Введение к работе
'
Актуальность проблемы. До конца 50-х годов при исследовании различных объектов в основном использовались частотные методы, оперирующие с моделями, описанными посредством передаточных функций. Эти методы были хорошо применимы для динамических систем с одним входом и выходом и легко реализовывались на существующем тогда оборудовании. Но частотные методы оказались неудовлетворительными при исследовании многспараметрических многозеяэных объ- ; ектов, имеющих несколько входов и выходов. Поэтому с 60-х годов для описания и исследования сложных объектов, в частности аэро-космиаеских, получил развитие так называемый метод пространства состояний, когда модель поведеній объекта представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка. Метод пространства состояний, использующий современные математические методы обработки информации, хорошо приспособленные к последующей реализации на ЭВМ, дал превосходные результаты при решении многих задач теории динамических систем. В частности, более глубоко была проанализировала проблема избыточности п.системе, связанная с понятиями неуправляемости и ненаблюдаемости, ввелись понятия стабилизируемое и детектируемости и так далее.
Однако, быстрое развитие методов пространства состояния об
наружило и ряд присущих им недостатков, которые отсутствуют в
частотных методах. В частности, наблюдались трудности при анали
зе качества и предсказании динамического поведения системы, выя- і
вились трудности с обеспечением робастности и т.д. С другой сто
роны эти проблемы успешно решались в рамках классической теории,
базирующейся на таких понятиях как полиса, нули, корневой годо
граф и т.д. )' '
Поэтому с коі.ца 60-х годов наблюдается рост интереса к классическим методам с точки зрения их обобщения на многосвязные ди-иамаозскив системы, описанные в пространство состояний. Многими исследователями обобщаются такие понятия как передаточная функция, числитель передаточной функции, полюса*и т.д. Основнка трудности возникли при обобщении понятия нуля передаточной функции (Ш>). Это связано с тем, «то в классическом случае ІМ представляет собой скалярную дробно-рациональную функцию комплексного переменного с взаимно простыми полиномами в числителе и знамена-
теле. Классические нули совпадают с корнями полинома числителя йа. Передаточная функция кногомернсго объекта с несколькими входами и выходами является матрицей, элементы которой дробно-рациональные функции. Поэтому введение в многомерном случае понятия нуля, которое было бы адекватно классическому, оказалось весьма затруднительной проблемой. Только в 1970 г. проф. Роаенброкоы были определены нули линейной многомерной системы, описанной в пространстве состояний, качественно эквивалентные классическим нулям. Розенброковские нули, определяемые как конечные спектральные характеристики (конечные собственные значения) специально сформированного линейного пучка матриц, отличаются от нулей числителей дробно-рациональных элементов матричной передаточной функции ' (Mia) линейной многомерной системы. И только для Ikls управляемой и наблюдаемой системы в канонической диагональной форма (форме Сыита-л&кыиллана) эти нули совпадают. .
С 1970 г. начинаются интенсивные исследования, уточнения и корректировка понятия многомерного нуля как самим Розенброком, так и другими авторами. Также разрабатываются различные методы вычисления нулей, изучаются их свойства и влияние на динамическое поведение системы.
Исследования, связанные с нулями многомерных систем, про-долпавтся бплоть до настоящего времени. И несмотря на большое количество работ по этой тематике, остается много нерешённых .' проблем, требующих своего исследования.
Во-первых, существует проблема уменьшения размерности задачи вычисления нулей. Действительно, нули по Розенброку определяются как конечное собственные адсла квадратного регулярного' или в общем случае прямоугольного сингулярного пучка матриц размеров, 'преБыаающил: порядок системы, вычисление многомерных нулей на основе данного пучка, фактически, представляет собой алгебраическую проблему вшисленкя конечных собственных значений линейного пучка матриц. Эта проблема сложна как-в теоретическом плане -из-за пряшугольности в общем случае пучка, так и в" вычислительном плане - из-за больших размеров пучка. Поэтому представляет интерес'любая-возможность снижения размера задачи. То, что такое снижение возможно следует,-например,, из факта, что"максимальное количество конечных, нулей строго правильной линейной динамической системы равно а - max(x,t) , где л, г, - соответственно
порядск, «поло езіодов и выходов системы. S настоящее время, несмотря на наличие множества подходов х определении п- вычисления нулей, резонно проблей размерности представляет собой определенные трудности. Во-вторых, поскольку нули классической система с одним входом и выходом являются корнями скалярного полинома, то естественно получить аналогичное определение для нулей линейной многомерной системы через спектральные характеристики некоторого матричного полинома,
Дах.з, изучение научной периодики по нулям системы показывает необходимость учитывать это понятие при выявлении свойств и поведения динамических объектов различной природы, которые могут быть адекватно списаны в пространстве состояния. Поэтому представляется актуальным проанализировать с точки зрения нулевой структуры существующие условия разрешимости различных задач управления и оценивания.
Остается также много нерешённых и мало изученных проблем, связанных с нулевой структурой системы, а именно, построение системе минимального порядка, обратной некоторой линейной дкиа-шшеегоЯ системе» получение достаточно простых критериев обратимости динамической системы, анализ вырожденности линейной дина-.мипесяоП системы, анализ чувствительностей нулей системы к вари-. ациям параметров, задание нулей с помощью соответствующего выбора матрицы выхода или входа или посредстве... операции квадркрова-НИЯ и т.д.
Наконец,.заманчивым является обобщение понятия нуля на новые классы динамических систем, например, на системы, параметры которых не определенные.числа, а могут-принимать любые значения из заданны:: диапазонов.
Реяешв данных задач является целью исследования диссертации. .-.
Необходимо отметать, что изучение и решение вышеупомянутых проблем является, .во-первых, определенный продвижением в развитии теории линейных многомерных-динамических систем, во-вторых, позволяет осуществлять поиск эффективных вычислительных методов для определения нулей, реализуемых на 3B!d. Кроне того, применение качественно нобис методов исследования динамических систем с испольеосашем понятия-нуля системы повстает объективность соответствуащ'їх оталов автоматизации исследования и проектнрова-
- є -
ния динамических объектов различной природы.
Диссертация выполнялась в соответствие с планами научно-исследовательских работ Сибирского физико-технического института при Томском гос.университете в рамках ваянейшиг госбюджетных НИР: на 1981 - 1985 г. г. по теме пУправление «ногосвдзныни объектами" (шифр Ромус, » го с.регистрации ОІ82Ш65465)» на 1986 - 1990 р. г. по теме «Разработка и исследование математического и программного обеспечения автоматических и автоматизированных систем обработки информации, управления и проектирования* (аифрцСлтиыиэация", # гос.регистрации 0I860I2563I), на 1991 - 1993 т,г. по теле вРаовитие системных средств автоматизации и разработка математического и программно-технкиеского обеспечения исследований и оптимизации управляемых систем, информационных процессов и деятельности человека-оператора" (вифр «Информатизации*, оаказ-наряд & I.I5).
Научно-исследовательские работы ttPowyc* и «Оптимизация" выполнялись в соответствие с Координационным планом АН СССР; на 1981 - 1965 г,г. по проблеме «Кибернетика* (раздел Ї.12.ІО.ІВ); на І98Є - 1990 по проблешм «Общая механика*' (задание 1,10.4), «Теория управляемых процессов (задание 1,12.1,4), «Теория построения систем автоматизированного проектирования (задание 1,12. 5.1).
Методы исследования. Теоретической основой- диссертаций служили: кегоды линей, jfl алгебры, вклочая вычислительные методы линейной алгебры; теория матриц, включая теорию J -матриц и матричных полиномов; теория оптимизации; методы теории устойчивости и теории чувствительности; метода интервального шавиоа ч интервальных вычислений. При реализации алгоритмов нспольеосалнсь методы математического моделирования на ЭКа,
Лауаная новизна работы состоит в следующей:
а) ПоЛуиеНО Н0БОЄ Определение Нулей ЛИіейНОЙ І2ЮГС!.'Єр!ЮП
.системы в терминах матричного полинома, размеры которого олреде--ляются смелом входов и выходов, а степень ко превышает порядка "системы. Такое определение нулей
- іБо-первнх, является дальнейшим развитием результатов по обобщению на многомерный случай классических нулей, определяеііих в терминах полинеш числителя передаточной функции системы со спг.-лярным входом/выходом. Определение многомерных нулеП «срез мат-
puciufl пожали сыявяяет rat полнуэ аналогия с классическими нулями,
- Во-вторых, значительно уменьшает размеры задач, связанных с проблемами вычисления и заданая нулей, 8 частности, для линейюй системы с равкыа числом входов и выходов проблему вычисления нулей удалось свести к проблеме собственных значения матрицы или линейного пучка матриц пониженного порядка с глеыентами, аналитически выражающимися через параметры исходной системы.
б) доказано, ото блочные коэффициенты полученного матрично
го полинома непосредственно выражаются через марковские матрицы
С6% САв, 4*3,.... Выявленная аналитическая зависимость позволя
ет связать с марковскими матрицами рад свойств линейной много
мерной системы: обратимость, вырокдешоегь, невырожденность, от
сутствие нулей, а танке получить оценки на число нулей системы
в терминах ранга матриц СЗ, С4в, С/123,
в) Для линейкой многомерной системы с равным числом входов
и выхе эо представлен оригинальный метод определения обратной
системы минимального порядка, описанной в пространстве состоя
ния, В отличие от зарубежных работ, метод аналитический (а не
итеративный) и не требует- операций над полиномиальными и/или
дробно-рацкоиахьинми матрицами.
г) Получена факторизация (разложение." М11ф линейной много-.
мерной системы в произведение взаимно простых справа полиноми
альной и обратной от другой полшоииальной матрицы, причем в от
личие от других аналогичных факторизации, в полученном разложе
нии полиномиальные матрицы имеют структуру матричных или обоб
щенных матричных полиномов. Данный результат используется для
нового определения передаточных нулей в терминах матричного или
обобщенного ыатри^лого полиномов - числителя Ш$, что является
прямым обобщением на многомерный случай классического определе
ния нуля Ш.
д) Сформулирована, проанализирована и обоснована задача
обеспечения заданного нулеього поликома с помощью соответствую
щего выбора матрицы выхода. Получены необходимые и достаточные
условия разрешимости задачи при сохранении наблюдаемости систе
мы. Вперзыа рассмотрена проблема падания нулевого полинома при
обеспечении естественного ограничения на полноту ранга матрицы
выхода. Дпугими авторами эти задачи рассматривались без послед-
него ограничения. Впервые предложена численная процедура-определения матрицы выхода полного ранга путем минимизации градиентным методом списка некоторого функционала. Получены аналитические формулы для градиента, используемого в численной процедуре.
е) Вчервые установлено влияние нулей системы на разрешимость ряда задач управления с неполной информацией и оценивания. Показано, что если система обладает правыми нулями, то для неё ограничены возмошости как в управлении, так и оценивании. Анализировалась разрешимость следующих задай: асимптотическое сле-кение за постоянным сигналом, сигналом полиномиального типа и сигналом общего вида при наличии'детерминировашых возмущений на входе/выходе, а также задачи оценивания при детёрмшшрованних возмущениях или цветном шуме на входе/выходе и задача анализа асимптотических свойств системы оптимального управления при неотрицательно определенной весовой матрице по состояние. Ряд из зтих задач, а именно задачи слежения при отсутствии возмущений и/или полной информации о векторе регулируемого выхода без использования наблюдателя, рассматривались в серии работ Дэвисока и соавторов и работе Феррейра. В самой обще'й формулировке эти задачи ранее не рассматривались.
к) Впервые для линейной интервальной динамической системы, представляющей собой квазистациснарную систему, параметры которой і'огут принима— любые значения из заданных интервалов,.введено и формально обосновано понятие инвариантного нуля интервальной системы. Используя ото понятно получены условия разрешило сти задачи .слежения за постоянны;.! сигналом при наличии на
ВХОДє/біКОДЄ СИСГеШ Детер'ПІНИрОВаіІНЬЖ КУСОЧНС-ПОСТОЛІШЬВС ЕЭЗ-
мущгний. Показано, что условия разрешимости связаны с наличием у интервальной системы ішвариантиого нуля в начале координат. Данный подход кожет быть применен при анализе грубости системы слежения.
Практическая ценность. Представленные в диссертации методы определенна, вычисления и задания нулей линейной многомерной системи являются теоретической осїіовоіі для разработки-аффективных алгоритмов и программного обеспечения длч пассата нулей линейной системы высокого порядка с большим числом входов и выходов путе;.! значительного уменьшения размеров задачи. .
Кроме того, все представленные в диссертации кетедк несла-
дованш линейной *цшіамиаесіюй систеыы: анализ обратшости системи, построение обратное системы, факторизация МГЙ, расчет і/вст-вительносчей нулей и т.д. предлагают работу только с числовыми, а не с'полиномиальными или дробно-рациональными матрицами. Поэтому они могут быть реализованы на ЭШ с помощью обычных языков программирования типа ФОРТРАН, ПАСКАЛЬ и стандартного математического обеспечения.
Разработанные в диссертации методы исследования динамических объе'-тов как с постоянными, так и интервальными параметрами, использующие понятие нуля системы, являются качественно новими методами исследования динамических систем, позволяющими существенно повысить эффективность соответствующих этапов автоматизированного проектирования и компьютерного моделирования слоаных измерительно-управляющих комплексов для различных классов дгаамических объектов.
Предлагаемые методы анализа объекта использовались автором при разработке пакета программ, предназначенного для анализа и автома.изкрованшго Проектирования .3 и Ш5-регуляторов в многомерном объекте по линеаризованной модели. Этот пакет включен в Госфонд алгоритмов к программ СССР.
Реализация полученных результатов. Работа выполнена в рамках важнейших госбюджетных Ш1Р, выполнявшихся в Сибирском физико-техническом институте при Томском госуьиверситете и ео результаты изложены в соответствующих науано-техиичесних отчётах.
Ряд результатов работы использованы в лекционных курсах «Теория автоматического управления" и «Проектирование систем управления", читаемыми'на факультете Автоматики и вычислительной техники в Новосибирском государственном техническом университете, а также -'в- лекционном курсе «Системный анализ -и машинное моделированиа", читаемом на инженерно-педагогическом факультете Алтайского государственного технического университета, что .подтверждается соответствующими антами. Основные результаты работы использованы автором при разработке двух комплексов программ и пакета программ, которые включены в Гос.фонд алгоритмов и программ СССР с номерами Гос.регистрации 506600001)69, 5o68uivOl56o и 5091000043 соответственно.
На защиту автором выносятся следующие основные положения: - новое определение нулей и передаточных нулей линейной много-
мерной-системы через матричный и обобщенный матричный полином Это определение обобщает как формальної так и фактически соответствующее классическое определение нуля 1№ и открывает новые возможности для анализа нулевой структуры системы,
новые методы вычисления нулей «срез матричный полином и ла-нейный пучок матриц пониженного порядка, значительно снижающие вычислительные трудности, .
новый подход к синтезу систем с заданным нулс-ым полиномом или заданными нулями путём соответствующего выбора матрицы выхода или квадрирущей матрицы,
аналитическое решение перечисленных выше задач преобразования линейной динамической системы к выявления её структурных свойств: построение обратной системы, фактор'/эацкя Ша, определение ЧИСЛа Нулей СКСТеМЫ, ВЫЧИСЛеИИе иувСТВИТеЛЬКОCTv"і,
анализ нулевой структуры последовательного соединения и т.д.,
позыв методы анализа различных задач управления и оценивания, где выявляется зависимость разрешимости отих задач от расположения на комплексной плоскости нулей системы,
определение инвариантных нулей для нового класса систем -линейных многомерных шіаервальньк динамических систем и использование введенного понятия для получения условий разрешимости . задачи слежения г системах данного' класса.
Апробация и публикация. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих совещаниях и конференциях:
У, УІ Всесоюзное совещание «Управление шэгосвяшыми си?тема-ми" (Тбилиси, 1964 г., Суздаль, 1990 г.),
X Зсесоазное совещание по проблемам управления (Алма-Ата," 1986 г.), '
УП Зсесоюэное совещание пТеория инвариантности, теория чувствительности и их применение" (Баку, 1987 г.),
Международная конференция по алгебре (Новосибирск, 1989 г.),
Всесоюзная научно-техническая конференция "Применение САПР в машиностроении" (Свердловск, 1989 г.),
Семинар по интервальной математике (Саратов, 1990 г.),
Ш Зсесовзная школа-семинар "Динамика полёта, управление и
- II -
исследование операций" (Клин, 1990 г.),
- И Вссссппигп науодо-тспнкмскея конференция цКккропроцеесор-
ниэ систе'ш автоматики" (Новосибирск, 1990 г.),
«- У Ленинградских симпозиум по теории адоптивних систем вАдап-тиишэ и окспертныв системы з управлении" (Ленинград, 1991 г.),
- Мезэдуиародчая конференция по интервальным и стохастическим
иотодам в наука и техника пИмтервал-92" (Калининград, 1992 г.),.
«- I Всесоюзное совещание «Новые направления в теории систем с обратной связью" (і'фа, 1993 г.),
Всесоюзная конференції* с международным участием «Проблемы электротехники", секция Автоматики (Новосибирск, 1993 г.),
Ыеыайсмё Wetlsfop 'Coaltot system ya/Aesis: ТАеогд and app&ca/ion. "(UJSg, A/oirOslits, tfSl),
AlaMl notice Є tfodeeetng " (Solatia, ЯоЛа, '993).
Оспо вниз, результаты диссертации опубликованы в монографии и 38 печатных работах, из которых 22 выполнены без соавторов.
Структура и обьем работн. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Основной текст содержит 355 страниц в том теле 6 рисунков и таблица, библиография содержит 147 названий. Общий объём работы 402 страницы..
Основное содержание диссертации можно условно разделить на две основные «їсти. В первой части (гл. I - 4) рассмотрена теория нулей линейно., многомерной системы, определяемых в терминах матричного или обобщённого матричного полиномов. Здесь получено новое определение нулей и передаточных нулей через вышеупомянутые полиномы и через линейный пучок матриц пониженного порядка. Также построена обратная система минимального порядка, собственные числа матрицы динамики которой совпадают с нулями исходной системы. Кроме того выявлена взаимосвязь нулей системы с марковскими матрицами C6,d8,- , используя которую осуществлен анализ нулевой структуры системы: оценка числа нулей, вырожденность
системы и т.д. В 4 главе опираясь на полученные выше определения нулей рассмотрена проблема вычисления и задания нулей. Вторая часть диссертации (гл. 5, 6) посвящена прикладным проблемам, связанным с понятием нуля многомерной системы. Здесь.проанализирована разрешимость различных задач управления и оценивания с' точки зрения нулевой структуры, а также пводится и применяется понятие нуля линейной многомерной динамической системы, параметры которой могут пркншлать любые постоянные значения из заданных интервалов.
Во введении рассматривается общая характеристика проблемы, обссновываегся актуальность исследования нового понятия линейных многомерных динамических систем, даётся краткая характеристика полученных в работе результатов и обосновывается научная новизна работы.
В первой главе первый и зторой параграфы посвящены особенностям нулей линейной многомерной стационарной динамической системы
определяемых по Розенбрску как значения комплексной переменной j , которые удовлетворяют условию
г л +mia(?,e), (2)
с о
где Л' 2% ие%\ уєЯе, 4,8,С - постоянные матрицы раз
меров fixTi- , пхг- и А/г- соответственно. '
Здесь же приводится краткий обзор различных типов нулей многомерной системы.
В параграфах 3 и 4 получено новое определение нулей системы и передаточных нулей через матричный к обобщённый натриздыЗ полиномы. Сначала развивается теория блочно-сопровекдающнх и обебщежых блоянс-сопровощазщях патриц, яшяащихся сопродоедающими матрицами к матричному и обобщенному матричному полиномам соответственно.
Лод ( Sxг-) -матричным полиномом степени _/> понимают (*"г-)-
полиноыиакьнуа матрицу: Р(<0- 7}* %-jS-* * 7^j^ с /2 ,
с = оТр ~ постоянными ( *г- )-матрицами. При г-, Т„ -/4.
- ІЗ -
матричный полином1 Р(?) удовлетворяет условию: = det Ptej і где ft* - квадратная блочно-сопро воздающая матрица порядка рг ..В диссертации понятие матричного полинома обобщается путём введения полиномиальных матриц следующей структуры
<Р6)*10, 7}} t [О, fcjj * - * LofysN*rtj^* ts^
где 7}, і "f - (** fy-i'i) - постоянные матрицы, 71 -6*ъ) -постоянная матрица, целые числа , 6,-, ?j-x удовлетворяют неравенству:/,^4^ " - *?* ъ; < =ь
Показано* что для нормированных" ( ё-г, Т6=1г) матричного полинома "РА? и полиномиальной матрицы Ф&)г названной обобщенным матрианш полиномом, существует квадратная обобщенная блочно -сопровоадащая матрица А порядка 6+Єл + -ч- Є* , для кото-рои имеет место следующие соотношения
dei
Используя введенные понятия получено новое определение нулей многомерной системы.
Для управляемой пары (А,В) определим V - наименьшее целое, при котором галі 6,46,..,, А*~1В] * ійлА [s,JS,,.,, /}"']=ъ и целыа , определяемые по формулам й - галі [З, А ,..., /1Ы33- ^Onl R^„,JW^J;
і - JJJ; ft =ь,
где /^/^ - ^ /„=*, +^+~ -Г -Л-.
Сформируем ( ?гг~ )-матричный полином степени V-/.
см - 4.Єл] + [О, CJj * +[Ot С,.Х]Ґ2+ С,j '* (3) где ( ixfi )-подматрицы < являются блоками матрицы
В (4) A/ -(fixn)- невырозвденная матрица преобразования пары (А,В)
в каноническую форму с обобщённой блочло-сопровокдавщей матримй
динамики (йокояма). ' .
Теорема I. Нули управляемой системы (I) с равным.числом входов и выходов (1-6.) совпадают с корнями полинома
wo- sa'*y*tcfa (5)
Теорема 2. Нули управляемой системы CD с >г- определяются как корни полідаома ffa) , являющегося наибольшим общим делителем тождественно не равных нулю миноров максимального порядка (А* )- полиномиальной матрицы ^л~гя{г).
Двойственный результат получен для наблюдаемой системы (I)
с г<сь.
В специальном случае, когда ~,<*А~- '/„ -г, п*ь> » матричный полином (3) примет следующий простой- вид
где Ci -(хъ) - подматрицы. В атом слуаае нули системы определяются непосредственно через матричный полином (б):
а) при г = - как корни полинома det C(s),
в) при 1> г- через миноры максимального порядка С в).
Аналогичное определение получено для нестрого правильной системы
л = '/}# + гі, у- С#+ 9и,
где &-(*%)- матрица. Нули такой системы;определяются «ереэ следующий (Az-;-матричный полином степени 9
+ [с, J:9M% ] j ы+ pAts/s1 ...-.-
как корни полинома n~z*cfetC&) при г=/ или через миноры максимального порядна полиномиальной матрицы J^'/Ctt) при _>г . В (7} (
^ и (г*р) -матрице, перестановок М определяются из обобщенной блочно-сопровоэдащей канонической формы для пары (А,В).
Б заключении данного параграфа определяются нули не полностью управляемой системы (I) с гал& [8,43,-, А*"х3J -
- .. ' - 18 -
- і&пА, [8,/43,1., AA'J'B]-mn, Мут\ такой системи равны кор
ням полинома -
где полином %(*) характеризует неуправляемую часть системы (I),1 а полином (/>;/&) в общем слуиае ±г. совпадзет с наибольшим общим делителем микоров максимального'порядка (^"М-полиномналь-ной матрицы &m~%,C&) » где матричний полином С&) имеет структуру (3) при замене п на т. ,
Важным подклассом определённых вше нулей системы являются передаточные нули, в литературе определяемые через матричную передаточную функцию (Ш>) Q(s) системы (I)
$М~ С&&-/1Ґ6 (8)
как значения комплексной переменной S*2 , при которой ранг ( Лгг-) -матрица уменьшается
tan]:, (ё) г /піл(ї,Є). О)
Передаточные нули совпадают с определяемыми через соотибаение (2) системними нулями управляемой и наблюдаемой подсистемы системы ш.
Вычисление передаточных нулей непосредственно через CCOTHO- ' шение (9) неудобно, поскольку GG) есть матрица с дробно-рациональными элементами, В 1974 г» Дезоерон и шульманои предложено для определения передаточных нулеіі использовать факторизацию ML6 (!(*) п произведение вида
где C(J) и /fa).r взаимно простые справа полиномиальные матрицы, a A/(s) и Q&) - ''взаимно простые слева полиномиальные матрицы. Передаточные нули по Дезоеру и Шульману определяются через так называемый числитель ШФ - полиномиальную матрицу Cfa) или Q&) из разложения (10) как значения комплексной переменной = , при которчх имеют место неравенства.
галі С()г/піп.(г,) или rant 0&)'- woi-d,?).
В диссертации для управляемой и наблюдаемой системы (I) с л-г>>, ?, =&--' 4 = г получена факторизация (?) - Cfr) Р&) ~2 с С&) и PCs) - (е!хг ) и (?хъ ) взаимно простыми справа матрич-
ныыи полиномами степени '"' и * соответственно
C(J)- Ct +CiS+~+ С>і>'\ «І). '
F
где (Аг-) - блоки Сс- ,i-J,i совпадаот о аналогичными блоками матричного полинома (6), а (?'*) - блоки /?<'. i'JJ определяются из блочно-сопровождавщей канонической формы (Ассео) дія пары (А,0).
Для системы (І) общего вида с n
с взаимно простыми справа обобщенными матричними полиномами
Ib^sJe^1)*--+^4^(1^^^,»-rhs"h (13)
где Kt*tc )-блоки Сі совпадают с аналогичными блоками матричного полинома (3), a ( 1*% )-блоки Пі определяются иэ обобщенной блочно-сопровождающей канонической формы (йокояыа) для пары (А.В), В (12) Q -{і*ї-)- невырожденная матриц.
Матричный полином (II) и обобщенный матричный полином (13) являзтся числителями ьИФ (
Во второй главе диссертации полученные определения нулей системы используются для вычисления нулей управляемой системы . (I) с равным числом входов и выходов как собственных чисел квад~ ратной матрицы или линейного квадратного пучка порядков л-% или п -df-i . Предлагается два различных метода сведения проб*-лемы конечных собственных значений ((rn-i-)x(it>)) _ матрицы Розенброка из (2) к аналогичной проблеме для матрица или линейного пучка пониженных порядков.
В первом ищемся обобщенная блочно-сопро воздающая матрица для матричного полинома (3). При этом различают два случал.
a) detC)40 . Нули управляемой системы (I) 'с z. совпадают с собственными числами ((п-ъ)* ґ^-tj) -матрицы
О О
а о
СО, тс J о О [О, If J
(15)
2 *
о о - Loj^j
L -Й Г 4,^,.., , С,)
где я > с:
При См =2-
и SZ=[0,b«J&x при 4**г;
рядка Є-
б) det С)-О , Нули управляемс-fl системы (Ї) с ?*/? совпадают с конечными собетвешіаиі значениями линейного квадратного пучка матриц порядка n-tt-±
единичная матрица по-
(Ь* Ъы) - подматрица,
(16)
(J) =
pt г Q, -, С-г,[д,&-Л_
где f = fj +ЄЬ+ "- v- 4-2 » (-Р* (і*?**)) - подматрица совпадает с верхнім блоком матрицы Z (15) с [О, /гы] ~(^*г)~ подматрицей, [О, См] —(try) -подматрица.
. Второй метод уменьшения размера проблемы основан на факте, известном еща из классической теории регулирования: полюса передаточной функции обратной системы являются нулями передаточной функции исходной системы. Аналогично классическому'случаю для системы (I) с Мр &&) определяются-обратная справа или слева системы с Шш"<$^ '?) или .&) соответственно как удовлетворяющие условию
Очевидно, если каким-либо способом получена обратная система, то еЗ полюса (или собственные числа матрицы динамики) являются передаточными (или инвариантными) нулями системы. Используя этот факт и получешую въше факторизации (12), определяется ШФ правой обратной системы с равным числом входов и выходов в виде
где ( Ъ*ъ)- полиномиальные матрицы С&) и F{s) имеют структуру обобщённых матричных полиномов (13),'(14) соответственно» а Q -(1.*%) - невырожденная постоянная матрица. Из (17) можно формально записать уравнения обратной системы в дифференциально-операторном виде
С(1»?Ы)»а4), (IB)
№= 0'LFAV)Se), (19)
где () cTl"^ - вектор состояния, &Ы), рґі) % - соответственно векторы входа и выхода обратной системы, ?*"/# -оператор дифференцирования.
Далее осуществлен переход от описания линейной динамической системы (18), (19) к эквивалентному описанию в пространстве состояний. Прежде всего в системе (18), (19), являющейся негоавиль-ной, уравнение (19) приводится к стандартному виду
где JI СА/Ю) )<]!> ССС9)) ,J3 - степень обобщённого матричного поликома. В (20) матрица /9/) = Тг%>+М* , а J/Ф) имеет структуру обобщённого матричного полинома степени i-Z
" + At/ dCa$ Clr^ , 7&Ю + M*
где постоянные матрицы //'и /&*,,.., AAt-z определяются через блоки ;,%,,..,&, Ри,Г*г,.„^„
Затем доказываются ряд теорем и утверждений^ обошоБывающих переход от списания неправильной линейной динамической, системы в пространстве состояний: < =/fcv die , /*C
J '- JJ * би, (21)
y*4*[M%A/*\~,AAtll + 4'JVtX>+AlVC?
где ((п-г)х (ґі-t-)) - матрица А совпадает с матрицей (15),
-IV -
а блоки /// , i-i,i>-Jt определяются через матрицы Сі, FiL, i*A?-Z.
Доказано, gfo обратная система (21), (22) является обратной системой минимального порядка если и только если пара (А,3) -управляема, а пара (С,А) - наблюдаема. На основе обратной системы (21), (22) определяются инвариантные (передаточные) нули управляемой (и наблюдаемой) системы с равным числом входов и выходов и c>t С8*0 как собственные числа ее матрицы динамики А . Необходимо подчеркнуть, что представленный аналитический метод построения обратнсй системы оперирует только с постоянными, а не полиномиальными или дробно-рациональными матрицами.
3 третьей главе получены аналитические формулы для блочных коэффициентов матричного полинома (3) в терминах матриц СЗ, CAB, С/1^6,.: и разработаны методы исследования'нулевой структуры системы.
Для системы (I) с одним входом и выходом известна аналитическая формула, виражаючая числитель передаточной функции Qfr)- - W'O/ffo) чеРеэ ?ак называемые марковские параметры с,с4#,
№) - (сГ7-сҐ'б^ - - с#«г) + (сА"Ъ- сА**4ыл -
сі^-ЧиН-сі*»)*** + е$п* (23)
где С , - вектор-строка и вектор-столбец соответственно, det(Jln-A) = J"-^^**--» - <*sS-x*.
Анализ елочных коэффициентов < в (3) позволяет полуаить их непосредственное выражение в терминах марковских матриц Сб, СА8, СА*В,... л'З результате матричный полинем С($ (3) представляется в следувцем виде
6(j) = (саыв&'-са**6&г„ - - - cas;j[o,p,3} -
~с$;'[я,г„з) +(са**&?- са*в$?ъ*--*-с6;чог,№*
+ *ч-(сАб$;*-сМ?г,д*>*+са$;'з*-\ (24)
где ( 1-к& ) - блоки /Jt- и (,1хг) - блок определяются из обобщённой блочно-ссировсадающей канонической формы для пары
-'го -
(А,В). Формула (24) является адекватным аналогом зыраяения (23) для многомерной системы (II с^ входами и в- выходами.
При /z = «У, & = &**"S,, *z матричный полином (24) приобре
тёт следующий простой вид '
ст^(СА1Чб-сА**вр^ -—САаг,5 -серн) + ш**а-
-СА*вРп-—СВРп)&+"'+(еАв-СдР1»)^г+Сбз"л. (25)
Анализ матричного полинома C(s) в форме (24), (25' позволил получить ряд оценок на число нулей в системе до непосредственного их вычисления. Так, число нулей системы (I) с одинаковым количеством входных и выходных переменных (ї= ) зависит от ранга С&гО/,-
-
Если галАСб^г * то система имеет точно п-г- нулей,
-
если дефект ранга-матрицы С6 равен d , то система имеет не более ri--i-d нулей.
-
Если С6 - нулевая матрица, то возможны,варианты:
-
если мг и гал А СЛ8- , то система имеет, точно п-г% нулей,
-
если 4-j =г и. гапЛ САВ^т- , то система имеет не более n-z- нулей, где <2у<«- - дефект ранга матрицы ЛЛ5 ,
-
осли fa * z- и галі* &в " ^>-i , то система имеет не более, чем n-Jr+e't-j нулей,
-
если (i**%- и гааА, САб* ?i-j. , то система имеет не более, чем n-Jv+S^j-dj нулей, где dt<- St.j : - дефект
, ранга матрицы САЗ. .-'''
и т.д. Для системы (II с >ч- определены аналогичные оценки на верхнюю границу числа нулей.
Кроме того, полуиены простые достаточные условия невырожденности линейной динамической системы (1) б терминах блоков Ct , * i~S и матриц С6>СА&>ЛХ3,...
В данной главе также исследована нулевая структура последовательного соединения систем
-21 - .
с Яаєя"*, ъ*\ и,&*х, «л* г9*, $,&Гл, &^е*
путём подачи линейной комбинации выходных переменных первой на вход второй
где Q- -&и*&) - постоянная матрица полного ранга. Анализировались следующие сочетания числа входов/выходов: a) 4^-^-^ = 4. ) 2 &"&*** Доказано, «го множество нулей объединенной
СИСТеМЫ 5? Определяется ИЗ СООТНОШГ'ИЯ
гЛе Qi, i'-t',X - множества нулей систем ^ 'и jA , 2 - множество нулей, появляющихся из-за эффекта выравнивания посредством соединения (26),
В последнем'параграфе главы для системы (I) с равным числом входов и выходов и detCs^a , нуг< которой определяю'. оя как собственные одела матрицы (15), впервые пелены аналитические * формулы для чувствительностей первого порядка нулей системы Bet d~Z3 (р*я->) к вариациям элементов матриц A,S,C: Bid/iacj , dZd/^Sij, M
8ij (i'I^tJ-/,p), Ctf(-i**J,J*2?i-) - олеменга матриц А,й,С соответствешга. Анализ чузствиі ..льносгей нулей системы необходим при исследовании нулевой-структуры, поскольку нули, расположенные вблизи от ыншлой беи, чувствительные к вариациям параметров, нежелательны в системе-наряду с нулями в правой полуплоскости. . В литературе по теории многомерных динамических систем вплоть до настоящего времени подобный анализ не осуществлялся из-за отсутствия соответствующего определения многомерных нулей, где последние связаны с параметрами системы посредством хорошо изученной аналитической зависимости.
3 четвертой, главе представлено ряд методов вуліслєния нулей, основанных на полученных в предыдущих главах определениях нулей через матричный-полином и линейный пучок матриц пенижен-ного порядка. Также здесь представлено нескс:ь«а методов сдвига (задания; нулей посредством соответствующего выбора матрицы выхода системы (I).
Рассмотрено несколько методов вычисления нулей системы (I) с равным числом входов и выходов {t- ). Ограничение на равен-
стбо числа входов и выходов не является принципиальным, поскольку методы вычисления нулей системы с t-tC основаны на соответствующих методах вычисления нулей системы С 2"=*? .
Первый метод вычисления нулей (интерполяционный) базируется на определении нулей через матричный полином (3) как корней полинома (5). Задаются /і*і ґ/<л-%) различных действительных чисел Зг 4 Л; (А) , где Jj (А) .- собственные, числа матрицы А и вычисляются /f+l значень- полинома (5): fPfi%)= S^^det С{Тг)*
= 4i , I = У,Л.,...,/J4-i. Представив нулевой полином (*/v) в виде ,p(j) = ee-*faSi- ' + Q/tt"' . где р+л получим систему линейных уравнений относительно вектора <2», "*,... і O^j7" , имеющую единственное решение для различных .j . При реализации данного подхода, требующего при известных Сі одно обращение С^^а) -матрицы и .{/''і )-раз вычисление детерминанта (** г-)-матрицы, вычислительные трудности значительно снижены по сравнению с подходом Сама-иа, базирующимся на определении нулевого полинома 1/>6г) в виде УЮ = det<*In,-A)de-t(C(sIA,~A)~1B) . Для выбора /ь - числа нулей системы рекомендуется использовать результаты главы 3.
При вычислении блоков Сі » чтобы избежать обращения матрицы // порядка л- используется матричный полином С&) в виде (24) или (25) с блочными коэффициентами, являющимися "суммами произведений марковских матриц С61СА6,- и блоков fri, i'^J> <>, определяемых из пары (F ,S) - обобщенной блочно-сопровождающей ,' канонической формы для пары (А.,ВУ. Для определения пары (Р,) без предварительного вычисления матрицы Ж. предлагается метод последовательных элементарных преобразований над строками и столбцами пары (Л,6), сохраняющих строгую еквивалентно-ть пучков (Л*-А, 6) и Мп-РЛ).
второй метод вычисления нулей системы (I) с равным числом входов и выходов базируется на определении их через матрицу (15) или линейный квадратный пучок матриц 2Cs) (16) и сводится ,к обычной или обобщённой проблеме собственных значений для матриц і и (s) соответственно. Здесь также ыокн. <5локи С; последней блочной строки матриц Ї? и 2&) определять в виде: Сьі~
=са6&?-С6&-?.р„, &>*"- cAte$;J-CA6$;Jfi*-ce$,'i-[0tpv*i)a
Для системы (I) с S, * & = ... -?» = г, /z-sv удалось упростить вид последней блочной строки матриц и 2(j) .
,-23-.
Вторая часть главы 4 посвящена методам задания нулей. Данная проблема возникает при наличии в многомерной динамической системе нулей в правой части комплексной плоскости, поскольку такая система имеет плохие динамические характеристики и ограничена в возможностях управления. Так как нули инвариантны относительно действия обратной связи по состоянию или выходу, то изменить их положение можно лишь путём соответствующего выбора матрицы выхода С или входа впервые проблема сдвига нулей многомерной системы путём изменения элементов .лтрицы выхода быта сформулирована в 1970 г.- Розенброксм в следующем виде:
Задана управляемая система (I) с равным числом входов и выходов. Необходимо определить матрицу С такую, чтобы
-
пара матриц С С , А) была наблюдаемой,
-
матричная передаточная функция 6-(s) - СШ*гА$Ъ имела заданные инвариантные полинош Sf/),<&&),.., <*.#) в ее ф^ме Смита-Макмиллана. »
Поскольку нулевой полином
<%#)' р(Ф* &№&&)'" %(») , то задание инвариантных-
полиномов i(t) сбеспеиивает задание передаточных нулей систег мы (1).
Полученные Роэенброксм условия разрешимости данной проблемы довольно слозкны. И то же;.время постановку Розенброка можно упростить, полагая, что гЛлА'З-т- и задан нулевой полином ^) в целом, а не отдельные инвариантные полиномы ^(^J, Ї-І^ . Условия разрешимости последней'проблемы гарантируются теоремой.
Теорема 3. Если пара \А ,S) - управляема, юп S =« и корни заданного' полинома tpfr) степени п~% не ее впадают с собственными числами матрицы А , то всегда существует (гхп.)-матрица С , обеспечивающая системе (I) заданный нулевой полином (Jl's) и одновременно наблюдаемость паре ( С fA '.
3 рассмотренной постановке не учитывается ещё одно важное
требование к системе (I) - полнота ранга матрицы С С.у*зтом
этого ограничения сформулирована э
Проблема I. Задан полином fifj) степени л-z- . Для управляемой системы (I) с равным числом входов и выходов и ran.tS-^ необходимо определить ( г/яО-матри'.т выхода С такую, чтобы передаточные нули системы совпадал:' с .орнтаи полинома , а
- 24 -матрица С удовлетворяла требованиям:
1. пара (С,А) - наблюдаема,
2. tanA-C-t.
Здесь и далее речь идёт только о передаточных нулях, так как рассматривается управляемая и наблюдаемая система.
3 диссертации предложено 2 метода решения Проблемы I. Первый метод - аналитический, применимый для системы (!) с
-с* e,[-r, T>]/V,
где Ci) -(*"р) - подматрица, определяемая из условия det С8?0г
Т -(гк(Я-г)) - подматрица', обеспечивающая ((Я-р)* (і-г)) -
матрице Г 1 Г л
заданный характеристический полином, равный заданному нулевому полиному lj>(s). В Z подматрица Е совпадает с верхним блоком матрицы (15),
Второй метод определения матрицы' С - численими. Он применим для управляемой системы (I)' общего вида, причём матрица С, монет обладать структурными ограничениями. В основу метода положено определение нулей через матричный полином (3), блоки Сг которого непосредственно выражаются через матрицу С . Используя соотношение (5) формируйся вещественный критерк"
зависящий от совпадения нулей с заданными различными действительными числами jfc , і - х7 a-t- . Критерий ,&>0 достигает минимума при С-С , где матрица С обеспечивает системе (I) за~ данные нули
-- {det СССТ))'І. поскольку является величиной, обратной к определителю Грама, построенного из вектор-строк матрицы С . Проблема 2 решается как проблема минимизации составного критерия
-25-.
методой спуска, используя направления градиентов ВУь/дСи » дяя которых получены аналитические выражения. В диссертации рассмотрено 2 случая Проблемы I:
-
матрица С не имеет ограничений на структуру,
-
матрица С является структурно ограниченной матрицей:
Изложенный подход применялся также при решении так называемой задачи квадрирования < Sfua ting (fawn- ), формулируемой следующим образом, Пусть задана управляемая система (І), у которой число выходов больше, чей число входов ( Л>г ). Определить постоянную <**f )-катрицу # полного ранга такую, чтобы в системе (I) с новы» г~ -вектором выхода
/- % = ЮСх, (27)
» нули, введшие с пошцьо операции выравнивания числа входов и
выходов, были заданными. Данная проблема возникает, например, при рассмотренном вше последовательном соединении систем с различным числом входов/выходов. Новая система (I), (27) должна такає удовлетворять условии наблюдаемости, с учзтом которого вроблена формулируется следующим образом.
Проблег/л. . Задан псяином f(s) степени /«^л-г- :. Для управлявши системы (I) с >г, тал&В=ъ определить {*х )-матрицу д такув, чтобы взодикые в систему (I), (27) передаточ-то пула совпадали с корнями полинома fte), а матрица удов-взтсорялз требованиям I. пара (ЯС %А ) - наблюдаема, ». галА дС = .
\ш реаения Проблемы 2 предложена численная процедура, аналогичен рассмотренной выше при определении матрицы С
Пятая гласа посвящена анализу условий разрепимости раолич-гнх задач управленій и оценивания с точки зт ния нгмевой струк-?уры системы.
Рассматривается следующая модель линейноП многомерной ди-іашічаской системы
х ^ Ал + За * # (2Ы
y= Cx+Fw, ;" (29)
І« Йг^^ис, (30)
где «Ге %* - вектор состояния,, иё Я* - вектор уяравлен'ш, уе е - вектор измеряемого выхода, Rf* - вектор регулируемого выхода, w &а - вектор нёизмеряемого. детерминированного вогмущения, /1,3 Е, С, Р, В,0 - постоянные матрицы соответствующих размеров.
Задан командный сигнал Jz - 3-ь rf), ?. є X *
Анализируются следующие задачи,
Задаиа I. Асимптотическое слежение за кусочно-лостояннш сигналом Sfiidl ,. удовлетворяющим следующему дифференциальному уравнению
с известными ti и itel пр'д наличии в системе (28) - (30) возмущения w~w(-t) , являющегося кусочно-постоянной функцией
Wtf)-0, Wtfi)= Woi-CCns-t, <-%.> С* O.S.J,.., (32)'
С неИЭВеСТНЫШ Іе И Ші ..
Для системы (28) -. (30) необходимо определить о^ратиосшз-ное управление как функцию оценки вектора состояния , регулируемого выхода или его оценки і = 9& к командно го сигнала Z% і и = u.cJ,,2t) mm и*и(%,у) , сбес-пеаивалщее асимптотическое прибликение регулируемого выхода g или его оценки і к командному сигналу и при нага, лги на входа и выходе кусочно-постоянного нёизмеряемого возмущения *-/
г —%,, при. -* , ' (зз)
где М = -? ИЛИ А = .
Для решения задачи используется ffil-регулятор вида
й= Z-d-i, tt~ (dijc */tAf, (34)
где je.Re,i 3 = Z или S'= $x , xeft*- - оценка вектора л , &г., ^г - постоянные матрицы соответствующих размеров. Для получения , и сценки вектора W используется наблюдатель ііуекбергера полного порядка. В диссертации доказано, что
. . . . - 27 -
задача I имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
а) пара (/} ,в) - стабилизируема,
б) пара (С ,А) -детектируема,
в) zzfi} izd, (35)
г) системы:
f d - Ал + Bw, \d=Az-t 8и-,
не имеют передатоянюс нулей в начале координат.
Зада*-да 2. Асимптогиреское слежение за сигналом полиномиальной формы
2%d) =^„-* ЫЛ + '" + «^ г? Ы (36)
при детерминированном возмущении w=J() ,' являющимся таюае полиномом по
Vttt) « }о -*JX6 -г - fj^ і'*- (37) .
где Же , 1*0, ?-/ - известные й - векторы, a Jj , J' - с->/'-^ (q >у«.) - неизвестные d - векторы.
Для системы (8)-(30) с Uttti и w
и = M + Л, % fi,
где ?,.< ,?'% Ж=Л или 2 * і *& , >Zf%" At, M;tL-7f-постоянные матрицы, соответствующих размеров.
Доказано, «то задача 2 имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются условия (35а) - (Збг).
Задала 3, Асимптотическое слежение за - '.гнался г-*^) эбщего в.;да, компоненты ri,t=*^ которого удовлетворяют идентичным дифференциальным уравнениям
с известным характеристическим полиномом f(j) степени / и известными начальными условиями. Компоненты < -вектора детерминированных возмущений W(L) удовлетворяют следующим идентичным дифференциальным уравнениям
W/P і-Pp-t w/f~iy+ - > f0 Wi ~0 . (39)
с известным характеристическим полиномом PW степени J> и неизвестными начальными условиями.
Для системы (28) - (30) с я!гЫ) и Vffi) , удовлетворяющими (38), (39), анализировалась разрешимость задачи (33) при использовании регулятора следующей структуры
где f- 71е'$ t причём целое $ определяется как степень полинома (pis), являющегося наименьшим общим кратным полиномов рд» и f(j) і постоянные матрицы F и Г имеет квазидиагональную структуру
где (/*« )-блоки /}. удовлетворяют условию
detUl-fi)- $&)>,
а 4 -векторы ft обеспечивают управляемость пар (/}'л^),ішїУ»\ д »2 или J»i« $ , x^R* , Mi , л - постоянные матрицы соответствующих размеров.
Доказано, что задача 3 имеет радение тогда и только Тогда, когда выполняются условия (35а) - (35в) и следующие: г) передаточные нули системы
at -Ая+;fwt "ц~Сл + Р* не совпадают с. неустойчивыми корнями характеристического ураше-. ния \fd), а передаточные нули системы
і - Аіє * ви t г - $& не совпадают с неустойчивыми корнями полинома fa) - наименьшего общего кратного полиномов fW и f&).
Отыетим, что условия разрешимости задач 1-3 обобщают условия разрешимости аналогичных задач в работах Дэвиссна, Фер-рейра и Портера, где не учитываются особенности использования в структуре регулятора наблюдателя, оценивающего вектор л и
- 29 - .
^терминированное возмущение W ,.
Б этой ке главе исследована разрешимость задач аеиыптоти-гбского оценивания при детерминированных возмущениях на входе/ іуходе и задачи оптимальной фильтрации при цветном шуме на вхо~ ;е/выходе.
В первом случае рассматривается линейная стационарная модег : игаала (28), (29), где w& 2Л - вектор неизмеряемого детерми-:ированного возмущения, динамииеское поведение которого списывается в пространстве состояний следующей диь Міческой системой
w - Hw
неизвестным начальнім состоянием We . Здесь w& % , /6.//-остоянине матрицы соответствующих размеров.'
Для рцеиипания векторов , и w применялся наблюдатель Лу-
нбергера полного порядка. В диссертации доказывается, что ошиб-
а оценизания вектора состояния а-& асимптотически стре-
ится к нули при -6—оа тогда и только тогда, когда вшрлняют-
я следующие условия:
) пара (С %А ) - детектируема, б) <^з d. , ' -
) передаточные нули системы ,г = Ал * Бм7 у= С'л * /V не совпадают с неустойчивыми собственны.!!! числами матрицы / . При решении задачи г-птимальной фильтрации рассматривалась одель измерения вида
це є'Л* , tfo)- случайный л- .-вектор со сред ш Л и ко вакационной матрицей н , yRe, 1ггКг, i'j& - некоррели-зізашша вектори белого пума с нулевым средним и матрицами кн-енси'шости Vr р-0\ Vz>0 , ivа ** - вектор цв^люго шума, вглрщийся виходом динамической системы
й = /2 if -> в3 z>j, и"?») - '~ ,
-,. HI)
// = 6 *v,
;e V/S%.fi , iv^/e) - случайный p .'itrop со гредним w, и ксва-іацкглшой матрицей W , г^єп - -'итог- о'еле го пума с uy.ientw зедннм и матрицей интенсивности ^ '-^ . ice ^e'tiopi: и Мь),
- so -
(41) - статистически независимы.
Для оценивания вектора состояния х и вектора и строился оптимальный фильтр Налітана. Показало, что оптимальная фильтрация для такого типа сигнала разрешима, если выполняются следующие условия:
а) пары {А , 6І ), ( \&j) - управляемы,
б) пары (У,4), (С,ft* -детектируемы,:
в) &й!,
г) передаточные нули системи = А& + &t У — Hj + Fi/
не совпадают с неустойчивыми собственными- числами матрицы Я ,
В последней параграфе главы 5 проанализирована связь нулей с асимптотическими свойствами оптимального регулятора по состоя нию. С этой целью для линейной динамической системы
= Ah -t Ви , &<{*) =jco с. квадратичным критерием качества
где сеє %*, иєг, QuO, TtaakQ-, &>0, исследуются
асимптотические свойства радения алгебраического уравнения Рнк-
кати -
при 2 ~fo ,р-»о , &. >0 . Если %*р'р»* ^'Ро 1~* > :
то предельное установившееся значение ошибки, регулирования
/%%-i&Q^dl- = X.' faa минимизируете* до нуля, кна
че последний предел на равен нулю. В диссертации доказано, «то асимптотическое поведение оптимальной системи зависит от соотно шения числа входов/выходов и нулей некоторой фиктивной'системы, получаемой при любом разложении матрицы ф&о вида
<Р~8Т0,9,
где JD -{inn) - матрица полного ранга , <$ >0 , прлоЬ'ы
а) если ?.ъ , то оптимальная система зав*- дао обладает пдо-
хіши асимптотическими свойствами: ИР„Ц ^О,
б) если I&г- , то при наличии в системе ' - Acs -t Ви, г/- X
нулей с неположительными действительными частями оптимальная
система обладает хорошими асимптотическими свойствами: Щ//^
- ЗІ -
Шестая глава диссертации посвящена обобщении понятия инвариантного нуля на слуоай линейной стационарной динамической системи с неопределёнными параметрами, для которых известны лишь диапазоны (интервалы) изменения. Такие динамические системы,условно представляются в виде
= Шя *Ми, y^tt]x, (42)
где «?Я* , и<- В*. , у^ %е - числовые вектора, а ІА1» [33 » 1С] - интервальные матрицы соответствиях размеров с влєментаї.га, представляющими собой интервала с известными нгеяіей и верхней границами; [йу] = [Gif,2ij3} <.'J_= Ці*,,$ік~і, LQjJ = ICtj , СуЗ, ij = IT* ; A-&, < 'U. Система (42) описывает следующее множество линейных стационарных динамических систем с числовыми параметрами
' [<Ь - Ах + Ви., у = Де, А е. [/)] , 8е[8], i.[C]j
Опираясь на известные свойства интервальных патриц для кн- . тервальной ( хъу -матрицы 02 вводятся следующие понятия: минор-т- -го порядка ("і & miaft,/)) интервальной матрицы [S3 'ч вырожденный минор яг -го порядка интервальной матрицы [Я] ; ранг интервальной матрицы [D] Используя эти понятия определяется инвариантный нуль 'интервальной динамической системы (42).
ЗЕ.-Ш5еШШ_і» Значение комплексной частоты .3*2' , при котором ранг интервальной ((п+)х (л+ї)) -матрицы
WU в
&1Л - Ш - [в] )
in . о j
уменьшается
іазьгаяется инвариантным нулём интервальной системі
Определение Z, Интервальная система (42) имеет-инвариант-1ый нуль в начале координат, если
'салі Г A*;]/ 'tank [PWJ * л+тШт.О. Используя введённые понятия проанализированы условия разре-
иимости задачи асіашоїетеекого слеиаиия еа кусо*аю-пос5оянньы сигналом z%(i)-% удовлетворяющим уравнению (31), в следующей іш-тервальной динамической системе
где vT< ^* , «<* . г/Ке t 2ЄЯе* , »Ш, f6J , [Е J » Ш , [Р2 » Г#] - интервальные матрицы соответствующих размеров.
Исследовалась разрешимость следующих задач.
' Задача I. Определить и = tl(, 2,г) такое,-чтобы --,
при 4-~оо , .
Задача 2. Определить и- гсґх> S,3,г) такое, чтобы
г" -* 2ъ при 4-*ъо , где се є Я" - оценка вектора х ,
М *2 или і = 2~№1&.
Слежение должно иметь место при любых начальных условиях
Xtioh кусочно-постоянном возмущении, toft) и рсех значениях оле-
нентов матриц [A3, [6]; fJ, [Hi, f/fJ ГАЗ из заданных
интервалов. '',
Условия разрешимости Задачи I С помощью регулятора (34) пр: Ш ж » сС'Л иыепт следующий вид: . "
а) пара интервальных катру-, ( [A"} , f/3) ) - управляема,
б) 7 Рх>
в) в системе = LAj& * [3)и, 3 =ЇЮх отсутствует нага
риантный нуль .в начале координат.
Условия разрешимости Задачи 2 с помощью регулятора (34) состоят из приведённых выще условий а) - в) и следующих;
г) пара интервальных матриц ( [fi] ,[/}]) - наблюдаема,
eS в системе .«г? - [А] + jiv, у- [Н]Я + [F]w отсутст ', вует инвариантный нуль в начале координат.
В заключении перечислены основные результаты диссертацион-
... .-33--
іой работы.
В приложении I зшз?дены матрицы преобразования линеШюй тационарной динамической системы d блочно -сопровождающую (Ас-оо) и обобщённую блочно-сопровождающую (йокояма) канонические юрмы.
В приложении 2 приведены основные свойства интервальных іисел и матриц.
В приложении 3 представлены документи об использовании іезультатов диссертации.
