Введение к работе
Актуальность темы исследования. Многие современные технологические процессы связаны с нагревом материалов, элементов конструкций, деталей и т.п. При этом повышение производительности технологического процесса требует выбора оптимальных режимов нагрева.
Проблемы оптимизации процессов нагрева исследовались в работах Андреева Ю.Н., Бутковского А.Г., Васильева Ф.П., Вигака В.М., Горбаткова С.А., Егорова A.M., Егорова Ю.В., Плотникова В.И., Рапопорта Э.Я., Сиразетдинова Т.К., Федоренко Р.П., в том числе проблемы оптимизации процессов нагрева с фазовыми ограничениями изучались в работах Андреева Ю.Н., Бутковского А.Г., Васильева Ф.П., Вигака В.М., Рапопорта Э.Я., Федоренко Р.П., Шулъца Д. и др. Вместе с тем задачи оптимизации процессов нагрева с учетом различных технологических (фазовых) ограничений изучены значительно меньше, несмотря на их практическую значимость. Имеющиеся в научной литературе работы по оптимизации процессов нагрева с фазовыми ограничениями либо основаны на общих, достаточно трудоемких алгоритмах решения задач с фазовыми ограничениями таких, как градиентные методы, методы штрафных функций и носят характер вычислительного эксперимента, либо позволяют находить решение задачи лишь в частных случаях при жестких ограничениях на оптимальное управление. В тех же работах, в которых на поведение оптимального управления априорно никаких ограничений не накладывается (кроме естественных требований ограниченности и измеримости), не разработаны методы решения конечномерных дифференциальных задач оптимального управления с фазовыми ограничениями, которыми аппроксимируются исходные бесконечномерные задачи. Не исследованы также вопросы сходимости конечномерных аппроксимаций по состоянию, по функционалу и по управлениям.
Актуальными представляются также проблемы разработки мате-матичеких моделей, более адекватно отражающих реальные физические процессы нагрева с ограничениями на термонапряжения, так как в научной литературе эти ограничения учитываются в упрощен-
ной форме, как правило, через разность минимальной и средней температуры без учета нелинейной зависимости пределов прочности и текучести от температуры и свойств нагреваемого материала.
Целью настоящей работы является построение новых математических моделей задач оптимального нагрева а фазовыми ограничениями, разработка, математическое обоснование и компьютерная апробация новых численных методов их решения.
Научная новизна работы:
разработана единая концепция поиска оптимального управления в широком круге задач оптимизации, описываемых уравнениями теплопроводности с линейными и нелинейными фазовыми ограничениями;
предложены новые математические модели зад^ оптимального нагрева с ограничениями на термонапряжения, учитывающие свойства нагреваемого материала и нелинейную зависімость прочностных характеристик от температуры;
предложен новый алгоритм решения класса задач оптимального быстродействия, описываемых линейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными и нэлинейными ограничениями на фазовые переменные и управление. Доказана теорема о сходимости последовательностей, построенных согласно предложенному алгоритму. Выполнены вычислительные эксгерименты, подтвердившие эффективную работу алгоритма как при наличии так и при отсутствии фазовых ограничений. В последнем случае на контрольных примерах проведено сравнение с алгоритмами других авторов, из которого следует, что предложенный алгорити менеее трудоемкий и обладает более высокой скоростью сходимости;
разработана новая методика доказательства сходимости конечномерных аппроксимаций в задачах оптимального у: травления с фазовыми ограничениями, на основе которой доказаны теоремы о сходимости конечномерных приближений по функционалам и по управлениям в одномерных и двумерных задачах нагрева с лине:йшми и нелинейными фазовыми ограничениями;
получены конструктивные оценки погрешностд аппроксимации по состоянию и оценки точности выполнения фазовых ограничений, позволяющие в различных задачах нагрева с фазэвыми ограничениями априорно указать необходимое число членов ряда Фурье для ап-
проксимэции решения бесконечномерной задачи конечномерной с заданной точностью;
предложен новый численно-аналитический метод решения двумерных задач оптимального нагрева тел конечных размеров с линейными и нелинейными ограничениями на термонапряжения, на наибольшую и среднеинтегральную температуры;
предложен и апробирован на ЭВМ новый алгоритм решения задач параметрической оптимизации процессов нагрева с учетом нелинейных фазовых ограничений и нелинейной зависимости всех входящих в уравнения коэффициентов от температуры. Указан способ построения двухсторонних оценок времени оптимального быстродействия в нелинейной задаче одномерного. нагрева с учетом закона Стефана-Больцм'ана теплообмена на границе и способ проверки локальной оптимальности экстремальных управлений.
Общая методика исследований базируется на математической теории оптимальных процессов, теории численных методов, выпуклого анализа, механики деформируемого твердого тела, теории дифференциальных уравнений и функционального анализа.
Практическая ценность. Предложенные в работе методы поиска оптимального управления в задачах нагрева с фазовыми ограничениями, а также комплекс разработанных программ могут найти широкое применение в промышленности при решении различных задач, связанных с оптимизацией процессов нагрева.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г.Уфа, 1996), на III Минском международном форуме по тепло- и массообмену (г.Минск, 1996), на международных конференциях NUMDIF-6, NUlffiIF-Т (г.Галле, Германия, 1992, 1994 гг.), "Optimization of finite element approximations" (г.Санкт-Петербург, 1995г.), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г.Саранск, 1994г.), на Международной конференции по математическому моделированию (г.Якутск, 1994г.), наї 8-ой конференции СНГ по качественной теории дифференциальных уравнении (г.Самарканд, 1992г.), па Б-ой международной конференции "Сверхпластичность неорганических материалов" (г.Уфа, 1992г.), на всесоюной конференции "Интегрированные системы авто-
матизированного проектирования" (г.Москва, 1989г.), на 4-ой Всесоюзной конференции "Сверхпластичность материалов" (г.Уфа, 1989г.), на Всесоюзном симпозиуме по теории приближения функций (г.Уфа, 1987г.), на Ш-ей Всесоюзной конференции по оптимальному управлению в механических системах (г.Киов, 1979г.) и обсуждались на семинарах Ф.П.Васильева на' факультете ВМиК МГУ, на семинарах Н.Е.Кирина на факультете ПМ-ПУ в СПбГУ, на семинарах в Институте математики с ВЦ РАН (г.Уфа), в Башгосуниверсите-те, в Стерлитамакском государственном педагогическом институте.
Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах (1-32).
Структура и объеи работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы, содержащего 172 наименования. Объем работы составляет 315 страниц машинописного текста, включая рисунки и таблицы.
