Введение к работе
Актуальность проблемы. Высокодобротный осциллятор - универсальная математическая модель, применяемая для описания различных физических явления. Она дает возможность исследовать прохождение электромагнитных волн через среды с дисперсией, обеспечивает классическое описание возбуждения атомов, позволяет сформировать подходы к построению квантовой теории поля. Модель высокодобротного осциллятора использовалась при создании квантовой механики для описания излучения электромагнитных волн и при построении физической кинетики.
В технике высокодобротный осциллятор является одним из основных элементов большого класса радиотехнических и эледаронных устройств. Осциллятор используется в устройствах точной механики, системах автоматического регулирования и механических измерительных системах. Эта модель обеспечивает возможность анализа механических явлений при прохождении упругих волн в средах, при колебаниях конструкций в случае циклического нагрукения. Приборы на основе высокодобротного осциллятора применяются для фундаментальных физических ивмерений. в частности, при определении гравитационной постоянной и регистрации гравитационных волн. Исследованию высокодобротных измерительных систем посвяцены работы В. Б. Брагинского, ЕЕРуденко, Ы. У. Сагитова, И. И. Киселева, Е J. Kfeers, Г. Е Измайлова.
Для решения уравнений, описывающих динамику высокодобротных систем, широко применяются асимптотические методы, позволяющие рассчитывать как физические явления, так и технические устройства, использующие осциллятор. Они обеспечивают выполнение расчетов на ЭВМ, существенно сокращая время счета. Эти методы поедпо-" лзгают незначительное затухание колебаний осциллятора и дают приближенное описание происходящих в нем диссипативных процессов. Асимптотические методы были разработаны Е Н. Боголюбовым, Ю. А. митропольским, В. М. Волосовым, Е Е моисеевым.
Для описания стохастических процессов разработаны современные информационные технологии, которые могут быть применены при исследовании высокодобротных систем. Описанию стохастических
процессов посвящены фундаментальные работы А. Н. Колмогорова, а А. Круткова, Б. С. Пугачева, ЛЕГ ющыне.. К. Ito, P. JL Стратоно-зича Существенные результаты достигнуты при создании современной кинетической теории и теории флуктуации в диссипативных системах. Статистическое описание кинетических процессов осуществлено Е Е Боголюбовым, С. В. Пелетминским, Ju Л. Климонтовичем, Д. Е Зубаревым.
Однако необратимые явления, присущие высокодобротным системам, имеют целы: ряд специфических особенностей, требущих дополнительного изучения, фи этом к классу необратимых явлений относятся не только диесипативные процессы, приводящие к ватуха-нию колебаний, но и весь комплекс стохастических и информационно- терыодинамичнских явлений. Эти явления в высокодобротных системах имеют столь существенные отличия и открывает столь широкие возможности для дальнейших фундаментальных и прикладных исследований, что заслуживают тщательного анализа.
Исследование необратимых явлений в высокодобротных системах должно строиться с использованием современных математических методов статистической физики и физической кинетики. Такой подход позволяет провести достаточно общее описание -этих явлений, которое монет быть положено в осное-у решения как технических проблем, так и задач уточнения характера протекания физических процессов. Математическое моделирование необратимых стохасгичесішх процессов в высокодобротных системах является перспективным научным направлением, обеспечивающим постанови' и решение новых фундаментальных задач.
Делыо работы является построение математических моделей необратимых процессов в высокодобротных системах, находящихся под воздействием детерминированных и случайных возмущений; исследование с помощью современных математических методов и вычислительной техники особенностей протекания необратимых стохастических процессов в высокодобротных системах; анализ возможности использования высокоробротных технических систем.
Научная новизна работы заключается в том, что впервые:
- с единых-позиций проведено описание необратимых стохастических процессов в высокодобротных измерительных системах;
рассмотрены физические явления в резонаторе Фабри-Ifepo, связанные с давлением света на зеркала резонатора я низкочастотным оптическим резонансом;
предложена ьеатеыатическая модель петли гистерезиса, допускающая асимптотическое решение при описании высокодобротных электромагнитных систем;
проведено описание диффузии в среде с флуктуирующими коэффициентами переноса.
На зашиту выносятся следующее основные результаты: і. Теория стохастических процессоа в высокодобротных измерительных системах.
-
Математическая модель большебазного свободномассового интерферометра Фабрй-Перо.
-
Теоретическое описание высокодобротных электромагнитных систем, использующее предложенную математическую модель петли гистерезиса.
-
Ыетод многомерных функций распределения, предназначенный для описания необратимых стохастических процессов в средах с флуктуирующими кинетическими коэффициентами.
Практическая ценность работы заключается в том, что на основе проведенных теоретических исследование
предложен новый тип измерительной системы на основе высокодобротных несимметричных крутильных весов;
разработан гетеродинный метод регистрации гравитационных ' волн и обоснована лазерная интерференционная гравитационная антенна, использующая низкочастотный оптический резонанс;
обоснован ноеый исполнительный орган системы стабилизации искусственного спутника Земли.
Диссертационная работа связана с госбюдязтньми работами по тема.-;
- №3/81:. "Физико-технические проблемы преобразования ин
формации в измерительных системах, содериадих осциллятор"
(1981-85 г.), Гос. регистрация М 811O505S;
- О^-2/Бб: "Разработка элементов новой техники и технологии
на основе применения циклических, волновых и колебательных про-
цессов" (1986-90 г.). Гос. регистрация N 01860015245;
- межвузовская научно-техническаях программа "ФйЗЫАТ"
(1993-94 Г.).
Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на Всесоюзном семинаре "Автоматическое управление и вычислительная техника" (Ійзсква, 1982 г.), Совещании-комиссии по неприливным изменениям силы тяжести (Москва, 1983 г.). Всесоюзном семинаре по грависейсмическому анализу (Москва, 1983 г.),
II Всесоюзной кг-'.ференции АН СССР "Актуальны;- проблема геофйзи-
ки" (Звенигород,.1984 г.), XI Всесоюзном семинаре поаналитичес
ким методам в газовой динамике (Зрунзе, 1985 г.), И І Есбсоёзной
конференции АН СССР "Актуальные .проблемы геофизики" (Суздаль,
1986 г.), XVII Конференции ЦКБ "Алмаз" (іЬсква, 1988 г.), Всесо
юзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиност
роении" (Нижний, Новгород, 1989 г.), Мзадународной конференции
"Актуальные проблемы информатики, управления, радиоэлектроники
и .глзеряой техники" (Пушкино, 1989 г.), Всесоюзном совекании-се-
минаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Звениго
род, 1990 г.), II Всесоюзном симпозиуме "Космофизические флукту
ации в процессах разной природы" (Пущино, 19S0 г.), Международ
ной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук"
(Москва, 1991 г.), II Всесоюзном совещании-семинаре "Инженер
но-физические проблемы новой техники" (Шсква. 1992 г.),
III международном совешании-семинаре "Ишкгнерно-физические проб
лемы новой техники" (Ьэсква, 1994 г.), а такдеча научных семи
нарах кафедры математики физического факультета ЫГУ, лаборатории
гравитационных измерений ГАИШ МГУ, лаборатории грависейсмическо-
го анализа ЛИВ РАН, кафедры экспериментальной физики и кафедры
теоретической механики РУДН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано: монография, 28 статей, 10 тезисов докладов и получено 6 авторских свидетельств на изобретения. /
Обьем работы. Диссертация состоит из. введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Текст изложен на 274 маши-
нолксных страницах, включая 26 рисунков. Список литературы содержит 168 наименования.
Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель и определены научная новизна и практическая ценность работы. Гірзтісо изложены основные результаты выполненных исследований.
В дерзол глава проведено описание необратимые стохастических процессов в Війоиодсоратньк кз»ерительних системах.
В параграфа 1.1. осуществлен вывод уравнений движения крутильных весов її определен ж отклик на внешіе. воздействия. Построение гатемзтичесгеой модели-крутильных зесоз проверено с использованием метода Лзгршкз. Яри этом трение в крутильной системе описывалось функцией Рэлея с полюй диссипацией. В качестве i'!*-?sn:;: воздействий выступали сейсмические и гравшшерци-снеыэ г.олч, пркч5м, грашдааытошюэ подф считалось неоднородным.
Шлученкь» уравнения движения крутильных весов были приведены к виду, уґ.одиоі'у для анализа изучаемой измерительной системі При этом д;*нзыг!«"*с№э параметры короэдсла весов счкталксі--прсгтзЕОЛылд'М, а колеСзкиз весов - мальм. Иа основе полученного регзнид уравнений двигзекгсп крутильных взсоэ показано, что веек, яу?кзіє неожггтрячнол керомнело, обяздзет попаянной ЧУВСТЕИ-тезьноетыз к'сейсшіигсетч воздействия;»
Проведен аналіз мауогиости применения несимметричных кру-тильЕїзг веооь длл иїтрзаизкочастотніа сейсмических измерен:^.. Шлучену вьгошэвиг., связывающие внешние воздействие и ваоиацчи периода, крутильних колебаний высокодобротных вессэ. ГТоедло^еп даваетчеекнй метод изнеренкЯ с помощью внеокодобротньп: несимметричных крутильних весез к разработан новый сейсмометр, обладающей повьтанней чувствительность» к изфрзнизкочгсготкьм сейгми-
ЧЄСКИЧ Е0ЕДЄПСТЗКЯ?.!.
В параграфе 1.2. с помощью уравнения Фэккера-Планка построено статистическое описание высоко; ;бротнсл измерительной системы, позволяющее провести олтимизацию ее параметров с целью уменьшения уровня случайных погрешностей измерений.
Системе стохастических дифференциальных уравнений, описывающих высокодобротную измерительную систему, поставлено в соответствие уравнение Фэккера-Планка
Ж. + . ^ t fr'tV-Mu/xW-2/3 ^}= I) Л , м,
at м эх Ч'^; MUJoxJap "У эр -иэр*>^
где j» f (X,p,t) - функция распределения флуктуации переменных движения X и Р , М - масса чувствительного элемента, k)0 и J3 - собственная частота и коэффициент затухания осциллятора, D - коэффициент диффузии.
Проведенное решение уравнения &>ккера~Шанка (1) для первичного преобразователя осцилдяториого типа позволило определить фун.-ция распределения флуктуации переменных движения измерительной системы в зависимости от принятой методики измерений. Для этого уравнение (1) решалось при начальном условии, соогвгтству-ющем точному одновременному измерению координаты. и скорости чувствительного элемента, и при начальном условии, опийьшающэм случай измерения только координаты чувствительного элемента. Показано, что дисперсия погрешностей измерений зависит от способа получения информации с измерительного преобразователя.
В частности установлено, что для высокодг ротной измерительной системы флуктуации ее первичного преобразователя при регистрации только координаты существенно выше уровня флуктуации при одновременном измерении координаты и скорости (импульса) чувствительного элемента. Для практической реализации преимуществ высокодобротных измерительных систем необходимо либо одновременно измерять и координату и скорость чувствительного элемента, либо .измерять координату через полупериод колебаний. На основе проведенного математического моделирования осуществлена опїимизация параметров высокодобротной измерительной системы.
Параграф 1.Л. посвящен описанию измерительного осциллятора, находящегося под воздействием случайного процесса с ограниченным
елекї'роя При проведении указанного описания использован метод фор!-з:рукЕкх фильтров, который предполагает добавление к уравнению двкжкш измерительной системы дополнительного уравнения, огоюііваиіїзго преобразование белого шума к случайному процессу с заданным спектральним составом.
Получено уравнение Фэккера-Шанка, сшюкватадсе выеокодоб-ротний осциллятор с добавлением формирующего фильтра. . В этом случае уравнение Фоккера-Планка имеет вид
где f~ f {Х>Р, у1г L/ * Ч ' переменная, описызакзая фор-
іпїрувгг-іЛ :*лль?р5 '}' - верхняя граничная частота спектра.
На оеиов'-. построенного решения уравнетешп (2) проведено исследован;» влияния параметров систем и характеристик внешнего случайного пэопееса на уровень погрешностей измерений. Полученные r-erjeuii.: позволили провести оптимизации параметров осциллятора г, зависимости с? гарагстйристйк измерительной систєїм її ваэг-
НІК ГСЗДЄПСЇЕИ?.
В параграф? і.-і. определены йауктуаижі периода колебаний высокодобротшл крутильне весоа при нсзде'лстзигі па них случш>-ньк всемушэнкп. Установлено, что дисперсия теслозс: фдуетуанип периода /футильяых колебаний уменьшаете- с icauzvw.-a ^сСротзсо-ти весов. Зтэ связано о тек=, что с поветезиек добротності умень-'
СаеТСЯ ИІГИНа ПККЗ СПКГРЭЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ЇЄЯЛ02Ш фЛуКТу.-ЩИН і'.
отличие, текущего периода от периода собственных колебаний становится все более незначительной величиной. Благодари этон7 и возникает возможность снизить дисперсия тепловых флуктуации периода крутильных колебания позканя добротность весов. В toy г врек<, дисперсия фдуктуацкй периода, вызвавши внесшими случайпь-ми возмущениями, ст добротності! весоа не зависит.
Ъ>
В параграфе 1.5 проведено детерминированное и стохастическое описание высокодобротного ооци-пятора'. переменных действие'-. Фаза. Построена производяпея функция, которая позволяет перейти от канонических переменных координата-импульс к переменным действие-фаза. Уравнение движения в переменных действие-фаза позволяет при подходе к высокодобротным измерительным системам, как к адиабатически инвариантным, определить функцию распределения в этих новых переменных. Установлено, что флуктуации фазы, а, следовательно, и пер- ода колебаний, описываются законом распределения Гаусса.
В параграфе 1.6.. построена математическая модель необратимой самостохастизации динамической измерительной системы и на ее основе проведено описание генерации случайных колебаний из первоначально детерминированного движения системы. Необходимость построения указанной модели связана с тем, что у любой измерительной системы имеются паразитные степени свободы, которые при возбуждении высокодобротных колебаний по информационной степени свободы приводят к самостохастизации движения чувствительного элемента. Данное явление проанализировано для нелинейной высоко-добротной измерительной системы с тремя степенями свободы, собственные частоты которой связаны соотношением: jtJg -CJj|«J2o. где (*fi,2 - частоты колебаний по паразитным стешнам свободы,
$1 о- частота колебаний по информационной степени свободы. В этом случае вследствие мультипликация частот на нелинейных членах возникает резонансное воэбуадение, и прг высокой добротности собственных мод колебаний наблюдается явление самостохастизации.
Дроведенное математическое моделирование этого явления позволило установить условия, при которых самостохастизация приобретает существенное значение я приводят к необратимым явлениям в измерительной системе.
Параграф 1.7. посвящен термодинамическому описании высоко-' добротного осциллятора. Определены термодинамические уравнения, описывающие статистический нагрев измерительной системы с динамическим вовбуа^нием собственных .колебаний по информационной
степени свободы. Установлено выражение для термодинамической энтропии, что позволяет осуществить оптимизацию измерительной системы по критерию минимума производства энтропии. Такой подход наиболее перспективен для проведения информационно-энергетического анализа динамических измерительных систем с высокодобротным первичным преобразователем.
Во второй главе проведено исследование динамики многолучевого интерферометра Йейри-Перо с использованием его математической модели.
В параграфе 2.1. построена математическая модель большебаз-ного свободномассового интерферометра вабри-Шро, который может быть использован в качестве основного элемента интерференционной гравитационной антенны. В математической модели учтено давление света на зеркала резонатора, . установленные на слабо связанных с основанием интерферометра массах-
Математическая модель состоит из уравнений, описывающих электромагнитную волну в резонаторе, и уравнений осцилляторного типа описывающих колебания масс, на которых установлены зеркала. Мощности электромагнитные волн, падающих на зеркала резонатора Фабри-Перо, определяются выражениями
+[Г „ (t-(Bn-i)иХмъГ'м %] Ч >
w; (0 - я* V4 (t),. wA (t) - ?>a (t), Wi'(t)'^(Hl
»»(уи ftlV" амплитуда и фаза электрошгнитной волны, падающей на резонатор, Rl и ^/ - коэффициенты отрсжзккя и пропускания зеркал, S - піоездь аеркад, і,,, - время одоократио-го прохождения резонатора светом, 2С - параметр настройки резонатора. Колебак я зеркал описывается формулами
Хі т2/іХі +tt[Xi ~(Fi + Fls(t))/Mi, L-'iZ ^)
где .
FiSltr внешние детерминированные и случайные воздействия. Уравнения (3)-(6) образуют аамкнутую систему, решение которой для Боданных случайных воздействий, характеристик гравитационной водны и параметров лазерного излучения накачки, позволяет определить отклик резонатора Фабри-Перо в виде мощности прошедшего ' реаонатор VJa и отраженного от него света Wfl . Построенная математическая модель свободномассового резонатора Фабри-Ш-ро дает возможность исследовать его динамику и необратимые про-цессы в кем. йяя этого Сила разработана нрик; дная программа, которая позволяет проводить вычислительные эксперименты с целью оптимизации параметров интерферометра вабри-Перо при его использовании в качестве прибора дря регистрации гравитационных волн. В параграфе 2.2. на основе проведенного математического моделирования установлено новое физическое явление необратиіюй трансформации низкочастотных колебаний зеркал резонатора в высокочастотные флуктуации, которое связано с давлением света на зеркала Доказано, что давление света на зеркала резонатора приводит к изменению коэффициента затухания слабо связанных с осно-
ванкем масс, на которых установлены зеркала. Это моиет, в частности, привести к необратимому возрастанию амплитуды колебаний масс резонатора Ообри-Пэро.
С помощью уравнения Фоккера-Планка определена функция распределения флуктуация координат зеркал резонатора Установлено, что стационарное распределение колебаний зеркал резонатора, а, следовательно, и флуктуации мощности вышедшего из резонатора света отличается от распределения Гаусса. За счет мультипликации частот колебаний слабо сязанных с основанием масс на нелинейных членах, вызванных давлением света, наблюдается необратимая трансформация низкочастотных колебаний в высокочастотные флуктуациии зеркал резонатора Это явление, установленное при математическом моделировании, мокат иметь существенное значение для строящихся больвебазных лазерных интерферометров Фабри-Перо. Сравнение рассчитанных зависимостей с подученными экспериментально на макетах больвебазных интерферометров дает хороаее совпадение.
В параграфе 2.3. предложен и обоснован гетеродинний метод регистрации гравитационных волн. Вычислен отклик интерферометра Фабри-Шро на гравиволноьое воздействие типа импульса Берлоги с учетом давления света и модуляции фазозой настройки резонатора. Обоснована перспективность использования гетеродинного метода
В параграфе 2.4. проведено аналитическое описание и математическое моделирование низкочастотного оптичзского ревонанса б интерферометре Фабри-Перо. Шказано, что низкочастотный оптический резонанс возникает з резонаторе Фабри-Перо вследствие возбуждения колебаний амплитуды стоячей электромагнитной волны г.. многолучевом интерферометре. При этом, многолучевой интерферометр Фабри-Ifepo обладает низкочастотным оптическим резонансом по отношению к гармоничесгаш колебания базы резонатора, амплитуды н фазы оптической накачки. Причем, частота, на которой наблюдается этот резонанс, меныаз частоты, определяемой временем однократного переотражния светозого луча в резонаторе,- и существенно ниж диапазона -оптических частот.
Аналитически низкочастотный оптический ресонаїю івкт би?ъ в первом приближении описай уравнр"иєм
^ - переменная сгяйьнкал с опойком резонатора Y-f.A с помогаю дифференциального уравнения первого порядка.
Ка основе разработанной Математической модели было зроведз-но детальное исследование резонансных свойств интерферометра Фібрц-Шро с использованием численного решения самосогласованной системы уравнения, (лшсизаиних движение ееркал резонатора и ьоа-бувдение стоячей здегароыагшшюй волны в нем. расчетах, проведенных с помощью разработанной прикладной программы, жпольвс-Ба.'мсь параметры, характерные для лазерних интерференционных гравитационных антенн третьего поколения, основным элементом которых является бсдоайбазный многолучевой свободномассо'вьй резонатор ЗаОри-ІЗеро. Выполненное математическое моделирование позволило оптимизировать параметры системы лазер-резонатор . по отнесению к гравиволноЕШ воздействиям а описать необратимы-з процессы в исследуемом измерительной устройстве.
В параграф? 2.5. показана возможность использования низкочастотного оптического резонанса для увеличения чувствительности лазерных интерференционных гравитационных антенн. Установлено, что при ыодуляциии электромагнитной волны накачки на частоте, близкой к частоте резонанса, наблюдается существенное возрастание чувствительности резонатора Фабри-Перо по отношению к гравитационным волнам. Это возрастай..- достигает значений, порядка величины добротности колебаний в резонаторе. Так как для небольших резонаторов добротность низкочастотного оптического резонанса может достигать величины порядка 100... 1000, то предлагаемый метод регистрации гравитационных волн представляется достаточно перспективным, а использование разработанной математической ш-
дели - обеспэчипгюпзш оптимизацию измерительного процесса при гравиволновкх исследованшх.
В третьей главе описаны необратимые процессы и високодоб-ротнкх электромагнитных системах.
В параграфе 3. і. прзджшзна . математическая модель петли гистерезиса, допуекакдак асимптотическое решение при" списании внеокодобротных электромагнитных cj-.етем. Аяалитическла выражение для предложниоп «одели петли имеет вид
В(и)уіи,(Н~^Н3-З^СНг), _ (9)
где Фунгли,"' п one рекет по фазе напряженность пот Н на Л/ , а велпчшш .5' л й'С являются параметрами модели si характеризует соответственно нелинейность и тодцину петли гистерезиса. Предлагаемая математическая модель петли гистерезиса позволяет учитывать э!сспзрдоеитальны? характеристики конкретного >,<агкитопровол,а, а так;?:- проводить расчеты электромагнитню: устройств с покогц,» асимптотических методов реыания ді;ісреііш!аль-uu;c упаьгечий. списываю^?;: ликамические режими работы такнзт ует~ сэйстз. Аналогична-' математическая модель кокет припаяться при описании пеосрадамх процессов з механических системах с цикли-ческли рштамом нагружнм'-.
В параграф ?...?. с исполъэойанием асимптотического метода проведено математическое моделирование активного колебательного контура с магнитным сер очником. Получены укороченные урга;:эшгл, описывала* амплитуду /\ а)а и Фазу '^ тока в іетлебательпом контуре с гистерезисом и проведено численное рекенкэ с-ткх ураа-ненкй. Сислема укороченных уравнений кыеег ыа
(і-4- №*As)A+frXa);/\sf +рА -/-
где J, It) и f(/- амплитуда и фаза внешнего воздействия, СОа , /3 и О - параметры колебательного контура
Разработанная методика описаний необратимых процессов в электромагнитных системах осцилляторного типа с гистереаисом позволила определись влияние основных физических параметров таких систем . на характер протекания электромагнитных процессов в них.
Выполненное математическое моделирование позволило предложить новый исполнительный орган системы стабилизации искусственного спутника Земли, основанный на использовании резонансных свойств высокодобротного электромагнитного контура. Разработан пакет прикладных программ для исследования динамики искусственного спутника Земли с магнитной системой разгрузки маховиков. Проведенные экспериментальные исследования на физическом макете исполнительного органа дают результаты, совпадающие с полученными путем численного моделирования.
В параграфе 3.3. описаны необратимые процессы в магнито'ре-аонансном подвесе. Построены укороченные уравнения, описывающие электрические колебания в резонансных контурах с гистерезисом. Указанные уравнения с добавлением уравнения, описывающего динамику механической части подвеса, образуют магема.ическую модель, анализ которой с использованием вычислительной техники позволил установить особенности протекания необратимых . стохастических процессов в исследуемой высокодобротной системе.
На основе проведенного числеичого решения укороченных уравнений, описывающих динамику магниторезонансного подвеса, выполнено детерминированнное и стохастическое моделирование его функционирования; Полученные путём численного стохастического моделирования полигоны относительных частот смешвния центрируемого элемента при воздействии на него винеровского процесса позволили установить влияь;.е нелинейности и толшины петли гистерезиса на
устойчивость шгниторезонансного подвеса Бьшолнеяные расчеты позволяют на этапе проектирования пассивных магниторезонансных подвесов осуществлять подбор и коррекцию их параметров с целью улучшения технических характеристик, а разработанная прикладная программа - . .,озодить оптимизацию параметров таких подвесов..
В параграфа 3. А. рассчитано ватухание электромагнитных волн
при распространении в магнитном ма риале с гистерезисом. Пост
роены укороченные уравнения, описывающие амплитуду Но и фазу (f
напряженности магнитного поля в магнитной среде о гистерезисом,
которые имеют ЕИД
(11)
где л - электропроводность среды, Сд - частота электромагнитной волна Установлено, что в высокочастотной части спектра основным фактором, приводящим к затуханию электромагнитной волны а ферритах, выступает магнитный гистерезис.
В параграфе 3.5. найдено асимптотическое решение уравнения Ландау-Лифшица и на его основе проведено численное моделирование необратимых процессов при перемагничивании материала с гистерезисом. Построена математическая модель процесса необратимого пе-ремегничивания материала с доменной структурой. Полученные укороченные уравнения, описывающие динамику перемагничивания домена, позволяют существенно уменьшить машинное время расчетов при исследовании гистерезисных процессов в магнитном материале.
Построенное описание позволяет, формируя из совокупности доменов те или иные конфигурации образцов, магнитного материала и учитывая краевые условия, устанавливать влияние формы намагниченного образца на динамику его перемагничивания. Проведенное численное" моделирование показывает хорошее совпадение полученного модельного приближения и реальных кривых перемагничивания.
Разработанная математическая модель к созданная на ез основе псккдадная программа когут быть использованы при расчетах технических систем и устройств, в которых применяется шгкитйыэ материалы с. гистерезисом.
В четвертой главе рассмотрено применение многомерных Функцій распределения при описании необратимых стохастических процессов.
В параграфе 4- і. построено кодифицированное уравнение &ж-кара-ІІлашіа и с его помощью описаны необратш-іш стохастически? процессы в Бысокодобротноы осцилляторе. При іюлучеппі этого .уравнения учтены флуктуации коэффициента диффузии. Проведею описание броуновского движения в трехмерной изотропно*- ср-і-до с учетом флуктуацій коэффициента треті;;. Определены поправки г уравнения Смэдуховского, связанные с флуктуация ми этого ксз<йи-цизнта.
Полученное модифицированное уровгени? Фэккзра-Г^англ применено для статистичесісого описания динамической сис-ve.'iK огизшг;-торногс типа. В этом случае модифицированное уравнение принимает EJ";
"ч-; t 'к 'L - постолшшо, лавиепцче от параметров осциллятора я диесилатпш-юй среди. Путем ннтегриоозания уравнен.':;; (12) определена дисперсия флуктуации координати чувстьктедького элемента дняамической системы и вычислены поправки, связаннее с &:ушу<л.-цияма коэффициента трения.
Параграф 4.2. посвящен кзлокеяи» метода многомерных функции распределения.. Построены кинетическое уравнение дли дъу;. ерноп функции распределении п_реьіеикьіх движения броуноЕС.'з": част ушу и уравнение диффузии даш ддумэрной плотности частиц г. сг-;д-:.
llrm построении теории броуиовсгиго движения в термина:! дву-і.іеркь« Функций распределения использована процедура посдедсва-тедьких огрублений уравнения для двумерной Функции распределения всех переменных дзиж.чня частиц среды и броуновской частицы. Усреднение на рсмзжутках времени порядка времени хаотизащш частиц среды позволило перейти к кинетическому уравнении для двумерной Функции распределения пер^-'ешшх движения броуновской частицы. Лалее, усреднение на прсмег-утках времени порядка вреые-:r.i релаксации сроупсвской ".есглцы дало возможность получить гидродинамическое уравнение диффузии для двумерной плотности диф-Фундярукдих частки
З параграфе 4.3. списаіз диффузия в среде с флуктуирунунш кинєїпчєсішш коэффициентами. При решении уравнения диффузии для двумерной плотности бил использован г.йтод возмущений. Для этого уравнение диффузии било преобразовано к Фурье-образу л определено решение з первом пркб-.икении по членам, описнзаюаим флуктуации коэффициента- диффузии. Полученные выражения могут Сыть использованы при описания фзувдацкй количества ионов в малом объеме электролита. Преииутрсгюм полученных виражений является так-та возможность нахождения фурье-образа двумерной плотности з случае переменных во времени "коэффициента диффузии я времени корреляции его флуктуации.
Построенная с домоиьэ метода многомерных функций распределения математическая модель диффузии в среде с флуктуирущими кинетическими коэффициентами позводила рассчитать распределение примесей в твердом теле послз кристаллизации. Получено решение уравнения диффузии для двукэрной плотности примеси в твердом теле и показано, что характерный размер сгустков примесей зависит от. скорости охлаждения. Проведенное исследование в рамках физической кинетики представляется воашжнш только с использованием построенных решений уравнения диффузии для двумерной плотности.
В параграфе 4. 4. с использованием асимптотического метода и метода многомерных функций распределения проведено описание высокодобротной системы с флуктуирующим коэффициентом трения. Ш-казано, что укороченные уравнения, описывающие флуктуации высо-
кодобротных систем, приводятся к виду, аналогичному уравнению Ланжевена для' броуновской частицы в двухмерной среде:
ґ х (13)
где JCqs- функция, которая может описывать гистереаисные потери и динамическое трение, Fe,s и $слз - детерминированные и случайные воздействия. Ери этом переход к переменной X , описывающей динамику осциллятора, осуіцествляется по формуле
X(t) » (Рс (t) COS ОЗЛ + Ps (t) Sin ОІ. t)/Mub, (14)
Укороченная система уравнений (13) позволяет при анализе необратимых стохастических процессов в высокодо'бротной системе воспользоваться методикой, разработанной для описання броуновского движения в среде с флуктуирующими кинетическими коэффициентами.
Использование метода многомерных функций распределения позволило і пределить дисперсию флуктуации координаты зысокодоброт-ной системы. Предложенный общий подход к Ьпие&чіЮ необратимых процессов в высокодобротных системах можно рассматривать кас один из альтернативных способов описания кинетических процессов в рамках математического моделирования.
Параграф 4.5. посвяшен разработке метода описания немарковских случайных процессов с использованием многомерных характеристических функций. Показано, что при ьоздейотвии на стохастическую дифференциальную систему внешнего случайного процесса, описываемого конечномерной характеристической функцией, ее анс-іиз может быть провален с помощью уравнения для многомерных характеристических функций' вектора состояшы немарковского процесса. Построены уравнения для двумерной характеристической функции к проведено.их обобщение на случай n-дарньк характеристических функций.
Раэрабсггкиый метод многомерных характеристических функция применен для ^чяеяия описания', броуновского движения. Шказало, что уравнение для двумерной функций распределения fi(^e,Pe,t*)' списываюцэе броуновское движет» в немарковском случае, имеет зид А л л
(Ir," 4/(" ;) Л *й Tfz > (1б)
(16)
' їф..)- сш,&етрлчная единичная функция. Уравнение (15) применимо для описаній эысокодобротиых систем с использованием укороченных уравнений (13J. Применение разработанного метода многомерных характеристических функций приводят к результатам, совпадающим с полученными методом многомерных функция распределения.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Проведенное з диссертационной работе математическое моделирование необратимых стохастических процессов в высокодобротных системах с использованием современных математических методов я вычислительной їехники позволяет сделать вывод о создании нового научного направления, обеспечивающего постановку и решение большого класса фундаментальных и прикладных задач. С единых позиций были поставлены и ресены задачи моделирования высокодобротных измерительных систем, больсебазных интерферометров $абри-Перо, высокодобротных электромагнитных устройств с гистерезисом, а такие разработан метод многомерных*функций распределения, предназначенный для описания немарковсісих случайных процессов. Дальнейшее развитие разработанных обща подходов к описанию необратимых стохастических процессов в высокодобротных системах применительно для других типов подобных устройств и для решения фундаментальных проблем физической кинетики представляется важной научной задачей;
