Введение к работе
Актуальность работы. Б последние годы в аэродинамика большое значение приобрели теоретические метода определения аэродинамических характеристик летательного аппарата. На дозвуковых скоростях назбодее эффективный является метод дискретных вихрей численного решения задач аэродинамики, создавши С.Ы.Бэлоцер-коэскгм на основе эвристических соображений и численних расчетов на ЭВМ. Так как метод дискретных вихрей нашел гарокне применения при проведении расчетов, то на повестку дня встал вопрос о математическом обосновании этого метода. Отсутствие такого обоснования тормозило дальнейшее развитие, признание и внедрение этого метода.
Вняснилось, что ЫДВ является пряный методом механических квадратур, численного решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ), к который пригодятся соотЕатотвувдие задачи в аэро и гидродинамике. Квадратурные формулы, используемые а ЫДВ являются квадратурными формулаыи, типа прямоугольников (для соответствующих сингулярных интегралов), которые не бита изучены а математике. При составлении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для СИУ в этом методе не требуется задания априорной формы решения. Например, известно, что СИУ яа отрезке имеет несколько классов решений. ВДВ при составлении СЛАУ, выдаляших требуемый класс решений СИУ использует дискретный аналог условия Чаплыгина-5уковского. К той кромке крша, на шторой решение должно быть не ограничено, блияайшлка располагаются дискретные вихри, а к той кромке крыла, на которой решение должно быть ограничено, ближайшими располагаются расчетные точки.
Отметим, что при составлении СЛАУ используются только взаимное расположение множеств дискретных вихрей и расчетных точек, а об априорном аналитическом виде исксасго решения, т.е. о том, какие степенные особенности имеет это решение при подходе к границе области, речь не идет. В этса и состоит отличие ЩЩ от других методов численного решения СИУ, встречающихся в аэродинамике.
Важность развития вычислительных методов решения СИУ давно ухе отмечалось академиком Н.И.мусхел2твила, которая слвдухижи образом высказался по поводу работы Лаврентьева, являгшзйся первой в этом направлении:"Дальнейшая разработка этого метода Ы.А.Лаврентьева и аналогичных методов приближенного решения сингулярных, интегральных уравнений является, как мзо кажется,
- г -
одной аз важнейзнх очередных задач теории этих уравнений". Один из естественны!, методов численного решения СИУ состоит в их регуляризации и последушеы численной решении подучензых интегральных уравнений іредгольма второго рода. Однако фактическая реализация такой процедуры представляется довольно громоздкой из-за сложности построения искомого регулярного уравнения. Поэтому в последнее время наибольшее распространение получили прямые метода численного решения СИУ, которые минуя регуляризацию, приводят к решению конэчннх систем линейных алгебраических уравнений. Среди них можно отметить метод коллокаций, при котором приближенное решение ищется в априорной форме с неизвестными параметрами, определяемыми из условия удовлетворения уравнения в отдельных точках, з гетод ьгехаянческих квадратур, основанные на интгрпслнровэ-НЕЕ полиномами искомого решения и на использовании квадратурных формул для СИ. Однако, интерполяционные полиномы суаесгвенво зависят от области интегрирования в уравнении, правой части, а также'от класса искомого резания, что вызывает значительные трудности при переходе к новоуу классу задач.
Дія численного решения задач обтекания несущих поверхностей" идеально? несжимаемой агдкостьв в аэродинамике, оодьшое применение на^ед метод дискретных вихре*. Ь зтоы методе несуиая поверхность и след за нею моделируются дискретными вихрями, а условие нвпрстекания (сумма нормальных состаглягдпх скоростей от набегаюаего потока и от вихревого слоя равна нулю) выполняется в специальный образом выбранных расчетных точках. С математичес-коі- точки зрения метод дискретных вихре? является иетодон численного решения СИУ одномерных для плоских аэродинамических задач и двухмерных специального вида для пространственных задач с использованием для этих интегралов квадратурных формул типа прямоугольников. Математическое обоснование метода дискретных вихрей удалось дать Лифанову И.К. для многих стационарных задач аэродинамики, а для пространственных задач удалось исследовать только сходимость квадратурных формул.
Открытым оставался вопрос сходимости приближенного решения к точному. Более того оказалось, что при рассмотрении задач обтекания замкнутых поверхностей (например, поверхности дирижабля) удобно пользоваться замкнутыми четырехугольными вихревыми рамками постоянной интенсивности, которые в плоских задачах соответствуют парам дискретных і :хре5. Поле скоростей от этих
вихревых образований эквивалентно доли скоростей потенциала двойного слоя постоянной плотности, равной интенсивности рамки psc-прэделевнсго по поверхности, ограниченной этой рамхой. Поэтому при гаком моделировании задачи обтекания идеальной несжимаемой зшдкосты нэсушей поверхности приходим к решению задачи Неймана для уравнения Лапласа, вне несушей поверхности, через потенциал двойного слоя, что приводит к сильно сингулярному интегральному уравнении относительно плотности потенциала. Уетод дискретных замкнутых ЕихреЕЫх рамок в этом случае является методой численного решения этого сильно сингулярного уравнения. Для этого метода не была исследована даже сходимость квадратурных формул, а тем более вопросы сходимости численного решения к точному. Кроме того возникла необходимость построения теории задачи Неймана с незамкнутыми поверхностями для уравнения Лапласа, а также исследовании сильно сингулярних уравнения, Еозвикагаах при решении задачи Нвйгнна через потенциал двойного слоя.
Идеи метода дискретных вихрей сейчас пєреносятея в электродинамику, в теории упругости. Поэтому исследование выше излоаен-ных задач представляет интерес и в данннх областях,
Очень важны и интересны для приложений нестационарные задачи аэродинамики, но математического обоснования ШЗ ни для одной из задач этого класса не было. При моделировании дискретными взхряш несуаей поверхности и следа за ним,различными вариантам априори не ясно (каждый раз)вьшолнение гипотезы Чадлыгива-Зуковс-кого на задней кромке. Ответ на этот вопрос крайне вааея для ЦДБ. Например, гипотеза Чаплыгина-уковского была существенно исполь-зевзпз при расчете аэродинамических характеристик тел с углами в работах Ливанова И.К., Михайлова А.А., Белоперковсного C.J.
Цель работы. Диссертация посвящена:
-
.Математическому обоснованию метода дискретных Езхрей в пространственных стационарных задачах аэродинамики.
-
Построению теоретического метода исследования численных схем, возникающих в МДВ при решении сильно сингулярных уравнения.
-
Построению теории задачи Неймана с незамкнутыми поверхностями для уравнения Лапласа, решаемой через потенциал двойного слоя.
-
Построению прямого метода, аналогичного MEBf для численного решения уравнения типа Абеля.
-
Обоснованию МДВ в линейно нестационарной задаче для тонкого профиля.
- н -
Научная новизна заключается в следующем:
-
Построена теория задачи Неймана с незамкнутыми поверхностями для уравнения Лапласа через лотешкал двойного слоя.
-
Введено понятие обобщенного оператора Гильберта, который является обобщением оператора Гильберта: встречающегося в плоских задачах аэродинамики. Получены результаты для уравнений с обобщенным оператором Гильберта, которые находят применение в теории управляемости.
-
Введено понятие обобщенного оператора Фурье, его символа. Исследованы одномерные и двухмерные задачи сужения для обобщенного оператора -;урье с символом специального вида. Эти результаты суаественно используются для получения асимптотігческих опенок дискретной фуякзи Грлка.
-
Лапо кстеметнческое обоснование метода дискретных вихрей в стационарно? задаче обтекания крыла конечного размаха.
5. Построен прямой метод, аналогичный Щ5,ддя численного
- pessHEH 'уравнений типа Абеля, доказана сходимость метода.
На основе результатов,полученных для данного метода, дано обоснование КдЪ в линейной нестационарной задаче для тонкого профиля (при дыкении профиля как с постоянное скоростью, так и с переменно?..
Научная к практическая ценность работы.
Б диссертации предложен новый метод исследования численных схем типа ЦДБ, основанный на понятие обобщенного оператора 5урье для дискретных структур. Е зток методе используются результаты теории краевых задач фуикпгй одного н многих комплексных переменных. При построении приближений существенно используется ядра Никольского.
Дано математическое обоснование метода дискретных вихрей в стационарной задаче обтекания крыла конечного размаха, а такхе в линейной нестационарной задаче для профиля. Эти результаты послужили теоретической основой системы расчетов аэродинамических характеристик крыльев и летательных аппаратов, широко внедренной в практику расчетов.
Предлогєна новая численная схема типа &ЦБ рагаявя уравнения типа Абеля.
Исследования условия Чаплыгина-Жуковского в линейной нестационарное задаче для профиля послугели теоретической основой для построения численных схем для гэсчета аэродинамических характеристик тел с углами.
Апробация работы. Основные положения м результаты дскдадыва-ись и обсуядаяис» на:
семинаре подразделения профессора В.Я.Арсенина института рикладной иатеыатнкн им.И.В.Келдкпа АН СССР ( Москва, ноябрь, 984 г. );
Всесоюзном сеыикаре "По аэродинамике неустановившихся дешевий", под руководством профессора С.М.Белоцерковсхого (Москва, фили-л ЦАГИ, январь І9Й4, февраль 19Ь6, март I9tf7 г.«февраль І9Й9 г.);
II, Ш, ІУ Всесооэных симпозиумах "Метод дискретных особенности в математической физике" ( май 19Ь5 г., I9tf7 г., I9ts9 г., ахьков);
Всесоюзном семинаре "Математические вопросы аэродинамики еустановившихо: движения", под руководством профессора Дифанова И.К.
Москва, ВВИА им.Н.Е.Еуковского, май 19о4 г., ноябрь I9bo г., евраль 19Ь6 г., ноябрь 1967 г., октябрь 19Ьа г., февраль 1990 г.);
семинаре "Интегральные уравнения", под руководством профессоров а. Захарова К.В., Лифанова И.К. ВЫК МГУ (Москва, февраль ГЭЬбг., март 991г.);
семинаре член-хорреслонлента АН СССР Бицздэе А.В. в математи-еском институте АН СССР иы.В.А.Стеклова (Москва, апрель 198ег.);
семинаре подразделения член-корреспондента Бахвалова Н.С. меха-нке-матеыатического факультета МГУ (апрель 198Эг.);
семинаре подразделения профессора Морозова В.А. ВЦ ИРУ (еатябрь 9Ь9г.);
семинаре "Уравнения в частных производных", под руководство! рофессоров Кондратьева В.А. и Ландиса Е.М. (мех-мат МГУ, апрель 1990г.),
семинаре подразделения профессора О.С.Рыжова ВЦ АН СССР (Москва, іарт 19о7г., апрель І99ІГ.);
семинаре академика А.А.Самарского при кафедре "Вычислительные іетода" на факультете ВМ и К МГУ.
Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, пяти іазделов, заключения, списка литературы из 117 наименований. Объем іиссертации до цитированной литературы 233 страницы машинописного екста.
