Алгоритмизация численного моделирования двумерных краевых задач механики деформируемого твердого тела сложной формы Назиров, Шодманкул Абдирозикович

Введение к работе

' г^<Акурльность работы. Современные проблемы инженерной ппакти-кй7"~сГНизапнь:е с расчетом на прочность объектов строительства, деталей машин и механизмов, ставят перед фундаментальными исследованиями задачи, при которых, наряду с характером приложенных нагрузок, необходимо учитывать и геометрию изучаемого объекта.

Решение такого рода задач - достаточ сложная проблема. г>. реализация стала возможной в условиях развития средств вычислительной техники. Эффективное использование ЭоМ предусматривает разработку как различных численных методов вычислительной математики, так и создание алгоритмических систем, с помощькі которых мо::.но охватить широкий класс инженерных задач, решаемых методами механики сплошных сред С-'СС). К этим задачам, в частности, относятся двумерные задачи механики деформируемого твердого тела (МдТї). Когда исследуемая область является канонической (прямоугольник, эллипс и т.д.), хорошо разработанный математический аппарат позволяет решать названные задачи на аналитическом уровне. Если область имеет сложную форму, решение можно получить с помощью специальных численных методов с привлечением ЭсШ. Поэтому возрастает роль приолименних методов, позволяющих получить простые по форме решения с достаточной для практики точностью.

В настоящее время SJM применяется не только для решения задач вычислительного характера, но и для автоматизации творческой деятельности. Лними словами, с помощью ЗоН автоматизируется процесс творческого труда исследователя, начиная от вывода математических моделей, их исследования, выбора соответствующего вычислительного алгоритма и кончая получением соответствующих численных результатов. Такой подход проведения научных исследований для решения задач МСС называется алгоритмизацией. Актуальность такого подхода решения названного класса краевых задач МдТТ не вызывает сомнений.

Обзор состояния проблемы и обоснование цели исследования

Математическое моделирование задач статики и динамики МдТТ основано на фундаментальных разработках, полученных в области математической теории упругости, пластичности и вязкоупругости. Фундаментальные результаты в области механики деформируемого твердого тела изложены в трудах советских и зарубежных ученых. В

4 этих работах построены математические модели зацач МДТТ. Обзор результатов исолесований по этим направлениям можно найти в МО' нографиях, вн">едших в последнее время у нас и за рубежом. Мате матические модели двумерных зацач МДТТ описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных, интегральным или интегро-дифференциальннми уравнениями в частных произвэдны Построить точные-решения таких уравнений весьма сложно или пра тически невозможно. Поэтому.путем дискретизации по пространств ным переменным задача сводится к. решению систем алгебраических уравнений, систем обыкновенных дифференциальных уравнений или систем обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений типа Больтерра в зависимости от'рассмотрения задач статики или дина пики ЧдТТ.-

Примером современного развития методов математического моде
лирования применительно к новым классам задач кСС является цик
работ *.Б.Абуталиева, С.М.Ьелоцерковского, Т.Бурцева, А.Ф.оер-
лана, З.Г.Габдулхаеьа, А.А.Дородницина, А.АлІльюпина, Б.К.Кабу
лова, А.Н.Коновалова, Т.И.Марчука, Ь.Е.Победри, Г.Е.Пухова, tu.
Работнова, X. А. Pax мату "лина ., З.Л.Рзачева, А.А.Самарского, Л.И.
Седова, В.С.Сизикова, А.Н.Тихонова, 3.о.Іменникова, Н.Н.Яненко
др. ^;

Для решения дифференциальных уравнений в частных производнь наибольшее распространение получила теория разностных схем, у торая была построена академиком А.А.Самарским как теория оперг торно-разностннх и операторных ураї некий о or.раторами в абстрактных гильбертовых пространствах, б настоящее время на осної этого метода А.А.Самарским и его учениками провозлтся исследої ния на оснозе новой технологии научных исследований - вычислительный эксперимент, интеллектуальное ядро которого составляет триада: модель - алгоритм - программа, для решения задач динамики вязкоупругих систем наибольшее распространение получили метод последовательных приближений, интегральных преобразован! дифференциальных /-преобразований, интегральнооператорный, асимптотические, степенных рядов, метод осреднения функционал: них поправок и" др. Основным методом построение голоморфных решений интегро-дифференциальных уравнений является метод степе! нах рядов. Эффективность этого метода,^; как способа чис^нного решения систем линейных,- нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, показана в работах Ф.Б.Бадалова. Отмеги; , что, хот*

5 лгоритм метода весьма поост и легко реализуем на ЭВМ, для полу-энкя решения требуются значительные затраты машинного времени. Сравнительный анализ результатов, полученных применением м?-ода степенного ряда и метода Г.Е.Пухова, показырает, что эти етоды дают практически одинаковые результаты, но время сета ри применении последнего из них несколько меньие.

При решении линейных интегро-дифференциалышх уравнений вяз-оупругости используется интегрально-операторный метод Работно-а-?озовского. Согласно этому методу, для решения задачи наслед-твенной теории вязкоупругости нукно построить решение задачи бычной теории упругости и в окончательном результате /заменить пругие постоянные интегральными операторами, расшифровав полу-енные комбинации операторов по известным правилам. Основная іатематическая трудность реализации данного метода заключается расшифровке операторов.

Для решения краевых задач физико-механических полей со слож-юй формой с.Л.Рвачевым разработан новый метод - метод Л -функ-1ий, позволяпщий построить коррдинатные последовательности для ібластей практически произвольной конфигурации и краевых условий сложного вида. Применение аппарата теории Л?-функций поз-юляет получить решение . виде формулы, называемой структурой >епения, содержащей явную зависимость от геометрических и'физи-ієских параметров. Полученные теоретические результата исполь-іовалйсь при создании современной технологии программирования і математической физике оеализации проблемно-ориентированных ізьїков и специализированных систем. серии"Поле", созданных под эуководством В.Л.Рвачева.

Для' расчета тонкостенных конструкций за пределом упругости СБуриевым разработаны эффективные численные алгоритмы, осне— занные на методе Ритца и методе сеток.

Обзор работ по исследованиям математического моделирования задач механики деформируемого твердого тела имеется в работах І.Б.Бадалова, Т.Буриева, А.Ф.Верлана, ЖЛЛионса, В.Д.Потапова, И.Н.Преобрі.женского и др.

Таким образом, вычислительные методы, применяемые для решения краевых задач, должны быть экономичными, универсальными и легко реализуемыми на ЭЗМ. Поэтому разработка адекватных моделей с учетом реальных свойств конструкционных материалов и эффективных систем вычислительных алгоритмов для решения соответствующих дифференциальных, интегральных и интегро-диффзренциальнкх

у pa j нении Яд'ГТ, удовлетворяющих указанным выше требованиям, а также создание алгоритмической системи, автоматизирующей решение указанных задач, являются весьма актуарными.

Судя по обзору, можно заключить, что исследованиям по математическому моделированию двумерных краевых задач MATT, особенно линейных, посвящено достаточное количество работ, но оезуль-татц получены для областей простой геометрии. Поэтому невыяснен ним остаётся следующий круг вопросов:

1. Не все вычислительные методы точно учитывают сложную геометрию области.

2. гіз изучены вопросы создания единого вуислительного алгоритма для решения краевых задач МДТТ для областей сложной формы

3. Нет единого вычис. .тельного алгоритма расчета пластин сложной формы с конечным числом отверстьий.

4. Не достаточно изучены г дачи изгис'а и колебаний упругих, вязкоупругих и упругопластических пластин сложной формы, а так| же задачи кручения стержней сложного профиля.

5. Не изучены задачи колебания пластин сложной формы с конеч ным числом свободных от нагрузок отверотвий.

6. Отсутствует алгоритмическая система для вывода математических моделей І4ДТТ с целью исследования указанных процессов

и генерации программ.

Таким образом, алгоритмический подход для численного моделирования краевых задач МДТТ сложной формы является весьма- актуальным, так как существенно упроцает и автоматизирует рутинный труд, связанный с выкладками при выводе уравнений МдТТ и трудо-емкими этапами вычислительных экспериментов: программирование и отладка модулей, решение задач на 2а.Ч и анализ полученных результатов.

Цель настоящей работы заключается в следующем:

выбор и разработка эффективных вычислительных алгоритмов решения двумерных краевых задач МДТТ со сложной формой;

разработка алгоритма определения частот собственных колебаний упругих пластин сложной формы с конечным числом вырезов;

создание алгоритмической системы автоматизации вигода уравнений и ₄ .шения краевых задач МДТТ;

построение решения задачи кручения стержней произвольного профиля, а также изгиба и колебания упругих и вязкоупругих пластин сложной формы;

рассмотрен ряд новых задач о.собственных колебаниях плас-

тин сложной формы с конечним числом вырезов;

- исследование задачи изгиба пластин сложной формы за пределом упругости.

Научная новизна и значимость исследований. Разработан единый вычислительный алгоритм для решения двумерных краевых загдч тзо-рии упругости, пластичности и вяэкоупругости ї.ля областей сложной конфигурации, йыбран эффективный метод решения систем интегральных и обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений. По общей схеме концзпций алгоритмизации З.К.Кабулова разработана алгоритмическая система для вывода уравнений и решения краевых задач указанного класса. С помощью этой алгоритмической системы исследованы решения задач кручения стержня сложного профиля, изгиба упругих, упругопластических и вязкоупругих пластин сложной формы, а также колебания вязкоупругих пластин сложной формы. При этом исследована сходимость вычислительного алгоритма при применении различных аппроксимирующих полиномов и кубатурных формул. Изучено поведение функций напряжения, касательных напряжений, прогиба и изгибающих моментов для различной геометрии области/ Тем самым изучен ряд практически важных задач.теории упругости, вяэкоупругости и наследственной вяэкоупругости.

Практическая ценность заботы. Разработанная методика и созданная алгоритмическая система для решения двумерных краевых задач МДТТ сложной формы могут быть использованы при расчете широкого класса конкретных конструкций и позволяют дать алализ их поведения во времеш пи различных видах нагрузок.- Часть изложенной-в работе исследований и программных средств переда-ны в ТаиЗШИЗЛ,. ГШ-4, а разработанные программные средстза сданы в Ведомственный фонд алгоритмов и программ Республики Узбекистан для эксплуатации. Кроме того, часть результатов включена'-в монографии советских ученых и используется в учебном процессе ТашГУ им.З.И.Ленина, Ташкентской высшей технической школы! при чтении специальных курсов и прохождении производственных преддипломных практик.

Достов зность полученных результатов подтверждается строгой математической постановкой рассмотренных задач. Правильность результатов обоснована путем сравнения полученных в ,'работв'. результатов с известными точными и приближенными решениями, полученными другими авторами," а также исследованием сходимости вычислительных алгоритмов относительно .базисных полиномов и раз-

8 личных кубату оных формул.

Аппро6ац:ія работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на УІ .ісесоизной конференции "Численные метода решения задач теории упругости и пластичности" (Ташкент, 1979); У Всесоюзной конференции "Численные методы решения фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" (Ташкент, I960); Шест» *. Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1966); Всесоюзной .школе молодых ученых и специалистов "Вычислительные методы и математическое моделирование" (шушинское, 1936) П Всесоюзной конференции по прикладной логике иіоюсибирек, 1968) 2-й школе-семинаре социалистических стран "вычислительная механика и автоматизация проектирования" (Москъа-Ташкент, 1983); Всесоюзном семинаре "Системи аналитических вычислений (методы компьютерной алгебры) в механике деформируе-ого твердого тела" (Киев, 1988; Москва, 1989; Вильнюс, 1990); советско-американ- і ском симпозиуме "Вычислительная аэродинамика и автоматизация ^ проектирования" (Ташкент, 1989); школе молодых ученых "Числен-' ные методы механики сплошных сред" (Абакан, 1989); Республиканской конференции, посвященной памяти академика АН УзССР Х.А. ?ахматулика(Ташкеит, 1989); Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991}; Республиканской конференции "Современные проблемы алгоритмизации" (Ташкент,1991 9-й Всесоюзной школе по программному обеспечению математического моделирования, } равления и искусственного интеллекта (школа ППП) (Адлер, 1991); городских семинарах "Алгоритмическая кибернетика" НПО "Кибернетика" АН Республики Узбекистан под руководством академика АН РУз З.К.Кабулова (Ташкент, IS8I-IS9I); научном семинаре отдела В.Л..?гачега "Прикладная математика и вычислительные методы" уІПМаи АН Республики Украина (Ха.ьков, 1979, IS83, 1991); Межреспубликанской научно-технической конференции "Численные методы реиения задач строительной механики, теории упругости и пластичности (Волгоград, 1990).