Математическое моделирование многомерных электромагнитных полей в неоднородных средах Галанин, Михаил Павлович

rot Н - -г^ St = 4 я о- Е (6)

Откетим, что при этом третье уравнение (1) из.'(5), вообще говоря, не следует. Оно будет получаться КЗ (5) лишь при постоянной яо пространству электропроводности о^- ш 0.

Всюду далее при изучении электромагнитных процессов в средах без движения будет рассматриваться система уравнений в виде (5).

Предполагается, что в начальный момент времени

Е = Н = 0 (7)

На границе области 8G = Г. и Г, заданы следующие граничные условия :

^Ет I г б Г, = *т <' » I г е Г, ⁽⁸>

Нт|гГ₂ = *т<'. *» I г Г₂ Индексы т или -л" указывает на тангенциальную или нормальную (соответственно) компоненту поля. Из второго уравнения (5) следует, что на Г₃ задано

( rot Е )_т I = *_(М> I = - і|т (г,1) I (9) ^т | г є Г₂ ^х | г Г₂ ^л I г Г₂

2. Для большого числа задач технической электродинамики, которые и рассматривается в настоящей работе, условие (4) выполнено. В то же время в типичной ситуации, когда наряду с хорошо проводящими ток подобластями в рассматриваемой области присутствуют непроводящие части, условие (3) в последних не выполняется. При этом оценки для решения во всей области, следующие из неравенств (3), (4), вообще говоря, перестают быть справедливыми.

Будем рассматривать случай таких систем и процессов, что выполнено (4). В рассматриваемой области G могут содержаться проводники и диэлектрики. При этом в проводящей подобласти выполнено и условие (3) применимости квазистационарного приближения. Будем применять для описания электромагнитных полей систему уравнений Максвелла в квазистационарном приближении.

Целесообразность такого подхода диктуется следующими соображениями. Неравенство (4) означает, что электромагнитная волна проходит характерный размер системы за время, существенно меньшее характерного времени рассматриваемого процесса. Попытка численного решения полной системы уравнений максвелла приведет в этом случае к необходимости использовать очень малый шаг сетки по времени, чтобы описать движение электромагнитной волны в диэлектрике. Описание же полей в диэлектрике с помощью полной системы уравнений Максвелла, а в проводнике - системой уравнений Максвелла в кваэистационарном приближении, приведет к существенно неоднородному вычислительному алгоритму. Для широкого круга рассматриваемых задач основной интерес представляют поля в проводящей подобласти. Поэтому необходимо иметь модель, позволяющую наиболее простым образом, не усложняя решение всей задача, учесть наличие диэлектрика. Желательно, чтобы эта модель была однородной по различным подобластям и давала физически содержательное решение. Опуская ток смешения, получаем из гиперболической системы уравнении систему параболико (в проводящей части) - эллиптического (в непроводящей части) типа. При этом избавляемся и от сингулярно возмущенной (при (4)) задачи (6).

Такой подход не лишен и недостатков. Главный состоит в потере единственности решения в области диэлектрика. Заранее также неясно, насколько сильно при этом исказятся поля в проводнике по сравнении с. полной моделью.

3. Целью настоящей работы является разработка и обоснование однородных методов математического моделирования пространственно многомерных квазистационарных (или ЫГД) электромагнитных полей и сопутствующих явлений в средах с резко неоднородными электрофизическими свойствами. В основном это будут диэлектрики и проводники, в т.ч. идеальные проводники. В средах при этом возможно движение, а уравнения Максвелла внутри области могут решаться совместно с электротехническими уравнениями внешней цепи. Целью является также моделирование конкретных физических процессов для пространственных задач различной размерности, включая трехмерный. Изложение будет вестись на примере электродинамических ускорителей проводящих тел.

Известны преимущества однородных вычислительных алгоритмов [А.И.Тихонов, А.А.Самарский, Ю.П.Попов]. Такие алгоритмы позволяют вести расчет во всей временной или пространственной области по одним и тем же соотношениям, не выделяя явно какие - либо особенности решения или границы подобластей, которые могут возникать и изменяться во времени, тем самым избегая процедуры сиивки решений. При этом происходит экономия памяти используемой ЭВМ и ускорение счета за счет уменьшения числа действий из - за отсутствия необходимости явного выделения границ раздела.

Такая модель нужна и для решения ряда задач магнитной гидродинамики, в которых положение границ непроводящих подобластей может бьпъ заранее неизвестно. В пространственно одномерном случае существует эффективный численный алгоритм - потоковая прогонка, позволяющий вести расчет однородным образом [Л.М.Дегтярев, А.П.Фаворский]. Для пространственно многомерных задач такие методы необходимо развивать. Они представлены в данной работе.

Использование квазистационарного приближения во всей области приводит к неединственности определения электрического поля в диэлектрике. Если основной интерес представляет решение в проводящей части, то такая неоднозначность не является главной с точки зрения ее влияния на решение в проводнике. Поля в проводнике определяются единственным образом. Единственна и энергия в системе, поскольку магнитное поле единственно всюду, а энергия электрического пренебрежимо мала. Но с точки зрения корректности постановки задачи и воз-

мокности численного нахождения решения единственность необходима. Во - первых, ясно, что с физической точки зрения единственность есть, модель должна соответствовать физике явления. Во - вторых, для численного расчета оператор задачи должен быть положительно определен. В противном случае необходимо использовать специальные методы решения, которые опять - таки должны выделить единственное решение. Тем самым ясна необходимость модели, позволяющей единственным образом определять электромагнитные поля в квазистационарном приближении.

Б диссертации разработана такая модель. Для решения задач без движения ее можно записать в терминах Е. Она состоит из уравнения

(4я a E)_t = - rot rot Е + в (о-) grad div E в С * (О, Т₀) где используется вспомогательная функция

в (х) Л⁰' ^х> . 11. х = О а также условий в начальный момент времени и на границе, включая дополнительные, которых не было в исходной задаче.

В диссертации показано, что задача для Е, содержащая уравнение с дополнительным слагаемым, является корректно поставленной. Т. е. решение такой задачи единственно и устойчиво по отношению к изменениям входных данных. Ухазан алгоритм построения решения. Получены оценки, свидетельствующие о близости решения такой задачи и решения полней системы (1) при выполнении (3), (4). Тек самым ревен вопрос обоснования применимости кваэистационарного приближения для описания электромагнитных полей в решаемых задачах.

4. При описании электромагнитных явлений во многих прикладных задачах существенным элементом являются внешние электричесхие цепи. С точки зрения формулировки математической модели учет такой цепи состоит в присоединении к основной системе уравнений дополнительных соотношений - электротехнических уравнений цепи. Эти уравнения, вытекающие из законов Кирхгофа, связывают значения разрядного тоха в цепи, напряжения на емкости и напряхенностей электромагнитного поля на некоторых участках границы области, в которой ищется решение исходной задачи. Разрядный ток в цепи при этом'зависит не только от ее электротехнических параметров, но определяется и электромагнитными процессами во всей системе.

Попытки упрощенно решить вопрос учета электротехнической цепи, задавая, например, экспериментальный закон изменения разрядного тока, оказываются, вообще говоря, несостоятельными, математическая мо-

деяь при этой перестает быть саносогласованноЯ. Это может вести, в частности, к нарушение баланса энергии в системе (см. [А. А. Самарский, Ю. П. Попов]).

Для пространственно одномерного случая вопросы построения численного алгоритма внешней цепи совместно с системой уравнений магнитной гидродинамики рассмотрены в указанной работе. В кастожцей работе эти вопросы обобщены на случай двух и трех измерений. При этом оказалось, что процедура одновременного описания внешности трехмерного ускорителя путем использования сосредоточенных характеристик (элементов внешней цепи), а внутренности - путем использования трехмерной системы уравнений Максвелла для распределенных величин, - является противоречивой. Выражается это физически в необязательности выполнения закона сохранения энергии в системе ускоритель плюс цепь, а на язьясе уравнений - в несамосспрязенности соответствующего оператора.

В диссертации сфорыулирована и реализована модель, которая позволяет согласованно описать процессы во внешней электрической цепи (с использованием электротехнических уравнений) и трехмерные электромагнитные поля внутри ускорителя (с использованием системы уравнения Максвелла в кваэистационарном приближении). При этом в модели автоматически выполнен закон сохранения энергии, а соответствувадей оператор является самосопряженным.

5. Рассмотрение поставленных визе вопросов для случая движения проводников в системе позволяет расширить исследование на широкий круг новых явлений. В соответствии с общим подходом будем описывать электромагнитные поля в этом случае системой уравнений Максвелла в ыТД приближении :

rot Н = 4 п а Е (10)

rot Е - rot [ц * Н] = - |

div Н = 0 , j = о- Е

От (5) система уравнений отличается наличием скосового члена [и * Н] во втором уравнении. В (10) и - скорость движения вещества, Е -напряженность электрического поля в системе координат, в которой среда покоится, Н от системы координат не зависит. Для системы уравнений (10), как нетрудно видеть, также справедливо утверждение о неединственности поля Е в диэлектрической части области. Однако (10) существенно отличается от (5) : из системы (5) можно исклочить Н и получить одно уравнение второго порядка относительно Е. В случае

10) такую процедуру осуществить не удается. Стандартный путь решетя (10) в магнитной гидродинамике состоит в исключении Е путем вы->ажения напряженности электрического поля через rot Н из первого фавнения и подстановки во второе уравнение. При обращении сг в непроводящей части в нуль этот путь уже неприменим.

Развитие методов однородного моделирования полей в областях с >езко неоднородными электрофизическими свойствами при наличии движе-шя очевидным образом может дать новый метод решения задачи (5), поскольку при и в 0 система (10) переходит в (5). В настоящей работе предложена однородная модель для расчета полей во всей исследуемой >бласти и при наличии двихения в системе. При этом описание ведется і-терминах векторного потенциала А.

Основное уравнение модели имеет вид :

4 я «г {[u . rot А] - + (v, 7) А) =

rot rot А - в (о^-) grad div А : той же функцией в (с), что и раньше. Это уравнение дополняется на-іальшлш и граничными данными, имеющими вид, сходный со случаем не-юдвижных проводников, в котором описание полей может производиться і терминах Е.

6. Все рассмотренные в диссертации модели доведены до уровня фограыиной реализации и получения численных результатов. Численно >ешены задачи различной пространственной размерности, начиная от іуль - до трехмерной. Разработаны, обоснованы и реализованы вычислительные алгоритмы, полученные различным образом : конечноразностные і конечноэлекентные.

Конечноразностные схемы основаны на использовании пространств «точных функций, разностных аналогов основных операторов векторного шализа, а также аналогов скалярного и векторного произведений, тра-(иционных для алгоритмов, развитых на основе операторного подхояа А.А.Самарский, В.Ф.Тишкин, А. П.Фаворский]. На их базе построены и >еализованы полностью консервативные разностные схемы для задач как : движением, так и без него.

Подробно исследованы разностные схемы для задач без движения с гчетом наличия диэлектриков, изучена их устойчивость по начальным (энным. Оценена нижняя граница спектра конечноразностного оператора (ля решения на новом временном слое, доказана ее строгая положитель-шсть. Это потребовало построения разложений используемых пространств в прямую сумму, аналогичную разложению пространства L² в кон-

тинуальном случае. Доказательство строгой положительности оператора основано на использовании конечноразносткых аналогов неравенств вложения для следов функций из WL Исследование проблемы сеточных следов для двумерного случая было выполнено ранее. Для трехмерного случая неравенства для следов сеточных функций были получены автором и приведены в настоящей диссертации. Они имеют значение для широкого класса конечноразностных схем для задач с неоднородными граничными условиями.

Для изучения возникающих особенностей решения и численного ре- . шения задач в областях произвольной формы разработаны конечноэле-ментные схемы. Рассмотрен пространственно дзумерный вариант.

Для детального изучения особенностей решения стационарных задач в рассматриваекьи областях разработаны, обоснованы и реализованы схемы, основанные на методе Галеркина - Петрова, с явным выделением возникающих особенностей. Расчеты показали их высокую эффективность.

Изучена задача о переходе металлического электрического контакта двиаущихся проводящих тел в контакт иной природы, сопровождаемый фазовыми переходами. Интерес представляет рассмотрение тел произвольной формы. Для этого разработана полностью консервативная конеч-иоэлементная схема на треугольных сетках, основанная на комбинации методоз Галеркина и Галеркина - Петрова. Проведена монотонизация ре-пения, необходимость которой вызвана имеющимися конвективными членами. Разработана нелинейная схема с ограничением искусственной диффузии, повышающая порядок точности схемы. Проведены циклы расчетов явления трансформации контакта.

7. В качестве приложений разрабатываекых моделей и алгоритмов рассматривается электродинамический ускоритель макротел типа рельсо-трон. Исследование осуществляется на примере рельсотрска, соответствующего реально используемым устройствам. Такой ускоритель содеряит направляющие электроды_ - рельсы, по которым протекает ток. Рельсы замкнуты ускоряемым проводящим телом - якорем. Взаимодействие тока, текущего через якорь, с магнитным полем в ускорителе создает силу Лоренца, выталкивающего якорь из ствола ускорителя. На входе находится электрическая цепь, через которую производится энергопитание рельсотрона. Необходимость в решении задач моделирования электродинамических ускорителей возникает из потребностей науки и техники. В частности, такие устройства позволяют получить уникальные скорости макротел, превышающие скорости, даваемые обычными пороховыми ускорителями, что дает возможность создавать новые приборы и устройства

для исследования поведения вещества при сверхвысоких скоростях, давленнях я т. п.

Существует значительное число работ, посвященных моделированию процессов, протехаоаих в электродинамических ускорителях. Наиболее распространенным является упрощенный способ моделирования, при кото-, ром ускоритель заменяется эквивалентной электрической цепью с последующим использованием уравнений цепи. К иену примыкает работы (см., например, [А.Д.Подольцев]), в которых устройство разбивается либо на слои с параллельными токами, либо на набор токовых контуров. Они заменяются элементами цепи, после чего решаются уравнения для цепи. В ряде работ используются в явном виде уравнения максвелла, ускорители рассматриваются в пространственно двумерной геометрии. Для моделирования используется область, представляющая собой продольное или поперечное сечение редьсотрона. Иначе обстоит дело с расчетами в пространственно трехмерном случае. Так, в работе [S. P. Atkison] описывается программа для трехмерных расчетов. Однако на момент написания работы эта программа находилась в стадии развития и позволяла проао-дить лиш» расчеты в двумерной геометрии. При этом в расчетах не учитывалось двикение и не было вычисления температуры. Отметим, что в работах, посвященных. собственно двумерным задачам, такие расчеты, как правило, велись. Укахем также работу [Э.М.Дробышевский, В.С.Юферев), где с помощью векторного потенциала моделируются электромагнитные поля в случае двумерной геометрии, соответствующей поперечному сечению рассматриваемого ускорителя. При этом рельсы (по длине канала ускорителя) считаются бесконечно длинными. Такая ситуация является типичной для работ по численному моделированию электродинамических ускорителей. Сложность изучаемых процессов заставляет, как правило, делать существенные предположения, упрощающие модель. Это либо представление ускорителя в виде эквивалентной электротехнической цепи, либо задание извне таких важных характеристик, как протекающий ток, скорость движения, либо предположения о структуре ПОЛЯ, либо отсутствие движения и т.п., нарушающие саносогласованность задачи.

Численное моделирование рассматриваемых процессов с движением в трехмерной геометрии началось сравнительно недавно. В последнее время появился пакет MEGA для расчета электродинамических процессов путем решения системы уравнений максвелла {D.Rodger], давший толчок работам с его применением.

Разработанное автором программное обеспечение отличается от

указанных главным образом использованием однородного описания полей по подобластям с разным типом электропроводности. В пакете MEGA [D'Rodger] в области диэлектрика поля рассчитывается через скалярный магнитный потенциал, а в проводнике - через векторный. В данной работе поля всюду рассчитываются через векторный магнитный потенциал. Другие отличия состоят в различных способах калибровки векторного потенциала, выборе способа дискретного описания процессов и численного моделирования.

В диссертации представлены результаты расчетов процесса электромагнитного ускорения в приближениях различной размерности : от нуль - до трехмерной. В частности, систематические расчеты трехмерных задач позволили исследовать временную зависимость основной характеристики реяьсотрона - погонной индуктивности (отношение действующей силы Лоренца к квадрату протекавшего тока), а также оценить влияние параметров устройства и внешних данных на эффективность разгона. Серии двумерных расчетов дали возможность изучить явление трансформации металлического контакта в контакт иной природы. Сравнены модели различной сложности, применяемые для описания одного процесса и т.д.