Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обратные задачи для моделей нестационарной химической кинетики 17
1.1. Математические модели нестационарной химической кинетики 19
1.2. Обратные задачи для некоторых моделей физико-химии 33
1.3.. Основные исследования по идентифициру емости моделей типа химической кинетики 44
1.4. Методы исключения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и в моделировании химической кинетики 59
Глава 2. Исключение переменных для моделей нестацио нарной химической кинетики общего вида 64
2.1. Формальная редуцируемость модели 66
2.2. Конструктивные алгоритмы исключения 75
2.2.1. Законы сохранения и измеримые функции концентраций 75
2.2.2. Метод результанта 85
2.2.3. Метод базисов Гребнера (алгоритм Бух-бергера) 92
2.2.4. Квазистационарность по части неизмеряемых переменных 105
Глава 3. Обратная задача 108
3.1. Разрешимость обратной задачи для системы определяющих уравнений 110
3.2. Определение числа решений обратной задачи . 120
Глава 4. Линейные системы 128
4.1. Аналитическое представление системы определяющих уравнений 130
4.2. Примеры проявления неединственности для некоторых конкретных систем 135
4.3. Некоторые классы мономолекулярных реакций . 141
Глава 5. Модели, линейные по промежуточным веществам . 148
5.1. Построение системы определяющих уравнений . 149
5.2. Модели Лотки-Вольтерра и Михаэлис-Ментен 154
Глава 6. Численное оценивание параметров системы определяющих уравнений 157
6.1. Переход от системы определяющих уравнений к нормальной системе уравнений 159
6.2. Интегральные методы оценивания. Метод модулирующих функций 172
6.3. MAPLE-реализация алгоритмов исключения 183
Заключение 195
Литература
- Основные исследования по идентифициру емости моделей типа химической кинетики
- Законы сохранения и измеримые функции концентраций
- Примеры проявления неединственности для некоторых конкретных систем
- Интегральные методы оценивания. Метод модулирующих функций
Введение к работе
Актуальность проблемы. Разнообразие задач, возникеющих при математическом моделировании кинетики сложных химических реакций, позволяет установить общность постановок со многими задачами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в прикладных областях, таких как автоматическое управление, теория систем, моделирование биомедицинских процессов и др. Типичной в этом смысле является задача определения параметров модели по кинетическим измерениям -обратная кинетическая задача.
Принципиальной трудностью при решении обратных задач химической кинетики является неединственность решения, связанная со структурой модели (структурная неидентифицируемость). Исследование сложных химических, нефтехимических, ферментативных реакций приводит, как правило, к моделям с большим количеством переменных, непосредственное измерение части из которых невозможно. Именно следствием этой недоинформативности измерений и становится неединственность решения обратной задачи химической кинетики, приводящая фактически к множественности моделей, описывающих процесс.
Поставленная и развитая в работах М.Г.Слинько, В.Г.Горского, С.И.Спивака, А.Г.Погорелова проблема неединственности решения обратной задачи химической кинетики привлекает все большее число исследователей и разнообразные методы исследования. Основной результат состоит в следующем: неединственность решения обратной задачи обусловлена инвариантностью измеряемых кинетических характеристик
относительно некоторых преобразований (дискретных или непрерывных) искомых параметров модели. В результате могут быть найдены не сами индивидуальные параметры, например, константы скоростей элементарных стадий, а некоторые параметрические функции, число независимых среди которых меньше или равно числа искомых параметров.
Развитые методы определения числа и вида параметрических функций эффективны, как правило, для случая квазистационарного протекания реакций. Неизмеряемые концентрации определяются из системы алгебарических уравнений. Методы исключения неизмеряемых концентраций для подобного рода моделей исследуются в работах В.И.Быкова, Г.С.Яблонского, М.З.Лазмана, В.А.Евстигнеева, Л.А.Айзенберга. Возникает проблема обобщения на случай нестационарного протекания процесса. Один из путей для этого состоит в разработке методов исключения неизмеряемых концентраций из системы дифференциальных уравнений химической кинетики и последующем анализе полученных зависимостей - системы определяющих уравнений. Такой подход позволяет получить явную связь кинетической модели и параметрических функций и существенно упростить задачу выделения в них базиса независимых. Более того, явные зависимости дают возможность численного определения параметрических функций.
Цель работы. Разработка методов исключения концентраций неизмеряемах веществ в моделях нестационарной химической кинетики. Создание конструктивных алгоритмов определения числа и вида незЕшисимых параметрических функций кинетических параметров, допускающих однозначное оценивание, полное
исследование обратной задачи. Численное определение параметрических функций и параметров модели. Научная новизна.
-
Создана общая методология применения методов исключения для исследования и решения обратных задач нестационарной химической кинетики.
-
Построен и обоснован алгоритм исключения неязмеряемых концентраций в моделях нестационарной химической кинетики -формальная редукция к системе определяющих уравнений.
3. Разработаны конструктивные алгоритмы исключения,
основанные на методах компьютерной алгебры (метод результанта,
базисов Гребнера).
-
Доказана эквивалентность обратных задач для исходной и редуцированной систем уравнений.
-
Для линейных моделей нестационарной химической кинетики (все реакции идут по первому порядку) получена общая формула для явного вида системы определяющих уравнений.
-
Для моделей, линейных по неизмеряемым концентрациям (реакции первого порядка по неизмеряемым веществам) построен общий алгоритм исключения.
-
Сформулированы и доказаны теоремы о разрешимости определяющих уравнений относительно независимых параметрических функций кинетических констант.
-
Предложен численный метод оценивания параметрических функций из системы определяющих уравнений.
Практическая значимость. Разработанные методы становятся основой априорного анализа информативности кинетических
измерений в задачах идентификации механизмов сложных химических реакций. На их основе возможно построение алгоритмов анализа уровня сложности кинетических моделей, необходимого и для описания реально доступных кинетических .измерений.
Алгоритмы исключения стали основой комплекса программ в системах аналитических вычислений анализа кинетических измерений сложных химических реакций.
Разработанные методы, алгоритмы и программы использовались при исследовании кинетических моделей реакций:
хлорирования этилена;
распада этана;
реакций изомеризации;
Лотки-Вольтерра;
Михаэлис-Ментен;
ряда модельных линейных и нелинейных систем уравнений. Апробация работы. Результаты диссертационного исследования
докладывались и обсуждались на II, III, IV, V, VI Всесоюзных школах "Применение математических методов при описании и изучении физико-химических равновесий" (Уфа, 1978, Новосибирск, 1980, Иркутск, 1982, Новосибирск, 1985, Новосибирск, 1989), на III и VII Всесоюзных конференциях "Математические методы в химии—(Ярославль,_1979,^Казань,_1991),111 Всесоюзном семинаре "Актуальные проблемы нефтехимии" (Уфа, 1979), Международной конференции "Нестационарные процессы в катализе" (Новосибирск, 1990), на VII Всесоюзном симпоузиме "Инженерная энзимология" (Москва, 1991),на VIII Всероссийской конференции "Математические методы в химии" (Тула, 1993), XII Международной конференции
"Химреактор-12" (Ярославль, 1994), на I и II Международных конференциях "Диффернциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994, 1996), I, II Международных конференциях "Математические методы в химии" (Тверь, 1995, Санкт-Петербург, 1998), I и II Международных конференциях "Математические методы в химии и химической технологии" (Тула, 1996, Владимир, 1998), на II, III Сибирских конгрессах по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1996, 1998), на Международной конференции "Комплексный анализ, диффернциальные уравнения, численные методы и приложения" (Уфа, 1996), Международной конференции "Дифференциальные уравнения и применения" (Санкт-Петербург, 1996), Международной конференции "Кинетика жидкофазных реакций" (Казань, 1995), на Международных конференциях Numerical treatment of differential equations (NUM-DIFF-7, NUMDIFF-8, Halle, 1994, 1997), Всероссийской научно-практической конференции "Математическое моделирование биолого-химических процессов" (Бирск, 1998), Международной научной конференции "Оптимизация численных методов" (Уфа, 1998), Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (Стерлитамак, 1998), на различных Республиканских семинарах и конференциях и совещаниях. Основные результаты работы докладывались также на семинарах Института математики УНЦ РАН, кафедры высшей математики физического факультета МГУ, семинарах кафедр УГАТУ, УНИ, Стерлитамакского государственного пединститута и семинарах математического факультета БашГУ.
Публикации. Основное содержание диссертации отрешено в
работах [1-45].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, приложений, выводов и списка литературы. Материал диссертации изложен на 235 стр., включая 2 рисунка, 4 табл. и библиографию из 185 наименований.
Основные исследования по идентифициру емости моделей типа химической кинетики
Из (1.7) имеем, что константа к1 соответствует величине скорости реакции при концентарциях каждого из реагентов, равных единице. Константа скорости элементарной стадии зависит от температуры по закону Аррениуса: зависящие от физико-химических свойств реакционной системы; R -универсальная газовая постоянная. В более широкой постановке обратной задачи определять требуется именно эти две величины, а не просто константы скорости. Для определения параметров к1 и оЕ принято проводить несколько серий экспериментов при разных температурах. В работе рассматривается класс изотермических реакций. Скорость реакции по компоненту А. - dc./dt - равна сумме скоростей образования и расходования во всех элементарных стадиях и может быть записана в виде:
Система уравнений (1.9), (1.10) представляет собой математическую модель сложной химической реакции. В терминах теории обыкновенных дифференциальных уравнений система (1.10) представляет собой нормальную автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. При моделировании химических реакторов подобная модель возникает для реактора периодического типа. Для реакторов других типов модель может быть и более простой (система алгебраических уравнений для проточного реактора идеального смешения с установившимся режимом) и более сложной (наличие в модели диффузионных членов для проточных реакторов с перемешиванием) [117], однако в большинстве случаев так или иначе приходится исследовать системы типа (1.10). Задачи качественного исследования нестационарных моделей (1.10) рассматривались многими авторами [например, 7,8,60,159,165 и др.]. В этих работах были сформулированы ограничения в виде системы аксиом, при выполнении которых решения системы (1.10) удовлетворяют естественым условиям: существования, единственности, неотрицательности, продолжимости и др. Основные из ограничений приведены ниже.
Из (1.11) следует, что существует -і ( -і 0 ) линейных соотношений между скоростями с.. В случае, если rang Q = t, то все соотношения линейно независимы, в противном случае часть из них линейно зависима. Для закрытых систем (нет материального обмена с окружающей средой) существует по крайней мере одно соотношение типа (1.11). Проинтегрированные от 0 до t выражения (1.11) дают t линейных первых интегралов или линейных (стехиометрических) законов сохранения системы (1.9) n
Метод нахождения их следует из (1.11). Отметим, что кроме линейных первых интегралов вида (1.12) для системы (1.9) могут быть найдены и линейные первые интегралы, в которых коэффициентами являются некоторые функции констант скоростей. Следуя терминологии авторов [10], будем называть такие соотношения линейными кинетическими законами сохранения (отметим, что кинетическими в [65] называют линейные первые интегралы системы (1.9) не являющиеся стехиометрическими). Кроме рассмотренных выше линейных соотношений, существуют для некоторых систем и линейные первые интегралы с числовыми коэффициентами не подчиняющихся (1.12). 0 существовании таких законов для кинетических систем впервые было отмечено в работе М.Д.Корзухина [96]). На примере некоторых конкретных моделей в [10] показано, что в ряде случаев для моделей химической кинетики можно найти и нелинейные первые интегралы. Из [121] следует, что размерность исходной системы дифференциальных уравнений может быть уменьшена на I, если известно t законов сохранения. В данной работе этот факт существенно используется при построении алгоритмов исследования неоднозначности решения обратной задачи. В гл.2 предлагаются простые алгоритмы нахождения всех линейных первых интегралов с использованием методов компьютерной алгебры.
Зададим для системы (1.9) начальные условия c(t ) = с (1.13) Из качественной теории обыкновенных дифференциальных равнений [135] для задачи Коши (1.9),(1.13) вследствие гладкости [равых частей следует выполнимость локальной теоремы гуществования и единственности: для всякого вектора с в [екоторой окрестности t существует единственная дифференцируемая функция c(t), удовлетворяющая системе (1.9) и [ачальным условиям (1.13). Учитывая аналитичность правых частей :истемы (1.9) относительно своих переменных, решение c(t) в [екоторой окрестности t также будет аналитической функцией. )тметим еще одно свойство решений задачи Коши (1.9), (1.13) -[еотрицательность решений [7,8,60], а именно, пусть c(t) ешение системы (1.9), определенное на [t ,Т]. Тогда, если для
Не останавливаясь на других исследованиях в области :ачественной теории систем типа (1.9), более подробно рассмотрим юпрос глобального поведения решений или вопрос продолжимости ешений. С точки зрения обратных задач интерес представляет юведение решений именно на некотором интервале, а не локально, юскольку константы скорости представляют собой в некотором :мысле "интегральные" характеристики системы, т.е. зависят от юведения решений на [0,Т] ([0,ю)). Легко видеть, что задание :истемы в соответствии с законом действующих масс в виде (1.9) [е гарантирует существования решения в целом. В то же время, гчитывая гладкость и неотрицательность решений, достаточно ютребовать ограниченности на полуоси [0,ю), чтобы решение было :родолжимо (или существования априорных оценок на решения [7]).
Законы сохранения и измеримые функции концентраций
Большинство обратных задач - задач определения вида модели или ее параметров по экспериментальной информации о некоторых характеристиках процесса - являются некорректными (некорректно поставленными) [144]. Пусть z, и - элементы некоторых метрических пространств Z и U соответственно и задано отображение R:
Задача (1.22) называется корректно поставленной (по Адамару) [80] на паре пространств Z, U, если выполняются условия: 1) решение задачи существует для любого и є U; 2) решение задачи единственно для любого и є U; 3) задача устойчива на пространствах (F,U). В случае, если не выполнено хотя бы одно из условий, задача называется некорректно поставленной.
Многие прикладные задачи и, прежде всего обратные, не удовлетворяют требованиям корректности по Адамару. В первую очередь это связано с тем, что исходные данные задаются с погрешностью, что приводит к неустойчивости и практической неединственности решения. Проблема устойчивого решения обратных была впервые поставлена А.Н.Тихоновым в работе [140]. Подход к устранению неустойчивости решения основывался на использовании априорной информации о точном решении задачи, что в ряде случаев позволило сузить класс элементов Z, которому принадлежит точное решение, до некоторого множества М, на котором решение обратной задачи устойчиво. Таким образом поставленные задачи принято называть условно-корректными или корректно поставленными по Тихонову [100]. Задача называется корректно поставленной по Тихонову, если выполнены условия [144]: 1) априори известно, что решение уравнения существует и принадлежит заданному множеству М Z; 2) решение уравнения единственно на множестве М; 3) существует непрерывная зависимость решения уравнения от правой части (1.22), когда вариации и не выводят решение z за пределы множества М.
Дальнейшая разработка теории условно-корректных задач и метода регуляризации по Тихонову [88,101,139] позволило значительно расширить круг решаемых прикладных задач, в том числе и обратных.
Рассматриваемый в работе класс обратных задач для моделей типа химической кинетики не удовлетворяют условиям корректности ни по Адамару, ни по Тихонову. Это связано в первую очередь с нарушением второго требования корректности, а именно единственности. В предположении, что структура модели определена и решение априори существует, тихоновский метод регуляризации в первую очередь снимает проблему неединственности, обусловленную наличием ошибок эксперимента. В применении к моделям химической кинетики метод регуляризации был рассмотрен в [117]. Нахождение устойчивого к возмущениям правой части решения сводится к отысканию вектора к , минимизирующего сглаживающий функционал Тихонова вида SYS где исходная модель (1.15)—(1.17) представлена в операторном виде Мк = у , у = у + 5 - экспериментальный вектор наблюдений, а - параметр регуляризации, n(k) - стабилизирующий функционал. Второе требование корректности - наличие единственного решения априори - тем не менее отсутствует. Подобного рода неединственность, связанная со структурой модели, возникает в различных приложениях, прежде всего в теории автоматического управления, при моделировании химической кинетики и биокинетики и др. В случае, если структура модели допускает единственное решение задачи определения параметров, модель принято называть идентифицируемой (структурно идентифицируемой).
Считая в дальнейшем структуру модели заданной, остановимся более подробно на задачах параметрической идентификации некоторых моделей типа химической кинетики.
В задачах параметрической идентификации принято различать априорную (теоретическую) и апостериорную (практическую) идентифицируемость модели [66,87,152]. В первом случае под идентифицируемостью модели понимается принципиальная возможность однозначного определения всех параметров модели. Исследование обратной задачи в этом случае проводится на основе качественного исследования структуры модели в рамках так называемого идеального эксперимента. Предполагается, что число экспериментальных точек неограничено, измеряемые величины являются детерминированными и не содержат ошибок. В связи с этим обратные задачи подобного рода принято называть задачами структурной идентификации. Заметим, что исследование структурной идентифицируемости модели, отвечая фактически на вопрос о разрешимости обратной задачи, как правило, не подразумевает более детального исследования - определения числа решений 03, числа и вида определимых из эксперимента параметрических функций, а также численных значений параметров.
Исследование апостериорной или практической идентифицируемости проводится на основании данных реализованного эксперимента с учетом всех его особенностей. Априорно идентифицируемая модель может оказаться апостериорно неидентифицируемой в связи с наличием ошибок в измеряемых величинах. Поскольку исследование практически любого процесса или явления требует обработки экспериментальных данных, имеется большое количество литературы по методам и программному обеспечению подобного типа задач. Остановимся более подробно на некоторых причинах возникновения апостериорной неидентифицируемости модели для некоторых моделей физико-химии (в предположении, что априорная идентифицируемость модели существует, т.е. при выполнении некоторых условий существует единственное решение обратной задачи).
Как правило, в исследуемую модель параметры входят неявно, что требует привлечения тех или иных численных методов оценивания. По численным методам оценивания параметров моделей типа химической кинетики имеется обширная литература [50,114,116 и др.]. Задача определения параметров модели чаще всего сводится к отысканию минимума функционала F(k), характеризующего степень рассогласования экспериментальных и рассчитанных по модели величин
Примеры проявления неединственности для некоторых конкретных систем
Цикл работ [3,4,5,6,102,103,155] посвящен разработке модифицированных методов исключения и приложению метода к моделям математической кинетики и прежде всего к моделям химической кинетики. Модифицированный метод исключения неизвестных из системы алгебраических уравнений (Айзенберг Л.А. [3,4]) заключается в том, что с помощью формулы многомерного зычета можно вычислить сумму значений любого многочлена в корнях заданной системы нелинейных алгебраических уравнений не находя замих корней. Полученные формулы нахождения логарифмической іроизводной результанта через сумму локальных вычетов позволят значительно упростить процедуру нахождения результанта. Для лоделей химической кинетики (стационарный случай) важным іриложением полученных результатов явилась возможность юстроения так называемого кинетического полинома [5,6,102,155] -толиномиального выражения относительно одной измеряемой іеременной, что, в свою очередь, дало возможность более простыми вычислительными средствами решать такие важные задачи как отределения числа стационарных состояний системы и т.д. [5,6]. (ак частный случай, кинетический полином позволяет решать и задачу идентифицируемости данной модели [106]. В [54] предложены алгоритмы и программы, написанные в системах аналитических вычислений (CAB), объединяющие модифицированный метод исключения і методы исключения, разработанные в CAB, что позволило шачительно усилить эффективность алгоритмов.
Мощным инструментом исследования систем алгебраических сравнений явились алгоритмы и программы, разработанные в :истемах аналитических вычислений. В CAB реализованы многие классические задачи алгебры: нахождение точных решений заданного тожества полиномиальных уравнений, проверка различных свойств щеала, порожденного заданным множеством многочленов и т.д. Они іашли разнообразное применение в различных прикладных следованиях - физике, химии, теории управления [95]. В данной работе применение методов компьтерной алгебры, прежде сего программная реализация в системах MAPLE и REDUCE алгоритмов вычисления результанта и построения базисов Гребнера, юзволило программно реализовать весь путь от построения синетической модели, до нахождения параметрических функций и шсла решений обратной задачи (подробно техника исключения с гспользованием методов компьютерной алгебры рассмотрена в гл. )).
Как метод исследования систем дифференциальных уравнений іетод исключения рассматривается практически во всех учебниках ю обыкновенным дифференциальным уравнениям. Наиболее подробно ассмотрен случай линейных систем - переход к одному уравнению юлее высокого порядка относительно одной переменной (например, 143]), либо к расщепленной системе (например,[121]). Явная юзможность перехода от систем линейных уравнений к одному и іаоборот и всевозможные практические применения линейных сравнений и систем четко обосновывают необходимость подобного )ассмотрения.
В нелинейном случае ситуация прямо противоположная. "ложность или невозможность явного исключения, а также промоздкость преобразованных уравнений сводят практическую [енность метода к нулю. В то же время обратный переход - от дного нелинейного уравнения к нормальной системе - позволяет :троить по крайней мере численные решения системы. Тем не менее І ряде учебников, начиная с классических учебников И.И.Степанова [ Н.М.Матвеева [135,111], приводится схема исключения и босновывается эквивалентность исходной системы и одного совместно с некоторой подсистемой) уравнения более высокого юрядка. В данной работе рассмотрена другая постановка: от юрмальной системы нелинейных дифференциальных уравнений іерейти, по возможности конструктивно, к подсистеме относительно іасти переменных минимального порядка по производным, эквивалентной, совместно с остальными решениями исходной системе. Принципиально используется полиномиальность правых іастей моделей химкинетики. Требование минимальности порядка по іроизводньїм обусловлено как громоздкостью самого метода включения, так и дальнейшим анализом полученной подсистемы.
В [112] при анализе динамических линейных систем с временными коэффициентами приводятся два метода исключения: /іетод приведения (метод выравнивающих операторов) и метод тоследовательного дифференцирования. Вообще говоря оба метода трименимы и для некоторых моделей химкинетики и, в первую зчередь, для моделей биокинетики. Однако, и первый и второй летоды достаточно громоздки для реализации в системах аналитических вычислений и недостаточно подробно рассмотрены (например, случай перехода к подсистеме или случай "ненаблюдаемости" исключаемой переменной). К нелинейным системам эба подхода неприменимы.
Интегральные методы оценивания. Метод модулирующих функций
Упорядочение (2.61) удовлетворяет требованиям (2.57) и является "чисто лексикографическим" упорядочением в случае многих переменных. При этом упорядочении переменные у. являются "старшими" и подлежат исключению в первую очередь. Пусть G -базис Гребнера множества I при заданном упорядочении (2.61).
Покажем, что при некоторых предположениях в построенном базисе Гребнера G как подсистема содержится система определяющих уравнений.
Следующие леммы дают возможность конструктивно построить систему определяющих уравнений из системы (2.60). неэквивалентному следствию. Следовательно, требуется показать, что при некоторых дополнительных предположениях мономы, представляющие собой коэффициенты . при старших степенях исключаемых переменных не обращаются тождественно в 0. Пусть решения системы (2.1) продолжимы на (0,Т). В силу аналитичности решений любая производная решения вида х{ ±), Ё 1, является аналитической функцией и, следовательно, обращается в 0 не более, чем в счетном множестве точек. Обозначим счетное множество (число редукций, как следует из утверждения 1, конечно) точек интервала (0,Т) , в которых обращаются в 0 все
Из леммы 2.3 следует, что любое подмножество многочленов из I порождается базисом G , содержащем только измеряемые переменные и параметры. На множестве (0,Т)\1 все операции построения базиса обратимы. Следовательно, любое решение системы G является решением системы (2.60) и наоборот. А это и определяет систему определяющих уравнений.
Примеры использования алгоритма Бухбергера приведены ниже в данном параграфе, в п.2.2.4, гл.4,5,6 и Приложении.
Кроме конструктивного построения алгоритма исключения для множества многочленов (2.60) лемма 2.3 как следствия позволяет сформулировать следующие утверждения. Лемма 2.5. Пусть задана исходная модель химической реакции, записанная в виде системы линейных соотношений вида: действительных чисел. Тогда базис Гребнера G, построенный для системы многочленов (2.62), содержит как подмножество (непустое, в случае закрытой системы) все независимые линейные стехиометрические законы сохранения системы (2.63). множества Н. Очевидно, что Т содержит как подмножество все линейные законы сохранения исходной модели. Из леммы 2.3 следует, что при упорядочении (2.63) в G существует подмножество элементов, порождающих множество всех линейных законов сохранения из Т, причем базис, порождающий линейные законы сохранения содержится в G. Базисность множества G гарантирует их линейную независимость. только функции переменных х. и у. и после интегрирования дают 2 линейных стехиметрических закона сохранения (пример построения базиса в системе MAPLE приведен в Приложении 1). Полином g зависит только от производных и измеряемой скорости w . В Приложении 1 для данной системы приводится также один кинетический закон сохранения. действительных чисел. Тогда базис Гребнера, построенный для системы многочленов (2.62) содержит как подмножество все линейные стехиометрические законы сохранения и измеряемые функции концентраций системы (2.62).
Доказывается аналогично предыдущей лемме. Иллюстрирующим примером может служить базис Гребнера (2.65). Упорядочение (2.64) соответствует упорядочению (2.66) -w является функцией только переменной х . Третий многочлен g зависит только от линейной комбинации производных х. и у. и функции от измеряемых переменных, следовательно представляет
Использование принципа квазистацинарности по части переменных в модели (2.1),(2.2) с точки зрения информативности, очевидно, ухудшает обратную задачу. Действительно, переходя от нестационарных уравнений системы (2.2) к стационарным, мы, тем самым, теряем часть информации. Тем не менее, если все же при построении модели используется принцип квазистационарности, то и в этом случае можно применить метод исключения, оценивая при этом, сколько и каких решений обратной задачи может быть получено.
Предположим, что по части неизмеряемых переменных выполняется принцип квазистационарности. Запишем модель общего вида (2.1),(2.2) в форме системы алгебро-дифференциальных уравнений
