Математическое моделирование обратных задач оптики Чернявский Сергей Меерович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1 Метод моментов в задаче восстановления волнового фронта 43

1.1. Восстановление волнового поля по объемному изображению 45

1.1.1. Плоскостные моменты изображения 45

1.1.2. Дифференциальные свойства функций g, h, 1 46

1.1.3. Моменты изображения оптической системы с гладкой функцией зрачка 51

1.1.4. Основные моментные соотношения изображения оптической системы с гладкой функцией зрачка 52

1.1.5. Предельные моментные соотношения 62

1.1.6. Регуляризация функции зрачка 66

1.1.7. Компенсация мод волнового фронта, воспроизводимых адаптивной оптической системой 71

1.1.8. Регуляризация моментов 2-го порядка на основе аппроксимации степеней от х и у 73

1.1.9. Геометрическая теория моментных соотношений 84

1.1.10. Определение производных от моментов методом временной модуляции 90

1.2. Модальный датчик 92

1.2.1. Постановка задачи 92

1.2.2. Описание общей схемы 93

1.2.3. Измеряемые величины и алгоритм их обработки 94

1.3. Статистический анализ атмосферных искажений волнового фронта по киноленте Гартмана 107

Выводы по главе 114

Глава 2. Восстановление мод волнового фронта в адап-тивной оптической системе модифицированным методом Ньютона 115

2.1. Постановка задачи (случай точечного источника) 115

2.2. Модифицированный метод Ньютона 119

2.3. Итерационный метод восстановления мод волнового фронта по функционалам изображения 122

2.4. Применение фазовой модуляции волны для раздельного восстановления четной и нечетной составляющих искажений волнового фронта 128

2.5. Функционалы изображения мод Цернике

и мод сегментного зеркала 141

2.6. Восстановление мод волнового фронта по изображению протяженного источника 160

2.7. Итерационный метод с дополнительным измерением, инвариантный к малым амплитудным искажениям волны... 164

2.8. Численное моделирование 168

Выводы по главе 180

Глава 3. Метод увеличения размерности в задаче нахождения общей точки выпуклых множеств 181

3.1. Описание метода 181

3.2. Свойства проекционного оператора 183

3.3. Функционал сближения J 188

3.3.1. Метод покоординатного спуска 188

3.3.2. Свойства итерационных операторов покоординатного спуска 190

3.3.3. Регуляризация функционала сближения 197

3.3.4. Условия сильной сходимости 202

3.3.5. Модификация итерационной схемы 209

3.4. Функционал сближения J\ 219

3.4.1. Метод покоординатного спуска функционала J\ 219

3.4.2. Свойства итерационных операторов 221

3.4.3. Вопросы сходимости последовательности метода покоординатного спуска 224

3.4.4. Регуляризация функционала сближения 226

3.5. Задача нахождения общей точки бесконечного числа выпуклых множеств 230

3.5.1. Постановка задачи 230

3.5.2. Метод покоординатного спуска 233

3.5.3. Свойства итерационных операторов 235

Выводы по главе 240

Глава 4. Методы решения обратных задач оптики на основе МУР- метода 241

4.1. Итерационные методы восстановления волнового фронта по изображениям некогерентного источника 241

4.1.1. Введение 241

4.1.2. Восстановление волнового фронта по изображениям точечного источника и амплитуде на выходном зрачке 242

4.1.3. Восстановление волнового фронта по изображениям неизвестного протяженного источника и амплитуде на выходном зрачке 246

4.1.4. Приближение к проекционному оператору множества 251

4.1.5. Приближение к проекционному оператору множества VT 254

4.1.6. Численное моделирование 255

4.1.7 Восстановление ВФ по неполным изображениям точечного источника 264

4.1.8 Восстановление ВФ по неполным и зашумленным изображениям неизвестного протяженного источника 269

4.2. Об одном функционале для задачи восстановления волнового фронта по известной функции рассеивания точки в заданной области 274

4.2.1. Постановка задачи 274

4.2.2. Построение оптимизируемого функционала 275

4.2.3. Численные методы 284

4.2.4. Обобщение ; 286

4.3. Восстановление некогерентного источника по известной функции рассеивания точки и зашумленному неполному изображению 290

4.3.1. Математические модели задачи восстановления некогерентного источника 290

4.3.2. Восстановление источника по его изображению в изопланатической области 296

4.3.3. Регуляризация задачи восстановления источника на основе леммы Рисса 302

Выводы по главе 315

Заключение по диссертации 317

Литература 320

• Основные моментные соотношения изображения оптической системы с гладкой функцией зрачка
• Итерационный метод восстановления мод волнового фронта по функционалам изображения
• Вопросы сходимости последовательности метода покоординатного спуска
• Восстановление ВФ по неполным изображениям точечного источника

Введение к работе

ВИ Общая характеристика работы

Объект исследования. В работе рассматриваются большей частью проблемы, связанные с измерением фазы света в оптических системах с управляемой фазой. В то же время развиваемые в работе методы решения фазовой задачи являются достаточно общими и применимы для решения других обратных задач оптики. Этим обусловлено рассмотрение еще одной проблемы -восстановление изображения по его неполным и зашумленным данным.

Актуальность. Роль фазовой составляющей световой волны в плане информативности общеизвестна. Оптические методы контроля [1, 2, 3] поверхностей, измерения деформаций и перемещений, изучение свойств фазовых объектов и др. основаны на измерении фазы.

Другой аспект, хорошо знакомый астрономам, это атмосферные искажения волнового фронта (ВФ), формирующего в телескопе изображения небесных объектов. Эти искажения существенно снижают разрешение телескопа.

Смелая идея [4,5] активно в реальном времени исправлять атмосферные искажения ВФ оказалась революционной в плане создания и применения оптических систем (ОС). Реализацией этой идеи является новое поколение ОС [6-14] способных управлять фазой, придавать световому пучку заданные свойства. Эти ОС получили название адаптивные (АОС) [15,16].

Широкие перспективы в области связи открывает использование излучения лазера. Информативность такого излучения определяется не только интенсивностью, но и фазой, которой можно управлять.

В медицине для диагностики, лечения и хирургии широко применяют лазеры и оптические методы [17- 24]. В хирургии глаза фокусировка луча должна быть близкой к дифракционной, а при получении высокого качества изображения глазного дна требуется коррекция аберраций глаза, что достигается средствами адаптивной оптики [19, 24].

Изменение фазы волны ведет при последующем распространении к перераспределению амплитуды волны. Это позволяет использовать АОС в качестве технических средств (фокусары) [25- 30] для управления распределением энергии излучения, которые могут найти широкое применение в лазерных технологиях.

Об актуальности проблем применения современных адаптивных систем [33] свидетельствуют ежегодные международные конференции по адаптивной оптике, проводимые The International Society for Optical Engineering, и присутствие секций по адаптивной оптике в программах других конференций, тематика которых связана с оптикой атмосферы. В 1998 году вышел специальный выпуск журнала Американского оптического общества (Applied Optics. 1998 V. 37. N21), посвященный проблемам адаптивной коррекции атмосферных искажений. Ежегодно выходит специальный выпуск журнала "Оптика атмосферы и океана". Отечественные журналы регулярно публикуются статьи по АОС.

Научная задача. Специфика АОС среди оптико -электронных систем в том, что в ней присутствуют два дополнительных элемента: датчик волнового фронта (ВФ) и адаптивный элемент (АЭ). Первый измеряет фазу волны, а второй управлет ею.

Проблема создания датчика ВФ является одной из центральных [15,16, 30,34] и заключается в построении таких датчиков ВФ или информационных систем для АОС различного назначения, которые были бы просты в реализации, надежны в работе, обеспечивали достаточную точность измерения фазы в реальном времени.

Наиболее просты датчики ВФ, основанные на анализе изображения сфокусированного излучения. Изображение, соответствующее искаженному ВФ, содержит информацию об искажении ВФ и задача науки дать метод, позволяющий извлекать эту информацию из изображения.

В АОС контролируемыми изменениями ВФ можно изменять изображение источника и извлекать из последнего дополнительную информацию о неизвестном искажении ВФ. Поэтому при адаптивном формировании изображения больше возможностей в плане восстановления ВФ по изображениям, чем при пассивном формировании изображения.

Существенный вклад в решение проблемы восстановления ВФ по изображению внесли R.A. Muller, A. Southwell, R.W. Gerchberg, W.O. Saxton; D.C. Youla, R:A. Gonsalves, M.A. Fiddy, J.R. Fienup, M.A. Воронцов, В.И. Шмальгау-зен, M.B. Лопатников. Решение этой проблемы далеко еще от своего завершения.

Цель работы заключается в разработке методов восстановления аберраций волнового фронта (ВФ) по адаптивно формируемым изображениям неизвестного произвольного монохроматического некогерентного источника и восстановления этого источника по его неполному и зашумленному изображению. Задачи исследования. На выбор метода измерения ВФ существенно влияет ряд факторов. Ниже обсуждаются те из них, по которым автор получил новые результаты и их исследование составляет содержание работы.

1. Полнота статистических данных об атмосфере. Эти данные в том числе определяют потенциальные возможности АОС.

2. Тип источника излучения. Если источник точечный, то информация о ВФ извлекается из распределения интенсивности в его изображении или числовых характеристик этого распределения, либо из измерений волновых полей, создаваемых источником. Если источник протяженный , то его изображение зависит от распределения интенсивности по нему и искажений ВФ, формирующего это изображение. Наметились два подхода образования данных для извлечения информации о ВФ, не зависящие от распределения интенсивности по источнику. Первый основан на анализе ВФ, формирующего изображение естественного или искусственного достаточно яркого опорного точечного источника в поле зрения протяженного источника [33,38,39]. При наблюдении произвольного участка неба вероятность найти естественный опорный источник весьма мала и как следует из работ [40, 41] имеет порядок 10 . Поэтому активно ведутся исследования-[33,38,39] .по применению лазерных опорных звезд для измерения ВФ.

При втором подходе информация об ВФ извлекается из распределений интенсивности в нескольких изображениях одного и того же неизвестного источника, полученных при введении различных контролируемых предискажений волны. Коротко этот подход будем называть методом восстановления ВФ по изображениям источника.

3. По степени использования АЭ в задаче восстановления ВФ. В простейшем варианте функции датчика ВФ и АЭ полностью разделены и АЭ только компенсирует полностью или частично искажения ВФ по измерениям датчика ВФ. Другой крайний случайАЭ делаются последовательные пробные шаги-и выбираются те из них, которые ведут к максимизации критерия качества изображения, представляющий собой некоторый функционал от интенсивности в изображении. Существенным фактором здесь является свойства функционала.

Возможен более гибкий промежуточный случай, когда на основе измерения изображения и теории формирования изображения задается нужное частично компенсирующее изхменение ВФ , затем вновь осуществляется измерение изображение и т. д. В результате итерационным путем осуществляется компенсация ВФ. Промежуточный случай позволяет привлечь известные в математике или создавать новые итерационные методы решения задачи восстановления и компенсации ВФ.

4. Развитие теории формирования изображения. Большую пользу могут дать всевозможные зависимости, связывающие характеристики ВФ с характе ристиками изображения. В ВФ можно выделить две составляющие. Одна, которая может корректироваться АЭ и вторая, которая не изменяется АЭ Важно по изображению восстанавливать первую составляющую. Эту составляющую часто представляют разложением по некоторому базису с неизвестными коэффициентами (модами). Идеальным было бы каждую моду определять с помощью некоторого функционала от изображения.

5. Задача восстановления ВФ по изображениям является одной из задач бурно развивающегося научного направления, называемого обработка изображения. Сюда относятся задачи обработки аэрофотоснимков и снимков при наблюдении неба через атмосферу наземными телескопами, обработка разного вида диагностических изображений и т. д. Изображение содержит информацию» об его источнике и характеристиках среды распространения. Методы нахождения этих неизвестных по изображению составляют содержание обратных задач (ОЗ) оптики. Проблемы, связанные с решением ОЗ , побуждают к новым постановкам 03 и методам их решения.

Для решения 03 применяют различные итерационные методы: градиентные, проекционные, Ньютона и другие. Некорректность ОЗ побуждает для нахождения приемлемого решения привлекать дополнительные измерения, априорные статистические характеристики шума и свойства решения. Поэтому методы решения 03 должны обладать определенной гибкостью, чтобы учитывать эти ограничения.

Многие 03 допускают геометрическую трактовку [42-44] и формулируются как задача нахождения общей точки заданных множеств. Метод Герхбер-га-Закстона, метод чередующегося ортогонального проектирования (ЧОП) успешно применяются для решения обратных задач оптики в их геометрической трактовке. Несомненное достоинство метода ЧОП состоит в том, что в задаче со многими ограничениями уточнение приближенного решения осуществляется поочередно для ограничения. Метод ЧОП прост в реализации и сводится к поочередному ортогональному проектированию на каждое множество и возможно :: ЇЛКІПИИЧ • " \ к вариации релаксационных параметров метода[45]. Столь регулярный выбор очередного приближения приводит в ряде случаев к уменьшению скорости сходимости метода. Это обстоятельство было замечено уже в ранних работах [47] по методуЧОП и уже для случая р.еУх множеств предлагался более рациональный выбор очередного приближения. Поэтому вопросы развития и модификации методов нахождения общей точки заданных множеств остаются актуальными.

В краткой форме задачи исследования состоят в следующем.

- Нахождение зависимостей числовых характеристик изображения от аберраций ВФ оптической системы (ОС).

- Разработка оптимизационного метода для нахождения общей точки заданных множеств, легко учитывающего ограничения на решения обратных задач.

- Разработка итерационных алгоритмов восстановления аберраций ВФ с учетом возможной компенсации аберраций ВФ на каждой итерации.(ир« адаптивном формировании изображения).

- Разработка методов восстановления источника по его неполному и зангум-ленному изображению.

- Аналитическое и численное исследование задач восстановления ВФ и источника.

- Получение методики определения вероятности существования фазового экрана с заданным интервалом времени по имеющейся у автора уникальной киноленте Гартмана.

Методы исследования. Теоретическое исследование математических моделей формирования изображения и численное моделирование разрабатываемых методов решения обратных задач оптики.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы обеспечивается строгостью доказательства теоретических положений, адекват ностью математических моделей формирования изображения, сопоставлением с результатами работ других ученых и численным моделированием.

Положения, выносимые на защиту

- Развитая теория плоскостных моментов изображения на основе теории дифракции и геометрической оптики для описания влияния аберраций ВФ на изображение и обоснования возможности восстановления ВФ по изображению в\ пространственной области.

- Модифицированный метод Ньютона для раздельного восстановления четных и нечетных мод ВФ по функционалам адаптивно формируемых изображений произвольного неизвестного источника.

- Оптимизационный метод нахождения общей точки заданных множеств, названный методом увеличения размерности (МУР-метод), на основе стратегии сближения точек-представителей этих множеств. Мерой сближения точек является выпуклый функционал и любая его сходящаяся минимизирующая последовательность определяет общую точку множеств. Метод позволяет свести задачу со многими ограничениями на одну переменную к задаче со многими переменными с одним ограничением на каждую из них. МУР-метод прост в реализации как метод чередующего проектирования, при этом он не ограничен в выборе алгоритма реализации и допускает регуляризацию задачи.

- Постановка задачи восстановления аберраций ВФ по изображениям неизвестного источника как задачи нахождения общей точки заданных множеств и итерационный метод ее решения по адаптивно формируемым изображениям.

- Функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи.

- Метод восстановления некогерентного источника по его неполному и за-шумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит представление равенства, определяющего изображение, как линейного однородного уравнения относительно пар (источник, изображение), а измеренного изображения, априорных свойств шума и источника как ограничений на эти пары. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится1 к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму.

- Метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства пар задаются типом гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения этого пространства. Задача восстановления источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве.

Научная новизна Работа включает нижеследующие новые результаты.

- Теорема о возможности восстановления функции зрачка ОС по изображению в пространственной области.

- Моментные равенства, устанавливающие квадратичную зависимость от градиента аберраций ВФ моментов (s + q)-ro- порядка производной (s + q - 2) - го порядка от интенсивности в изображении по осевой координате ОС z в точке z=0. Приращения этих производных при контролируемых вариациях аберраций ВФ являются линейными функционалами от неизвестных аберраций ВФ.

- Геометрическая теория плоскостных моментов.

- Модальный датчик ВФ, напоминающий датчик Гартмана. Полнота данных о модах обеспечивается не увеличением числа субапертур, а увеличением количества измеряемых числовых характеристик изображений, создаваемых каждой из них. В качестве характеристик использованы плоскостные моменты 1-го и 2-го порядков.

- Методика определения вероятности существования фазового экрана с заданным временем по киноленте Гартмана.

- Модифицированный метод Ньютона для раздельного восстановления четных и. нечетных мод ВФ по функционалам адаптивно формируемых изображений произвольного неизвестного источника.

- Метод увеличения размерности (МУР-метод) нахождения общей точки заданных множеств, исходя из стратегии сближения точек-представителей этих множеств. В методе сочетается многообразие выбора итерационных алгоритмов нахождения решения с простотой их реализации.

- Постановка задачи восстановления аберраций ВФ по изображениям неизвестного источника как задачи нахождения общей точки заданных множеств и итерационный метод ее решения-по адаптивно формируемым изображениям.

- Функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи.

- Метод восстановления некогерентного источника по его неполному и за-шумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит представление равенства, определяющего изображение, как линейного однородного уравнения относительно пар (источник, изображение), а измеренного изображения, априорных свойств шума и источника как ограничений на эти пары. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму. - Метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства пар задаются типом гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения этого пространства. Задача восстановления, источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве.

Практическая значимость

Данное направление исследований стимулировалось и разрабатывалось в связи с творческим и договорным сотрудничеством в 1982-1990годах с ЦКБ "Фотон" и Государственным оптическим институтом им. С.И.Вавилова по теме "Создание датчика ВФ для АОС". В дальнейшем это направление развивалось в рамках госбюджетной темы КГТУ им А.Н.Туполева и личных научных интересов автора.

Предлагаемые методы решения обратных задач оптики имеют более широкую область применения, включая аналитическое проектирование конструкций и систем, управление динамическими системами.

Личный вклад автора

Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором. В совместных публикациях автору принадлежат новые постановки обратных задач оптики и методы их решения.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на нижеследующих конференциях и симпозиумах.

- Всесоюзная конференция "Атмосферная нестабильность и адаптивный те-лескоп"(Крымская АО, 1986.).

- Межреспупликанских и Междунанародных симпозиумах "Оптика атмосферы и океана" (Томск, 1994-2000годы)

- Междунанародных симпозиумах "Оптика атмосферы и океана. Физика ат-мосферы."(Иркутск, 2001.; Томск, 2002.).

- VIII Четаевская международная конференция. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": (Казань, 2002.).

По теме диссертации опубликовано 45 работ, из которых 33 имеются в списке литературы, из них 9 статей опубликованы в академических журналах.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту проф. Дегтяреву Г.Л. за внимание и поддержку на всех этапах написания работы, а также соавторам и коллегам группы «адаптивная оптика» КГТУ за полезные дискуссии и помощь при оформлении диссертационной работы

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и и списка литературы. Работа изложена на 326 страницах, включая 47 рисунков, 3 таблицы и 204 литературные ссылки.

Во введении дается общая характеристика работы, описание математической модели формирования изображения и основные обозначения. Приведены примеры обратных задач оптики с указанием проблем, связанных с их решением, для решения которых могут быть использованы методы работы. Дан обзор темы исследования.

В первой главе рассматривается теория моментного описания изображения, вопросы сглаживания изображения и приложения теории к построению модальных датчиков ВФ. Один параграф посвящен статистическому анализу атмосферных искажений ВФ по киноленте Гартмана.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с возможностью применения метода Ньютона решения уравнений в задаче восстановления ВФ по адаптивно формируемым изображениям источника: Функционалы изобра жения, которые в первом приближении определяют моды ВФ, влияние контролируемой расфокусировки на процесс восстановления мод, функционалы мод Цернике и мод сегментного зеркала.

В третьей главе излагается оптимизационный метод нахождения общей точки заданных множеств, названный метод увеличения размерности. Описывается метод, рассматриваются итерационные алгоритмы его реализации; исследуются вопросы сходимости и регуляризации алгоритмов метода.

В четвертой главе рассматриваются методы решения задачи восстановления ВФ по адаптивно формируемым изображениям неизвестного протяженного источника и задача восстановления источника по его неполному зашумлен-ному изображению в геометрической трактовке, как задача нахождения общей точки заданных множеств. В одном параграфе рассматривается функционал изображения для задачи восстановления ВФ.

Основные моментные соотношения изображения оптической системы с гладкой функцией зрачка

В адаптивной оптике нашла применение также редко используемая ин-терферометрическая модификация классического Гартмана [1]. С ее помощью осуществляется адаптивная коррекция ВФ в 6.5м телескопе ММТ [81].

Авторы работы [82] предлагают определять непосредственно фазу в точке зрачка с точностью до знака по двум измерениям интенсивности изображения точечного источника. Одно измерение соответствует обычному состоянию апертуры. Затем вводится небольшое амплитудное ослабление света на малой субапертуре с центром в рассматриваемой точке зрачка и осуществляется второе измерение интенсивности. Алгоритм вычисления фазы достаточно прост. Ограничением применения метода может быть высокая чувствительность к шухму в измерениях, так как фаза определяется через выражение из измеряемых величин и это выражение входит с коэффициентом, обратно пропорциональным величине ослабления амплитуды на субапертуре и площади этой субапертуры.

Метод апертурного зондирования, в котором осуществляется восхождение к максимуму функционала резкости, также можно отнести к этой группе методов. Метод предполагает введение (маски MQ) пробного возмущения в ВФ.

Это возмущение изменяет распределение интенсивности в изображении источника ( в частотной плоскости) и , следовательно, изменяет значение функционала резкости. По изменению функционала резкости вырабатывается малая коррекция ВФ, приводящая к возрастанию значения функционала резкости. Далее все повторяется. Итерационному восхождению к максимуму функционала резкости соответствует полная компенсация искажений ВФ. Несомненное достоинство метода - его простота. Имеются прекрасные примеры его успешного применения [34-37]. Применение метода осложняется наличием локальных экстремумов у функционала резкости.

Принцип работы метода апертурного зондирования наводит на следующую идею. Функционал резкости это только одна характеристика изображения. Поэтому само изображение содержит гораздо больше информации о ВФ. Надо научиться ее извлекать из изображения, что, в частности, позволит увеличить быстродействие АОС, работающей по методу апертурного зондирования. Следующие методы восстановления ВФ как раз следуют этой идее.

Герхберг и Закстон возможно первыми [83,84]обратили внимание на эту идею. Они поставили задачу о восстановлении фазы функции зрачка по ее амплитуде и амплитуде в плоскости изображения. Задача сводится к решению уравнения (В.4.1), в котором левая часть

Фазовая задача в данной постановке может иметь неединственное решение. Этому вопросу посвящено много работ [58,45,85-88]. Примечательными являются работы [89] и [45], в которых показано, что уравнение (В.4.1) с условием (В.4.5) в пространстве измерений п 2 имеет почти всегда единственное решение.

Можно выделить два характерных метода решения уравнения (В.4.1): итерационные методы непосредственного решения уравнения и вариационные методы для вспомогательного функционала, который достигает экстремума на решении уравнения.

Наиболее часто используется итерационный алгоритм Герхберга- Закстона [84,45,85]. Сначала он был эвристическим методом, показывал во многих случаях сходимость хотя и медленную. Метод позволяет учитывать все ограничения (всю информацию), известные для полей G ng.

Новый подход близкий к методу Герхберга- Закстона развивается Юлой [90]. Он увязывает решение обратной задачи оптики с заданными ограничениями с задачей нахождения точки пересечения выпуклых множеств, для которой уже существовал итерационный метод чередующихся ортогональных проекций [46,47]. Файнап [91] успешно применил итерационный алгоритм Герхберга- За-кстона к решению задачи восстановления изображения по амплитуде его преобразования Фурье. В качестве ограничения в предметной области он принял свойство неотрицательности изображения и его сосредоточенность в определенной области. В такой постановке этот алгоритм назван его именем. Для повышения сходимости алгоритма были созданы и проверены его различные модификации. Наиболее удачной модификацией является гибридный алгоритм, учитывающий приближение решения на предыдущем шаге (обратная связь). Процесс исследования и совершенствования рассмотренных алгоритмов продолжается [92,93]. Алгоритм Файнапа применим и для решения фазовой задачи. Об одном таком применении мы уже упоминали [45].

Метод решения уравнения (В.4.1), основанный на минимизации функционала, предложен Саутвэлом [94]. Он представил искомую фазу поля G конечным отрезком ряда по ортогональной системе полиномов Цернике и свел решение фазовой задачи к минимизации невязки уравнения (В.4.1) относительно коэффициентов ряда (мод). Фактически Саутвэл применил прямой метод вариационного исчисления к минимизации невязки уравнения (В.4.1). Метод привлекает своей простотой. Но уже первые исследования в [94] показали, что минимизирующие последовательности мод сходятся к решению, если для них выбрано хорошее начальное приближение. Метод получил название метод восстановления мод.

Для повышения сходимости метода восстановления мод в ряде работ [30,95-98] рассматривается возможность восстановления ВФ ОС по одному или нескольким изображениям точечного источника в параллельных фокальной плоскостях и интенсивности в плоскости выходного зрачка. Формально задача сводится к восстановлению фазы по интенсивности во входной плоскости и интенсивностям в частотной плоскости при различных фазовых масках.

Задачу восстановления мод ВФ по изображению точечного источника можно свести к установлению соответствия между модами и некоторыми числовыми характеристиками (функционалами) интенсивности изображения. Давно известно [99] такое соответствие между общим наклоном ВФ и моментами первого порядка интенсивности изображения. Патент [ЮО.Масси] как раз состоит в том, что в нем вводятся функционалы изображения, соответствующие первичным аберрациям ВФ: расфокусировке, астигматизму и коме. На возможность использования моментов изображения более высокого порядка указывалось в работах [101,2].

Лопатников М.В. установил [102,103], что интегралы по плоскости изображения от произведений вида являются линейными функционалами от градиента фазы поля G. Полученные соотношения будем называть моментными. Автор использовал моментные соотношения при s + q = 2 для получения оценки фазы поля G. Моментные соотношения могут быть использованы для выявления потенциальной возможности методов восстановления фазы по изображениям источника, но возможности получения оценки фазы по ним ограничены из-за влияния шума в датчиках интенсивности на указанные интегралы при больших s и q.

Итерационный метод восстановления мод волнового фронта по функционалам изображения

Задача восстановления функции зрачка по ее амплитуде и ФРТ в плоскостях, параллельных фокальной плоскости формализована как задача нахождения точки пересечения двух множеств.

Предложен итерационный метод восстановления и компенсации ВФ в АОС по ФРТ в плоскостях, параллельных фокальной плоскости. В отличии от метода главы 2 здесь на каждой итерации оценка ВФ получается из решения фазовой задачи в ее геометрической трактовке методом ГЗ или МУР-методом. Численное моделирование показывает, что без компенсации на каждой итерации алгоритм восстановления ВФ на "неудобных" ВФ не приводит к решению фазовой задачи.

Формализована задача восстановления ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств. Регистрация всего изображения приводит к тому, что формализованные задачи для протяженного и точечного источников одинаковые с точностью до вида множеств.

Формализована задача восстановления ВФ по неполным изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств.

Разработан итерационный алгоритм компенсации аберраций ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника. На каждой итерации осуществляется измерение интенсивности в изображениях. Выполняется конечное число спусков к минимуму функционала сближения. Фаза функции зрачка на последнем спуске определяет величину корректировки ВФ. 6) Предложен функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи. На основе этого функционала можно конструировать новые алгоритмы решения фазовой задачи. 7) Разработан метод восстановления некогерентного источника по его неполному и зашумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит новое представление о равенстве, определяющее изображение источника, как линейного однородного уравнения относительно пар ( источник, изображение ). Это позволяет распределить ограничения на две переменные. Такими ограничениями являются измеренное изображение с априорными свойствами шума и априорные свойства источника. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму. 8) Разработан метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства пар задаются типом гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения этого пространства. Задача восстановления источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве. В диссертации получены следующие основные результаты. 1) Развита теория плоскостных моментов изображения на основе теории дифракции и геометрической оптики для описания влияния аберраций ВФ на изображение. 2) Доказана теорема о возможности однозначного восстановления с точностью до несущественного постоянного слагаемого аберраций ВФ по распределению интенсивности в пространственной области, содержащей фокальную плоскость. 3) Получена расширенная система моментных соотношений, устанавливающих зависимость плоскостных моментов от градиента функции аберраций. На их основе можно конструировать датчики ВФ. 4) Разработан модальный датчик ВФ, напоминающий датчик Гартмана. Полнота данных о модах обеспечивается не увеличением числа субапертур, а увеличением количества измеряемых числовых характеристик изображений, создаваемых каждой из них. В качестве характеристик использованы плоскостные моменты 1-го и 2-го порядков. 5) Предложена методика определения вероятности существования фазового экрана с заданным временем по киноленте Гартмана. Конкретно по киноленте, снятой на телескопе Цейсс-600 в Симеизе, получена оценка этой вероятности, равная 0.11; 0.13 для времени существования соответственно 0.6; 0.75сек.

Вопросы сходимости последовательности метода покоординатного спуска

Доказана теорема о возможности однозначного восстановления с точностью до несущественного постоянного слагаемого аберраций ВФ по распределению интенсивности в пространственной области, содержащей фокальную плоскость.

Получена расширенная система моментных соотношений, устанавливающих зависимость плоскостных моментов от градиента функции аберраций. На их основе можно конструировать датчики ВФ.

Разработан модальный датчик ВФ, напоминающий датчик Гартмана. Полнота данных о модах обеспечивается не увеличением числа субапертур, а увеличением количества измеряемых числовых характеристик изображений, создаваемых каждой из них. В качестве характеристик использованы плоскостные моменты 1-го и 2-го порядков. 5) Предложена методика определения вероятности существования фазового экрана с заданным временем по киноленте Гартмана. Конкретно по киноленте, снятой на телескопе Цейсс-600 в Симеизе, получена оценка этой вероятности, равная 0.11; 0.13 для времени существования соответственно 0.6; 0.75сек. 6) Введены функционалы изображения, которые в первом приближении численно равны соответствующим модам ВФ. Предложен итерационный метод, похожий на модифицированный метод Ньютона, восстановления и компенсации мод ВФ в АОС по двум изображениям протяженного неизвестного источника в фокальной и параллельной к ней плоскостях, в котором на каждой итерации в качестве оценки мод используются значения этих функционалов. Метод позволяет раздельно восстанавливать четные и нечетные моды ВФ по функционалам изображения.7) Разработан оптимизационный метод нахождения общей точки выпуклых множеств, названный методом увеличения размерности (МУР-метод), на основе стратегии сближения точек из разных множеств. Мерой сближения точек является выпуклый функционал и любая его сходящаяся минимизирующая последовательность определяет общую точку множеств. Метод позволяет свести задачу со многими ограничениями на одну переменную к задаче со многими переменными с одним ограничением на каждую из них. МУР-метод прост в реализации как метод чередующего проектирования, при этом он не ограничен в выборе алгоритма реализации и допускает регуляризацию задачи. 8) Получены итерационные алгоритмы сближения точек выпуклых множеств. Установлены свойства операторов итерационных алгоритмов сближения точек выпуклых множеств, которые во многом повторяют свойства проекции точки на выпуклое замкнутое множество. 9) Доказаны теоремы сходимости регуляризованных итерационных алгоритмов сближения точек выпуклых множеств. Теоремами устанавливается, что предельные точки этих алгоритмов имеют предел при стремлении к нулю параметра регуляризации и этот предел является общей точкой выпуклых множеств с минимальной нормой. 10) Формализована задача восстановления ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств. Регистрация всего изображения приводит к тому, что формализованные задачи для протяженного и точечного источников одинаковые с точностью до вида множеств. 11) Формализована задача восстановления ВФ по неполным изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств. 12) Разработан итерационный алгоритм компенсации аберраций ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника. На каждой итерации осуществляется измерение интенсивности в изображениях. Выполняется конечное число спусков к минимуму функционала сближения. Фаза функции зрачка на последнем спуске определяет величину корректировки ВФ. 13) Предложен функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи. 14) Предложен метод восстановления некогерентного источника по его неполному и зашумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит представление равенства, определяющего изображение, как линейного однородного уравнения относительно пар (источник, изображение), а измеренное изображение, априорные свойства шума и источника определяют ограничения на эти пары. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму.

Восстановление ВФ по неполным изображениям точечного источника

Формализована задача восстановления ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств. Регистрация всего изображения приводит к тому, что формализованные задачи для протяженного и точечного источников одинаковые с точностью до вида множеств.

Формализована задача восстановления ВФ по неполным изображениям протяженного неизвестного источника к задаче нахождения общей точки заданных множеств. Получен функционал и на его основе алгоритм сближения точек этих множеств.

Разработан итерационный алгоритм компенсации аберраций ВФ по изображениям протяженного неизвестного источника. На каждой итерации осуществляется измерение интенсивности в изображениях. Выполняется конечное число спусков к минимуму функционала сближения. Фаза функции зрачка на последнем спуске определяет величину корректировки ВФ.

Предложен функционал изображения в виде нормы рефлексивного пространства. В задаче восстановления ВФ на зрачке ОС по известной амплитуде на зрачке и ФРТ в заданной области функционал достигает максимума на функциях, соответствующих решению фазовой задачи. На основе этого функционала можно конструировать новые алгоритмы решения фазовой задачи. Разработан метод восстановления некогерентного источника по его неполному и зашумленному изображению и известной ФРТ. В основе метода лежит новое представление о равенстве, определяющее изображение источника, как линейного однородного уравнения относительно пар ( источник, изображение ). Это позволяет распределить ограничения на две переменные. Такими ограничениями являются измеренное изображение с априорными свойствами шума и априорные свойства источника. Задача формализована к задаче нахождения общей точки выпуклых множеств, решение последней сводится к минимизации функционала сближения точек множеств по итерационному алгоритму. Разработан метод восстановления некогерентного источника по его зашумленному изображению на дискретном множестве и известной ФРТ. В основе метода лежит представление измерений как значения линейного функционала, заданного на множестве пар (источник, шум). Свойства пар задаются типом гильбертова пространства. С помощью леммы Рисса исходный линейный функционал представляется в виде скалярного произведения этого пространства. Задача восстановления источника по изображению сводится к решению конечномерной проблемы моментов в этом пространстве. В диссертации получены следующие основные результаты. Развита теория плоскостных моментов изображения на основе теории дифракции и геометрической оптики для описания влияния аберраций ВФ на изображение. Доказана теорема о возможности однозначного восстановления с точностью до несущественного постоянного слагаемого аберраций ВФ по распределению интенсивности в пространственной области, содержащей фокальную плоскость. Получена расширенная система моментных соотношений, устанавливающих зависимость плоскостных моментов от градиента функции аберраций. На их основе можно конструировать датчики ВФ. Разработан модальный датчик ВФ, напоминающий датчик Гартмана. Полнота данных о модах обеспечивается не увеличением числа субапертур, а увеличением количества измеряемых числовых характеристик изображений, создаваемых каждой из них. В качестве характеристик использованы плоскостные моменты 1-го и 2-го порядков. Предложена методика определения вероятности существования фазового экрана с заданным временем по киноленте Гартмана. Конкретно по киноленте, снятой на телескопе Цейсс-600 в Симеизе, получена оценка этой вероятности, равная 0.11; 0.13 для времени существования соответственно 0.6; 0.75сек. Введены функционалы изображения, которые в первом приближении численно равны соответствующим модам ВФ. Предложен итерационный метод, похожий на модифицированный метод Ньютона, восстановления и компенсации мод ВФ в АОС по двум изображениям протяженного неизвестного источника в фокальной и параллельной к ней плоскостях, в котором на каждой итерации в качестве оценки мод используются значения этих функционалов. Метод позволяет раздельно восстанавливать четные и нечетные моды ВФ по функционалам изображения.

Разработан оптимизационный метод нахождения общей точки выпуклых множеств, названный методом увеличения размерности (МУР-метод), на основе стратегии сближения точек из разных множеств. Мерой сближения точек является выпуклый функционал и любая его сходящаяся минимизирующая последовательность определяет общую точку множеств. Метод позволяет свести задачу со многими ограничениями на одну переменную к задаче со многими переменными с одним ограничением на каждую из них. МУР-метод прост в реализации как метод чередующего проектирования, при этом он не ограничен в выборе алгоритма реализации и допускает регуляризацию задачи.

Получены итерационные алгоритмы сближения точек выпуклых множеств. Установлены свойства операторов итерационных алгоритмов сближения точек выпуклых множеств, которые во многом повторяют свойства проекции точки на выпуклое замкнутое множество.