Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель течения газа в плоском газовом демпфере 12
1.1 Математическая модель плоского газового демпфера 12
1.2 Точное решение системы уравнений Навье - Стокса для вязкого несжимаемого газа 15
1.3 Температурный пограничный слой в случае плоского течения вязкого сжимаемого газа 32
Глава 2. Методика расчета аэродинамических сил и газового демпфирования в рабочем зазоре плоского газового демпфера 77
2.1 Методика расчета аэродинамических сил в случае вязкого несжимаемого газа 77
2.2 Методика расчета аэродинамических сил в случае вязкого сжимаемого газа 83
Глава 3. Влияние сжимаемости газа на вибрационные погрешности акселерометров с плоским газовым демпфером 90
Заключение 99
Литература 100
- Точное решение системы уравнений Навье - Стокса для вязкого несжимаемого газа
- Температурный пограничный слой в случае плоского течения вязкого сжимаемого газа
- Методика расчета аэродинамических сил в случае вязкого сжимаемого газа
- Влияние сжимаемости газа на вибрационные погрешности акселерометров с плоским газовым демпфером
Введение к работе
Перспективы современного приборостроения связаны с разработкой приборов, обладающих малыми массой, габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением и достаточно высокой надежностью. Указанные характеристики обеспечиваются технологиями, развитыми в последние десятилетия 20-го столетия в твердотельной микроэлектронике.
В последнее десятилетие широкое распространение получили микромеханические гироскопы и акселерометры, электромеханические узлы которых формируются из неметаллических материалов (монокристаллический кремний, плавленый кварц, карбид кремния и др.) методами фотолитографии и изотропного или анизотропного травления. В этих приборах используются плоские газовые демпферы с плоскопараллельным перемещением чувствительного элемента. Различные варианты конструкций таких акселерометров и гироскопов описаны в литературе [29, 53, 79].
При проектировании приборов данного класса, одним из наиболее важных является вопрос расчета газодинамических сил.
Расчет газодинамических параметров традиционно проводился с использованием формул линейной теории [29, 40, 47], полученных на основании решения приближенного дифференциального уравнения Рейнольдса для смазочного слоя в случае сдавливания вязкой несжимаемой среды двумя плоскими параллельными плоскостями, имеющего следующий вид [60, С. 201]: д2р 82р _ 12-/ЛК дх2+ду2~ S3 (ВЛ)
Эксперименты, проводимые с приборами, использующими плоские газовые демпферы, показывают на наличие ряда проблем, объяснение которых не укладывается в рамки линейной теории, в частности, снижение коэффициента демпфирования на высоких частотах, а также появление постоянной составляющей в демпфирующей силе при колебательных движениях чувствительного элемента плоского газового демпфера.
В ряде работ отмечается [29, 101, 102], что постоянная составляющая в демпфирующей силе возникает вследствие сжатия пленки газа между двумя параллельными поверхностями, при их движении.
Впервые оценка влияния сжимаемости газа при расчетах цилиндрических воздушных демпферов, применявшихся в авиационной промышленности на начальной стадии разработки авиационных приборов, была сделана в работе [78, С. 349 - 356].
В работе [78] рассматривается одномерное течение газа в рабочей полости цилиндрического демпфера. При этом правая часть уравнения (В.1), представляющая собой расход газа, преобразована таким образом, что коэффициент динамической вязкости заменяется произведением плотности на коэффициент кинематической вязкости. Плотность определяется из условия изотермического или адиабатического истечения газа.
Полученные аналитические соотношения позволяют с высокой степенью точности определять газодинамические параметры для цилиндрических воздушных демпферов.
Однако в случае плоского газового демпфера необходимо рассматривать двумерные течения. Кроме того, используемая в расчетах модель течения газа является линейной, и не дает объяснения эффектов, возникающих при больших скоростях перемещения чувствительного элемента плоского демпфера.
В работе [29] получены аналитические соотношения, объясняющие возникающие на высоких частотах работы микромеханических приборов, нелинейные эффекты. Ввиду того, что рассмотрены изотермические процессы в сжимаемом газе в линейной постановке задачи и анализируются упрощенные модели газовых демпферов, получаемая оценка носит скорее качественный, а не количественный характер.
Кроме того, в той же работе получены результаты вибрационных испытаний акселерометров, демонстрируются погрешности, возникающие при работе прибора на высокой частоте и, по результатам проведенных экспериментов, отмечается, что вышеуказанные погрешности возникают вследствие сжимаемости газа.
В работе [87], в предположении, что перемещение чувствительного элемента плоского газового демпфера, а также изменение давления малы, получены аналитические решения линеаризированного сжимаемого изотермического уравнения Рейнольдса, имеющего следующий вид: (р.*.к.)+*(р.?.к.\ = -П.М.±0,.*) (В.2) дх\ дх) ду{ ду) at
К = 1 + 9.638-(Кп) - поправочный коэффициент для больших чисел Кнудсена,
В работе [10] рассматривается вопрос определения аэродинамической силы сопротивления движению подвижного узла интегрального микродатчика с использованием системы уравнений Навье — Стокса, для которой сделаны следующие допущения:
На неподвижных стенках отсутствует проскальзывание (скорость молекул газа равна нулю);
Давление по толщине зазора не изменяется;
Нормальные составляющие скорости малы;
Газ несжимаемый;
Газ вязкий.
Для решения системы уравнений Навье — Стокса с учетом уравнения неразрывности и вышеописанных допущений используется вихревая теория расчета.
На основании полученных решений определяются коэффициенты демпфирования для различных форм поверхностей подвижного узла.
Для получения соотношений учитывающих сжимаемость газа и нелинейные эффекты на высоких частотах работы приборов с плоским газовым демпфером, при расчетах газодинамических параметров таких приборов, необходимо уточнить имеющиеся математические модели течений газа в рабочем зазоре и получить аналитические решения предложенных математических моделей.
В основе изучения течений жидкости и газа лежит система уравнений Навье - Стокса для вязкого, сжимаемого, нестационарного случая.
В работе [36] рассмотрена задача существования решения и показано, что общего аналитического решения полных уравнений Навье - Стокса для вязкой сжимаемой нестационарной среды не существует, решение существует лишь для частных случаев.
Следует отметить, что аналитические решения системы уравнений Навье — Стокса получены для вязких несжимаемых течений, или для вязких сжимаемых течений в линейной постановке задачи[16, 17, 20, 38, С. 491 -498, 49, 57, 65, 75, С. 86 - 108, 86].
В работе [16] исследованы автомодельные решения уравнений Навье -Стокса при осесимметричном течении вязкой несжимаемой жидкости. Исходные уравнения преобразованы по методу Слезкина. На основании анализа физических свойств течения и общего уравнения Слезкина показано, что кроме известных ранее решений этого уравнения, существует ряд других решений, имеющих физический смысл. Рассмотрен простейший случай безвихревых течений, для которых линиями тока могут служить окружности, параболы, и гиперболы. Эти течения трактуются как неструйные (в отличие от решений Ландау и Сквайра) при втекании или вытекании в однородное пористое осесимметричное тело.
В работе [57] представлено новое семейство точных решений уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости. В его рамках могут быть рассмотрены задачи о течении жидкости над одной или между двумя бесконечными твердыми плоскостями, которые произвольно движутся и вращаются, оставаясь ортогональными по отношению к одному фиксированному направлению. В качестве частных случаев найденное семейство решений включает в себя два хорошо известных семейства точных решений уравнений Навье - Стокса: закрученные течения Кармана и плоские течения типа Хименца. Рассматриваются принципиально новые точные решения, принадлежащие найденному классу, которые описывают течение, возникающее при столкновении двух противопоставленных потоков между двумя неподвижными твердыми плоскостями. Показано, что при определенных условиях могут сосуществовать три различных типа течений. Устойчивость найденных решений исследуется в рамках задачи Коши, когда возмущения, вносимые в поток, принадлежат тому же классу, что и исследуемое течение. Установлено, что из трех сосуществующих типов течений только одно является устойчивым в указанном смысле.
Ряд современных авторов анализировали математические модели вязких сжимаемых течений [3, 4, 12, 23, 25, 33, 42, 69, 70, 83, 84, 88, 89, 99, 101, 103, 105, 107]. Однако, ввиду существенной нелинейности входящих в указанные математические модели уравнений, и наличия в них ряда особенностей, предпочтение отдается численным методам.
Среди работ, посвященных численному интегрированию системы уравнений Навье - Стокса для вязкой сжимаемой нестационарной среды необходимо отметить работы [ 7, 8, 27, 71].
В работе [83] предлагается метод, в котором конечные объемы применяются для конвективной, а конечные элементы — для диффузионной составляющей. Для случая вязкого потока используется аппроксимация центрированными конечными элементами.
В работе [84] представлен конечно-элементный алгоритм для моделирования течений сжимаемой жидкости. Алгоритм имеет два важных свойства: адаптивности для увеличения точности вычислений при помощи выборочного улучшения конечно-элементной сетки и эффективной реализация на параллельных компьютерах. Алгоритм для аппроксимации уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости является версией устойчивого метода конечных элементов. Реализованы три метода интеграции по времени: явный, линейно неявный и нелинейно — неявный. Для параллельной реализации алгоритма используется специальный прием разбиения сетки. Эффективность алгоритма продемонстрирована на решении двух задач сверхзвуковых течений: невязких и вязких. Приведено много пространственных графиков.
В работе [34] предложен новый надежный метод решения уравнений Навье - Стокса в естественных переменных. Он основан на совместном, на каждом временном слое решении уравнений движения и уравнения неразрывности. В линейном приближении доказана безусловная устойчивость алгоритма.
В работе [88] рассматривается применение асимптотического численного метода, представляющего собой комбинацию метода возмущений и метода конечных элементов, для решения нелинейных задач теории упругости и гидромеханики, описываемых стационарными уравнениями Навье - Стокса при формулировке по Петрову — Галеркину. Показано, что данный метод позволяет трансформировать нелинейную задачу в последовательность линеаризированных задач, которые допускают применение тех же самых тангенциальных матриц. В качестве примеров приводятся результаты расчетов при обтекании уступов, полостей и цилиндров при различных числах Рейнольдса.
Основными общими недостатками численного моделирования является невозможность получения аналитической зависимости для аэродинамических параметров у различных приборов; а также то, что численные методы хорошо работают на гладких решениях, то есть, в области исследования нет особых точек.
Таким образом, в настоящее время рядом авторов предпринимаются попытки уточнить известные зависимости для определения газодинамических сил в рабочем зазоре приборов с плоским газовым демпфером с учетом сжимаемости газа. Однако, в силу того, что используются математические модели течения вязкой сжимаемой среды в трубе и между неподвижными пластинами, а также то, что процесс полагается изотермическим, получаемые формулы количественно не отображают возникающие нелинейные эффекты при работе приборов на высоких частотах, а также не учитывают влияние на них температурных процессов. Использование численных методов не позволяет получать соотношения для инженерных расчетов.
Для уточнения соотношений определяющих газодинамические силы в рабочем зазоре приборов с плоским газовым демпфером с учетом сжимаемости газа и температурных процессов, необходимо построить адекватную математическую модель течения вязкого сжимаемого газа, исследовать поведение вязкой сжимаемой среды в рабочем зазоре прибора, и построить, и проанализировать аналитическое решение предложенной математической модели.
Настоящая диссертационная работа посвящена развитию теории плоских газовых демпферов, ее уточнению с точки зрения полученных количественных оценок, а также созданию инженерных методик, позволяющих в дальнейшем проводить расчеты параметров плоских газовых демпферов.
Точное решение системы уравнений Навье - Стокса для вязкого несжимаемого газа
Полагаем течение газа стационарным, двумерным, газ вязким, несжимаемым. В этом случае математической моделью течения газа является система уравнений Навье — Стокса, Примем, что в вязком течении, при набегании несжимаемого газа на пластину, распределение скоростей и давлений имеет вид [38, 75]: Дифференцируя выражения (1,7) и (1.8), и подставляя их в исходную систему уравнений (1.5), получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя неизвестными: f{y) и F{y) Уравнение неразрывности имеет вид: /; (у) - f (у) = 0, то есть тождественно удовлетворяет распределению скоростей (1.7). Граничные условия для данной системы уравнений запишем, исходя из следующих условий: На неподвижной пластине 1,3 на рисЛЛ) должно обеспечиваться условие прилипания вязкого несжимаемого газа, поэтому обе составляющие скорости должны быть равны нулю; Скорость вязкого несжимаемого газа на верхней пластине (2 на рис. 1.1) равна ее скорости движения; Давление вязкого несжимаемого газа в приборе есть внешнее заданное давление р . В результате, граничные условия для системы уравнений (1.9) будут иметь вид: Первое дифференциальное уравнение системы (1.9) дает распределение скоростей, второе уравнение — распределение давления. В связи с тем, что первое дифференциальное уравнение не содержит функцию Р\У), сначала находим из него функцию f{y), и соответственно распределение скоростей. Затем определяем из второго уравнения функцию Р{у) и соответственно распределение давления. Первое дифференциальное уравнение системы уравнений (1.9) допускает аффинное преобразование вида: В результате аффинного преобразования первое дифференциальное уравнение системы (1.9) примет вид: V Полученное уравнение (1.12) содержит коэффициенты ее, Л, 9, —. Так о как коэффициенты а, Л — произвольные, выберем их таким образом, чтобы все коэффициенты уравнения были равны единице. Наложение условий на коэффициенты дифференциального уравнения (1.12) сводят множество решений уравнения (1.12) с различными условиями, к решению одного уравнения с постоянными краевыми условиями. Указанные условия имеют вид: д2 Дифференциальное уравнение (1.15) является нелинейным, с особой точкой при 7] — ао. Исходя из краевого условия р = 1 при т]- да, получаем p = Tj + o(rj) , и, в линейной постановке, уравнение (1.15) имеет иррегулярную особую точку [11, С. 66]. Метод решения нелинейного дифференциального уравнения (1.15) описан в работе [20]. Решение уравнения (1.15) будем искать, применив разложение функции Р\Н) в степенной ряд при 77 = 0, и асимптотическое разложение при 7] — о, а затем согласовывая оба решения в некоторой выбранной определенным образом точке. При этом решение при г} — со обозначим ( ). Представим решение дифференциального уравнения (1.15) в виде степенного ряда следующего вида: Решением уравнения (1.15) является функция, дифференцируемая до третьего порядка включительно. Поэтому: Подставляя полученные выражения (1.18) в уравнение (1.15), и учитывая граничные условия, а также следующую формулу для умножения рядов: Необходимо отметить, что в выражении для функции р(г?) содержится неизвестный коэффициент я2 который в дальнейшем определится из условия согласования с решением в окрестности // = Рассмотрим асимптотическое разложение решения дифференциального уравнения (1Л 5) при т]- х . Воспользуемся методом решения таких дифференциальных уравнений, описанном в [11, 20]. Найдем вид асимптотического решения данного дифференциального уравнения. Для этого линеаризуем дифференциальное уравнение (1.15): с краевым условием при г/ - со; Подставляя выражения (1.22) в дифференциальное уравнение (1.15), получаем: Учитывая, что можно записать выражение (1.23) в виде: Отбрасывая бесконечно малые величины второго порядка, получим уравнение (1.24) в линейном приближении: Понизим порядок уравнения (1.25), используя следующую замену: тогда уравнение (1.25) запишется в виде: Уравнение (1.27) является уравнением с иррегулярной особой точкой [11]. Согласно [11] запишем его в виде системы уравнений. Тогда: Получим соответствующую систему уравнений второго порядка:
Температурный пограничный слой в случае плоского течения вязкого сжимаемого газа
В рассматривалось плоское течение вязкого несжимаемого газа. То есть интегрирование системы уравнений Навье - Стокса проводилось в предположении, что плотность газа является постоянной величиной. Однако данное допущение может служить причиной неточности при проектировании и расчете параметров приборов, работающих в газовой среде. Отличительной особенностью газовой среды является сжимаемость.
При изучении движения вязкого сжимаемого газа сделаем следующие допущения [38, 75]:Газ совершенен, то есть давление р, плотность р и абсолютная температура Т удовлетворяют уравнению состояния:
Динамический коэффициент вязкости № является функцией толькоабсолютной температуры Т. Для воздуха эта связь выражается S, где, S{ — постоянная, равная 110 К, Коэффициенты теплоемкости при постоянном давлении ср и припостоянном объеме, cv, а также их отношение х не зависят от абсолютной температуры газа и являются физическими постоянными газа.
Коэффициент теплопроводности газа Я связан с динамическимкоэффициентом вязкости / , так, что число Прандтля Рг= -,рассматривается как физическая постоянная газа: сжимаемого течения имеет вид [38, 75]:
Известно [38, 75], что в случае сжимаемой среды, вследствие сжатия и трения, происходит повышение температуры. Таким образом, на механический поток жидкой или газообразной среды, накладывается температурный поток, причем их взаимное влияние достаточно велико.Вследствие чего к уравнениям Навье - Стокса необходимо присоединить уравнение баланса энергии, а также уравнение состояния для газа.
Уравнение баланса энергии имеет вид:При этом необходимо отметить, что физические характеристики Л, ср и р, являются в рассматриваемом случае постоянными величинами. Уравнение состояния (1.66):
Таким образом, в случае сжимаемой среды для плоского стационарного течения имеем систему пяти уравнений с пятью неизвестными: и, v, р , р,В настоящее время неизвестны методы интегрирования системы уравнений Навье - Стокса в общем виде [36, 43]. Поэтому обычно решение ищут для двух предельных случаев: для течений с очень большой вязкостью (Re- 0), и для течений с очень маленькой вязкостью (Re- со). Безразмерное число Рейнольдса (Re) определяется следующим соотношением:где L — характерный линейный размер тела.
Известно, что газ, в частности воздух, обладают весьма малыми коэффициентами вязкости, при этом скорости достаточно велики. В данном предельном случае Re-»« . Следовательно, появляется возможность упрощения уравнений Навье - Стокса, а также уравнения теплопроводности. Вопрос об упрощении уравнений Навье — Стокса является основным в теории пограничного слоя.Л. Прандтль в 1904г. в своем докладе «О движении жидкости при очень малом трении» показал, что течение в окрестности поверхности тела может быть разделено на две области: на область очень тонкого слоя вблизи поверхности тела, так называемый пограничный слой, где трение играет существенную роль, и на область вне этого слоя, где трением можно пренебречь [75, С. 15].
По аналогии можно утверждать, что температурное поле в окрестности обтекаемого тела, обладает свойствами, характерными для пограничного слоя. Можно предположить, что при обтекании тела, при больших числах Рейнольдса, заметное изменение температуры происходит только в тонком слое вблизи его поверхности, так как здесь трение вызывает заметное преобразование кинетической энергии в тепловую.
Следовательно, при обтекании тела, совместно с динамическим пограничным слоем образуется и температурный пограничный слой.
Отметим, что решение системы уравнений для пограничного слоя является асимптотическим решением для случая очень больших чисел Рейнольдса.Упростим систему уравнений Навье - Стокса (1.69) и уравнение баланса энергии (1.71) и (1.72) для течения в пограничном слое. Для этого, запишем данные уравнения в безразмерной форме. Отнесем все переменные величины в этих уравнениях к своим характерным параметрам. При этом обозначим безразмерные величины ( ). Выполним переход от размерных
Запишем систему уравнений Навье - Стокса (1.69), уравнение неразрывности (1.70) и уравнение баланса энергии (1.71), (1.72) в безразмерной форме используя формулы (1.74): 1 Определим, от каких безразмерных параметров зависит система уравнений (1.76). При этом воспользуемся приемом, указанным в [38, 75]. Используя то, что безразмерные величины У и V были выбраны произвольным образом, подчиним их теперь следующему условию. Необходимо, чтобы безразмерные продольные и поперечные координаты и скорости, а также производные от скоростей по координатам, были нулевого порядка по отношению к числу Рейнольдса, то есть стремились к конечным величинам при Re - оо.
Таким образом, система уравнений (1.85) представляет собой систему уравнений для плоского течения сжимаемого стационарного газа в пограничном слое. В классической теории пограничного слоя система уравнений (1.85) носит название системы уравнений температурного пограничного слоя.А.А. Дородницын в 1942г [80] указал общее преобразование координат, придающее уравнениям пограничного слоя для газа форму, близкую к уравнениям пограничного слоя для несжимаемой жидкости.
Запишем такое преобразование координат, модифицированное Стюартсоном и Иллингвортом [75, С. 320].
При этом преобразовании вводятся две новые координаты , , которые определяются следующими соотношениями:где индексом 0 обозначены величины, относящиеся к адиабатически и изэнтропически заторможенному газу, а индексом о обозначены значения величин во внешнем течении.
В соотношениях (1.86) скорость звука а, определяется следующим образом:Постоянная Ь использована в соотношениях (1.86) для аппроксимации зависимости вязкости от температуры (формула Сатерленда [75, С. 310]) в окрестности неподвижной пластины. При этом [75, С. 320]:где Si — постоянная, равная 110"ЛГ.
Введем функцию тока ц/(х,у) , у которой частные производные равны:В случае плоского сжимаемого пограничного слоя на теле произвольной формы, при числе Прандтля равном Рг = 1, А. Буземан и Л. Крокко [75, С.312] указали следующую связь: при любом законе вязкости р(Т), температура Т зависит только от той составляющей скорости в пограничном слое, которая параллельна стенке, то есть в данном случае Т = Т(и),
Таким образом, так как температура Т зависит только от координаты х, то и скорость звука ак = а ( ), и давление ра = рт {х) зависят только от координаты х. Поэтому, координата = (х) тоже функция только х.
Координата , зависит как от х, так и от у , в силу того, что плотность в пограничном слое зависит от обеих этих координат, то естьЗапишем уравнения пограничного слоя (1.85) в координатах 4 и ". Для этого:Тогда частные производные функции тока запишутся в следующемвиде:
Методика расчета аэродинамических сил в случае вязкого сжимаемого газа
Система уравнений Навье - Стокса вязкого сжимаемого газа для двумерного стационарного случая имеет вид: Преобразуем данную систему уравнений, для чего возьмем частные производные по каждому из уравнений, и результат сложим: Примем, как и для случая несжимаемой жидкости, что в вязком сжимаемом течении в окрестности критической точки распределения скоростей определяется соотношениями: Если сравнить выражение для расхода в случае вязкого несжимаемого газа (2.10), с тем же, для случая сжимаемого газа (2.22), то видно, что первые члены тождественно равны, однако для случая сжимаемой среды в выражении появляется член, зависящий от изменения плотности. Получим формулу для расхода в случае вязкого сжимаемого газа. В 1.3 было получено решение системы уравнений Навье - Стокса в каждой точке зазора. Для расчетов удобнее пользоваться осредненными значениями скоростей. Проведем осреднение полученных функций. Общий расход складывается из двух составляющих: где Осредним функцию / {у), аналогично тому, как было сделано в 2.1. Для этого воспользуемся лишь первым членом в решении, полученном в ОКреСТНОСТИ 77 = 0. д Чд Интегрируя, получаем: же, как и для функции f (y), воспользуемся при рассмотрении среднего значения расхода Qz лишь первым членом в выражении для f{y), а именно: Тогда, учитывая выражение для толщины пограничного слоя h, запишем: ) С учетом выражений (2.32) имеем: ) Таким образом, при расчете коэффициента демпфирования в плоских газовых демпферах в случае необходимости учета сжимаемости газа, необходимо использовать уточненную формулу для расхода (2.35) или (2.36). В выражении (2.36) второй член, стоящий в круглых скобках, нелинейно зависит от скорости движения пластины, а также от положения колеблющейся пластины. относительно неподвижной пластины. Наличие нелинейного члена в выражении (2.36) обусловлено сжимаемостью газа. В случае небольших скоростей перемещения чувствительного элемента, а также для случая постоянной плотности, нелинейный член в выражении (2.36) обращается в нуль, и данная формула переходит в известную формулу линейной теории. График зависимости расхода газа под пластиной от частоты колебания чувствительного элемента представлен на рис. 2.1. от частоты колебаний чувствительного элемента - расход газа в случае использования формул линейной теории; _ _ _ _ расход газа в случае учета сжимаемости газа в математической модели течения газа при внешнем давлении 101325 Па; - расход газа в случае учета сжимаемости газа в математической модели течения газа при внешнем давлении 60795 Па; Рассмотрен следующий частный случай: рабочий зазор прибора равен 20мкм, амплитуда колебаний чувствительного элемента равна 5мкм, давление воздуха в приборе внешнее, равное 101325 Па (1 атм.) и 60795 Па (0.6 атм.). В случае использования зависимостей линейной теории расход газа линейно увеличивается с возрастанием частоты колебаний чувствительного элемента. В этом случае коэффициент демпфирования остается постоянным. Учет сжимаемости в математической модели течения газа приводит к уменьшению расхода газа под пластиной. Вследствие чего происходит уменьшение демпфирующей силы. На основании анализа полученного решения можно заключить, что уменьшение расхода газа под пластиной происходит в силу того, что при высоких частотах колебания чувствительного элемента растет позиционная составляющая, нелинейно зависящая от величины зазора, а также от частоты колебаний пластины. Выводы: во второй главе проведен анализ полученных в главе 1 аналитических решений уравнений математической модели течения газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера, и предложена методика расчета аэродинамических параметров приборов с плоским газовым демпфером для случая вязкой сжимаемой теплопроводной стационарной среды. При этом в качестве подтверждения правильности полученных результатов показано, что в случае малых скоростей и постоянной плотности полученные зависимости переходят в известные формулы линейной теории.
Влияние сжимаемости газа на вибрационные погрешности акселерометров с плоским газовым демпфером
При работе акселерометров с плоским газовым демпфером в условиях больших вибрационных возмущений в контуре электрической пружины могут возникать явления «захвата», заключающиеся в возникновении колебаний, амплитуды которых значительно превышают зону линейности прибора [29].
Большие амплитуды колебаний подвижного узла акселерометра приводят к возникновению значительных вибрационных погрешностей [29], поэтому работа контура акселерометра в режиме «захвата» должна быть исключена.
Главной причиной возникновения явления «захвата» в контуре электрической пружины является пропадание электрического демпфирования при насыщении контура прибора, в результате чего жесткость электрической пружины становится равной нулю. При этом амплитуда колебаний подвижного узла прибора резко возрастает, и возрастает кинетическая энергия, запасаемая подвижным узлом к моменту его возвращения в зону линейности.
Если уровень вибрационного воздействия соответствует частоте и амплитуде точки В (рис. 3.1), то прибор работает в линейной зоне, и амплитуда колебаний возрастает линейно (рис. 3.2).
При увеличении вибрационного возмущения, при переходе границы области захвата, амплитуда колебаний возрастает скачком (рис.3.2). Большие амплитуды колебаний сопровождаются значительными вибрационными погрешностями. При последовательном уменьшении вибрационного воздействия эти колебания сохраняются вплоть до уровня вибрации, соответствующего отпусканию (рис. 3.1).3.1. Зона «захвата» прибора с плоским газовым демпфером при гармонической вибрации. «захвата» Поэтому желательно в приборах с плоским газовым демпфером комбинировать электрическое и механическое демпфирование. В [29] показано, что при правильном выборе параметров корректирующей цепи, и наличия механического демпфирования, можно полностью устранить возникновение режимов «захвата» в контуре акселерометра. При проектировании приборов с плоским газовым демпфером рассчитывается величина электрического и воздушного демпфирования в зазоре приборов. Если расчет механического демпфирования вести без учета сжимаемости газа, с учетом известных формул для модели вязкого несжимаемого газа, то при расчетной оценке динамики акселерометра можно установить отсутствие явления «захвата». Однако из-за уменьшения демпфирования вследствие сжимаемости газа такая оценка может оказаться неверной. Этот факт был экспериментально обнаружен при вибрационных испытаниях акселерометров КИ67-3, KA-400N [29], проведенных на вибростендах. Для КИ67-3, в ходе эксперимента акселерометр устанавливался таким образом, чтобы его ось совпадала с осью вибрационных возмущений, и давалось плавное изменение вибрационного воздействия по частоте. В области частот 1500 - 1800 Гц уровень вибрационных погрешностей, регистрируемых при испытаниях, составлял 0.6 g при давлении в приборе, равном 0.6 атмосферы (рис. 3.3). При увеличении давления газа до 1 атмосферы эффект захвата пропадал, что хорошо объясняется из рассмотрения, полученных в работе соотношений (2.36), а именно: при увеличении давления газа в приборе, влияние сжимаемости среды уменьшается. В настоящей работе проводились исследования акселерометра КА-400N, разработанного на кафедре ИУ-2 [81]. Конструкция его представлена на рис.3.4. Компенсационный маятниковый акселерометр [81] состоит из основания 1, на которое устанавливается маятниковый узел 2, изготовленный из единой кремниевой моно кристаллической платы. Маятниковый узел 2 состоит из подвижной пластины 3 с упругим подвесом 4 и поддерживающей рамки 5 с бизировочными платиками 6 на каждой стороне поддерживающей рамки 5 для позиционирования. Упругий подвес 4 содержит два дополнительных упругих торсиона 23 и 35. Имеются две электроизолирующие прокладки 7,8. Электроизолирующие прокладки 7, 8 и маятниковый узел 2 зажаты между фланцем 28. Акселерометр содержит две магнитные системы 9, 10, каждая из которых включает в себя сердечник 11, 12, постоянный магнит 13,14 и полюсный наконечник 15, 16. Каждый сердечник 11, 12 состоит из двух частей 17, 18 и 19, 20 соответственно. Магнитные системы 9 и 10 предохраняются электроизолирующими прокладками 7 и 8 соответственно. Полюсные наконечники 15, 16 магнитной системы 9, 10 имеют центральные базировочные элементы 42, 39, обращенные к маятниковому узлу 2, и проникающие в центральной цилиндрической отверстие 41, 38 переходной шайбы 40, 37 с зазором. Переходные шайбы 37, 40 имеют контактные площадки 43, 44 для соединения с обмотками катушек 21, 22.Две катушки 21, 22 установлены с зазором от магнитных систем 9, 10. Акселерометр также содержит крепежную плату 24 для магнитной системы 9, 10; установочную плату 25, служащую для фиксации маятникового узла 2 относительно основания 1; изолирующие платы 31, 32 с одной металлизированной поверхностью, при этом металлизированная поверхность электрически связана проводниками 33, 34 с поддерживающей втулкой 26 и поддерживающим кольцом 27 для формирования электростатического экрана. Два кольца 29, 30 предохраняют с двух сторон поддерживающую рамку 5 ко аксиально катушкам 21, 22. Зазор 36 служит для устранения механического напряжения в упругом подвесе 4. Акселерометр имеет также корпус 45. При испытаниях акселерометра на вибростенде фирмы Link, при различной ориентации измерительной оси прибора относительно оси вибрации, регистрировались следующие вибрационные погрешности (рис. 3.5; 3.6; 3.7): Наибольшие погрешности имели место при вибрации, ориентированной по измерительной оси прибора. Следует отметить, что прибор имеет 3 механических резонанса на частотах 420, 670, 1529 Гц (рис.3.5, 3.6). При вибрационных воздействиях по измерительной оси акселерометра, эти резонансы вводят контур акселерометра в режим захвата, сопровождающегося вибрационными погрешностями порядка \0 2g, и сохраняются до частот 2000 Гц (рис.3.7). Уменьшение уровня вибрационных воздействий приводит к резкому уменьшению погрешностей, как и следует из теории. Изменение параметра компенсационного контура с учетом сжимаемости газа позволяет устранить явление захвата в указанной области частот. Выводы: использование полученных в работе методик определения аэродинамических сил и газового демпфирования в рабочем зазоре плоского газового демпфера с учетом сжимаемости и теплопроводности газа позволяет разрабатывать приборы с динамическими свойствами в высокочастотной области, удовлетворяющими требованиям практики.
