, будем считать, что нам даны m значений у;с функции у = у(а.,х) соответствующие значениям хк переменной X, где m - некоторое ограниченное натуральное число, такое, что ш п,я нами уже выполнено к-1 итераций, где к - некоторое натуральное число, принимающее значения =1,2,3,..., и получен вектор оценок ак [ параметров ап1 = \,п. Представим вектор а новых оценок а,к параметров aiti = \,n, которые нам необходимо получить, равенством вида Из данного равенства непосредственно видно, что для вычисления вектора а необходимо и достаточно вычислить вектор поправок Да . Как это и принято в подобных ситуациях, будем считать, что компоненты вектора Да
Идентификация плотностей распределений значений хода пружин манометров
Одним из практически важных приложений разработанного и описанного в главе 3 алгоритма идентификации плотностей распределений является решение задачи идентификации плотностей распределений значений хода пружин манометров [77]. Известно, что при производстве манометров важным этапом является этап настройки манометра [78]. На этом этапе производится подача давления в трубчатую пружину, замеряется ее ход и на основе измеренного хода производится закрепление тяги таким образом, чтобы обеспечить корректные показания манометра [79].
Необходимость в привлечении специализированного математического аппарата возникла на ОАО «Манотомь» в связи с проведением НИР в направлении автоматизации регулировки манометров. Выбор оптимального размера тяги для целого класса приборов потребовал детального исследования ходовых свойств манометра и установления наиболее вероятного значения хода пружины. Отметим, что наиболее вероятное значение хода пружины манометра в большинстве случаев отличается от среднего арифметического значения хода [68].
В математической модели манометра параметром, участвующим в выборе координаты крепления тяги, является ее длина. Установление этого размера постоянным для всей массы приборов напрямую связано с диапазоном варьирования значений хода и его наиболее вероятным значением [78,79].
Для осуществления автоматизированной настройки манометров требуется информация о статистических характеристиках значений хода трубчатой пружины, которые представляют собой реализации случайной величины, подчиняющейся некоторому заранее неизвестному закону распределения, Таким образом, при анализе процесса автоматизированной настройки манометров необходимо установить тип закона распределения, которому подчиняются измеренные значения хода пружины, а также получить оценки его параметров, иными словами, провести идентификацию закона распределения.
В данной работе для решения задачи идентификации закона распределения хода трубчатой пружины манометра был использован подход, основанный на использовании уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности. Отметим, что данный подход позволяет осуществлять идентификацию типа закона распределения и получать оценки его параметров в автоматическом режиме, т.е. без участия человека.
На основе методики, изложенной в п.3.2, была проведена идентификация законов распределения измеренных значений хода пружины манометров. Данные значения были получены в ходе настройки манометров, изготавливаемых в ОАО «Манотомь» (г. Томск) [79].
Использовались данные по настройке двух серий манометров (далее -серия №1 и серия №2). Каждая серия включала по шесть партий, при этом объем партии для серии №1 составлял N= 7770 изделий, а для серии №2 -ТУ-4850 изделий.
При идентификации плотностей распределений двух серий манометров количество интервалов гистограммы выбиралось следующим образом:
Значения тт-ш и ттах вычислялись при помощи формул (3.34) и (3,35). Выражение (4.1) было получено автором эмпирически; при этом, тот факт, что количество интервалов гистограммы, вычисляемое при помощи выражения (4.1), близко к ттах обусловлен достаточно большим объемом исследуемых выборок (N=7770 для первой серии выборок, N = 4850 для второй серии выборок). Отметим, что объем выборок равен количеству манометров в одной партии. Количество интервалов гистограммы, вычисленное в соответствии с выражением (4.1) для выборок серии №1 составило т, «1.1375-77700,4 =41, для выборок серии №2 -т2 wl.1375-48500 4 -34. На рисунке 4.3 представлены результаты идентификации плотностей распределений хода пружин для партий манометров из первой серии.
