Введение к работе
Одной из основных проблем численного анализа является оценка погрешности вычислений и построение устойчивого алгоритма. Трудности оценки ошибок вычислений заключаются в том, что в большинстве задач они обусловлены ошибками исходных данных, численного метода и округления. В большинстве задач численного анализа перечисленные ошибки определяют устойчивость алгоритма. На практике упрощения, основанные на физических или инженерных соображениях, приводят к конечномерным постановкам, в которым необходимо учесть все источники ошибок и их взаимообусловленность. Проведенные опросы пользователей РАН в 1985 и 1996 гг. показали, что пользователи достаточно часто используют алгоритмы линейной алгебры, численного интегрирования и дифференцирования функций, аппроксимации функций.
Во всех этих алгоритмах задача устойчивости является основной и она не решается в общем случае и требует средств автоматизации поиска устойчивого алгоритма.
Опыт эксплуатации стандартных программ и пакетов ПП, и накопленный за 20 лет в СПИИРАН, показывает, что перенос программ с одной платформы на другую требует повторного анализа ошибок округлений и в ряде случаев может приводить к необходимости разработки новых устойчивых алгоритмов.
Применение готовых хорошо испытанных пакетов не снимает проблемы анализа ошибок округления и обоснования корректности применения вычислительных процедур в конкретных условиях. Так, развитые пакеты, например, EUCLID и СНОМ имеют несколько разных процедур численного интегрирования и процедур анализа ошибок округления. Однако, как показал опыт СПИИРАН, возможности пакетов прикладных программ чаще всего не удовлетворяют конкретным условиям применения и пользователь вынужден обращаться в службы сопровождения ППП, либо, что чаще всего происходит, должен заниматься длительными исследованиями всего спектра ошибок. Для многих пользователей, не обладающих достаточной математической подготовкой, такая задача оказывается не по силам. Средства интервального анализа также не всегда оказываются действенными, т.к. интервал, в котором заключается решение, нередко оказывается слишком широким. В связи с этим продолжает оставаться актуальным направление
автоматизации процедур выбора и разработки устойчивых алгоритмов.
Цель работы.
Разработка статистического метода синтеза комбинированного алгоритма на основе различных критериев устойчивости с учетом требований пользователей и опыта работы эксплуатируемых пакетов ІШ.
Методы исследования.
В диссертации используются методы теории вероятности и статистики, математического анализа и теории множеств.
Научная новизна.
В работе получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:
разработаны рекомендации по использованию пакетов прикладных программ на основании статистического обследования задач пользователей;
разработано функциональное наполнение пакетов прикладных программ "Вычислительная математика" и "Математическая физика";
предложен метод получения численных характеристик устойчивости алгоритма к погрешностям исходных данных;
предложен метод получения численных характеристик подверженности алгоритмов влиянию ошибок машинного округления;
предложен метод синтеза смешанного алгоритма, устойчивого к погрешностям данных во всей области исходной задачи;
доказана эквивалентность задачи построения комбинированного алгоритма ограниченной сложности задаче целочисленного линейного программирования с одним ограничением в виде неравенства.
Практическая ценность.
Разработанные в программе методы использовались при комплектовании библиотек стандартных программ Центра коллективного пользования СПИИРАН. Пакеты "Вычислительная математика" и "Математическая физика" были приняты в ГОСФАП.
Реализация результатов работы.
Разработано функциональное наполнение прикладных программ вычислительной математики и математической физики.
Разработаны программы реализации метода синтеза смешанного алгоритма, оптимального по устойчивости к погрешностям исходных данных.
Апробация работы.
Результаты проведенных исследований были представлены на: 1. Областной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование", Ленинград, 1988.
2.Международной конференции "Качество программного обеспечения", Санкт-Петербург, 1992 г.
3. 4-ой Санкт-Петербургской Международной конференции "Региональная информатика-95".
Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения , 3 глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем основного текста диссертации 90 страниц; приложений 15 страниц.