Введение к работе
Актуальность темы. В теории операторных уравнений и ее приложениях важное место занимают результаты, относящиеся к проблеме существования положительного решения у соответствующего линейного уравнения. Естественно, что встречаются уравнения разных классов : линейные системы алгебраических уравнений, линейные интегральные уравнения, краевые задачи для дифференциальных уравнений, уравнения, связанные с задачами математической экономики, нелинейные уравнения соответствующих классов. Все эти типы уравнений являются примерами операторных уравнений. Операторными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестный элемент х соответствующего линейного нормированного пространства Е, содержится под знаком оператора, т.е. уравнение вида
F(x) = 0 (1)
При этом понятие положительного решения предполагает наличие в нормированном пространстве Еклгеса элементов А', называемых положитсяьньши(неотрицательиыми) элементами. Этот класс выделяется аксиоматически и выражает основные свойства, характерные для положительных (неотрицательных) элементов (чисел). Сеойстеэ эти легко описать следующей системой аксиом :
-
из х є К следует, что (Ах) є К для всех А > 0;
-
ИЗ х,,х, є К следует, что (х, + х,) є К ;
-
из * є К, х * 0 вытекает, что (—х) є" К;
-
предел х" (по норме пространства Я) любой последовательности элементов {.г„} є К, если этот предел существует, является элементом множества К (свойства замкнутости множества К).
Любое множество элементов К, удовлетворяющее аксиомам 1)-4), называется, следуя М.Г.Крейну конусом.
Наличие в пространстве Е конуса К позволяет ввести в пространстве Е отношение « >» сравнения для некоторых пар {х,у) элементов в пространстве Е. А именно пишут, что
х>у (2)
в том и только том случае, если разность (х-у) є К. Операция сравнения элементов обладает основными свойствами знака неравенства > , с помощью которого можно сравнить любые два действительных числа а и b . Подчеркнем, что с помощью знака «>» можно сравнивать элементы не всякой пары, а лишь элементы некоторых пар {х,у). Поэтому в отличие от множества действительных чисел, которое упорядочение с помощью знака «>», множество элементов нормированного простргнетаа называется по.туупорядоченнтлм пространством.
При пат ичии в пространстве Е знака « > » положительными (точнее сказать
неотрицательными) элементами называются все элементы, которые удовлетворяют
неравенству .х>0 .
При изучении операторных уравнения вида (1) важным во многих задачах является вопрос о существовании у такого уравнения неотрицательного решения х' . Последнее связанно прежде всего с тем , что для широкого класса уравнений именно такие решения имеют соответствующий задаче смысл. Например, если мы имеем уравнение межотраслевого баланса (модель Леонтьева), то это уравнение записывается в виде операторного уравнения вида
х ~ Ах + h (3)
З'
гае Л заданная квадратная неотрицательная пхв матрица (называемая технологической матрицей), be. R" - заданный неотрицательный вектор (так называемый вектор валового выпуска полезного продукта). При этом, понятно, что б силу экономического смысла решением х', уравнения (3) может быть лишь неотрицательный вектор, т.е. х > 0. Зто пример является простым наглядным примером уравнения, для которого важно не только установить существование решения х*, а именно, решения, обладающие свойством неотрицательности, т.е. решения принадлежащего классу элементов конуса К (неотрицательных элементов!).
Цель работы - во первых, получение новых теорем, являющихся усилением и развитием классических теорем Адамара, Таусски, Островского и др. Во - вторых, значительное внимание в работе уделяется изучению модели Лентьева - Форда межотраслевого баланса, учитывающей экологическое состояние окружающей среды на предмет существования у этой модели неотрицательного решения, ибо именно такие решения имеют экономический смысл. При этом удасгся получить достаточно полные аналоги результатов, известных для модели Леонтьева, хотя модель Леонтьева - Форда является существенно более сложной моделью, по сравнению с моделью Леонтьева.
Научная новизна. Основной целью работы является получение условий существования неотрицательного решения. Проблема существования у операторного уравнения (3) неотрицательного решения тесно связана с проблемой оценки величины спектрального радиуса г(А) линейного положительного оператора Л.
Именно с этим связанно то обстоятельство, что в работе во первых пристальное внимание уделяется вопросам оценки сверху величины спектрального радиуса линейного положительного оператора Л и во вторых модели Леонтьева - Форда, учитывающей экологический фактор. Речь идет об оценках спектрального радиуса матричных операторов. В результате получены развития и усиления известных классических результатов теорем А.Островского (см.[Пароли]) о строгих оценках сверху спектрального радиуса матричного оператора. Подчеркнем, что эти результаты являются развитием теорем А.Островского и находятся в таком же отношении к теореме А.Островского каком находиться известная теорема О.Таусски к теореме Адамара.
Теоретическая к практическая ценность. Заключается в постановке задач нового типа в теории операторных уравнений и неравенств, разработке методов их исследования и указании возможных приложений при исследовании задач межотраслевого баланса, учитывающих экологический фактор.
Достоверность исследований. Следует из математической строгости в постановке и мгтодоа решения исследуемых задач, а также из совладения полученных результатов с известными для частных случаев из литературы.
Апробачкк работы. Основные результаты диссертации докладывались на «Современные методы нелинейного анализа» стр.89-91 (Воронеж 1995 г.); «Понтрягиііские чтения - УН» стр.44 (Воронеж 1996 г.); «Понтрягинские чтения - YIII» стр.27 (Воронеж 1997 г.);
«Материалы XXVII научно-технической конференции» стр.5 (Ставрополь,.! 997 г.); «Проблемы Физико-Математическкх Иаух» стр.83-86 (Ставрополь 1998 г.); «Понтрягинские чтения - IX» стр.223 (Воронеж 1998 г.); «Понтрягинские чтения -X» стр.51 (Воронеж 1999 г.);. с» стр. (Пятигорск 1999 г.);
Публикации. По материалам диссергации опубликовало 8 печатных работ [1-8]. Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором В.Я. Стеценко. При этом в соответствующих результатах Стеценко В.Я.
принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация эгкх рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.
