Введение к работе
Актуальность темы. Основной трудностью математического моделирования электронно-оптических систем, в частности катодных осесимметричных систем, является наличие малых параметров в математических моделях этих систем. Это затрудняет либо делает невозможным применение грубых численных методов. Многочисленные публикации по этому вопросу (среди них работы Е. Брюхе, О. Шерцера, А.А. Сапаргалиева, В.А. Катешо-ва, В.П. Ильина и других) направлены на преодоление указанных трудностей. В качестве единственной разумной альтернативы называют теорию аберраций.
Специалисты отмечают, что значительному числу работ по теории аберраций ЭОС свойственно отсутствие четкой классификации аберраций катодных линз, не уделяется должного внимания хроматическим аберрациям. Большое разнообразие подходов к проблеме делает результаты работ зачастую несопоставимыми.
Кроме того, не указываются границы применимости теории, практически отсутствуют публикации по решению модельных задач и сравнению результатов теоретических расчетов с экспериментом.
Впервые методически правильные выражения для хроматических аберраций были получены в работах М.А. Монастырского, Ю.В.Куликова, где на базе теории сингулярно-возмущенных систем рассматриваются вопросы асимптотического поведения решений одного специального дифференциального уравнения — параксиального, которое содержит малый параметр в коэффициенте при старшей производной. Асимптотика решений построена отдельно в пограничном слое и вне его.
Возможность находить решения вышеупомянутого уравнения
не совершая предельного перехода по малому параметру и получить в результате решения справедливые как внутри погранслоя, так и вне его, возможность осуществить единый подход при отыскании временных и пространственных аберраций явилось побудительной причиной для проведения данного исследования.
Цель работы. Целью работы является: используя новый подход к решению параксиального уравнения, построить строгую теорию аберраций для катодных электронно-оптических осесимме-тричных систем. Новизна подхода к решению параксиального уравнения состоит в следующем: решать параксиальное уравнение не используя предельного перехода по малому параметру /і, содержащемуся в коэффициенте при старшей производной. Вместо этого вблизи нуля свести параксиальное уравнение к интегральному уравнению Вольтерра второго рода и находить интересующие нас решения как решения интегрального уравнения в виде рядов по степеням функции и(х) = х + р2. При выполнении указанных в работе условий на коэффициенты уравнения такие разложения справедливы как внутри пограничного слоя, так и вне его. При удалении от нулевой точки решения находятся в виде регулярных разложений по степеням ц. Численная реализация полученных результатов также входит в задачу.
Общая методика исследования. Для получения аналитических представлений функций вблизи нуля в работе используются методы решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода, а также результаты классической теории обыкновенных уравнений.
Численные расчеты организованы следующий образом: в окрестности нуля вычисления ведутся по полученным в работе аналитическим формулам. Вне окрестности нуля для проведения вычисления нужно знать два линейно-независимых решения парак-
спального уравнения. Они находятся с помощью метода Рунге— Кутта. После этого искомые функции вычисляются по формулам, полученным варьированием произвольных постоянных. В качестве модельной задачи выступает сферический конденсатор. Основные результаты.
1. В работе предложен и реализован новый подход к решению
параксиального уравнения в окрестности нулевой точки.
2. С использованием этого подхода в окрестности нуля най
дены разложения в виде рядов для пространственных аберраций
1-го и 3-го порядков и временных аберраций.
3. Показана применимость полученных результатов для нахо
ждения пространственных и временных аберраций для катодно-
зеркальной системы, т.е., когда потенциал на оси принимает ну
левое значение в двух точках.
4. По полученным формулам произведены численные расчеты.
Все основные результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. В теоретическом отношении представленные в работе результаты являются развитием теории аберраций в применении к катодным электронно-оптическим системам. Практическая ценность полученных результатов обусловлена возможностью применения их для расчета конкретных ЭОС.
Апробация результатов. Результаты докладывались —на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора А.Б. Васильевой, —на семинаре по линейным задачам под руководством академика АН СССР А.Ф. Сидорова в Институте математики и механики УНЦ АН СССР, —на 2 Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению дифферен-
циальных уравнений",
—на семинаре под руководством профессора С.А. Ломова в Московском энергетическом институте,
—на семинаре под руководством профессора А.И. Хисамутдинова в Институте математики СО РАН.
Работа получила поддержку Фонда общества математики Франции PRO-MATHEMATICA.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых помещен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения I и приложения II, списка литературы и изложена на 135 страницах. Главы дополнительно разбиты на параграфы. Нумерация формул ведется отдельно для каждой главы. Нумерация теорем и лемм сквозная. Список литературы содержит 74 наименований.
