Содержание к диссертации
Введение
1. Минимальные кубатурные формулы для тора точности 2 и 3 16
1.1. Предварительные сведения 16
1.1.1. Определение и свойства воспроизводящего ядра 16
1.1.2. Связь между минимальными формулами и воспроизводящим ядром 18
1.1.3. Минимальное число узлов для тора 21
1.2. Построение минимальных кубатурных формул для поверхности тора второй степени точности 22
1.3. Описание всех минимальных кубатурных формул для тора 3 степени точности 37
1.4. Анализ результатов и выводы 50
2. Инвариантные кубатурные формулы для тора 52
2.1. Предварительные сведения об инвариантных кубатурных фор
мулах 52
2.1.1. Краткие сведения об инвариантных формулах 52
2.1.2. Группы преобразования тора в себя и их инварианты 56
2.2. Построение инвариантных кубатурных формул для тора 57
2.2.1. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы G = G\ х DQ 58
2.2.2. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы G = G\ х Ds 66
2.2.3. Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы G = G\ х D\2 72
2.3. Анализ результатов и выводы 81
Список литературы 82
- Определение и свойства воспроизводящего ядра
- Построение минимальных кубатурных формул для поверхности тора второй степени точности
- Построение инвариантных кубатурных формул для тора
- Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы G = G\ х Ds
Определение и свойства воспроизводящего ядра
Приведем краткие сведения о воспроизводящем ядре конечномерного гильбертово пространства. Более полные сведения можно найти, например, в /12/. Пусть Н - гильбертово пространство, (х,у) - скалярное произведение в Я. Определение 1.1. Действительная функция К(ж, у) с областью определения X х X, принадлежащая как функция от х при любом у Є X пространству Я, называется воспроизводящим ядром, если для любой функции f{x) Є Я и любого у Є X Индекс х в скалярном произведении показывает, что функции / и К рассматриваются как функции зависящие от х. Воспроизводящее ядро является симметричной функцией своих аргументов. Действительно, пусть y,z Є X. Тогда Для конечномерного пространства воспроизводящее ядро можно найти с помощью матрицы Грама. Пусть pi,... , JV - базис конечномерного пространства Н и G = (gij) - матрица Грама, где д — ( pi,(pj). Так как воспроизводящее ядро К(х,у) является элементом Н по каждому из своих переменных, то оно имеет вид и / гЫ, 1 г N. Из определения воспроизводящего ядра следует, что для произвольной функции f(y) имеет мематрица порядка N. Пусть (р(х) = ((pi(x),... , (рм(х)) - матрица-строка, тогда В силу невырожденности G, воспроизводящее ядро всегда существует. В случае, когда /?;,... ,у?# - ортогональный базис Я, воспроизводящее ядро имеет вид В данном параграфе приведены теоремы дающие необходимые и достаточные условия для существования минимальных кубатурных формул. Формулировки теорем взяты из /18/, о связи между минимальными формулами и воспроизводящим ядром см. также /12/. Фиксируем множество Q С К" и линейный функционал 1ц : V —» R, удовлетворяющий условию для любого р Є V, (р Ф 0. 1. Рассмотрим, вначале, случай d = 2k. Пусть { ря}я=і некоторый ортонормированный базис Vk, а многочлены /, Є Pk таковы, что т(/.ч) = (ря (т - канонический эпиморфизм Р на V, r(/) = f/Q (/ Є Р).) Тогда воспроизводящее ядро для пространства Vk имеет вид Теорема 1.1. Если в кубатурпой формуле (0.2) число узлов N = N,i, то следующие условия эквивалентны а) /«(ЛЛО = QU.U) (1 з,зГ Nd) Теорема 1.2. Если кубатурная формула (0.2) степени d является минимальной, то выполнено условие б) теоремы 1.1. Теорема 1.3. Kd{x? ,х ) 0 для любого х Є П . Если х Є Q и числа Cj Є R удовлетворяют условию б) теоремы 1.1, причем N = N,i, то наборы {xj}jLlt {cjjf-i определяют минимальную кубатурную формулу степени d. 2. Рассмотрим случай d = 2fc+l. Пусть Q С Rn, d = 2Л+1, In : V - R, удовлетворяют условию имеет место симметричный случай (точное определение А см. В П.О.2.). Пусть { ps}s=i - некоторый ортонормированный базис А, а многочлены /., Є Ljt таковы, что т(/я) = /?.,. Определим функцию K,i: Rn х R —» R формулой Сужение /Q на Q является воспроизводящим ядром для пространства Ck. Будем рассматривать случай, когда кубатурная формула не содержит в качестве узла начало координат.
Определение 1.2. Будем говорить, что кубатурная формула (0.2) симметрична, если число узлов N четно, начало координат не является узлом и (возможно, после перенумерации) Теорема 1.4. Минимальная кубатурная формула (0.2), не содержащая в качестве своего узла начало координат, является симметричной, если выполнено любое из следующих условий: (si) т инъективно на Pk+i] (s2) х Q (l i iV). Теорема 1.5. Пусть минимальная кубатурная формула (0.2) не содержит в качестве узла начало координат и является симметричной. Следующие условия эквивалентнысто Если С = (cij) - матрица коэффициентов разложения К(х, у), то имеем где Е - единичная матрица порядка N. Пусть (р(х) = ((pi(x),... , (рм(х)) - матрица-строка, тогда В силу невырожденности G, воспроизводящее ядро всегда существует. В случае, когда /?;,... ,у?# - ортогональный базис Я, воспроизводящее ядро имеет вид В данном параграфе приведены теоремы дающие необходимые и достаточные условия для существования минимальных кубатурных формул. Формулировки теорем взяты из /18/, о связи между минимальными формулами и воспроизводящим ядром см. также /12/. Фиксируем множество Q С К" и линейный функционал 1ц : V —» R, удовлетворяющий условию для любого р Є V, (р Ф 0. 1. Рассмотрим, вначале, случай d = 2k. Пусть { ря}я=і некоторый ортонормированный базис Vk, а многочлены /, Є Pk таковы, что т(/.ч) = (ря (т - канонический эпиморфизм Р на V, r(/) = f/Q (/ Є Р).) Тогда воспроизводящее ядро для пространства Vk имеет вид Теорема 1.1. Если в кубатурпой формуле (0.2) число узлов N = N,i, то следующие условия эквивалентны а) /«(ЛЛО = QU.U) (1 з,зГ Nd) Теорема 1.2. Если кубатурная формула (0.2) степени d является минимальной, то выполнено условие б) теоремы 1.1. Теорема 1.3. Kd{x? ,х ) 0 для любого х Є П . Если х Є Q и числа Cj Є R удовлетворяют условию б) теоремы 1.1, причем N = N,i, то наборы {xj}jLlt {cjjf-i определяют минимальную кубатурную формулу степени d. 2. Рассмотрим случай d = 2fc+l. Пусть Q С Rn, d = 2Л+1, In : V - R, удовлетворяют условию имеет место симметричный случай (точное определение А см. В П.О.2.). Пусть { ps}s=i - некоторый ортонормированный базис А, а многочлены /., Є Ljt таковы, что т(/я) = /?.,. Определим функцию K,i: Rn х R —» R формулой Сужение /Q на Q является воспроизводящим ядром для пространства Ck. Будем рассматривать случай, когда кубатурная формула не содержит в качестве узла начало координат. Определение 1.2. Будем говорить, что кубатурная формула (0.2) симметрична, если число узлов N четно, начало координат не является узлом и (возможно, после перенумерации) Теорема 1.4. Минимальная кубатурная формула (0.2), не содержащая в качестве своего узла начало координат, является симметричной, если выполнено любое из следующих условий: (si) т инъективно на Pk+i] (s2) х Q (l i iV). Теорема 1.5. Пусть минимальная кубатурная формула (0.2) не содержит в качестве узла начало координат и является симметричной. Следующие условия эквивалентны:
Построение минимальных кубатурных формул для поверхности тора второй степени точности
Основной целью данного параграфа является исследование возможности построения минимальных кубатурных формул второй степени точности, в том числе и решение вопроса о том, для каких г такая формула существует. Построим кубатурную формулу вида точно интегрирующую сужения на Т многочленов степени не выше второй. Нижняя граница числа узлов N(i для d = 2 равна 4. Зададим скалярное произведение для функций f(x,y,z) и g(x,y,z), определенных на Т, следующим образом Воспроизводящее ядро имеет вид В соответствии с теоремами 1.2 и 1.3 наборы {(xi,yi,Zi)}j=1 являются набором узлов некоторой минимальной 2-точной кубатурной формулы тогда и только тогда, когда а коэффициенты кубатурной формулы равны Положим, что узлы кубатурной формулы лежат на поверхности тора Из-за осевой, относительно Oz, симметрии Т будем считать что узлы кубатурной формулы имеют вид Mi(zi,0,zi), M2(x2,y2,z2), М3(ж3,2/3,23), Система зависит от параметра г, содержит 10 уравнений и 11 неизвестных. Несмотря на сравнительно простой вид системы (1.7) ее общее решение получить не удалось. Поэтому мы будем рассматривать только частный случай, когда один из узлов лежит в плоскости хОу. Отметим, что можно зафиксировать узел и в другой плоскости, пересекающей тор, тогда построение кубатурной формулы сведется к более сложным, чем ниже системам уравнений, решение и исследование которых становится слишком громоздким по сравнению с полученн следующие выкладки, приводит к далеко нетривиальным исследованиям. Зафиксируем z\ = 0, тогда точка Mi имеет координаты (г + 1,0,0). В этом случае, из первых трех уравнений системы (1.7) имеем т. е. узлы М2, Мз, М4 принадлежат плоскости х = — 2" , которая при При г = система (1.8) не имеет решения, так как 2(Д., = г — 1 и г/і = zt = 0, г = 2,3,4. Учитывая, что правая часть первых трех уравнений системы (1.8) отрицательна, получим, что (1.8) может иметь решение, если узлы ку-батурной формулы имеют следующие знаки Исследуем систему (1.9) относительно параметра г. Рассмотрим каждое уравнение отдельно и решим вопрос о том для каких г система (1.9) имеет решение. Исследуем вопрос о том, для каких г это уравнение имеет решение в области D : 2, ц г, з г + 1, при 1 г / или D : г- 1 t2,h г + 1, при г Jj. Для этого найдем наименьшее и наибольшее значение функции в области D.
Вычислим Ц и Ц и приравняем их нулю Решая систему, получаем 2 = з — rf» Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D, нужно вычислить і(І2, з) в Случай 2. Рассмотрим второе уравнение системы (1.9). Обозначим Исследуем вопрос о том, для каких г это уравнение имеет решение в области D : уу t2,t3 г + 1, при 1 г / или : г-1 2,3 г + 1, при г w. Для этого найдем наименьшее и наибольшее значение функции в области D. Вычислим Ц и р- и приравняем их нулю Решая систему, получаем t2 = ЬА = -. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D, нужно вычислить F2(t2, 4) в точках (j jj.r) , (г, sffty) , (. ) , (г + 1,г + 1), (j .r + l) , (r + L 5(Slj) - (S- S) и сравнить их. Из полученных выражений, видно, что для любого г в области D всегда найдется точка (2, h), в которой второе уравнение обращается в тождество. Случай 3. Рассмотрим второе уравнение системы (1.9). Обозначим / w I w w]j 6 4(r + l)2Y 4 4(r + l)2 w Fz(t3ltA) = -Jtj - -——-Jtl -2 1-( 3-r)Vl-( 4-r)2 + 1 + 2(r + l)2 Тогда третье уравнение системы примет вид F3(t3tU) = 0. Исследуем вопрос о том, для каких г это уравнение имеет решение в области D : щ щ 2 з г +1, при 1 г J\ или D : r—l t2,tz г + 1, при г w. Для этого ыми результатами. Даже этот, выбранный нами простейший случай, как показывают следующие выкладки, приводит к далеко нетривиальным исследованиям. Зафиксируем z\ = 0, тогда точка Mi имеет координаты (г + 1,0,0). В этом случае, из первых трех уравнений системы (1.7) имеем т. е. узлы М2, Мз, М4 принадлежат плоскости х = — 2" , которая при При г = система (1.8) не имеет решения, так как 2(Д., = г — 1 и г/і = zt = 0, г = 2,3,4. Учитывая, что правая часть первых трех уравнений системы (1.8) отрицательна, получим, что (1.8) может иметь решение, если узлы ку-батурной формулы имеют следующие знаки Исследуем систему (1.9) относительно параметра г. Рассмотрим каждое уравнение отдельно и решим вопрос о том для каких г система (1.9) имеет решение. Исследуем вопрос о том, для каких г это уравнение имеет решение в области D : 2, ц г, з г + 1, при 1 г / или D : г- 1 t2,h г + 1, при г Jj. Для этого найдем наименьшее и наибольшее значение функции в области D. Вычислим Ц и Ц и приравняем их нулю Решая систему, получаем 2 = з — rf» Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D, нужно вычислить і(І2, з) в Случай 2. Рассмотрим второе уравнение системы (1.9). Обозначим Исследуем вопрос о том, для каких г это уравнение имеет решение в области D : уу t2,t3 г + 1, при 1 г / или : г-1 2,3 г + 1, при г w. Для этого найдем наименьшее и наибольшее значение функции в области D. Вычислим Ц и р- и приравняем их нулю Решая систему, получаем t2 = ЬА = -. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в области D, нужно вычислить F2(t2, 4) в точках (j jj.r) , (г, sffty) , (. ) , (г + 1,г + 1), (j .r + l) , (r + L 5(Slj) - (S- S) и сравнить их. Из полученных выражений, видно, что для любого г в области D всегда найдется точка (2, h), в которой второе уравнение обращается в тождество. Случай 3. Рассмотрим второе уравнение системы (1.9). Обозначим / w I w w]j 6 4(r + l)2Y 4 4(r + l)2 w Fz(t3ltA) = -Jtj - -——-Jtl -2 1-( 3-r)Vl-( 4-r)2 + 1 + 2(r + l)2 Тогда третье уравнение системы примет вид F3(t3tU) = 0. Исследуем вопрос о том, для каких г это уравнение имеет решение в области D : щ щ 2 з г +1, при 1 г J\ или D : r—l t2,tz г + 1, при г w. Для этого найдем наименьшее и наибольшее значение функции в области D. Вычислим f- и Ц и приравняем их нулю
Построение инвариантных кубатурных формул для тора
В этом параграфе строятся кубатурные формулы для тора инвариантные относительно преобразований группы G = (?і х (?2, где подгруппа G\ порождена отражениями от плоскости хОу и подгруппа G2, порождена отражениями плоскости хОу. В качестве группы G2 рассматриваются DQ - группа преобразований правильного треугольника в себя, D$ - группа преобразований квадрата в себя, Z i2 - группа преобразований правильного шестиугольника в себя. Узлы кубатурных формул выбираются так, чтобы их число было по возможности меньшим. Пример 1. Построим кубатурную формулу четвертой степени точности для Т. Инвариантными для G = G\ х DQ многочленами не выше четвертой степени являются Из уравнения тора видно, что z4 линейно выражается через х2 + Ї/2, 22, (х2 + у2)2, z2(x2 + у2) и постоянные. Учитывая это, получаем, что инвариантными формами относительно G для Т будут многочлены В уравнение тора Т входит параметр г, поэтому узлы и коэффициенты кубатурной формулы будут зави). Придем к следующей системе уравнений Так как узлы лежат на поверхности тора, то zf = 1 — (уІ — г)2, г = 3,4. Подставляем zf в (2.5) и, преобразовывая систему, получим Вычитая из четвертого уравнения системы (2.6) пятое, умноженное на 2г, имеем Систему (2.7) решаем следующим образом. Выразим сз, с4 из первых двух уравнений системы (2.6) и подставим в два последних. Получим, что левая часть последних уравнений является симметрическими многочленами относительно уз и УА- ДЛЯ ТОГО, чтобы решить нелинейную систему из двух уравнений сделаем подстановку Решая преобразованную систему относительно а\ и а2 имеем Тогда решением исходной системы являются корни квадратного уравнения Решая которое, получим исследуем полученную кубатурную формулу относительно параметра г. Правая часть (2.8) определена для любого г 1. Коэффициенты сз и С4 всегда положительны, их сумма равна коэффициент С2 - тоже всегда положителен, так как Коэффициент Сі выражается через г следующим образом Пример 2. Построим кубатурную формулу шестой степени точности для Т. Инвариантными для G = G\ х DQ многочленами не выше шестой степени являются 2\ „2/2 . _.2\ Л (Л , л,2\2 Лп.(Л 1, х2 + у\ z\ у(у - 3xz) z\x + у% z\ (х + у У, z W - Зх% у(х2 + у2)(г/2-Зх2), zV + Л», «, zV + Л у2(у2-3х2)2, (x2 + y2f. Учитывая, что узлы лежат на поверхности тора, получаем, что инва риантными формами относительно G для Т будут многочлены В качестве узлов кубатурной формулы возьмем G-орбиты точек получим N = 36 (нижняя граница числа узлов iVj равна 20). Подставляем инвариантные формы в (2.4) при 1 І П, получаем систему уравнения последнее, найдем с3. Вторая подсистема имеет вид Выражая с\ из первого уравнения, подставляя найденные с2, сз, с4, у А, приводим систему к виду (2.7) и аналогично решаем ее. Приведем полученные формулы для разных г данной степени точности сеть от г. Выберем узлы кубатурной формулы так, чтобы их число было наименьшим возможным.
Так как из теоремы 2.1 следует, что для построения формулы достаточно требовать выполнения точности для инвариантов щ, ... , ип, то число узлов N определяется разрешимостью системы относительно неизвестных коэффициентов СІ и координат узлов формулы. Возьмем в качестве узлов орбиты точек получим N — 18 (нижняя граница числа узлов Nj, равна 10). Придем к следующей системе уравнений Так как узлы лежат на поверхности тора, то zf = 1 — (уІ — г)2, г = 3,4. Подставляем zf в (2.5) и, преобразовывая систему, получим Вычитая из четвертого уравнения системы (2.6) пятое, умноженное на 2г, имеем Систему (2.7) решаем следующим образом. Выразим сз, с4 из первых двух уравнений системы (2.6) и подставим в два последних. Получим, что левая часть последних уравнений является симметрическими многочленами относительно уз и УА- ДЛЯ ТОГО, чтобы решить нелинейную систему из двух уравнений сделаем подстановку Решая преобразованную систему относительно а\ и а2 имеем Тогда решением исходной системы являются корни квадратного уравнения Решая которое, получим исследуем полученную кубатурную формулу относительно параметра г. Правая часть (2.8) определена для любого г 1. Коэффициенты сз и С4 всегда положительны, их сумма равна коэффициент С2 - тоже всегда положителен, так как Коэффициент Сі выражается через г следующим образом Пример 2. Построим кубатурную формулу шестой степени точности для Т. Инвариантными для G = G\ х DQ многочленами не выше шестой степени являются 2\ „2/2 . _.2\ Л (Л , л,2\2 Лп.(Л 1, х2 + у\ z\ у(у - 3xz) z\x + у% z\ (х + у У, z W - Зх% у(х2 + у2)(г/2-Зх2), zV + Л», «, zV + Л у2(у2-3х2)2, (x2 + y2f. Учитывая, что узлы лежат на поверхности тора, получаем, что инва риантными формами относительно G для Т будут многочлены В качестве узлов кубатурной формулы возьмем G-орбиты точек получим N = 36 (нижняя граница числа узлов iVj равна 20). Подставляем инвариантные формы в (2.4) при 1 І П, получаем систему уравнения последнее, найдем с3. Вторая подсистема имеет вид Выражая с\ из первого уравнения, подставляя найденные с2, сз, с4, у А, приводим систему к виду (2.7) и аналогично решаем ее. Приведем полученные формулы для разных г данной степени точности.
Построение кубатурных формул для тора, инвариантных относительно преобразований группы G = G\ х Ds
В качестве узлов кубатурной формулы возьмем G-орбиты точек Число узлов кубатурной формулы не превышает 30 (нижняя граница числа узлов N,i равна 14). Подставляя инвариантные формы в (2.4) приходим к следующей системе уравнений Решаем полученную систему методом, описанным в примере 1. Имеем, что j/2 и 2/3 являются корнями квадратного уравнения Исследуем полученную кубатурную формулу относительно параметра г. Коэффициенты с2 и сз всегда положительны, их сумма равна с2 + с3 = а коэффициент c\ равен Получим, что для всех г 1 коэффициенты положительны и кубатурная формула имеет 30 узлов. Примеры полученных формул для конкретных радиусов приведены в таблице. Пример 7. Построим кубатурную формулу седьмой степени точности инвариантную относительно G — G\ х Di2. Инвариантными формами не выше седьмой степени будут многочлены В качестве узлов кубатурной формулы возьмем G-орбиты точек Кубатурная формула содержит 48 узлов (нижняя граница числа узлов N,i равна 26). Подставим инвариантные формы в (2.4) получим систему уравнений Решая систему, получим, что г/з? Уь У5 являются корнями кубического уравнения Аналогичным способом построены кубатурные формулы инвариантны относительно преобразований группы G приходим к следующей системе уравнений Решаем полученную систему методом, описанным в примере 1. Имеем, что j/2 и 2/3 являются корнями квадратного уравнения Исследуем полученную кубатурную формулу относительно параметра г. Коэффициенты с2 и сз всегда положительны, их сумма равна с2 + с3 = а коэффициент c\ равен Получим, что для всех г 1 коэффициенты положительны и кубатурная формула имеет 30 узлов. Примеры полученных формул для конкретных радиусов приведены в таблице. Пример 7. Построим кубатурную формулу седьмой степени точности инвариантную относительно G — G\ х Di2. Инвариантными формами не выше седьмой степени будут многочлены В качестве узлов кубатурной формулы возьмем G-орбиты точек Кубатурная формула содержит 48 узлов (нижняя граница числа узлов N,i равна 26). Подставим инвариантные формы в (2.4) получим систему уравнений Решая систему, получим, что г/з? Уь У5 являются корнями кубического уравнения Аналогичным способом построены кубатурные формулы инвариантны относительно преобразований группы G = G\ х D\2 9, 11, 13 степеней точности. Примеры этих формул приведены ниже в таблицах.
В приведенных выше примерах строятся инвариантные кубатурные формулы для тора с числом узлов по возможности меньше отличающихся от нижней границы. Эти примеры лучше всего демонстрируют все характерные особенности, которые возникают при построении таких инвариантных кубатурных формул. На них хорошо прослеживается методика решения систем нелинейных алгебраических уравнений, которые возникают в ходе построения кубатурных формул. Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что существование и качество инвариантных кубатурных формул для тора очень сильно зависят от г = R/a. Для произвольных радиусов г существуют кубатурные формулы степени точности 4, 5, из них имеют все положительные коэффициенты только формулы для небольших г. Для более высоких степеней точности как правило существуют и обладают положительными коэффициентами кубатурные формулы для г 2. Вопрос о точной границе г существования построенных кубатурных формул в каждом случае решается численными экспериментами. Из всех полученных инвариантных кубатурных формул наибольший интерес могут представлять формулы, инвариантные относительно группы G = G\ х D\2. Несмотря на то, что число узлов у них больше, чем у формул, инвариантных относительно групп G — G\ х DQ и G = Gi х D& они существуют и обладают всеми положительными коэффициентами для больших радиусов г. А формула 5 степени точности существует и имеет положительные коэффициенты для любого радиуса г. = G\ х D\2 9, 11, 13 степеней точности. Примеры этих формул приведены ниже в таблицах. В приведенных выше примерах строятся инвариантные кубатурные формулы для тора с числом узлов по возможности меньше отличающихся от нижней границы. Эти примеры лучше всего демонстрируют все характерные особенности, которые возникают при построении таких инвариантных кубатурных формул. На них хорошо прослеживается методика решения систем нелинейных алгебраических уравнений, которые возникают в ходе построения кубатурных формул. Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что существование и качество инвариантных кубатурных формул для тора очень сильно зависят от г = R/a. Для произвольных радиусов г существуют кубатурные формулы степени точности 4, 5, из них имеют все положительные коэффициенты только формулы для небольших г. Для более высоких степеней формулы для г 2. Вопрос о точной границе г существования построенных кубатурных формул в каждом случае решается численными экспериментами. Из всех полученных группы G = G\ х D\2. Несмотря на то, что число узлов у них больше, чем у формул, инвариантных относительно групп G — G\ х DQ и G = Gi х D& они существуют и обладают всеми положительными коэффициентами для больших радиусов г. А формула 5 степени точности существует и имеет положительные коэффициенты для любого радиуса г.
