Введение к работе
Актуальності» проблемы. Задача обнаружения моментов изменения йств случайных сигналов актуальна во многих приложениях, связанных эработкой временных рядов, корреляционным и спектральным анализом іньіх. С момента появления основополагающих работ Пейджа и Ширяе-штерес к проблеме обнаружения момента разладки постоянно возрастает, ожняются рассматриваемые модели, которые, в частности, допускают за-имость наблюдений в различные моменты времени.
Известные методы обнаружения разладки случайных процессов можно делить на две группы: методы апостериорного обнаружения л последо-ельные методы. При апостериорном обнаружении предполагается, что в ледователыюстп наблюдений в некоторый момент произошло изменение іактеристик п требуется оценить момент этого изменения, используя все люденпя. Обычно в этом случае изучается точность оценивания "отно-елыюго" момента разладки в схеме серии, предполагая, что отношение лента разладки к длине реализации является величиной постоянной, а .ем наблюдений стремится к бесконечности. При различных предположе-[х относительно моделей наблюдаемого процесса апостериорные методы чались в работах Дарховского и Бродского, Востриковой. Последовательные методы характеризуются тем, что при поступлении юго наблюдения либо принимается решение о наличии разладки к те-цему моменту времени, либо - о продолжении наблюдении. Основными іактеристпками последовательных методов являются среднее время межсоседними моментами ложных тревог и среднее время запаздывания в гаружении разладки после ее появления. Качество различных процедур [аружения сравнивают по следующему критерию: величине среднего вре-1п запаздывания при фиксированном среднем времени между ложными :вогами.
Достаточно хорошо изученной к настоящему времени является задача об-эуження изменения распределения в последовательности случайных вели-I. Для решения этой задачи применяются методы скользящего среднего, поненциалыюго сглаживания, кумулятивных сумм (CUSUM). Как было ганоплено в работах Л орден а, Мустакндеса, Поллака, Ширяева, Боровкова [ималыюп процедурой является процедура кумулятивных сумм и близкая кй процедура Гиршика-Рубнна-Шнрясва. Алгоритм CUSUM заключа-;я в применении последовательной процедуры отношения правдоподобия
Вальда классификации двух простых гипотез, в которой нижний порог зад ется равным пулю и при достижении логарифмом отношения правдоподобі этого порога процедура классификации возобновляется. Для метода CUSU Лорден показал, что отношение среднего времени запаздывания к логарш му среднего времени между ложными тревогами стремится к константе п] стремлении среднего времени между ложными тревогами к бссконечност Аналогичное соотношение между основными характеристиками было пол чено Бродским и Дарховскпм для других процедур обнаружения.
Аналитическое исследование характеристик процедуры CUSUM даже схеме независимых наблюдений весьма затруднительно. В последнее вреі\ в работах Зигмунда, Поллака и Якира получены асимптотические формул для расчета среднего времени между ложными тревогами, а также форм лы для среднего времени запаздывания, содержащие неизвестные константі для случая, когда плотности распределения наблюдений принадлежат эксп ненциальному семейству.
К настоящему времени разработан также ряд методов обнаружения м ментов разладки случайных процессов с зависимыми значениями. Часто качестве моделей наблюдаемых процессов используются процессы автор грессионного типа, которые позволяют при небольшом числе параметре хорошо аппроксимировать корреляционную функцию. Задачи обнаружен! скачков параметров в моделях такого типа исследовались в работах Тельк ниса, Клигснс, Липенки, Лииепкене, Никифорова, Бассвиль и Бенвенист Сегена и Сандерсона, Дарховского и Бродского, Бородкина и Моттля и д Исследование свойств предложенных алгоритмов является еще более трудне задачей, чем в случае независимых наблюдений.
Во многих случаях задача обнаружения момента разладки случайнь процессов оказывается тесно связанной с задачей оценивания параметре этих процессов. Для оценивания неизвестных параметров процессов автор грессионного типа применяются методы наименьших квадратов, максимал ного правдоподобия, стохастической аппроксимации. Свойства получаем!, оценок изучаются в асимптотике, при неограниченном увеличении объе,\ наблюдений. Это позволяет установить скорость сходимости оценок к и тинным значениям параметров, а также найти предельное асимнтотическс распределение оценок. В то же время представляет интерес получение оц нок по конечной реализации процесса, которые бы имели заданные характ ристики. Такая возможность появляется при переходе к последовательное
ану оценивания. Впервые такие оценки были предложены Новиковым для енивания параметра скалярного диффузионного процесса. Для процессов с скретным временем оценки были построены Борисовым и Коневым, а за-м Коневым и Пергаменщиковым для процессов авторегрессии произвольна порядка и Васильевым н Коневым - для процессов, наблюдаемых на ше помех. При этом использовалась система моментов остановки, а оценки раметра процесса, наблюдаемого па фоне шумов, могут быть построены, ли последний параметр процесса не равен нулю.
В практических задачах часто используется модель наблюдении Калмана-)Юсн, в которой интересующий нас процесс наблюдается на фоне шумов, іедставляющих собой последовательность независимых гауссовскнх слу-.йных величин. Построение процедур обнаружения моментов изменения па-іметров процессов в таких моделях и исследование свойств этих процедур ідяєтся сложной задачей. Имеется небольшое число работ, в которых пред->жсн ряд алгоритмов, свойства которых нуждаются в дальнейшем анализе.
Таким образом, актуальной является задача построения процедур обиа-'жепня моментов разладки случайных процессов с. независимыми и завпсн-зіміі значениями, для которых удалось бы провести теоретическое исследо-інис основных характеристик.
Целью настоящей работы является разработка методов обнаружения эмента разладки и методов оценивания параметров случайных процессов, )сспечивающцх заданное качество получаемых выводов.
Методы исследования. При выполнении диссертационной работы ис-зльзовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов, тети аналитических функций, теории матриц и методы статистического меблирования.
Научная новизна.
В работе построены последовательные процедуры обнаружения моментов зменения свойств случайных процессов, отличающиеся от известных тем, го для них проведено теоретическое исследование основных статистических арактернстик, связанных как с ложными тревогами, так и с запаздыванием обнаружении разладки.
Практическая ценность.
Полученные в работе результаты могут применяться при обработке дан-ых в задачах технической и медицинской диагностики, телеметрических н гофизических измерений.
Внедрение результатов работы.
По материалам работы получено два авторских свидетельства. Кром того, материалы исследований используются в учебном процессе при выпо; нении курсовых и дипломных работ студентов.
Апробация работы и публикации.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обед ждались на IV-м ТЗсесозном совещании по статистическим методам теорії управления (Фрунзе, 1978), III,IV, V,VI Всесоюзных школах-семинарах по не параметрическим и робастным методам статистики в кибернетике (Томсь 1980; Дивногорск, 1982; Томск, 1983, 1987), Всесозной научно-техніїческої конференции "Синтез и проектирование многоуровневых систем управлю ния" (Барнаул, 1982), Всесоюзной конференции "'Теория адаптивных систол и ее применения" (Ленинград, 1983), 1,11, III Всесоюзных семинарах по об иаруженпю изменений свойств случайных процессов (Паланга, 1984; Зелено град, 1988; Воронеж, 1990), Региональной научно-технической конференції! "Измерение характеристик случайных сигналов с применением микрома шинных средств" (Новосибирск, 1988), Республиканской научной конфереп ции "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск 1990), Всесоюзной научно-технической конференции с международным уча стием стран членов СЭВ "Применение статистических методов в произвол стве и управлении" (Пермь, 1990), Всесоюзном семинаре по проблемам устой чивости стохастических моделей (Пермь, 1992), 8-м Всемирном Коыгреса ИФАК по автоматическому управлению (Сидней,Австралия, 1993), III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосн бпрск, 1998), на семинарах Института математики и кибернетики АН ЛитС СР, Московского авиационного института, Сибирского фпзико-технпческогс института.
По результатам выполненных исследований опубликовано 30 печатш.п работ.
Структура диссертации.
Работа состоит из введения, пяти глав, заключения п списка лптергауры Общий объем диссертации составляет 250 страниц. Библиография содержит 285 названий.
