Содержание к диссертации
Введение
1. Краткий исторический обзор научной литературы и современное состояние вопроса 8
1.1. Развитие теории выпучивания и устойчивости сжатых элементов конструкций 8
1.2. Обоснование выбора варианта теории пластичности для решения практических задач 18
1.3.Современная концепция устойчивости В.Г. Зубчанинова 25
2. Связь между деформациями и перемещениями. основные зависимости между напряжениями и деформациями 32
2.1 .Варианты связи между деформациями и перемещениями 32
2.2. Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова 35
2.3.Постановка задачи 45
2.4.Гипотеза единой кривой Роша и Эйхингера. Диаграмма деформирования материала 48
2.5.Касательно-модульная нагрузка бифуркации для цилиндрических панелей 51
3. Численная реализация процесса выпучивания и устойчивости оболочек на основе метода конечных элементов (МКЭ) 65
3.1 .МКЭ. Основная концепция МКЭ. Преимущества и недостатки... 65
3.2.Дискретизация области. Разбиение области на конечные элемен ты. Нумерация узлов 71
3.3. Конечный элемент. Аппроксимация поля перемещений 77
3.4. Уравнения метода конечных элементов. Матрица жесткости, узловых перемещений и усилий. Алгоритм численного исследования 81
3.5.Реализация МКЭ на ЭВМ. Построение глобальной матрицы же сткости. Система линейных уравнений 88
З.б.Общая блок-схема вычислений 92
3.7. Применение численного интегрирования при определении мат риц элемента 98
4. Численное исследование процесса выпучивания и устойчивости упругопластических прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических панелей 102
4.1.Описание программного комплекса (ПК) 102
4.2.Решение тестовых задач 107
4.2.1. Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругих пластин и цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру 107
4.2.2. Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругопластических пластин и цилиндрических панелей шар нирно опертых по контуру 115
4.3.Экспериментальное исследование выпучивания и устойчивости упругопластических квадратных пластин 119
4.3.1. Образцы для испытаний, механические свойства материала испытуемых пластин 119
4.3.2. Методика проведения экспериментальных исследований. Сопоставление результатов эксперимента с теоретическими расчетами 122
4.4. Результаты численного исследования процесса выпучивания и устойчивости упругих и упругопластических прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических панелей шарнирно опертых по контуру 125
4.4.1. Исследование влияния густоты сетки КЭ на точность численного решения задачи 125
4.4.2. Исследование влияния начального прогиба на поведение пластин и цилиндрических панелей 127
4.4.3. Исследование влияния стрелы подъема на поведение пластин и цилиндрических панелей 129
4.4.4. Исследование влияния гибкости на поведение пластин и цилиндрических панелей 132
Основные результаты, выводы и рекомендации 136
Библиографический список
- Обоснование выбора варианта теории пластичности для решения практических задач
- Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова
- Конечный элемент. Аппроксимация поля перемещений
- Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругопластических пластин и цилиндрических панелей шар нирно опертых по контуру
Введение к работе
В условиях современной рыночной экономики большое внимание уделяется вопросам повышения эффективности научно-исследовательских работ, ускорению внедрения их результатов в промышленное производство. Главной целью научных исследований должно быть повышение несущей способности элементов конструкций и сооружений, снижение их материалоемкости и себестоимости при одновременном обеспечении надежности и долговечности. Одним из путей для достижения этой цели является усовершенствование методов расчета, т.к. все создаваемые инженерные сооружения требуют предварительного расчета, обеспечивающего надежность и долговечность их эксплуатации.
На решение этих задач направлено современное развитие и совершенствование механики деформируемого твердого тела (МДТТ).
Современные конструкции, применяемые в строительной индустрии, машиностроении, авиастроении, кораблестроении и т.п. состоят, как правило, из основных конструктивных элементов: стержней, пластин и оболочек (в частности цилиндрических панелей). Пологие цилиндрические панели входят в состав различных конструкций (крыла самолета, корпуса корабля, кузова вагона и т.д.) обычно в виде панелей обшивки, усиленных подкрепляющими ребрами. Обшивка в этих конструкциях воспринимает вместе с другими элементами основные усилия (от общего изгиба крыла самолета, корпуса судна или вагона и т.п.). Во многих случаях эти усилия могут вызвать сжатие, изгиб либо сдвиг панели в ее плоскости и привести, при известных условиях, к ее выпучиванию и потере устойчивости. Поэтому расчет цилиндрических панелей на устойчивость представляет собой неотъемлемую часть общего расчета конструкции.
Цилиндрические панели, подкрепленные по краям, способны и после начала выпучивания нести возрастающую нагрузку. Следовательно, инженера должно интересовать не только явление начала выпучивания панели, но и
ее дальнейшее поведение, поскольку при возрастании нагрузки основная ее часть начнет передаваться на подкрепляющие элементы, что вызовет в них быстрый рост напряжений.
Многие цилиндрические панели, входящие в состав конструкций и сооружений (при значительной пологости эти оболочки применяются в качестве междуэтажных перекрытий), имеют относительно небольшие размеры в плане и относительно большую толщину. Исследование устойчивости таких пластин может быть проведено лишь с использованием теории пластичности. Учет упругопластической стадии деформирования значительно повышает надежность инженерного расчета даже тогда, когда панель работает в пределах упругости.
Таким образом, исследование процесса выпучивания прямоугольных упругопластических цилиндрических панелей имеет весьма важное практическое значение для выяснения их истинной несущей способности и поэтому является актуальным. Это и является целью данной работы.
Поставленная задача решается на базе концепции устойчивости, разработанной В.Г. Зубчаниновым. Поэтому при решении исследуется процесс нагружения панели, начиная от исходного состояния и вплоть до момента потери устойчивости. Для исследования процесса нагружения производится учет геометрической нелинейности и больших деформаций. Геометрическая нелинейность учитывается при помощи использования тензора Лагранжа-Грина, который связывает деформации точек конструкции с их перемещениями.
В качестве основного варианта, связь между напряжениями и деформациями описывается на базе теории упругопластических процессов Ильюшина - Зубчанинова в рамках гипотезы компланарности. Все зависимости гипотезы компланарности записываются для общего случая объемного напряженно-деформированного состояния (НДС). В этом случае выявлена необходимость учета сжимаемости материала в виде гипотезы об упругом изменении объема.
Учет геометрической нелинейности имеет ряд преимуществ. Во-первых, в отличие от линейной задачи, в которой по существу определяются только бифуркационные значения нагрузок, нелинейный подход позволяет исследовать процесс нагружения. Во-вторых, в отличие от линейной задачи, в которой рассматриваются только идеальные конструкции, нелинейный подход позволяет исследовать конструкции любой конфигурации с любыми начальными несовершенствами. В-третьих, именно нелинейная постановка дает возможность получить максимально приближенные к действительности значения критических нагрузок, что имеет большое значение для инженерной практики.
Решение геометрически и физически нелинейных задач о нагружении оболочек возможно только численными методами. Поэтому рассматриваемая задача решается методом конечных элементов (МКЭ) как пространственная задача МДТТ [20, 21, 22, 24, 25]. Для ее решения сконструирован пространственный восьмиузловой изопараметрический геометрически нелинейный конечный элемент [23, 25]. МКЭ на сегодняшний день является одним из наиболее эффективных методов решения задач механики деформируемого твердого тела, который позволяет моделировать конструкции практически любой конфигурации.
Применение МКЭ, в котором используется объемный КЭ, дает возможность отказаться от традиционных в таких задачах гипотез Кирхгофа-Лява. В этом случае имеет место общее объемное НДС, при котором в тензорах напряжений и деформаций присутствуют все компоненты. Присутствие всех компонент значительно усложняет задачу и увеличивает объем вычислений. Кроме того, в этом случае необходимо учитывать сжимаемость материала, что вносит дополнительные трудности.
Таким образом, в работе предпринята попытка подойти к задаче о выпучивании и устойчивости конструкций с общих позиций, привлекая минимум упрощающих гипотез и используя по возможности самые общие соотношения.
Обоснование выбора варианта теории пластичности для решения практических задач
Согласно современной концепции устойчивости, созданной В.Г.Зубчаниновым в 80-х годах 20-го столетия [57, 64, 70], устойчивость есть свойство процессов движения и равновесия систем, в том числе медленных процессов типа ползучести. Под устойчивостью понимают их способность сохранять состояние равновесия или процесса движения во времени t под действием малых возмущений [53, 54]. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения. Понятие устойчивости, его определение и критерий должны быть неотделимы от практического представления о потере устойчивости конструкций и их элементов как о катастрофическом развитии их деформаций и перемещений [67, 72].
На сегодняшний день известны различные определения понятия устойчивости [67]. Одним из первых определений в духе первой элементарной концепции было определение, данное Л. Эйлером в 1749 г. в связи с практически важным вопросом того времени — вопросом об устойчивости кораблей: «... тела равновесное положение будет устойчиво, ежели оное тело будучи несколько наклонено, опять справится». В дальнейшем это понятие устойчивости для твердых тел было распространено на упругие тела: равновесие упругой системы считается устойчивым в смысле Эйлера при заданных внешних силах, если после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы система возвращается к своему исходному состоянию. В противном случае система считается неустойчивой.
Минимальное значение параметра внешней нагрузки р», при котором она впервые не возвращается к своему исходному состоянию равновесия, называется бифуркационным [54]. При этом значении параметра нагрузки происходит нарушение единственности решения задачи, что выражается в ветв лении (бифуркации) зависимости «нагрузка р — характерное перемещение
Применяя статический метод Эйлера, мы рассматриваем лишь совокупность форм равновесия в малой окрестности точки бифуркации. Этим полностью исключаются из анализа устойчивости возможные формы движения.
Другим, более общим определением устойчивости состояния равновесия в рамках первой элементарной концепции является определение Ла-гранжа [67]. ПоЛагранжу исходное состояние упругой системы устойчиво, если после отклонения ее от этого состояния она, предоставленная самой себе, стремится вернуться к нему, совершая малые колебания, и возвращается, если учесть силы внутреннего и внешнего сопротивления. В противном случае система неустойчива. Нагрузка р,, при которой впервые произойдет переход от периодического колебательного движения к апериодическому, соответствует нагрузке бифуркации. Для консервативных систем она определяется из условия равенства нулю частоты собственных колебаний упругой системы и совпадает с эйлеровой нагрузкой бифуркации. Для неконсервативных упругих систем (например, элементы, сжатые следящими силами) метод Эйлера может привести к ошибочным результатам. Здесь исходная форма равновесия может стать неустойчивой, сменившись на некоторую форму движения. Метод Эйлера не в состоянии учесть этого обстоятельства.
Естественным обобщением понятия устойчивости Эйлера на упруго-пластические системы является следующее: состояние равновесия упруго-пластической системы является устойчивым, если система после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы стремится вернуться в свое исходное состояние, пребывая в малой окрестности невозмущенного состояния [54].
Из приведенных выше определений устойчивости вытекает по существу одинаковый метод исследования элементов конструкций — метод проб на устойчивость путем возмущения исходного состояния при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает существенным недостатком. Он не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого достигнут данный уровень внешних сил, и ограничивает анализ устойчивости системы малой окрестностью точки бифуркации. В основе современной концепции устойчивости конструкций и их элементов, в основе методологии исследования устойчивости лежит исследование процессов их нагружения и деформирования.
Строгое определение неустойчивости процесса нагружения дано В.Г. Зубчаниновым [54]: процесс нагружения упругой или упругопластической системы становится неустойчивым, если сколь угодно малому продолжению этого процесса соответствует катастрофическое развитие перемещений и деформаций. Происходит это либо в бифуркационных точках типа Эйлера, либо в точках бифуркации Пуанкаре, т.е. в предельных точках. В последнем случае необходимо решение задачи устойчивости в физически и геометрически нелинейной постановке. Критерием неустойчивости в точках бифуркации Пуанкаре является устовие #/ф- оо, (1.3.1) где/- мера выпучивания, р- параметр нагрузки. На рис. 1.3.1 ( 8 = 0) приведены зависимости нагрузки от характерного перемещения для упруго-пластических стерженей. Из рис. видно, что после бифуркационное поведение упругопластических систем вкорне отличается от поведения упругих. Во-первых, имеется целый спектр нагрузок бифуркации р, р„ рэ с устойчивым (pt pt pk) либо неустойчивым (pk pt Pj) послебифуркационным поведением у одного и того же элемента. Поэтому среди точек бифуркации различают устойчивые (докритиче-ские) и неустойчивые (послекритические). Для первых dp/df 0 , для вторых dp/df 0. Наименьшей возможной нагрузкой бифуркации является так называемая касателъно-модульная нагрузка рг
Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова
Тензор Лагранжа-Грина описывает малые нелинейные деформации и большие перемещения точек системы. Уравнение (2.1.1) записывается в ла-гранжевых координатах, т.е. используется лагранжев способ описания перемещений, позволяющий определить перемещения фиксированной материальной точки, которое она получит из начального состояния в результате внешнего воздействия. В этом случае предполагается, что деформации точек тела - малые.
В работе, при решении задачи, применяется алгоритм [46], который позволяет учесть не только большие перемещения точек системы, но и большие деформации. При численном решении задачи по шагам для связи между деформациями и перемещениями могут быть использованы и линейные зависимости Коши Тензор Коши описывает малые деформации и малые перемещения точек системы. Также как тензор Лагранжа-Грина, тензор малых деформаций Коши записывается в лагранжевых координатах.
При решении задачи о выпучивании и устойчивости упругопластиче-ской системы по шагам появляется возможность учесть изменение геометрической схемы системы, то есть для дискретной системы появляется возможность учесть изменение координат ее узлов. Такой способ позволяет описывать большие деформации системы, так как в этом случае на каждом шаге локальные оси элементов поворачиваются [46].
Разница между тензором Лагранжа-Грина и тензором Коши появляется только в том случае, когда при шаговом методе решения на каждом шаге производятся итерации для достижения сходимости решения [46]. Только при реализации итерационного процесса, нелинейные слагаемые в правой части тензора Лагранжа-Грина начинают накапливать полученные от итерации к итерации узловые перемещения. При повороте локальных осей накопленные перемещения зануляются и на следующем шаге процесс повторяется заново. Поэтому, если в программе реализован только пошаговый метод решения без итерационного процесса, то использование тензора Лагранжа-Грина становится тождественным использованию тензора Коши [46]. 2.2. Гипотеза компланарности. Связь между напряжениями и деформациями с учетом сложного нагружения на базе теории упругопластических процессов В.Г. Зубчанинова
Определяющие соотношения теории упругопластических процессов (1.2.14) включают в себя функционалы процесса, знание структуры которых необходимо для решения конкретных задач. Построение функционалов пластичности, в том числе их аппроксимация, представляет собой весьма трудную и еще не завершенную проблему. Поэтому естественно, что выдвигаются различные гипотезы, упрощающие задание функционалов пластичности. Одной из таких гипотез является гипотеза компланарности векторов do, d3, о (рис. 2.2.1).
Рис. 2.2.1. Образ процесса нагружения в пространстве деформаций При рассмотрении процесса нагружения в соответствии с этой гипотезой считается, что в любой момент времени векторы do, d3, о расположены в одной плоскости [54]. Здесь о - вектор напряжений; do - его приращение за время dt; d3 - приращение вектора деформаций Э за то же время.
Гипотеза компланарности привлекательна тем, что определяющие соотношения многих частных теорий пластичности в общем случае напряженно-деформированного состояния могут быть приведены к соотношению, справедливому, строго говоря, только для плоских траекторий в плоских задачах da ds Это соотношение обобщается на случай любых пространственных траекторий деформаций. Используя то, что cos#, = ар{, p{=d3/ds, #,=/? (рис. 2.2.1), вышеописанное соотношение приведем к виду da = Nd3+(P-N) -a, CF (2.2.1) где N(a93liXl) = а sin .9, d% ds Xi ; P= dcr 1 ds cos #, (2.2.2) - функционалы пластичности Ильюшина; Xr кривизна траектории деформации; ds- приращение длины дуги траектории нагружения [67, 68]. Соотношение (2.2.1) в скалярной форме имеет вид dSk=Nd3k+(P-N) S,,. а (2.2.3) Размерность определяющего соотношения равна пяти. В (2.2.3) Sk,3k- компоненты векторов т, Э , тождественные тензорам-девиаторам напряжений и деформаций; для этого должны выполняться условия [53, 54] "2 = Sifij - $к$к э2 = ЭуЭу = ЭкЭк, где а, Э- модули этих векторов. Для функционалов процесса В.Г. Зубчаниновым предложены аппроксимирующие функции [53, 54] P = 2Gk+(2G-2Gk)((l-cos3l)/2)p, N = 2Gp+(2G-2Gp)((\-cos&])/2y, (2.2.4) где G, Gp, Gk - упругий, пластический (секущий) и касательный модули сдвига; puq- экспериментальные константы. Замечательным свойством этих аппроксимаций является то, что нет необходимости в определении границы раздела зон активного и пассивного деформирования, т.к. функционалы N и Р меняются непрерывно от cos5, и координаты z, т.е. имеют одинаковую структуру в обеих зонах. Структура аппроксимаций функционалов позволяет описывать различные эффекты, включая так назвываемые «нырки пластичности», возникающие при сложном процессе нагружения и деформирования.
Конечный элемент. Аппроксимация поля перемещений
Из результатов предыдущих глав очевидно, что применение метода конечных элементов приводит к системе алгебраических уравнений. Порядок системы совпадает с общим числом неизвестных. Ясно, что для решения таких систем необходима вычислительная техника. Обсуждение метода конечных элементов будет неполным, если не рассмотреть машинную реализацию этой процедуры. В этом пункте рассматриваются процедура составления системы уравнений, ее преобразование и решение, представлена общая блок-схема вычислений.
Метод построения глобальной матрицы жесткости, представленный в предыдущей главе, весьма неэффективен при использовании цифровой вычислительной машины. Эта неэффективность объясняется тем, что матрица жесткости отдельного элемента [к] имеет такое же число строк и столбцов, что и глобальная матрица жесткости [К]. Большинство коэффициентов в матрице элемента равно нулю.
Дополнительные неудобства связаны с тем, что глобальная матрица жесткости [К] получается суммированием матриц жесткости элементов А [к], [К\- [к]. Матрица каждого элемента должна быть вычислена ОТДеЛЬ-но от [К\ и затем прибавлена к последней, а это требует запоминания обеих матриц [К\ и [к]. Необходимость помнить две большие матрицы приводит к перегрузке запоминающего устройства, когда решаемая задача имеет большое число неизвестных.
В эффективных программах процедура построения глобальной матрицы жесткости использует сокращенную форму матриц элементов [N ] при получении уравнений для элемента. Такой метод известен как метод «прямой жесткости». Метод прямой жесткости построения глобальной матрицы жесткости является очень важным способом реализации метода конечных элементов на ЭВМ, потому что он значительно сокращает загрузку запоминающего устройства. В частности, он исключает необходимость запоминания больших матриц элементов, которые содержат всего несколько ненулевых коэффициентов. Число строк и число столбцов сокращенной матрицы жесткости элемента равны числу степеней свободы элемента.
При использовании метода конечных элементов получается система линейных уравнений, которая должна быть решена относительно неизвестных узловых параметров. Решение этих уравнений является очень важным аспектом задачи в целом, потому что система уравнений обычно очень большая. Методы решения систем с малым или большим числом уравнений мало отличаются друг от друга. Реализация этих методов, однако, зависит от технических возможностей ЭВМ.
При дискретизации сплошной среды, путем надлежащей нумерации узлов можно контролировать расположение коэффициентов в глобальной матрице жесткости. Напомним, что при разумной нумерации узлов получается матрица ленточного типа вместо полной матрицы. Ленточная матрица характеризуется тем, что все ее ненулевые коэффициенты располагаются вблизи главной диагонали, а все коэффициенты за пределами некоторой полосы, ограниченной линиями, параллельными главной диагонали, равны нулю. Схематически это проиллюстрировано на рис. 3.5.1, где ширина полосы ленточной матрицы показана штриховыми линиями. Через С обозначены ненулевые члены. Вообще говоря, нулевые коэффициенты могут встречаться и внутри полосы.
Два свойства результирующей системы уравнений делают ее идеальной: симметрия и положительная определенность матрицы. Наличие симметрии означает, что приблизительно половину ненулевых членов матрицы можно не запоминать. Положительная определенность означает, что коэффициент, стоящий на главной диагонали, всегда положителен и обычно много больше по величине, чем любой другой коэффициент соответствующей строки или столбца.
В случае симметричной положительно определенной матрицы ленточного типа значительно сокращается объем вычислений, необходимых для получения решения системы уравнений. К тому же уменьшается вероятность больших ошибок округления.
Существование симметрии в матрице ленточного типа позволяет значительно сократить объем памяти, требуемой для хранения глобальной матрицы. Обычно при программировании предусматривается превращение матрицы, изображенной на рис. 3.5.1, в прямоугольный массив, ширина которого совпадает с шириной полосы матрицы, а длина равна числу уравнений.
Решение системы уравнений может быть проведено с помощью методов, которые обсуждаются во многих книгах, посвященных численному анализу.
Решение тестовых задач выпучивания и устойчивости упругопластических пластин и цилиндрических панелей шар нирно опертых по контуру
В этом пункте проведено исследование влияния относительной гибкости blh на поведение упругопластических шарнирно опертых по контуру пластин и цилиндрических панелей, выполненных из стали 40. На всех графиках этого пункта по горизонтальной оси отложен относительный прогиб в центре w=wlh, а по вертикальной результирующая сжимающая нагрузка в кН, действующая на весь нагружаемый край. Это вызвано тем, что панели (пластины) с разной гибкостью имеют разную толщину. В формуле (4.2.1.4) в знаменателе толщина стоит в третьей степени. Поэтому вместо того, чтобы при уменьшающейся гибкости кривые шли выше, они идут ниже. И в этом случае нет наглядной очевидности действительного положения дел. Именно этим обстоятельством и вызвано решение пересчитать безразмерную нагрузку в размерную, которая измеряется в кН.
На рис. 4.4.4.1 - 4.4.4.4 приведены кривые выпучивания. На каждом из рисунков стрела подъема имеет постоянные значения, изменяется только относительная гибкости панели. В исследовании, как уже говорилось в п. 4.1, относительная гибкость принималась равной 6/// = 100,50,33. Горизонтальные штриховые линии, как и раньше, соответствуют уровню касательно-модульной нагрузки.
1. В результате анализа общего выражения для касательно-модульной нагрузки бифуркации, предложенной А.С. Вольмиром, получены точные выражения для минимального значения нагрузки и соответствующих напряжений. Проведен анализ форм волнообразования при изгибе пластин и панелей в момент бифуркации. Получены формулы для предельных гибкостей, при которых напряжения и деформации при касательно-модульной нагрузке не превышают пределов упругости по напряжениям и деформациям.
2. Показано, что уровень пластических деформаций и картина волнообразования у пластин и цилиндрических панелей могут существенно отличаться. При одних и тех же отношениях b/h деформации в пластине при нагрузке бифуркации могут быть упругими, а в панелях в несколько раз превосходить предел упругости по деформациям. В отличие от прямоугольных пластин, в панелях при бифуркации в поперечном направлении может образоваться не одна, а несколько полуволн. При возрастании кривизны панели число полуволн в продольном направлении увеличивается по сравнению с пластинами.
3. Уравнения связи между напряжениями и деформациями записаны для пространственного напряженно-деформируемого состояния на основе теории упругопластических процессов Илыошина-Зубчанинова. В них используются аппроксимации для функционалов процесса, предложенные В.Г. Зубчаниновым. Эти аппроксимации существенно упрощают решение задачи, поскольку имеют одинаковую структуру в зонах активного и пассивного нагружения.
4. Разработан программный комплекс (ПК) на основе метода конечных элементов (МКЭ) для проведения численного исследования процесса нагружения пластин и цилиндрических панелей. В ПК используется объемный изопараметрический конечный элемент, что позволяет вести расчет без введения гипотез Кирхгофа-Лява и рассматривать панели любой кривизны.
5. Получены кривые процесса нагружения квадратных шарнирно опертых по контуру упругопластических пластин и цилиндрических панелей под действием равномерно распределенной по поперечным краям сжимающей нагрузки. Исследовано влияние на процесс выпучивания относительного подъема оболочки f/b и гибкости b/h. Показано, что с увеличением отношения f/b и с уменьшением отношения b/h значения критических нагрузок возрастают. Во всех рассмотренных случаях, критические нагрузки (пределы устойчивости) незначительно отличаются от касательно-модульной нагрузки бифуркации. Поэтому несущая способность рассмотренных пластин и панелей определяется указанной нагрузкой.
6. Показано, что цилиндрические панели очень чувствительны к начальным несовершенствам. Начальный прогиб существенно влияет на процесс нагружения оболочки и это влияние возрастает с увеличением ее гибкости. И всегда существует такое минимальное значение прогиба, при котором численное решение является устойчивым.
