Содержание к диссертации
Введение
1 Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем открытого типа 19
1. Постановка задачи, определения 19
2. Асимптотические выражения для главного члена норм функционалов ошибок формул из последовательностей с пограничным слоем 31
3. Асимптотическая оптимальность 37
2 Последовательности типа Грегори с положительными коэффициентами 46
1. Существование формул с положительными коэффициентами 46
2. Формулы с заданным сопутствующим числом 50
3 Декартовы произведения формул интегрирования 56
1. Случай не нулевой суммы коэффициентов 56
2. Случай нулевой суммы коэффициентов 63
4 Анизотропные аналоги теорем С.Л. Соболева о сверточных интегро-дифференциальных операторах 68
1. Основные результаты 68
2. Доказательства результатов 72
Заключение 83
Список использованных источников
- Асимптотические выражения для главного члена норм функционалов ошибок формул из последовательностей с пограничным слоем
- Асимптотическая оптимальность
- Формулы с заданным сопутствующим числом
- Случай нулевой суммы коэффициентов
Введение к работе
Наряду с приведенными выше теоремами, в главе 1 данной диссертации излагаются и другие научные результаты, относящиеся, в основном, к выражениям главных членов в Lpn (a,b) функционалов из последовательностей с пограничным слоем открытого типа при определенных значениях рига. Приводится пример двухпараметрического семейства последовательностей функционалов с пограничным слоем открытого типа {lh}, такой, что при некоторых фиксированных значениях параметров {lh} будет последовательностью функционалов ошибок усложненных квадратурныых формул прямоугольников.
Постановка рассматриваемых в главе задач восходит к С. Л. Соболеву. Он исследовал их для случая пространств щ" (Еп). Для пространств Lp(Q), аналоги теорем и были установлены в статьях [10, И, 13] (случай, когда р = 2 также описан в монографиях [19, 21]). Для решения задач о построении асимптотически оптимальных последовательностей формул недостаточно ограничиться формулами Соболева с регулярным пограничным слоем. Оказалось полезным ввести последовательности с пограничным слоем.
Исследования решетчатых формул интегрирования для одномерного случая и квадратурных формул Соболева и их обобщений для квадратурных формул замкнутого вида были приведены в статьях [14,18]. Работа такого рода оказалась целесообразной, т.к. одномерный случай допускает более полное исследование, чем многомерный. Именно в одномерном случае удалось показать, что формулы Соболева с регулярным пограничным слоем, когда т - четно, ни при всех р образуют асимптотически оптимальные последовательности в L™(a, b); что асимптотически оптимальные последовательности формул замкнутого типа являются одновременно асимптотически наилучшими.
Глава 2 называется "Последовательности типа Грегори с положительными коэффициентами". Она состоит из двух параграфов. В §1 доказывается существование последовательностей типа Грегори с неотрицательными коэффициентами, в §2 показывается, что данные последовательности могут быть построены таким образом, что их сопутствующее число будет равно заданной величине.
Данное определение было введено в статье [18], там было показано, что последовательности типа Грегори являются последовательностями функционалов с пограничными слоем. В частности, они могут быть последовательностями функционалов с регулярным пограничным слоем С.Л. Соболева.
Примером последовательности типа Грегори являются последовательности функционалов ошибок квадратурных формул Грегори. Отметим, что у квадратурных формул Грегори достаточно высокой точности среди коэффициентов есть, хотя бы один, отрицательный.
Основные результаты главы 2 получены автором совместно с В. И. Половинкиным и сформулированы в следующих теоремах.
Теорема. При любом существуют последовательности типа Грегори с неотрицательными коэффициентами.
Теорема. Каково бы ни было число, существует последовательность типа Грегори с неотрицательными коэффициентами, у которой будет сопутствующим числом.
Данные теоремы обобщают в одномерном случае результаты работы [16], где вместо последовательностей типа Грегори рассматривались последовательности функционалов с пограничным слоем. Методы доказательств результатов главы 2 отличаются от методов доказательств из
Глава 3 данной диссертации называется "Декартовы произведения формул интегрирования". Такие произведения используются для построения кубатурных формул при п - переменных интегрирования с помощью формул, соответствующих количествам таких переменных меньших.
Если известно разложение кубатурной формулы в декартово произ ведение, то такое разложение позволяет получать верхние оценки ее погрешностей интегрирования, опирающиеся на свойства формул меньших размерностей.
Асимптотические выражения для' главного члена норм функционалов ошибок формул из последовательностей с пограничным слоем
Тогда функционал (1.28) может быть записан в виде (1.14), если, в случае необходимости, доопределить некоторые коэффициенты формулы (1.14), положив их равными 0, и в ней t взять достаточно большим. Запишем его в виде (1.14).
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа (Lg/)(#), интерполирующий многочлен степени ниже т по точкам уо,...: ут \.
В дробях из (1.30) отношение каждого сомножителя числителя к соответствующему сомножителю знаменателя есть величина равномерно ограниченная по следовательно, при некотором к 0 выполняются неравенства (1.18) для коэффициентов Cj0, j = 0,т — 1.
Аналогично фукционалам 1$ строятся функционалы і\. В этом случае, интерполяционный многочлен Лагранжа надо строить по т наибольшим точкам вида a + jh + Qh с целыми числами j. Вместо интегрирования в (1.32) надо интегрировать по интервалу (Ь — d(l) + Ю, Ъ).
Последовательность функционалов (1.17), где функционалы IQ, l\, I и числа d(Q),d(l) определены описанным выше образом будут удовлетворять условиям леммы.
Определение 5. Если {lh} — последовательность функционалов с пограничным слоем открытого типа, удовлетворяющая условиям определения 1, ее сопутствующий функционал I, соответствующий ей в этом определении, принадлежит Lm+1, то {lh} называется последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем открытого типа.
Замечание 3. В определении 5 условие I Є Lm+l можно заменить на равенство нулю сопутствующего числа. Это следует из леммы 1.
Определение 6. Последовательность квадратурных формул с пограничным слоем открытого типа, с соответствующей ей сопутствующим функционалом I, называется последовательностью квадра турных формул с регулярным пограничным слоем открытого типа, ес-лиІеЬт+1.
Из леммы 2 вытекает, что последовательность квадратурных формул с регулярным пограничным слоем открытого типа всегда может быть построена.
Замечание 4. Определение 6 обобщает определение С. JI. Соболева (см. [19], с. 704) мноэюеств кубатурных формул с регулярным пограничным слоем с заданным "порядком", толщиной и оценкой.
Проиллюстрируем определения на примере. Пусть [a, b] = [0,1], числа (а, (5) таковы, что а + (5 = 1. Функционалы /д, I1}, I определим из равентств Функционалы I, IQ,1\ Є L1. Считаем m = 1. Последовательность {lh} будет последовательностью функционалов с пограничным слоем открытого типа с сопутствующим числом / вида (1.33).
Когда а = (3 = , то {lh} будет последовательностью с регулярным пограничным слоем, т.к. / — функционал ошибок квадратурной формулы прямоугольников, которая точна на линейных функциях. Когда а = (5 = Q = \, то {lh} — будет последовательностью функционалов ошибок усложненной квадратурной формулы прямоугольников.
Асимптотические выражения для главного члена норм функционалов ошибок формул из последовательностей с пограничным слоем Характеристической функцией интервала ji будем называть функцию, равную 1 на \х и нулю везде вне
Доказательство. Пусть {lh} — последовательность функционалов с пограничным слоем, ае — ее сопутствующее число, IQ, l\, I, d(0), d(l), t(0), t(l), t — функционалы и числа, соответствующие данной {lh} в определении
Асимптотическая оптимальность
Пусть h и в — фиксированы. Обозначим через U совокупность функционалов вида (1.12), принадлежащих Lm. Если исследовать квадратурные формулы в некотором пространстве L(a,b), то предпочтительней из формул вида (1.12), будут такие, что нормы их функционалов lh Є U ошибок в L (a, b) наименьшие среди функционалов из 7.
В данном параграфе будут рассматриваться вопросы, связанные с минимизацией норм функционалов ошибок формул (1.12). Определение 8. Квадратурная формула (1.22) называется оптимальной в L(a,b), если ее функционал ошибок lh вида (1.12), оптимальный в L{a, b).
Если рассматривать последовательность {lh}, то, с точки зрения оценки ошибки, соответствующих lh квадратурных формул в пространствах L(a, b), хорошими свойствами будут обладать последовательности оптимальных функционалов {ph}. Вместе с тем, применение последовательностей оптимальных функционалов и оптимальных формул имеет следующие два недостатка: коэффициенты оптимальных формул трудно вычислять. Кроме того, они меняются, вообще говоря, при переходе от одной точке к другой.
Вместо последовательностей оптимальных формул ниже будут рассматриваться асимптотически оптимальные последовательности формул с пограничным слоем. Они обладают следующими достоинствами:
а) При стремлении шага решетки к нулю, нормы их функционалов погрешностей в пространствах L (a, 6) имеют тот же главный член, что и нормы соответствующих оптимальных функционалов;
б) У формул из асимптотически оптимальных последовательностей с пограничным слоем все коэффициенты кроме нескольких, соответству ющих узлам, лежащих вблизи границы, равны между собой.
в) Соответствующие последовательности квадратурных формул с пограничным слоем могут быть одновременно асимтотически оптималь ны в пространствах L(a, b) при разных р, т. Например, см. теорему 3, последовательности квадратурных формул с регулярным погранич ным слоем асимптотически оптимальны в L(a,b), если р Є (1,со] и т нечетны.
Определение 10. Последовательность квадратурных формул называется асимптотически оптимальной в L(a,b), если последовательность ее функционалов ошибок асимптотически оптимальна в этом пространстве.
Замечание 6. Всякая последовательность оптимальных квадратурных формул в L(a,b) является асимптотически оптимальной в этом пространстве.
Теорема 3. Пусть {lh} — последовательность функционалов с пограничным слоем, ае — ее сопутствующее число. Тогда а) {lh} — асимптотически оптимальна в L(a, b) в том и только том случае, если ае - решение уравнения (-1)тВт{х) + assign ((-l)mBm(x) + e)dx = 0. (1.59) о б) при любых р, a, b — асимптотические оптимальные последо вательности квадратурных формул с пограничным слоем всегда суще ствуют. в) {lh} — асимптотически оптимальна в L(a,b) при т - нечет ном или р = 2 тогда и только тогда, когда {lh} - последовательность функционалов с регулярным пограничным слоем.
Доказательство. Пусть числа р, а, Ь, фиксированы. Главный член правой части (1.35) при изменении аэ принимает минимальное значение тогда и только тогда, когда зз удовлетворяет (1.59), [3] , с. 213. Отсюда и из леммы 3 вытекает, что условие (1.59) необходимо для асимптотической оптимальности Из (1.67) и (1.55) вытекает, что если ае = (1(х),хш), где / — сопутствующий функционал последовательности функционалов с пограничным слоем и ае удовлетворяет равенству (1.59), то {lh} будет асимптотически оптимальна в L(a,b).
Будем доказывать, что уравнение (1.59) имеет решение относительно ае. Следовательно, при aei и ае2 удовлетворяющих (1.68) и (1.69), левая часть (1.59) принимает разные знаки. С другой стороны интеграл из этого равенства непрерывно зависит от параметра ае. Следовательно, уравнение (1.59) имеет решение ае.
Для любого числа аз существует последовательность функционалов с пограничным слоем {lh}, у которых аз — является сопутствущим числом, [18]. Поэтому найдется последовательность функционалов с пограничным слоем и сопутствующим числом ае, удовлетворяющие уравнению (1.59). Эта последовательность будет асимптотически оптимальна
Если последовательность функционалов с пограничным слоем {lh} с сопутствующим числом эз такова, что уравнение (1.59) не верно, то из теоремы 1 следует, что данная последовательность не может быть асимптотически оптимальной в (а, 6), поскольку функция зз \\(-\)тВт{х)-\ 11 ,,(0,1) не принимает минимального значения, [18]. Поэтому утверждения "а" и "б" верны.
Утверждение "в" теоремы вытекает из справедливости уравнения (1.59) при т - нечетном или р = 2, [18], с. 158. Теорема верна, т.к. все утверждения доказаны.
Замечание 7. В [18, 17] было показано, что при т = 2, р = 3/2, ае не является решением уравнения (1.61), следовательно, последовательности фунщионалов с регулярным пограничным слоем не являются при всех р,т — асимптотически оптимальными.
Замечание 8. В диссертации [17] были приведены значения решения уравнения (1.61) при р = со, m - четном, а также, и в этих случаях найдены выражения \\Вт(х)-\-ге\\і (од)- Из них и из формулы (1.36), в частности, следует, что если т — четно, то для асимптотически оптимальных в Ь а Ъ) последовательностей с пограничным слоем функционалов {lh} открытого типа выполняется
Формулы с заданным сопутствующим числом
Сравнивая формулы (2.11) и (2.12) получаем, что згр = зэ, и, следовательно, при ае, удовлетворяющих неравенству (2.8), теорема верна.
Если ае не удовлетворяет неравенству (2.8), то надо выбрать конечный набор чисел зеі,ае5 так, чтобы и поочередно доказать существование последовательностей типа Грегори с неотрицательными коэффициентами и сопутствующими числами зеі,зз5, зэ. Этим теорема 6 будет установлена в общем случае.
Следствие 1. Каково бы ни было число зэ, существует последовательность функционалов с пограничным слоем и с неотрицательными коэффициентами, такая, что ее сопутствующим числом будет зэ. Следствие 2. Каково бы ни было число т, существует последовательность функционалов с регулярным пограничным слоем и с неотрицательными коэффициентами.
Этот результат может быть получен также непосредственно из теоремы 5, если, опираясь на нее, построить последовательность типа Грегори с неотрицательными коэффициентами {lh} С Lm+l. Эта последовательность также будет последовательностью типа Грегори относительно параметра т. Сопутствующее число, задаваемое формулой (9) у {lh} равно нулю. Следовательно, она будет последовательностью типа Грегори, удовлетворяющей условиям определения 12.
Замечание 9. Многомерные аналоги следствий 1 и 2 были установлены в статье [16] для пространств произвольной размерности. Там предполагалось, что ограниченные области интегрирования удовлетворяют, так называемому, "слабому условию конуса". Методы доказательств, примененные в [16], отличны от тех, которые были использованы в этом параграфе, и основаны на свойствах интерполяционных операторов Лагранжа, а таксисе их многомерных аналогов.
Замечание 10. В. Л. Васкевич показал; что при достаточно больших т у квадратурных формул Грегори всегда есть, среди коэффициентов, отрицательные. Этот результат вытекает, например, из следствия 1 [21], 10, с. 342.
Анализируя доказательства теорем 5,6 и незначительно их изменяя, можно убедиться, что верен такой результат, обобщающий эти теоремы.
Теорема 7. Пусть заданы конечные наборы натуральных чисел /j(l),/i(JVi), /І[1],/І[АЧ и числа, c(l),c(Ni), c[l],c[JV2] 0 и ае. Тогда существует последовательность типа Грегори вида (2.3) с неотрицательными коэффициентами, имеющая зз своим сопутствующим числом, такая, что t iVi, N2 a a(fi(i)) = с(г), i = l,Nh /ЗД]) = ф ], j = l,N2.
Замечание 11. Чтобы получить последовательности типа Грегори с неотрицательными коэффициентами можно, с той или иной целью, например, для увеличения числа коэффициентов построенных формул, равных О, незначительно модифицировать метод, примененный при доказательстве теорем 5-7.
Поясним, сказанное выше, на примере. Пусть задана последовательность функционалов {lh} следующего вида ь (l\f) = Jf(x)dx-h{-±f{a)-f(a + b)+Af(a + 2h)+ а 71-1 + /(a + fc/i)+ /(6)1, n = 5,6,... (2.13)
Считаем далее т = 1. Поскольку все lh из (2.13) принадлежат L1, то эта {lh} будет последовательностью типа Грегори. Положим (/Л /) = (1\ Я + [/(« + Щ - /(a)] + h[f(a + К) - /(a)], п = 5,6,....
Эта последовательность также является последовательностью типа Грегори. Непосредственным вычислением устанавливаем, что
В данной главе обобщаются результаты М.В. Носкова из статьи [7] о представлении кубатурных формул в виде декартовых произведений формул интегрирования.
В этой статье М.В. Носков вывел необходимые и достаточные условия для того, чтобы кубатурные формулы для интегрирования по областям О, являющихся декартовыми произведениями областей Qi,...,Qj, были представимы в виде декартовых произведений формул интегрирования для Qi, і — 1, j. Все рассмотренные в [7] формулы интегрирования предлагались не весовыми, т.е. с тривиальной весовой функцией, и точными на константах.
В этой главе результаты из работы [7] обобщаются на весовые формулы, с локально суммируемыми весовыми функциями. От рассматриваемых здесь формул не требуется точности на константах, как в работе
Случай нулевой суммы коэффициентов
Кубатурная формула (3.5) является декартовым произведением двух формул: (3.1), соответствующей г = 1, и (3.22). Учитывая неравенство (3.23) и применяя последовательно теоремы 10 и 9 получаем теорему 11.
Следствие 4. Теорема 11 позволяет ответить на следующий вопрос.
Представима ли данная кубатурная формула (3.5) с А = 0 в виде декартового произведения формул (3.1), удовлетворяющих условиям (3.19)? Ответ на поставленную сейчас задачу достигается методом, использованным, при доказательстве следствия 3. В нашем случае надо задать произвольно числа Ач,..., Aj ф 0.
Замечание 17. Пусть задано I кубатурных или квадратурных формул интегрирования, причем формулы из них таковы, что суммы их коэффициентов отличны от 0, в то время как у других равны 0. Тогда декартово произведение этих формул может быть преобразовано к виду, рассмотренному в теореме 11. Для этого надо соответствующим образом переменить порядки интегрирований и суммирований кубатурных сумм, а такоюе ввести декартово произведение "умножаемых"формул с суммами коэффициентов равными 0. где Л — числа, и исследуем в зависимости от Л возможности их разложений в декартовы произведения квадратурных формул. Выберем, например, А\ — 1, А2 = 5 +А ф 0. Тогда из формул (3.13) следует, что Должно выполняться с\с\ = тід, откуда А = — 2. Непосредственно проверяется, что при этом А верны все формулы (3.6) с j — 2, а і\,І2 = 1,2, и приближенное равенство (3.24) является декартовым произведением квадратурных формул где А і, Д2 — любые числа, произведение которых равны 1.
Рассмотрим случай Л = —5, А\ = О, Ач ф 0. Выберем Ai — 1. Тогда из формул (3.17) получим: с\ = 6, с\ = -6 и, что Но обе части неравенства (3.25) по формулам (3.18) должны быть равны с\. Следовательно, не существует разложений приближенного равенства (3.24) в декартовы произведения квадратурных формул с А\ = 0, Ач ф 0. Аналогично доказывается невозможность подобных разложений при Ач = 0, А\ ф 0. Можно также установить, что нет разложений приближенного равенства (3.24) в декартовы произведения квадратурных формул с А\ = Лг = 0 при Л = — 5. Для этого достаточно проверить непосредственно, что соответствующие равенства типа (3.6) не могут выполняться одновременно, если ни при каких значениях С.Л.Соболев в монографии [19], гл.УШ, 9, см. также [20], рассмотрел класс обобщенных функций - сверточные интегро-дифференциальные операторы. Этот класс включает в себя операторы, широко применяемые в математическом анализе, в частности, линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, разностные опрераторы. В [19] были определены.сверточные интегро-дифференциальные операторы порядка /, характеризующиеся тем, что их значения равны 0 на многочленах степени меньшей / и выведены необходимые и достаточные условия для того, чтобы обобщенная функция была сверточным интегро-дифференциальным оператором данного порядка.
В этой главе основные результаты [19], относящиеся к сверточным интегро-дифференциальным операторам произвольного вида обобщаются на классы обобщенных функций - Q - сверточные интегро-дифференциальные операторы, характеризующиеся тем, что обобщенные функции из этих классов обращаются в 0 на некоторых, не обязательно инвариантных относительно ортогональных преобразований координат линейных многообразиях многочленов. Даннная глава содержит 3 теоремы. Результат, полученный автором, сформулирован в основной теореме этой главы, а именно в теореме 12, которая дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы обобщенная функция была Q - сверточным интегро-дифференциальным оператором. Доказательство теоремы 12 опирается на имеющую вспомогательный характер теорему 13. Теорема 14 посвящена важному случаю Q - сверточных интегрально-дифференциальных операторов - линейным дифференциальным операторам с постоянными коэффициентами.
