Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблемы управления составом активных систем 27
1.1. Классификация задач управления составом 27
1.2. Постановка задач диссертационного исследования 34
Глава 2. Унифицированные системы стимулирования 58
2.1. Функции затрат активных элементов 58
2.2. Свойства функций стимулирования и функций действия 63
2.3. Унифицированные системы стимулирования в активных системах с конечным числом активных элементов 75
2.4. Унифицированные системы стимулирования в активных системах с бесконечным числом активных элементов 91
Глава 3. Модели и методы формирования состава исполнителей 105
3.1. Динамическое формирование состава исполнителей 105
3.2. Управление составом путем обучения 110
Глава 4. Задача формирования управляющего состава активной системы с одним активным элементом и несколькими центрами 117
4.1. Характеризация равновесий 117
4.2. Оптимальность равновесий 125
4.3. Существование равновесий 127
4.4. Описание кооперативных и соревновательных равновесий 132
4.5. Модели и методы формирования управляющего состава 138
Заключение 143
Литература 144
- Постановка задач диссертационного исследования
- Свойства функций стимулирования и функций действия
- Управление составом путем обучения
- Оптимальность равновесий
Введение к работе
Актуальность темы. Динамичные изменения экономических условий, характеризующие российскую действительность в течение последних десяти лет, привели к существенному повышению роли и усложнению систем управления. При этом все более существенным становится зависимость успешности функционирования организаций - активных систем (АС) - не только от самого механизма управления, но и от состава управляющего и исполнительного звеньев.
Проблемы эффективности функционирования АС исследуются в работах В.Н. Буркова, Ю.Б. Гермейера, В.А. Ирикова, В.В. Кондратьева, А.Ф. Кононенко, Д.А. Новикова, Д. Бенрнхейма, А. Диксита, П. Милгрома, М. Питерса, М. Уинстона, О. Харта, Б. Хелстрома и др. В то же время, отсутствие обоснованных, адекватных моделей и методов управления составом АС (под составом понимается множество участников АС) делает актуальным разработку и исследование механизмов формирования и изменения состава.
Цель работы состоит в исследовании, разработке и внедрении механизмов эффективного управления составом активных систем.
Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач:
-
Постановка общей задачи управления составом активных систем, введение системы классификаций задач управления составом.
-
Разработка оптимальной унифицированной системы стимулирования для заданного состава активных систем;
-
Разработка моделей и методов эффективного управления исполнительным составом.
-
Разработка моделей и методов эффективного управления руководящим составом.
-
Внедрение разработанных моделей и методов в практику управления реальными социально-экономическими системами.
Основным методом исследования является математическое моделирование, то есть разработка и исследование математических моделей управления составом активных систем с использованием
Р0( Н . '. I \,|
ЬИ* ' ' ' I к
с" '' '
I - .
подходов и результатов теории активных систем, теории игр, системного анализа и исследования операций.
Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с плановой тематикой работ Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.
Научная новизна работы. В результате проведенных теоретических исследований и обобщения практического опыта:
-
Сформулирована общая теоретико-игровая модель управления исполнительным и управляющим составом активных систем; выделены задачи формирования и оптимизации состава (задача об увольнении, задача о приеме на работу, задача замены состава).
-
Решена задача синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования, которая в непрерывном случае сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Решена задача управления исполнительным составом активных систем; разработана и исследована модель динамического управления, для которой предложен алгоритм последовательной максимизации ожидаемой «прибыли» от изменения состава.
-
Получены условия существования и Парето-оптимальности равновесий игры управляющих органов.
-
На основании анализа моделей сотрудничества и конкуренции решена задача управления управляющим составом активных систем.
Практическая значимость работы определяется разработанными автором методическими рекомендациями по построению эффективных механизмов управления составом активных систем. Эти рекомендации могут использоваться для решения задач управления широким классом организаций и промышленных предприятий.
Реализация результатов работы. Результаты теоретического исследования моделей и методов управления составом активных систем использовались при реализации кадровой политики в процессе реформирования и реструктуризации ряда организаций и промышленных предприятий, что подтверждено актами о внедрении.
Личный вклад. Все основные результаты получены автором.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на: семинарах Института
проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (1999-2003), Московского физико-технического института (1999-2001), международной научно-практической конференции «Теория активных систем» (Москва, 2001), международной научно-практической конференции «Управление безопасностью при чрезвычайных ситуациях» (Москва, 1999), международных научно-технических конференциях «Современные системы управления предприятием» (Липецк, 2001; Старый Оскол, 2002; Воронеж, 2003).
Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 15 печатных работ общим объемом 9,6 печатных листов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа содержит 151 стр. текста, список литературы включает 78 наименований. Приложения содержат: обзор известных моделей и методов управления составом АС, решение задачи динамического формирования состава АС, методические рекомендации по управлению составом АС, а также акты о внедрении результатов диссертационной работы.
Постановка задач диссертационного исследования
В данном разделе описываются основные модели активных систем, для которых будет в дальнейшем решаться задача управления составом. В данной работе анализируются две АС: первая — АС, состоящая из одного центра и нескольких АЭ (для решения задачи управления составом исполнительного звена) и вторая — АС, состоящая из одного АЭ и нескольких центров (для решения задачи управления составом управляющего звена).
Принципиальное отличие данных АС состоит в том, что в отличии от АС с одним центром в АС с несколькими управляющими центрами возникает игра между центрами, и поэтому, кроме нахождения оптимальных функций стимулирования, в данной АС необходимо еще уметь находить равновесные состояния АС, т.е. такие стратегии центров (функции стимулирования), при которых ни одному из центров не будет выгодно менять свою стратегию с равновесной на какую-либо другую при условии, что другие центры используют равновесную стратегию.
Для модели АС с одним центром и несколькими АЭ будет проведена классификация АС по разным признакам и выделены семь основных классов АС. Леммы, которые приведены в данном разделе, утверждают, что решения для некоторых из классов рассмотренных АС сводятся к решениям для других классов АС. В целом в дальнейшем в работе будут рассмотрены (без ограничения общности) два основных класса АС: с конечным числом АЭ и с бесконечным числом АЭ, причем центр не может определить тип каждого из АЭ и поэтому использует унифицированную систему стимулирования (или он не может применять персонифицированные системы стимулирования).
В связи с этим "лучшим" будем называть АЭ с большим типом ГІ, или, в соответствии с предположением об упорядоченности, с ббльшим номером. Данное название будет объяснено позднее при определении функций затрат АЭ. Соответственно "худшим" АЭ будем называть АЭ с меньшим типом, или, что то же самое, с меньшим порядковым номером. Действие всей системы задается как некоторая функция от действий активных элементов G : Х\ х Хі х ... х Хп X (заметим, что можно положить X — Х\ х Хч х ... х Хп и (7(-) — тождественная функция).
В случае, если максимум (1.6) достигается в нескольких точках, будем предполагать, что активный элемент выбирает действие в соответствии с Гипотезой Благожелательности (ГБ, см. [11]), а именно, такое действие из множества которое более выгодно центру. Заметим, что при вероятностной неопределенности типа реализуемое в зависимости от функции стимулирования действие с точки зрения центра является случайной величиной. В дальнейшем будем говорить, что АЭ реализует действие при заданной системе стимулирования, если он выбирает его в соответствии со своей целевой функцией.
В связи с предположением Р2 теперь понятна суть названий "лучший" и "худший" АЭ. Именно, под лучшим АЭ понимается АЭ, который может реализовать действие, затратив на это меньше усилий. Соответственно под худшим АЭ понимается АЭ, который на реализацию того же действия тратит больше усилий. В АС с конечным числом АЭ можно выделить как самый лучший, так и самый худший АЭ.
Свойства функций стимулирования и функций действия
В данном разделе рассматриваются свойства (и взаимосвязь) функции стимулирования и функции действия в общем случае (даже при неоптимальной функции стимулирования). Подробный анализ данных свойств позволит нам решить задачу управления фиксированным составом, что в итоге понадобится для решения задачи управления составом. Функция действия и функция стимулирования связаны между собою через условие рационального выбора АЭ: (2.2) /(г) Є Argmax(o-(:r) - c(r,x)) Vr e ft. хЄХ Поскольку задача АЭ является частью задачи поиска оптимальной системы стимулирования, то подробное исследования решения задачи (2.2) и установления совместных свойств функции действия и функции стимулирования необходимы для дальнейшего исследования. Данный раздел целиком посвящен изучению взаимосвязи между этими функциями как в дискретном, так и в непрерывном случае.
Фактически функция действия есть зависимость реализуемого действия от типа активного элемента: всегда можно предпочтения центра определить таким образом, что при выполнении Гипотезы Благожелательности активный элемент типа г будет реализовывать действие f(r) (при некоторых ограничениях на функцию /(г)). Мы постараемся узнать большее: какими свойствами обладает функция/(г), как она связана с функцией стимулирования а(х) (не считая определения (2.2)), какими свойствами обладает функция стимулирования, которой соответствует заданная функция действия.
Начнем исследование с самых простых свойств функции действия. Прежде всего заметим, что если /(г) — решение задачи (2.2) для некоторой а(х) Є М, то для любого г Є П выполняется неравенство (2.3) т(/(г)) - c(r, f{r)) О, т.е. стимулирование действия, выбираемого некоторым активным элементом системы, всегда не меньше затрат этого элемента на реализацию данного действия. Действительно, поскольку в силу свойства Р 2.1. с(г, 0) = 0 и сг(0) 0, то выполняется т(0) — с(г, 0) 0. Кроме того, /(г) Є Aigmax(a(x) - c(r,x)), хЄХ следовательно справедливо К/М) - с(г Дг)) = ыр(а(х) - с{г,х)) о-(О) - с(г, 0) 0. х =Х Следующая лемма говорит о свойстве, которое мы будем часто в дальнейшем использовать. Лемма 2.2.1. Для любой функции стимулирования функция действия является неубывающей функцией. Доказательство леммы 2.2.1 приведено в Приложении 1. Следовательно, вне зависимости от системы стимулирования, вне зависимости от затрат (необходима лишь отрицательная смешанная производная) действие, реализуемое активным элементом с большим типом всегда не меньше действия, реализуемого активным элементом с меньшим типом. Лемма 2.2.2. Для любой функции стимулирования целевая функ-ция АЭ {f{r)) - с(г, /(г)) является возрастающей функцией типа г АЭ. Доказательство леммы 2.2.2 приведено в Приложении 1. Данная лемма имеет важную экономическую интерпретацию. Мы говорили, что большему значению г соответствует лучший тип активного элемента. В данной теореме утверждается, что при возрастании типа Активного Элемента значение целевой функции строго возрастает. Это означает, что чем больший тип имеет активный элемент, тем бблыпую "прибыль" он получает помимо компенсации своих затрат. Жизненная необходимость данного условия обусловлена следующим фактом: получение лучшего типа (например, через дополнительное образование и т.п.) требует больших затрат, и, если бы прибыль при улучшении типа не изменялась, то не было бы никаких стимулов это дополнительное образование получать — затраты вырастут, а прибыль (целевая функция) не изменится.
Определим оператор Ф : М —» М следующим образом: (2.4) Ф(а)(х) = mf (cr(f(r)) - c(r, f(r)) + c(r,x)), где f(r) — решение задачи (2.2) с функцией а(х). Очевидно, что Ф(сг) может, вообще говоря, зависеть от конкретного выбора функции /(г) (поскольку определение /(г) с помощью (2.2) допускает в общем случае неоднозначность), однако в дальнейшем (утверждение 2.2.8) будет доказано, что вне зависимости от f(r) функция Ф(а)(х) зависит только от а(х).
Мы покажем, что Ф(сг)(-) обладает всеми необходимыми свойствами функции стимулиіювания и ее можно использовать вместо функции сг(-), но, наряду со свойствами функции т(-), она обладает многими другими достоинствами, например абсолютной непрерывностью, и работать с ней несомненно легче, чем с сг(-). Используя функцию Ф( т)(-) (вместо 0"(-)) можно значительно сузить класс всех допустимых функций стимулирования (т.к. от этой замены не изменяются затраты и функция действия).
Управление составом путем обучения
В данном разделе на основании рассмотренной модели АС с несколькими АЭ анализируются вопросы изменения состава АЭ путем обучения (изменения типа АЭ). Находятся необходимые и достаточные условия того, что различным агентам АС выгодно изменять тип АЭ.
Прежде всего, отметим, что центр рассматривает принятие текущих (не стратегических) решений, т.е. мы говорим о малом возможном улучшении типа сотрудников, когда центр является достаточно "близоруким" и не может оценить большого изменения типов. Он оценивает только краткосрочную выгоду от своих действий. Как легко понять, такая политика может не привести к действительно оптимальному исходу, однако в данной работе мы будем рассматривать только такую ситуацию.
Как мы уже отмечали, если действие АЭ при оптимальной функции стимулирования отличается от действий других АЭ (на самом деле достаточно, чтобы действие АЭ отличалось от действия предыдущего АЭ), то улучшение его типа обязательно скажется на уменьшении общих затрат на реализацию некоторого агрегированного действия.
Будем предполагать, что действие АЭ отличается от действий друг АЭ в системе. Заметим, что производная общих затрат по действию конкретного элемента равна нулю (поскольку используется оптимальная функция стимулирования). Следовательно, если тип АЭ улучшается, то общие затраты (при фиксированных действиях АЭ) уменьшаются (в соответствии с формулой (2.13) на так как при этом уменьшаются затраты на стимулирование данного АЭ и всех элементов с лучшими типами. Заметим, что в предыдущей формуле подразумевалась производная по типу. В дальнейшем в данном разделе все производные функций затрат будут рассматриваться по типу.
Теперь заметим, что наиболее выгодно улучшать тип того элемента, для которого отношение выгоды от улучшения типа к затратам на увеличение максимально, следовательно, мы доказали теорему
АЭ увеличится, а прибыль как центра, так и других АЭ не изменится. Если же после изменения типа мы так изменим функцию стимулирования, что АЭ будут выбирать те же самые действия, но при этом ограничении функция стимулирования будет оптимальной (затраты центра будут минимальны), то прибыль самого АЭ и АЭ с худшими типами не изменится, а прибыль лучших АЭ уменьшится на одну и ту же величину.
Отметим, что если центр может извлекать прибыль из уменьшения типов АЭ, то верны результаты, аналогичные доказанным ранее. При этом будет справедливо следующее (доказываемое аналогично предыдущим)
Заметим, что, применяя "близорукую" политику, центр может прийти к такому составу, когда локально будет не выгодно увеличивать тип ни одного из АЭ, однако это равновесие будет не оптимально.
Рассмотрим теперь АС, в которых существуют АЭ, которые при оптимальной функции стимулирования выбирают одинаковые действия. Результаты данной главы распространяются на АЭ, чьи действия отличаются от действий других элементов, и на АЭ, чьи действия совпадают с действиями других АЭ, но отличаются от действий худших (или предыдущих по порядку) АЭ. Кроме того, можно показать, что результаты данной главы с некоторыми ограничениями применимы к АЭ, чьи действия отличаются от действий лучших АЭ (при этом будут другие формулы). Однако небольшие изменения типов АЭ, чьи действия совпадают как с действиями наилучших, так и с действиями наихудших АЭ, не приведут к изменению оптимальной функции стимулирования и, как следствие, к изменению прибыли центра. Однако при улучшении типа данного АЭ прибыль получит сам АЭ. Притом прибыль будет равна разности между его затратами. Поскольку производная от затрат составляет СГ(ГІ,ХІ), а функцией д(г) определяются затраты на увеличение типа, то верно следующее утверждение.
Утверждение 3.2.5. Если действие АЭ совпадает с действием (некоторого) лучшего АЭ и (некоторого) худшего АЭ. то данному АЭ выгодно увеличить тип путем обучения если 9(ГІ) Итак, кратко подведем итоги третьей главы.
В разделе 3.1 рассматривались вопросы формирования состава ис-полнителей на основании проведенного в главе 2 исследования свойств оптимальных функций стимулирования. Была рассмотрена динамическая модель формирования состава исполнителей, приведен алгоритм нахождения последовательности оптимальных составов (в различные интервалы времени) на основании решения задачи динамического программирования. Показано, что оптимальной стратегией является увольнение сотрудников с типом меньше критического, при этом данное критическое значение типов определяется по текущему составу АС и не зависит от АЭ, типы которых меньше данного критического значения.
Оптимальность равновесий
В данном разделе исследуется следующий вопрос: всегда ли в активной системе существует равновесие, исход которого оптимален? Или, если мы говорим о формировании состава центров, для всякого ли состава существует равновесие, исход которого оптимален? Так же хотелось бы знать, как связаны выигрыши в равновесии с возможными выигрышами в Парето-эффективном равновесии.
Данный результат играет огромную роль. Фактически теорема 4.2.1 говорит о том, что если в АС реализуется неэффективное равновесие, то (например) метацентр может указать такое изменение стратегий (на самом деле, что видно из доказательства теоремы, изменения могут коснуться только стимулирования оптимального действия, т.е. одной точки), что оба АЭ от такого изменения только выиграют. Или, другими словами, при реализации неэффективного равновесия в АС с двумя центрами неэффективность заключается в проблеме координации.
К сожалению, данное утверждение (в части доминирования) не действует для произвольной АС с тремя центрами и более. Приведем следующий простой пример. Заметим однако, что в предыдущем примере одно из неоптимальных равновесий (с исходом х = хі) все-таки доминировалось оптимальным, и вопрос о том, есть ли такой пример, когда ни одно из неоптимальных равновесий с данным исходом не доминируете оптимальным остается открытым.
В данном разделе будет рассмотрен вопрос существования равновесий в получающейся игре центров. Необходимо заметить, что при рассмотрении подобных игр было замечено, что вопрос существования зачастую трудно доказуем, и поэтому при доказательстве существования делаются некоторые упрощающие предположения. В данном разделе будет доказано, что в АС, состоящей из двух АЭ всегда существует равновесие.
Рассмотрим подробнее равновесие Нэша с угрозой s в случае двух центров. Естественно, что каждому из центров выгодно угрожать противнику в той точке, в которой его (противника) выигрыш минимален, т.е. в точках множества Argmin Н-І(Х), чтобы противник не согласился на реализацию исхода угрозы, где Я-Дя) = ) Щ(х). Заметим, что в связи с предположением о непрерывности функций Нр(х) данный минимум достигается (если множество {х : НІ{Х) — с{х) s} не пусто).
Введенные функции fi (s) есть минимальные значения дохода г-го центра на подмножестве X, где (—г )-й центр может обеспечить угрозу s. Значение at- есть максимально возможный выигрыш (значение целевой (рункций) в игре г-го центра с АЭ, если в АС отсутствует другой центр, &Х{ — исход, при котором этот выигрыш достигается. Заметим, что функции fi(s) определены при s Є [0, a_i], являются неубывающими и непрерывными слева.
Далее будем предполагать, что #J(s) и x (s) ни при каком s не совпадают (во многих случаях, впрочем, это условие можно ослабить). Пусть мы хотим определить, может ли некоторая точка х множества X быть реализована как равновесие Нэша (возможно, с угрозой). Рассмотрим необходимые и достаточные условия для этого в терминах введенных функций.
На этом рисунке при фиксированном х по оси абсцисс отложена величина угрозы, графики соответствуют функциям, фигурирующим в первых двух неравенствах (4.6). Жирными линиями отмечен максимум (левые части уравнений), правым частям соответствуют горизонтальные линии. Для того чтобы определить, при каких угрозах может быть получен исходя; , необходимо найти, где соответствующая правой части горизонтальная прямая проходит выше соответствующей жирной линии и взять пересечение полученных множеств для всех трех уравнений. Заметим, что на рисунке не отображены функции, соответствующие третьему уравнению, но это делается аналогично (единственно — вместо горизонтальной прямой будет наклонная прямая, соответствующая Hi(x ) + (x ) — с(х ) — s).
При увеличении s нельзя точно сказать, как ведет себя множество реализуемых исходов с угрозой s, поскольку в неравенствах (4.6) при сц — $ fi(s) соответствующий максимум уменьшается, а при di — s fi (s) соответствующий максимум не уменьшается (может увеличиваться). Соответственно если максимумы уменьшаются, то множество возможных х , удовлетворяющих (4.6), увеличивается, в противном случае уменьшается. При различных неравенствах (для первого и второго центров) эффекты действуют в различные стороны, и результат их действия (как изменится множество реализуемых с данной угрозой исходов) указать нельзя.
