Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ состояния вопроса, цель и задачи исследований 8
1.1 Экспериментальное исследование неупругого деформирования соляных пород 8
1.2 Анализ состояния вопроса моделирования неупругого деформирования соляных пород 15
1.2.1 Микроскопические модели неупругого деформирования и структурных изменений соляных пород 19
1.2.2 Реологические модели неупругого деформирования соляных пород 25
1.2.3 Континуальная механика дефектов 41
1.3 Выводы 46
2. Уравнения состояния и анализ неупругого деформирования соляных пород с дефектами 49
2.1 Макроскопические уравнения состояния среды с учетом эволюции систем дефектов 49
2.2 Моделирование кинетических эффектов 59
2.3 Анализ эволюции сдвиговой поврежденности в горных породах 71
2.4 Выводы 84
3. Влияние стохастичности на накопление поврежденности в горных породах 85
3.1. Эволюция ансамблей дефектов при стохастическом нагружении 85
3.2 Эволюция ансамбля микротрещин при стохастическом нагружении 88
3.3 Эволюция ансамбля микросдвигов при стохастическом нагружении 93
3.4 Выводы 102
4. Осесимметричная задача моделирования неупругого деформирования соляного породного массива 103
4.1 Постановка задачи и вывод матричных уравнений метода конечных элементов (МКЭ) 104
4.2 Реализация МКЭ для исследования напряженно-деформированного состояния массива горных пород со сферической емкостью 108
4.3 Моделирование структурных изменений в массиве с емкостью сферической формы 124
4.4 Выводы 131
Заключение 132
Список литературы 134
- Микроскопические модели неупругого деформирования и структурных изменений соляных пород
- Макроскопические уравнения состояния среды с учетом эволюции систем дефектов
- Эволюция ансамбля микротрещин при стохастическом нагружении
- Реализация МКЭ для исследования напряженно-деформированного состояния массива горных пород со сферической емкостью
Введение к работе
Разработка и внедрение мало- и безотходных технологических процессов не позволяет избежать накопления неутилизируемых промышленных отходов. В связи с этим представляется технически возможной, экономически целесообразной и экологически необходимой изоляция промышленных отходов путем их складирования и/или захоронения. Наряду с традиционно рассматриваемым захоронением промышленных отходов представляется актуальным временное хранение перспективных (с точки зрения утилизации) отходов промышленного производства в подземных хранилищах естественного и искусственного происхождения.
Соляной породный массив, с этой точки зрения, обладает рядом преимуществ [1]: большая мощность соляной залежи; высокая технологичность проведения горных работ; высокая природная газо- и водонепроницаемость массива, отсутствие трещиноватости и возможность залечивания (затекания) техногенных дефектов.
Заполнение подземных выработок также решает важную задачу, связанную с повышением безопасности ведения горных работ.
Создание и эксплуатация подземного сооружения ведет к изменению напряженно-деформированного состояния (НДС) породного массива и развитию техногенной трещиноватости. При определенных значениях параметров разработки уровень концентрации напряжений может быть достаточным для инициирования разрушения в результате активизации процессов накопления поврежденности, взаимодействия дефектов и их коалесценции [2]. При этом анализ длительной устойчивости подземных выработок, создаваемых в соляном породном массиве, должен адекватно учитывать процессы неупругого деформирования под действием горного давления.
Большинство традиционных моделей учитывает, как правило, только один из аспектов этого сложного процесса. Так, геомеханические подходы [3,4,5] описывают все изменения в реальном породном массиве в терминах напряженно-деформированного состояния, не учитывая прямо зарождение, развитие и взаимодействие дефектов в материале под нагрузкой. Это, естественно, ведет к необходимости использования, с одной стороны, усложненных законов поведения, явно включающих параметрический учет времени: модельные подходы типа наследственной ползучести или нелинейной вязкоупругости [6,7], требующие разработки достаточно сложного программного обеспечения при решении задач произвольной геометрии, с другой, - различных критериальных условий: нормирования компонент напряжений и (или) деформаций. При этом отдельные участки деформационных кривых описываются различными определяющими соотношениями, что требует применения дополнительных условий перехода от одного участка к другому. Очевидно, что указанные модельные усложнения связаны с неполным учетом механизмов неупругого деформирования, развитие и смена которых определяет как специфику ползучести, так и переход к другим режимам течения.
Исследования в области механики горных пород отличаются большой сложностью, связанной как с трудностями теоретических решений, так и непосредственного наблюдения процессов, протекающих в натурных условиях. Поэтому целесообразным представляется развитие эффективных методов математического моделирования напряженно-деформированного состояния горных пород.
Таким образом, задача математического моделирования неупругого деформирования соляных горных пород является актуальной. Решение этой задачи открывает перспективы обоснования и использования соляного породного массива для создания подземных хранилищ, а также позволяет повысить безопасность ведения горных работ путем заполнения выработанных пространств калийных рудников.
Цель работы заключается в построении математической модели неупругого деформирования соляного породного массива с учетом эволюции систем дефектов, реализации ее на ПЭВМ и проведении расчетов для исследования напряженно-деформированного состояния массива при эксплуатации калийных месторождений.
Научная новизна работы: построена математическая модель неупругого деформирования соляного породного массива с учетом эволюции систем дефектов; решена задача исследования ползучести и накопления поврежденности в соляных горных породах; - численно исследована эволюция ансамблей дефектов в стохастическом поле нагрузки на основе полученного стационарного решения уравнения Фоккера-Планка; - решена осесимметричная задача определения НДС соляного породного массива с емкостью сферической формы и выявлены области возможного образования микродефектов; - решена задача исследования структурных изменений в массиве вокруг емкости сферической формы в процессе эксплуатации хранилища.
Практическая значимость. Построенная математическая модель и разработанное программное обеспечение позволяют исследовать неупругое деформирование соляной горной породы без проведения трудоемких и дорогостоящих, а также длительных натурных испытаний, в том числе: исследовать основные эффекты реологического поведения соляной горной породы; исследовать эволюцию ансамбля дефектов в стохастическом поле нагрузки; - исследовать НДС соляного породного массива с емкостью сферической формы и выявить области возможного образования микродефектов; исследовать структурные изменения в массиве вокруг емкости сферической формы в процессе эксплуатации хранилища.
Полученные результаты используются в учебном процессе кафедры «Разработка месторождений полезных ископаемых» при выполнении курсовых и дипломных работ.
Реализация работы.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с грантами Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области горных наук (проекты «Устойчивость и разрушение массивов горных пород при разработке полезных ископаемых» (1996-1997) и «Исследование проблемы устойчивости подземных горных выработок методами механики поврежденных структурно-неоднородных сред» (1998-2000)).
Отдельные этапы работы докладывались на VI Международном семинаре «Горная геофизика» (г. Пермь, 1993 г.), на Межрегиональной научно-технической конференции «Математическое моделирование систем и явлений» (г.Пермь, 1993 г.), на 2nd European solid mechanics Conference (Genoa, 1994), на Международной конференции «Проблемы охраны окружающей среды на урбанизированных территориях» (г. Пермь, 1995 г.), на XXVIII научно-технической конференции ПГТУ по результатам НИР (г, Пермь, 1995 г.).
Автор выражает признательность за методическую и практическую помощь доктору технических наук, профессору В.Г. Зильбершмидту, канд. физ.-мат. наук В.В. Зильбершмидту.
Микроскопические модели неупругого деформирования и структурных изменений соляных пород
Деформация даже небольшого объема горных пород, непосредственно испытанного в машине, может быть охарактеризована различно. Таким образом, основываясь лишь на диаграммах испытаний, макродеформацию образца в общем случае следует классифицировать как течение [22]. Для того, чтобы выявить конкретный механизм, посредством которого это течение осуществлялось, необходимо детальное изучение структурных изменений, происшедших в образце. Если таким механизмом являлось трансляционное скольжение в кристаллах, то течение истинно пластическое, и, следовательно, моделирование деформационного поведения горной породы можно проводить в рамках механики сплошной среды на основе уравнений теории пластичности. Если течение проходило посредством разрушения кристаллов и смещения одних обломков относительно других, т.е. через катаклаз - катакластическое течение, то к описанию деформации пород можно применить как механический термин «пластичность», так и механический термин «разрушение» в зависимости от выбранного масштаба исследований, вводя при этом в соответствующие определяющие соотношения дополнительные переменные, описывающие наблюдаемые структурные изменения.
Таким образом, необходимо теоретическое обоснование и разработка моделей деформационного поведения и разрушения горных пород и массива с учетом его основных структурных механизмов.
Основная проблема механики горных пород состоит в установлении связи между внешним воздействием, изменением исходной структуры среды и возникающими вследствие этого механическими полями.
В процессе исследования этой общей проблемы предложены различные модели, описывающие отдельные аспекты (механизмы) поведения горных пород. Каждая конкретная модель характеризуется определенным способом задания состояния системы (упругость, упругопластичность, вязкоупругость и т.д.). Естественно, что выбор модели, отвечающей данному физическому явлению, производится исходя из экспериментальных данных.
Признано, что такое сложное поведение соляных горных пород не может быть корректно описано обычным подходом, который разделяет независимую от времени пластичность и зависимую от времени ползучесть, и где последняя основывается на эмпирически сформулированных функциях временного и деформационного упрочнения.
Один из путей решения этой проблемы авторы [19] видят в применении подхода, в котором неупругое поведение рассматривается всецело зависящим от скорости, что более близко описывает физические процессы неупругого течения кристаллических материалов, и в котором в качестве внутренних переменных (переменных состояния) используется величина внутреннего напряжения, которая отражает эволюцию микроструктуры материала при конкурирующем действии механизмов упрочнения и восстановления.
Наиболее интересными с точки зрения механики твердого тела являются модели реальных сред с дефектами. В одной из конкретных моделей (континуальная механика дефектов) сделана попытка описания таких сред.
В последнее время в физике твердого тела дефекты, нарушающие кристаллическую структуру материалов, были представлены как самостоятельные структуры различных уровней организации вещества, что привело к рождению принципиально новой физической модели - модели механики среды со структурой [23], в рамках которой предпринимаются попытки привести в соответствие феноменологические модели с физикой микроскопических процессов (микроскопических механизмов пластической деформации и разрушения твердых тел) определяющих механическое (реологическое) поведение кристаллических веществ.
В ряде работ [19,22] отмечается, что предыстория создания в системе структуры (в том числе и деформационная предыстория) подготавливают систему к ее дальнейшей структурной эволюции. В процессе этой эволюции последовательно формируется весь спектр разномасштабных структурных форм, наблюдаемых в природе.
Для описания процесса неупругого деформирования горной породы используется два способа. В оном из них изучаются акты возникновения и роста отдельных поверхностей скольжения, пор, трещин в обычной упругопластической или вязкоупругой среде. Это позволяет, например, найти критериальное условие появления индивидуального дефекта, рассчитать его рост, а при правильной постановке даже учесть неравновесность соответствующего элементарного механизма неупругости [24]. Следующий шаг при таком подходе состоит в решении проблемы коллективного взаимодействия дефектов (пор, трещин), определяющего изменения всей системы в целом. Если размер дефектов сравним с масштабами тела, то тем самым будет решена конкретная задача разрушения. Если же масштабы тела намного превосходят размеры дефектов, то тело можно разделить условно на элементарные макрообъемы AV, включающие в себя представительный ансамбль дефектов. При этом объем AV среды, содержащий внутри себя поры, трещины или поверхности скольжения, считается сплошным, а для нахождения адекватного реологического закона необходимо вычислять средние параметры для ансамбля взаимодействующих дефектов.
Другой способ описания неупругости состоит в использовании с самого начала феноменологических представлений, например, соответствующих теорий пластичности, но при этом вносятся поправки, диктуемые представлениями об элементарных механизмах и соответствующие реологическим экспериментам.
Таким образом, для построения эмпирических уравнений состояния в форме е- f(a,T,P) необходимо сначала рассмотреть физику микроскопических процессов, лежащих в основе реологического поведения материалов.
Макроскопические уравнения состояния среды с учетом эволюции систем дефектов
Анализ литературных источников, посвященных экспериментальному исследованию, показал, что соляные горные породы являются средой с усложненными физико-механическими свойствами. Неупругое деформирование в соляных горных породах является многофакторным процессом, зависящим как от особенностей строения массива, так и от специфики внешнего воздействия. Особенности состава и строения соляных горных пород: различие свойств минеральных компонентов, анизотропия свойств породообразующих минералов обуславливают неоднородность напряжений при механическом воздействии. Результаты экспериментальных исследований свидетельствуют о том, что деформирование материала и накопление в нем повреждений - два взаимосвязанных и взаимообусловленных процесса, протекающих одновременно. В работах отмечается, что при определенных условиях (в первую очередь, при больших скоростях приложения нагрузки) соляная горная порода может быть хрупкой или деформироваться катакластическим течением. С другой стороны, каменная соль может также проявлять заметную податливость (она может неупруго деформироваться с небольшим или совсем без трещинообразования) особенно при низких скоростях деформирования. Экспериментальные исследования показывают, что каменной соли присущи наследственные эффекты, которые включают в себя влияние полной термомеханической истории материала на его последующее поведение. Сложное деформационное поведение горных пород обуславливает различные подходы к его описанию, среди которых микроскопические и реологические модели. На основе использования различных подходов авторами получены определяющие соотношения для различных условий внешнего воздействия. Однако, в большинстве предлагаемых моделей различные участки деформационных кривых описываются различными определяющими соотношениями, что требует применения дополнительных условий описания перехода от одного участка к другому, что связано, прежде всего, с неполным учетом механизмов неупругого деформирования, развитие и смена которых определяет как специфику ползучести, так и переход к другим режимам течения. В этой связи целью настоящей работы является построение математической модели неупругого деформирования соляных горных пород с учетом процессов зарождения и развития микроскопических дефектов и их влияния на изменение напряженно-деформированного состояния. Поставленная цель определила следующие основные задачи: - построение математической модели неупругого деформирования соляного породного массива с учетом эволюции систем дефектов; - исследование ползучести и накопления поврежденности в соляных горных породах; - исследование эволюции ансамблей дефектов в стохастическом поле нагрузки; - исследование напряженно-деформированного состояния соляного породного массива с емкостью сферической формы и выявление областей возможного образования микродефектов; - исследование структурных изменений в соляном породном массиве вокруг емкости сферической формы в процессе эксплуатации хранилища. Модельное описание особенностей деформирования соляных пород требует учета процессов зарождения и развития микроскопических дефектов и их влияния на изменение напряженно-деформированного состояния. Это предполагает дополнение набора переменных (напряжений, деформаций) параметрами, характеризующими такие дефекты. Заметим, что в силу неодноосности напряженного состояния в приконтурном породном массиве, обусловленном перераспределением горного давления, и существенного различия прочностных свойств соляных пород при сжатии и растяжении основными носителями разрушения являются дефекты двух типов: микротрещины и микросдвиги. На микроскопическом уровне зародыши трещин, образуемых путем микросдвига, связывают с достижением в плоскости скольжения критической плотности дислокаций, а по механизму микроотрыва - с достижением в элементе объема, претерпевшего предельную пластическую деформацию, критической плотности дисклинаций.
Местами наиболее вероятного трещинообразования (и появлению трещины моды I) являются локальные области с растягивающими главными напряжениями, возникающими вследствие перераспределения напряжений в породном массиве при ведении горных работ.
Микросдвиги зарождаются в областях при превышении главным сдвиговым напряжением сил сцепления. Пространственная ориентация сдвиговых процессов определяется соотношением (и знаками) горизонтальных и вертикальных составляющих напряжений. Эти процессы чувствительны не только к уровню нагрузок, но и к продолжительности их действия. Локализация микросдвигов в определенных областях может приводить к локальной потере устойчивости выработки и к формированию сдвиговой макротрещины (трещины моды II).
Но и на стадии, предшествующей образованию макроскопической трещины, эволюция системы микросдвигов является одним из основных факторов, обуславливающих неупругое деформирование соляного породного массива в связи со спецификой напряженно-деформированного состояния - возможностью реализации значительных величин главных сдвиговых усилий.
Эволюция ансамбля микротрещин при стохастическом нагружении
Деформационное упрочнение отражает зависимость поведения материала от его механической истории и обычно связывается с постепенным снижением подвижности дислокаций [19,26,58].
Деформационное упрочнение на макроскопическом уровне исследовано [19] в двух типах лабораторных экспериментов: на ползучесть и с постоянной скоростью деформирования, в условиях, когда устанавливается динамическое равновесие между механизмами микроструктурного упрочнения и восстановления (размягчения материала). Полагается, что в таком случае достигается устойчивое состояние, соответствующее постоянной скорости ползучести.
Упрочнение материала во время неупругого деформирования относится к увеличению дислокационной плотности и, следовательно, уменьшению расстояния между дислокациями. Созданное сильное взаимодействие между ними и другими препятствиями приводит к увеличению внутренней энергии материала. Такое состояние структуры является неустойчивым, и при действии внешней нагрузки дислокации обычно преодолевают препятствия. Срабатывают механизмы восстановления, непосредственно или опосредованно термически активируемые. В результате формируется сложная структура, содержащая области высокой дислокационной плотности (твердые) и области низкой плотности (мягкие). Конкурирующее действие механизмов упрочнения и восстановления обусловливает характер деформирования соляной горной породы.
Резкое изменение условий нагружения в описанных выше экспериментах приводит к характерному перелому на кривых а - є и є - t [19]. Поведение материала в этом случае отличается от характера деформирования без стадии предварительного нагружения. Так, в экспериментах на ползучесть резкое увеличение напряжения с с/ до а/; приводит к скорости деформации, отличающейся от скорости деформирования в результате приложения только напряжения а . Однако, при приближении устойчивого состояния это различие в поведении стремится исчезнуть. Для описания этого типа наследственного эффекта иногда используется термин «затухание памяти» [19]. Наследственные эффекты включают так называемое взаимодействие пластичности и ползучести, влияние скорости нагружения на ползучесть и, таким образом отражают воздействие полной термомеханической истории материала на его последующее поведение.
Численное моделирование эффектов реологического поведения соляной горной породы проводилось на основании уравнений состояния в виде (2.24), (2.25). Учитывая кинематическую связь # = е - 6/G (G - модуль Юнга), соотношения (2.24), (2.25) можно преобразовать к виду: Результаты численного исследования системы уравнений (2.29) - (2.30) при постоянной скорости деформирования и резком изменении ее в некоторый момент времени представлены на рис. 2.3 и 2.7. Наблюдается качественное и количественное соответствие кривых ст - Б, построенных по результатам расчета, и полученных по данным лабораторных экспериментов [19,20]. В этом случае наиболее отчетливо проявляется эффект «затухания памяти»: с течением времени (с увеличением деформаций) и приближением устойчивого состояния материал «забывает» первоначальные условия деформирования. Численное исследование деформационного поведения соляной горной породы в условиях ползучести при ступенчатом изменении нагрузки проводилось на основании определяющих соотношений (2.26), (2.27). Полученные кривые ползучести (рис.2.4, 2.5, 2.6) при заданных схемах нагружения качественно и количественно соответствуют полученным в экспериментах [19,20]. При резком изменении напряжения на характере деформирования материала сказывается эффект упрочнения, обусловленный предварительным нагружением. После быстрого уменьшения приложенного напряжения ползучесть как бы полностью приостанавливается (нулевая скорость ползучести) на некоторый период времени, в течение которого внутреннее напряжение в материале уменьшается, чтобы приспособиться к новому приложенному напряжению [26,58]. В дальнейшем скорость деформации стремится достигнуть значения, соответствующего уменьшенному напряжению. Необходимо отметить, что реакция материала на уменьшение давления зависит от Да (изменения напряжения) и от величины достигнутого до этого момента упрочнения, т.е. от всей предыстории. Исследование поведения геоматериала после снижения нагрузки является важным с практической точки зрения, так как ведение горных работ вызывает вокруг подземных емкостей перераспределение напряжений, что порождает в массиве перемещающуюся волну напряжений, на фронте которой происходит их возрастание, а на задней части - уменьшение.
Предложенная модель в рамках единого подхода описывает основные эффекты реологического поведения соляной горной породы, в частности, деформационное упрочнение и эффекты наследственного типа, и позволяет оценивать состояние соляного породного массива при его необратимом деформировании под техногенным воздействием, разрабатывать технологические способы управления таким воздействием.
Анализ длительной устойчивости и надежности подземных сооружений требует разработки адекватных модельных представлений о развитии во времени поврежденности в массиве горных пород.
Многоосное нагружение хрупких и квазихрупких материалов (особенно в присутствии сжимающей компоненты) приводит к сложному процессу эволюции поврежденности, образованию и развитию макроскопической трещины. Последняя характеризуется ветвлением, криволинейным распространением, что делает необходимым построение моделей со смешанными модами разрушения [72]. Возможность описания такого многомодового поведения в терминах континуальной механики поврежденности ( КМП ) связывается с переходом от скалярного параметра поврежденности к параметру более высокого тензорного ранга [63,73,74]. Традиционный подход КМП к многомодовой поврежденности формулируется как экстраполяция идеи об эффективном напряжении, первоначально использованным Качановым для одноосной ползучести [75], на многоосные состояния. Другой путь, развитый для хрупкого разрушения при сжатии, -приближение одномодовой поврежденности: описание большого количества трещин, вызванных сжимающим напряжением [76] в анализе образования сдвиговых дефектов. Многочисленные экспериментальные исследования, особенно в механике горных пород, ярко отражают отличие в реализации различных мод разрушения/повреждения [29,77,78]. Это объясняется различными микро- и мезомеханизмами, определяющими эти процессы. Особенности механизмов взаимодействия обуславливают нетривиальное развитие поврежденности (например, катакластический характер разрушения соляных горных пород ).
Реализация МКЭ для исследования напряженно-деформированного состояния массива горных пород со сферической емкостью
В предыдущей главе эволюция ансамблей микродефектов описывалась, пренебрегая шумами, т.е. влиянием флуктуации на систему. Однако, в критических точках, т.е. там, где в системе происходят макроскопические изменения, флуктуации играют решающую роль [88]. Фундаментальные законы теоретической физики позволяют утверждать, что там, где происходит диссипация, должны быть и флуктуации. Следовательно, уравнения для параметров порядка необходимо решать при адекватном включении флуктуации или другими словами стохастичности. Стохастическое поведение присуще большому классу физических систем [89]. Таким образом, теория флуктуации оказывается неотъемлемой частью неравновесной статистической механики.
Временная эволюция синергетических систем зависит от причин, не предсказуемых с абсолютной точностью. Эти причины можно учесть, если ввести в кинетическое уравнение «флуктуирующие» силы f(t), имеея в виду аддитивный шум. Таким образом можно описать воздействие на систему стохастически изменяющейся внешней нагрузки (флуктуационный вклад обусловлен вариацией горного давления).
В реальной ситуации эволюция системы дефектов определяется как детерминированными, так и случайными факторами (силами). Исходя из этого, общий вид кинетического уравнения накопления повреждений для одноосного случая в приближении суперпозиции детерминированной и стохастической нагрузок может быть записан в виде (считая флуктуации внешней нагрузки маломасштабными) [82]: где Q - параметр поврежденности; а - макроскопическое напряжение; K(G,Q,...) - детерминированная часть кинетического уравнения, описывающая взаимодействие дефектов и влияние детерминированной части внешней нагрузки на эволюцию поврежденности; F(t) - стохастическая часть внешнего воздействия.
Уравнение (3.1) является уравнением ланжевеновского типа, где К -нелинейная функция, a F описывает случайную силу, предполагаемую в большинстве случаев 8-коррелированной во времени и распределенной по Гауссу. Для запостулированного случая малых флуктуации можно использовать приближение дельта-коррелированного белого шума, предполагающего, что F(t) обладает следующими свойствами: Здесь означает оператор усреднения по ансамблю реализаций; t и t - моменты времени; Q - коррелятор мощности белого шума, определяет интенсивность флуктуации (предельному случаю Q — 0 отвечает детерминированное поведение системы, которое было исследовано в предыдущей главе); 8 - символ Кронекера, при переходе к непрерывному случаю заменяется на -функцию Дирака. Будем считать, что влияние параметра поврежденности на стохастическое воздействие незначительно и, следовательно, Q - константа. Это допущение, в известной мере, является традиционным и было принято, например, в [90] для стохастических динамических моделей континуальной механики повреждений. В этом случае можно использовать хорошо изученные методы стохастической механики [88,91] и получить уравнение Фоккера-Планка, эквивалентное кинетическому уравнению (3.1). Учитывая, что F(t) обладает свойствами (3.2) и (3.3) и имеет гауссово распределение, уравнение Фоккера-Планка для плотности вероятности f, соответствующее (3.1) записывается в виде: Здесь, f=f(Q,t). Физический смысл функции f(Qt) заключается в том, что f(Q,t)dQ дает вероятность нахождения системы в момент времени t в интервале (П, Ґ2+СІҐ2). При этом, плотность вероятности обладает следующими свойствами: Таким образом, уравнение Фоккера-Планка описывает изменение с течением времени распределения вероятностей для системы. Исследование эволюции ансамблей дефектов при стохастическом нагружении проводится с использованием двух параметров поврежденности для дефектов моды I и П. Таким образом, в кинетических уравнениях будет соответственно, Q — р, s. Следующим шагом является анализ стационарных решений уравнения Фоккера-Планка, которое позволяет исследовать поведение ансамблей дефектов. Перед этим необходимо провести описание (или постулирование) детерминированной части кинетического уравнения. Наиболее простой путь - использовать хорошо известные подходы, такие как правило суммирования для накопления поврежденности и т.д. Но реальное поведение таких систем обычно является более сложным и, следовательно, может быть некорректно описано в терминах линейного подхода. Порядок нелинейности может быть оценен с использованием статистической термодинамики [79].
Ансамбль микротрещин на макроскопическом уровне описывается в терминах 1-й моды поврежденности параметром р. К(сг,П,...), представленное полиномом третьей степени в виде [82]: описывает все характерные реакции твердого тела на накопление повреждений (образование и рост микротрещин моды I)). Линейность слагаемого с напряжением и в уравнении (3.6) принята для получения количественных результатов по эволюции повреждений. Тем не менее, кинетическое уравнение (3.1) с представлением К( у,р) в форме (3.6) описывает нелинейные эффекты нагружения: после подстановки уравнения (3.6) в (3.1), последнее становится квазилинейным (р зависит от а, а К(сг,р) является полиномом третьей степени по отношению к р). Для более адекватного описания реальных материалов и типов нагружения в уравнении (3.6) могут быть записаны нелинейные (по отношению к напряжению) члены. Однако, это усложняет анализ, а результаты могут быть получены аналогичные обсуждаемым ниже. Различие знаков кинетических коэффициентов А, В и С (D является положительной величиной) позволяет описывать процессы упрочнения и размягчения, связанные с накоплением повреждений. Эти коэффициенты могут быть получены из обработки механических и структурных экспериментальных данных, например, из кривых ползучести и/или активного нагружения и соответствующих кривых накопления повреждений [69].
