Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Энергетический принцип 18
I. Линеаризованные МГД-уравнения и граничные условия 18
2. Самосопряженность МТД-оператора и формулировка энергетического принпипа 22
3. Функционал потенциальной энергии в координатах, связанных с магнитными поверхностями 24
4. Двумерные равновесия. Координаты с выпрямленными силовыми линиями 28
5. Редуцированный функционал потенциальной энергии 31
6. Критерий устойчивости мелкомасштабных баллонных мод 35
7. Метод псевдосмещения. Вакуумная часть функционала потенциальной энергии 39
Глава 2. Методы решения задач идеальной МГД-устойчивости 43
1. Цилиндрическая симметрия. Одномерная задача 43
2. Гибридные конечные элементы. Особенности разностных схем, численная дестабилизация 48
3. Применение метода конечных элементов в задачах МГД-устойчивости. Спектральная сходимость 55
4. Двумерное расширение метода гибридных конечных элементов 61
5. Аппроксимация без дестабилизации в многомерном случае 65
6. Разностные схемы для редуцированной задачи определения устойчивости 69
7. Алгебраическая задача на собственные значения 74
8. Тестовые расчеты устойчивости аналитических равновесий 75
9. Расчеты границы устойчивости. Сравнение методов 80
Глава 3. Предельно устойчивые равновесия в токамаках . 87
I. Предельные относительно устойчивости мелкомасштабных баллонных мод равновесия 87
2 Двухшаговая процедура определения предельно устойчивых равновесий 90
3. Результаты расчетов предельных значений в токамаках 91
4. Законы подобия для предельных /3 96
Заключение 100
Приложение 101
Литература
- Функционал потенциальной энергии в координатах, связанных с магнитными поверхностями
- Метод псевдосмещения. Вакуумная часть функционала потенциальной энергии
- Применение метода конечных элементов в задачах МГД-устойчивости. Спектральная сходимость
- Двухшаговая процедура определения предельно устойчивых равновесий
Функционал потенциальной энергии в координатах, связанных с магнитными поверхностями
Из закона сохранения энергии (I.3I) следует так называемый энергетический принцип /3/, /б/: при положительно определенном функционале IV ( \/% I W(fi) - кинетическая энергия X решений динамической задачи (1.20) ограничена (устойчивость); если существует смещение 0 такое, что W(%o Ъо) т0 найдется решение (1.20) с экспоненциально нарастающей кинетической энергией (неустойчивость).
Первая часть этого утверждения непосредственно следует из (I.3I), поскольку Для доказательства второй части достаточно оценить кине тическую энергию на решении уравнения (1.20) с начальными условиями (о)= 0 Э\/Э(о) - о , где Wffe, fj « г? /б/.
Замечание. Доказательство энергетического принципа использует существование решения задачи (1.20), (1.23), (1.26) - (1.28) при произвольных начальных условиях, что накладывает определенные ограничения на исследуемые равновесные конфигурации /41/.
Согласно энергетическому принципу изучение устойчивости плазмы сводится к минимизации квадратичной формы (1.34)-(1.37) на множестве пар функций ( 9 /\ ), удовлетворяющих граничішм условиям (1.26)-(1.28) и уравнению (1.23). Однако можно показать, что условия (1.23), (1.27) являются естественными при минимизации функционала (1.34)-(1.37) /6/ и, следовательно, достаточно найти минимум потенциальной энергии для ( % 9 А ), удовлетворяющих лишь условиям (I.26) и (I.28).
Для такой задачи минимизации при нормировке уравнения (1.23), (1.29) служат уравнениями Эйлера, а собственные числа uf спектральной задачи (1.29) выполняют роль множителей Лагранжа. Из самосопряженности оператора Р следует, что (/f - действительные числа. Неустойчивости соответствует существование CtF P . Таким образом, определение устойчивости эквивалентно определению знака старшего собственного числа вариационной задачи на собственные значения S ( W - uf- К) = ? с граничными условиями (1.26), (1.28). Замечание. В случае закрепленной границы W= Wt , а единственное граничное условие есть (1.24): VL-%-0 Условие (1.25) при этом выполняется автоматически. Пусть &(г) - некоторая функция, линии уровня которой однозначно определяют равновесные магнитные поверхности, т.е. . & \7a. = t? . Система координат ( A, &f-$ ), где &,$ z[o,27/) - циклические переменные, называется потоковой. Перепишем функционал Wt (1.35) в удобном симметричном виде. Для этого разложим вектор смещения по трем орто гональным направлениям: __ Заметим, прежде всего, что из уравнений равновесия (I.I3) следует: Поэтому где j = -f - СЧ- В) g z. и последний интеграл обращается в нуль в силу граничного условия (1.10). Поскольку Q= VK( X&) - V fjxg ) , компонента смещения, параллельная магнитному полю, входит лишь в один член функционала Vl/ь
Пусть (ц 9 9 5) -Гх, 2 ) - некоторая система потоковых координат. Если метрические коэффициенты этой системы не зависят от $ , то равновесное магнитное поле можно представить в виде /41/ (1.43) & = Г рМ /« где ковариантные и контравариантные векторы, метрические коэффициенты и Якобиан определяются обычным образом: S = \7.Х ( . - і и f =ё -ё , t = ё}-еК)
Существует всего три типа двумерных равновесных конфигураций /4Я/. Пусть ( , 5 ) - цилиндрические координаты. Цилиндрическая симметрия. Функции у ж 0 зависят только от и (f , ос?- н . При этом = . - % ЯгС Осевая симметрия. Функции Ц/ ж & зависят только от и , .%3= р , ё3=2ё , /33= -.
Винтовая симметрия. Функции и Q зависят только от и 2-fc(/ , где 01 - шаг винта. В качестве третьей координаты в этом случае удобно выбрать длину дуги винтовой линии, которая определяется уравнениями:
Обозначив ZoCs) радиус-вектор точки на винтовой линии, можно следующим образом представить радиус-вектор произвольной точки где HXs) - главная нормаль, (s) - бинормаль винтовой линии, a U и V - некоторые координаты, зависящие, как МОЛЕНО показать, только от и 2 --L f . Пользуясь формулами Френе /50/, найдем Є3 и #33 :
Метод псевдосмещения. Вакуумная часть функционала потенциальной энергии
Калибровку для векторного потенциала А (1.22) возмущения магнитного поля в вакуумной области можно выбрать различными способами. Некоторыми преимуществами обладает следующее представление (1.68) A = f гг у Вр и соответственно калибровка Bps А - ? /29/, где векторное поле Вы » определенное в вакуумной области, удовлетворяет условию Vе Bpj=О (но не обязательно V Bt?s & ) Поскольку в плазменной области возмущение магнитного поля есть Q = І2Р можно трактовать как псевдосмещение, a &j s - псевдополе в вакуумной области. Отметим, что при условии разрешимости относительно функции U. уравнения (1.69) 3 -\7А- = Bps d для произвольного векторного поля /I , справедливо представление которое обосновывает калибровку Bps I = о
В двумерном случае по аналогии с плазменной областью удобно использовать следующее Bps : и разложение для псевдосмещения
Если на границе плазма-вакуум задать рт следующим образом то граничные условия (1.26), (1.28) сводятся к f f r на границе плазмы и 2 на кожухе. (При этом предполагается, что граница плазмы и кожух - линии уровня функции - ). Доопределил Fy на всю вакуумную область: где = / на границе плазмы. Условие где & - целое, обеспечивает разрешимость уравнения (1.69). Если 0 непрерывно через границу плазмы, то на этой границе выполнены соотношения и выбрав мы получим %т %s где fc значение фактора запаса устойчивости на границе плазмы, и при #s ф- /А уравнение (1.69) разрешимо. Способ задания "псевдомагнитных" поверхностей С - = сои проиллюстрируем на примере осесимметричнои конфигурации. Пусть граница плазмы задана в виде:
Тогда линии уровня функции V можно задать следующигл образом: (1.70) 2Г о Ъ) = i + , )( ( ) - О. где в качестве ы, 2 можно, например, выбрать координаты магнитной оси. Из (1.70) следует, что линии O -Q L - это лучи, исходящие из точки ( -2 , ). Если функцию Р определить как i.7i /fyvb- ,, $-СЛ-1), где Ц/ф- О на границе плазмы и i w на кожухе, то кожух подобен границе плазмы с коэффициентом подобия JV и центром подобия в точке ( 4 2 ), В более общем случае, если координаты кожуха задаются в виде функцию fC iT &?ґ) можно заДать следующим образом: Поскольку при больших Л кожух, определенный по (1.70),(1.71), пересекает ось k-o , удобно определить новый кожух, "обрезав" поперечное сечение подобного плазме кожуха по оси - о (см.рис.1.1), то есть задав 9w С&г) следующим образом: СССР
Одним из преимуществ представления (1.68) является однородность записи плазменной и вакууішой частей функционала потенциальной энергии. Действительно вакуумная часть функционала Wyj- (1.36) может быть записана в виде, совпадающем с (1.42) при %=fv , 3 3,г. / аким образом, специальных методов, например, численной аппроксимации, для вакуумной части функционала при использовании метода псевдосмещения не требуется.
Для изучения методов аппроксшлапии удобно использовать в качестве модельной задачу об устойчивости пдлиндрически симметричной плазмы.
Рассмотрим круглый плазменный цилиндр длиной 2їїЯ ( -радиус эквивалентного тора) с единичным радиусом сечения и отождествленными концами. Пусть ( ,( ) ідшшдрические координаты, связанные с его осью. Тогда, если параметры равновесного состояния зависят только от , то из уравнений равновесия (І.ІЗ) следует:
Применение метода конечных элементов в задачах МГД-устойчивости. Спектральная сходимость
Пусть квадратичные формы W(IZ IZ) и К(,и,) порождаются не прерывными симметричными билинейными формами вида Сі и —J L- -J у где lit] -((4,( (Az Us2 / — верхний индекс z означает транспонирование. Матрицы W и К симметричны, причем W/f O . Задача определения собственного решения {СО ,&.) как стационарной точки лагранжиана W-cdzk? формулируется следующим образом: найти й)2- э О IZ s U , что (2.20) W(a}v) = и?К(й,?) 9 Vv U Без ограничения общности можно предполагать, что существует о о такое, что (Этого всегда можно добиться добавив со% ( &) к W(&t v) и сдвинув тем самым спектр исходной задачи).
Используя лемму Лакса-Мильграма /4/, можно определить непрерывный линейный оператор Т . U —= Ц (2.21) ty(Tb,v) - K(u,v) у tf V .V \ " 17. Оператор Т самосопряжен в пространстве U со скалярным произведением W( j ) . Кроме того, Од и и. являются собственным решением (2.20), если и только если М- f/ti)2-есть собственное число оператора Т , то есть Ttz - / . Естественно определить спектр вариационной задачи (2.19) как //&(Т) , где о (і) - спектр оператора Т
Важной особенностью рассматриваемой задачи, в отличие от классических эллиптических задач, является некомпактность опе-ратора / , которая есть следствие наличия в билинейной форме WfHj н) производных лишь от одной компоненты вектора и. /5/. Спектр оператора Т кроме дискретного спектра может со держать непрерывные ветви, точки сгущения, собственные значения с бесконечной кратностью. Несмотря на это, в силу самосопряжен ности / , его спектр обладает экстремальными свойствами, в частности Перейдем теперь к методу конечных элементов. Пусть U QU к - О последовательность конечномерных базисных подпространств, таких, что (2.22) & / /_ Ц И - Hh\Ur - О 9 fa V Аппроксимируем задачу (2.20): найти (л)\ О Ф ик /д, , такие, что N (2.23) ЫОьЛ) Ml №,VQ, К & Є Vk.. Аналогично (2.21) можно определить оператор Т . i/j - Uk Оператор / компактен, поскольку пространство %, конечномерно, его спектр 6у(ТU дискретен и совпадает с обратными собственными значениями задачи (2.23).
Задача (2.23), в свою очередь, эквивалентна алгебраической задаче на собственные значения {Mti}j - базис пространства Uk (A - XiU . Опера-тор 7 в этом базисе имеет матрицу 4 -5 Вследствие некомпактности оператора / выполнения условия (2.22) не достаточно для хорошей ашфоксшапии спектра б (Т) последовательностью &(Th) \i о , Например, использование обычных кусочно-линейных базисных функций для всех компонент вектора 1с приводит к искажению спектра /5/: существует последовательность /% s 6ХТ(о) такая, что / -»/ , L- о ; / &{Т). Выполнение дополнительно условия (2.24) lb sp ш/ ft Tuh-Vh\ly =0 устраняет искажение спектра. Условие (2.24), полученное в /13/, /14/ для более широкого класса задач с некомпактным разрешающим оператором Т , приводит к весьма естественному требованию на выбор базисных функций (/б/, /44/)для нашей задачи.
Если для первой компоненты вектора И используется кусочно-линейный базис, то две другие должны быть постоянны на каждом шаге сетки. При таком выборе базисных функций для собственных чисел и векторов (при одинарной кратности собственного числа) справедливы оценки /44/: \f-J k\ CltZ , I - ShUhllir. СЬ , где «//( — і , // ,// -= 4 , L= 1Ь-Г - максимальный шаг сетки. В работе /45/ предложены базисные подпространства и проверено (2.24) для задач МГД-устойчивости в двумерном случае.
Перейдем теперь от традиционного м.к.э. к методу гибридных к.э. Основное формальное отличие этого метода состоит в том, что базисные пространства 6 не являются подпространствами исходного пространства V /46/. Для двумерного обобщения метода г.к.э. /15/ условия (2.22) и (2.24), обеспечивающие спектральную сходимость и отсутствие искажения спектра, были проверены в /46/. Однако, в одномерном случае доказательство спектральной сходимости метода г.к.э. легко получить другим способом. Воспользуемся леммой I из /5/.
Основная идея метода г.к.э. - выбор аппроксимации, при которой все слагаемые в каждом члене функционала имеют одинаковую функциональную зависимость,- может быть осуществлена и в двумерном случае /15/. Подобное двумерное обобщение метода г.к.э. вызывает, однако, проблемы, связанные с аппроксимацией оператора ( В-\7 ) вблизи резонансных поверхностей. Для того, чтобы получить порядок сходимости по А/Q - числу точек сетки в полоидальном направлении -ОС Л/Q2") приходится корректировать тороидальное волновое число VI ; требуется также тщательное изучение сходимости для получения точного результата /23/. Для нахождения собственных чисел очень больших, хотя и разреженных матриц, к которым приводит этот метод, ещё не найдено достаточно эффективного метода. Метод обратной итерации, который используется для этой цели, не учитывает разреженность матриц в достаточной степени /53/.
Другая возможность - использование конечных рядов Фурье по полоидальной переменной 9 ТА гибридных конечных элементов по потоковой переменной CL . В двумерном случае коэффициенты функционала не являются функциями лишь потоковой переменной, и требование одинаковой функциональной зависимости, вообще говоря, не выполнено при таком выборе аппроксимации. Рассмотршл, например, минимум одного из членов функционала (1.46) по Ц при фиксированном f
Двухшаговая процедура определения предельно устойчивых равновесий
Чтобы избежать численной дестабилизации, достаточно аппроксимировать #(л) кусочно-линейной функцией и применять при интегрировании по л, квадратуры, точные для многочленов 2-го порядка.
Возможны другие подходы к построению разностных схем для редуцированной задачи устойчивости. Отметим, прежде всего, что такую схему можно получить из алпроксимащи полной задачи, как это продемонстрировано на модельном примере в 2.
Для этой цели целесообразно использовать схему, полученную при помощи двумерного расширения метода гибридных конечных элементов с устраненной дестабилизацией (поправка (2.38) к "гибридному" функционалу (2.31) ). "Чистый" метод г.к.э. приводит на таком пути к отсутствию спектральной сходимости соответствующей схемы для редуцированной задачи (см. 2,5). Именно по этой причине оказывается неработоспособной преобразованная в #W - код программа ERATO /24/. другая возможность - применение двумерного расширения метода г.к.э. непосредственно к редуцированному функционалу потенциальной энергии (1.55). Способ построения разностной схемы отличается от описанного в начале, параграфа (помимо использования г.к.э. по потоковой переменной (X ) лишь тем, что коэффициенты функционала должны быть аппроксимированы кусочно-постоянными по & функциями. Для устранения дестабилизации и получения сходящейся схемы можно воспользоваться поправкой (2.38).
Замечание. При использовании подобной аппроксимации для редуцированной аналогично плазменной (гл.1, 5) вакуумной части функционала потенциальной энергии с использованием псевдосмещения, элементы матрицы Р есть Выражения для остальных матриц при этом не меняются.
В результате применения метода конечных элементов и его модификаций мы приходим к задаче минимизации с ограничениями некоторой квадратичной формы. Это эквивалентно решению обоб щенной задачи на собственные значения вида (2.42) А эс = %В Ъ, где Л, Bi - квадратные симметричные действительные матрицы, причем В 1 {? . Матрицы А4 и В ? для полной задачи име ют блочную структуру, которая показана на рис.2.1. Для редуци рованной задачи /! , и &і имеют блочнотрехдиагональную структуру. Матрицы Ац и Ц изображены на рис.2.1 для того случая, в котором при аппроксимации вакуумной части функциона ла потенциальной энергии по методу псевдосмещения использован редуцированный функционал (см.замечание в 6). "Вакуумные" части Ді и В имеют блочнотрехдиагональную структуру. В силу того, что в нормировку (2.32) (кинетическая энергия) при минимизации квадратичной формы входят коэффициенты разложения смещения в плазме по конечноэлементному базису и не входит псевдосмещение в вакууме, матрица В і вырождена и имеет осо бую структуру. Воспользовавшись равенством (2.42) в предполо жении невырожденности матрицы V , которая показана на рис.2.2, можно линейно выразить \ через ъц - %А , и, таким образом свести задачу (2.42) к задаче (2.43) Асе В ос с матрицами меньшей размерности и невырожденной матрицей В 0 . Такое исключение "вакуумных" неизвестных удобно сделать следующим образом. Пусть матрица V представлена в виде где L - нижняя треугольная матрица, 22 - диагональная. Справедливы следующие равенства Г/ - - (a Ц &ҐГ С, 73. где матрицы G,D t F , И показаны на рис.2.2, пос ледний подблок матрицы А , которая во всех других элементах совпадает с матрицей А
Для решения задачи (2.43) используется метод обратной итерации. Пусть задан некоторый начальный вектор ос0 f [ х010И и % - приближение к собственному числу; ([ Ц - некоторая норма. Определим по вектору СС :: вектор Х 4\ и число Зи+4: (2.44)
