Введение к работе
з
Актуальность темы. Финансовая математика испытывает сейчас период интенсивного развития. Чтобы ответить на вопрос, предсказуемо ли движение цен на финансовом рынке, было проведено множество исследований. Они принесли парадоксальный и неожиданный результат: скорее всего цены изменяются совершенно случайно, подобно молекулам газа в их хаотическом броуновском движении.
Башелье еще в 1900г. математически определил понятие «броуновского движения» и использовал его в качестве модели динамики цен акций, дал формулу инвестиционной стоимости опциона. Основной недостаток модели Башелье, заключавшийся в возможной отрицательности цен акций в 1965 г. был устранен известным экономистом Самюэлсоном, предложившим для этих цен геометрическое броуновское движение. Ныне эта модель носит имя Блэка и Шоулса, которые в 1973 г. получили точные формулы для расчета справедливой цены и хеджирующих стратегий для опционов европейского типа.
Принимая во внимание то, что на практике цены'акций в любой момент времени либо поднимаются вверх, либо опускаются вниз, Кокс, Росс и Рубинштейн предложили считать эти изменения дискретными и ввели в рассмотрение биномиальную модель финансового рынка. Ими было показано, что рассматриваемая биномиальная модель является дискретным аналогом геометрического броуновского движения.
Эти ставшие классическими работы стали непосредственной базой для развития той части финансовой математики, которая связана с современным стохастическим анализом.
Что же касается биномиальной модели Кокса, Росса, Рубинштейна, то нельзя не согласиться с А.Н. Ширяевым, что она «играет в финансовой матема-
4 '''.'-..
тике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей - будучи весьма простой, эта модель дает возможность полного расчета многих финансовых характеристик, например, справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др.». Именно поэтому математики, занимающиеся исследованием финансового рынка, уделяют ей довольно большое внимание и на основе этой модели строят более сложные.
В реферируемой диссертации предлагается к рассмотрению модель (SB, <) -рынка типа Кокса, Росса, Рубинштейна относительно хааровского стохастического базиса в случае, когда акции подвержены жесткой скупке. Цель работы. Провести исследование (!@,<)-рынка типа Кокса, Росса, Рубинштейна для случая так называемой жесткой скупки акций относительно хааровского стохастического базиса. В частности, определить условия, при которых рынок полон и безарбитражеи, рассмотреть некоторые модели поведения стоимости акций, вычислить справедливую цену опциона Европейского типа, рассмотреть вопросы хеджирования в случае полного и безарбитражного рынка, провести статистические исследования.
Методика исследований. При решении перечисленных задач применяются методы и результаты стохастической финансовой математики, методы имитационного моделирования сложных систем, функционирующих в условиях действия случайных факторов, статистические методы обработки данных, методы оптимизации. Реализация на ЭВМ моделирующих алгоритмов выполнялась в среде офисного приложения Windows98, в частности, в среде VB5 for Excel. "
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость. Предложена новая модель (S3,J>) -рынка, которая может пониматься как «промежуточная» между моделями детерминированными и моделями, где стой-
5 иость рисковых активов описывается стохастическими уравнениями. Практически все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Что касается основных теорем финансовой математики, то новой является чисто алгебраическая методика их доказательств.
Работа носит теоретический характер. Однако ее результаты могут быть применены специалистами в области финансов, в частности, при изучении поведения рисковых активов подверженных скупке, в практических расчетах инвесторов. Основные положения работы могут найти применение в построении более сложных и усовершенствованных моделей финансовых рынков, в дальнейшем теоретическом продвижении концепции (!B,eS)-рынка, подверженного скупке акций.
Основные научные результаты. В рамках рассматриваемой модели решены следующие задачи:
-
доказана теорема о существовании (соответственно существовании и единственности) мартингальной меры для исследуемой модели;
-
получена формула для расчета справедливой цены опциона на покупку акции;
-
рассмотрены четыре модели поведения цены акции в некоторых частных случаях модели жесткой скупки акций;
-
получены формулы для нахождения хеджирующей стратегии в условиях полного и безарбитражного рынка;
-
для арбитражных рьгаков доказан ранговый критерий, определяющий условия, при которых также существуют хеджирующие стратегии;
-
предложен способ вычисления оценок параметров рассматриваемой модели.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (1998г.), Пятой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим ме-тодам(1998г.), III Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (1999г.), Шестой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (1999 г.), на семинаре кафедры исследования операций РГУ (рук. — доктор тех. наук, проф. Жак СВ.), на семинарах по мартингальным и аналитическим методам (РГСУ, рук. — проф. Г.И. Белявский), на научно-технических конференциях РГСУ.
Публикации. Результаты, полученные в диссертации, с разной степенью общности опубликованы в семи работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура її объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух
глав, 4 приложений, 2 таблиц и списка литературы (74 наименовшгая). Каждая
глава разбита на параграфы. Работа проиллюстрирована десятью рисунками и
изложена на 112 страницах. .„
