Содержание к диссертации
Введение
1 Взаимодействие малых гидродинамических возмущений с потоком неравновесного неоднородного газа 13
1.1 Анализ распространения малых гидродинамических возмущений в проточных лазерных системах 14
1.1.1 Особенности проточных лазерных систем 14
1.1.2 Общий алгоритм анализа взаимодействия возмущений . 16
1.1.3 Общая постановка задачи 17
1.1.4 Метод гидродинамических мод 19
1.1.5 Решение стационарной системы гидродинамических уравнений 20
1.2 Одномерное взаимодействие возмущений с неоднородпостями в потоке неравновесного газа 24
1.2.1 Разложение возмущений на моды 24
1.2.2 Исследование свойств одномерного резонатора 25
1.2.3 Влияние стенок резонатора на свойства проточной системы 29
1.3 Двумерное распространение малых возмущений 32
1.3.1 Разложение возмущений на моды 32
1.3.2 Прохождение и отражение звуковой волны 36
Основные результаты главы 1 50
2 Устойчивость неоднородного потока колебательно- неравновесного газа 51
2.1 Постановка задачи 51
2.2 Общий алгоритм анализа устойчивости 52
2.3 Результаты численного моделирования 55
2.3.1 Одномерные гидродинамические возмущения 55
2.3.2 Двумерные гидродинамические возмущения 56
2.3.3 Волноводное распространение двумерных гидродинамических возмущений 60
2.3.4 Модель є = const (ІЗ
Основные результаты главы 2 66
3 Анализ влияния диффузии и теплопроводности среды на устойчивость волн горения 67
3.1 Расчет скорости и структуры волны горения для однокомпонентиой необратимой реакции 69
3.1.1 Результаты численного моделирования 73
3.2 Гидродинамическая устойчивость волны горения с учетом диф фузии и теплопроводности 78
3.2.1 Численный расчет 80
Основные результаты главы 3 85
4 Нелинейный режим взаимодействия малых возмущений с потоком в условиях неустойчивости стационарного течения 86
4.1 Методы решения 87
4.2 Постановка задачи 89
4.3 Характеристические направления и условия совместности 90
4.4 Послойный метод характеристик 91
4.5 Конечно-разностный метод 93
4.С Результаты численного моделирования 94
Основные результаты главы 4 97
Основные результаты и выводы 98
Литература 99
- Особенности проточных лазерных систем
- Влияние стенок резонатора на свойства проточной системы
- Результаты численного моделирования
- Гидродинамическая устойчивость волны горения с учетом диф фузии и теплопроводности
Введение к работе
Актуальность
Устойчивость потока неоднородного неравновесного газа и его взаимодействие с малыми гидродинамическими возмущениями всегда привлекало внимание исследователей. Причин для этого несколько. Во-первых, результаты такого взаимодействия важны для прикладных задач, например, для лазерной физики, газодинамики, физики газового разряда. Во-вторых, интерес к этой задаче связан с нерешенностью общей проблемы воздействия линейных возмущений на нелинейную систему, каковой является ноток неравновесной среды.
При анализе развития развития неустойчивости в неравновесной среде возникает вопрос о новом состоянии, в которое переходит система. В отличии от покоящихся сред, в потоке неравновесного газа невозможны стационарные режимы с высокой температурой, аналогичные тем, которые возникают при тепловом взрыве, поэтому анализ нелинейных режимов представляет как теоретический, так и практический интерес.
При анализе гидродинамической устойчивости неравновесного газа, как правило, рассматривались покоящиеся среды [1], [2],[3]. Устойчивость проточных систем рассматривалась с помощью простого перенесения результатов для покоящейся среды на движущийся ноток [4|, то есть обычно при анализе не делалось различий между покоящейся средой и проточной системой. Однако это различие принципиально и связано с тем, что, например, часто анализируемое тепловое возмущение просто выносится потоком из рабочей зоны и тот факт, что такое возмущение усиливается, не имеет принципиального значения. Усиление возмущений в таких системах возможно только за счет появления обратной связи, а такая связь возникает за счет неоднородности потока. Неод-
породность неравновесных сред является их отличительной особенностью. В проточных системах происходит разогрев газа по мере движения потока по рабочей зоне лазера. Этот разогрев имеет принципиальное значение, потому что с увеличением мощности увеличивается и нагрев газа. Именно нагрев и возникновение градиентов гидродинамических параметров приводят к появлению обратной связи за счет отраженных акустических волн. В настоящей работе предлагается общая постановка задачи для описания взаимодействия малых гидродинамических возмущений с потоком неоднородного неравновесного газа, а также для исследования его устойчивости.
Проблема устойчивости проточной системы, в которой скорость потока является существенно дозвуковой, коренным образом отличается как от проблемы устойчивости волн горения, [5, 6, 7, 8] так и от задачи по устойчивости детонационных волн [9, 10, 11]. Действительно, из-за сравнительно большой скорости потока (десятки метров в секунду) эффекты теплопроводности не играют существенной роли по сравнению с гидродинамическим переносом. Соотношение гидродинамического переноса энергии к теплопроводности определяется скоростью волны горения для данной среды. Скорость волны горения является собственным значением задачи и она оказывается таковой, что эффекты гидродинамического переноса энергии сравниваются с эффектами теплопроводности. Для рассматриваемых сред скорость волн горения составляет десятки сантиметров в секунду. Скорость прокачки в лазерных системах - это десятки метров в секунду, поэтому теплопроводностью можно пренебречь. В этом смысле система очень похожа на релаксационную зону за фронтом детонационных волн [12], однако граничные условия и скорости, конечно, сильно отличаются, поэтому задача оказывается непохожей на все стандартные гидродинамические задачи устойчивости.
Одной из фундаментальных проблем в физике горения является определение устойчивости волн горения. Существуют две теории устойчивости волн горения. Одна из них, гидродинамическая, связана с именами Ландау и Даррье (теория ЛД). В этой теории показано, что волна горения неустойчива по отношению к возмущениям гидродинамических параметров при любых скоростях и
любых волновых числах возмущений. Поскольку этот результат противоречит эксперименту, то он получил название "парадокса Ландау - Даррье"[5, 6].
Вторая теория (диффузионно-тепловая) объясняет неустойчивость волн горения возмущениями тепловых параметров [14, 15]. При рассмотрении гидродинамической (ЛД) и диффузионно-тепловой (ДТ) неустойчивости возникает естественный вопрос о возможности объединения этих теорий в одну общую модель устойчивости. В общем виде такая задача не решена.
При дальнейшем развитии возмущений, приводящих к неустойчивости, возможен переход системы в новое состояние. Это состояние не может быть стационарным, поскольку исходная система уравнений не имеет другого стационарного распределения параметров. В работе проведены расчеты в нелинейном приближении, которые показали, что в одномерном случае в потоке возникает пульсирующий режим.
Цель работы
Формулировка и реализация метода, позволяющего рассматривать взаимодействие малых одномерных и двумерных линейных возмущений с потоком неоднородного неравновесного газа, включая исследование устойчивости такого потока.
Расчет генерации малых гидродинамических возмущений при взаимодействии падающих звуковой и вихревой воли с конечной неравновесной областью для различных моделей накачки энергии.
Решение задачи об устойчивости потока колебательно-неравновесного неоднородного газа для различных моделей накачки энергии.
Решение задачи об устойчивости волны горения, учитывающей сжимаемость среды, теплопроводность и диффузию для модели одной необратимой химической реакции.
Расчет нового режима распространения потока вследствие развития гидродинамических возмущений.
Научная новизна работы
Сформулирована и решена задача о взаимодействии малых гидродинамических возмущений с потоком неравновесного газа. Впервые рассчитаны коэффициенты отражения и прохождения падающей звуковой волны через неоднородный поток неравновесного газа. Определена область параметров, в которой наблюдается значительное усиление падающей звуковой волны.
Впервые решена задача о взаимодействии дополнительной турбулизации потока с локальной областью колебательно-неравновесного газа, которая приводит к генерации тепловых волн. Найдены параметры, при которых амплитуда генерируемой тепловой волны максимальна.
Впервые решена задача об устойчивости потока колебательно-неравновесного газа и определены параметры, при которых возникают неустойчивые режимы.
Показано, что в одномерном случае неустойчивый режим, формируемый нелинейными возмущениями, приводит к образованию пульсирующих течений.
Впервые решена задача о неустойчивости волны горения с учетом сжимаемости среды, теплопроводности и диффузии в среде с одной прямой химической реакцией, позволившая создать теорию, объединяющую гидродинамическую и диффузионно-тепловую неустойчивости.
Научная и практическая ценность
Построена последовательная теория для расчета устойчивости потока колебательно-неравновесного газа по отношению к малым конечным гидродинамическим возмущениям. Работоспособность теории подтверждена расчетами неустойчивости потока с локальной неравновесностью, включая неустойчивость воли горения. Практическая ценность работы заключается в анализе режимов, моделирующих тепловые эффекты в реальных проточных газовых лазерах.
Защищаемые положения
1. Формулировка задачи о взаимодействии малых гидродинамических воз
мущений с неоднородным потоком колебательно-неравновесного газа, поз
волившая в рамках единого подхода:
найти коэффициенты отражения и прохождения падающей звуковой волны на неравновесную область для различных моделей накачки энергии и обнаружить их немонотонную зависимость при изменении частоты возмущений;
определить для различных моделей накачки энергии порог устойчивости потока неравновесного газа.
Результаты расчета взаимодействия вихревой волны с локальной областью неравновесное, показывающие, что зависимость амплитуды генерируемой тепловой волны, влияющей па теплопередачу, немонотонна.
Результаты расчета критериев неустойчивости потока колебательно-неравновесного газа и обнаружение пульсирующего режима, формируемого нелинейными возмущениями в одномерном случае.
Результаты расчета неустойчивости волны горения с учетом сжимаемости, теплопроводности и диффузии в среде с одной прямой химической реакцией, одновременно учитывающего все типы возмущений и позволившего проследить переход от гидродинамической к диффузионно-тепловой неустойчивости.
Апробация работы и публикации
Основные результаты диссертационной работы докладывались на:
Международной научной конференции "Laser Optics"(Санкт-Петербург 2003);
Международной конференции "Nonequilibrium processes in combustion and plasma based technologies" (Минск 2005);
3. IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород 2006);
Кроме того, результаты работы докладывались на конференциях "Ломоносов-2001", "Ломоносов-2002".
По результатам работы опубликовано 2 статьи в реферируемых научных изданиях, 5 тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях и одна статья в печати,
Мукин Р.В., Осипов А.И., Уваров А.В. Взаимодействие малых гидродинамических возмущений с неравновесной областью в потоке газа. // Журнал прикладной механики и технической физики, 2005, т. 46, №6, с. 58-64.
Мукин Р.В., Осипов А.И,, Уваров А.В. Устойчивость неоднородного потока колебательно-неравновесного газа в волноводе. // Изв. РАН. МЖГ. 2007. №1. с. 144-150.
Мукин Р.В., Осипов А.И., Уваров А.В. Блошенко А.В. О едином описании гидродинамической и диффузионно-тепловой неустойчивости волн горения. // Химическая физика, т. 26, 2007 (в печати).
Мукин Р.В., Уваров А.В. Устойчивость проточных неравновесных систем. // конференция "Ломоносов-2002", Москва, 2002, с. 115-116.
Mukin R.V., Osipov A.I. Uvarov A.V., "Hydrodynamic stability of noncquilibrium gas in fast flow gas lasers", Technical Digest of Second International Conference on Laser Optics for Young Scientists (LOYS-2003), St. Petersburg, Russia, 2003, p.65
Мукин P.B. Взаимодействие малых гидродинамических возмущений с потоком неоднородного колебательно неравновесного газа // конференция "Ломоносов-2003", Москва, 2002, с.117-118.
R.V. Mukin, A.I. Osipov, "Interaction of small hydrodynamic perturbations with inhomogeneous nonequilibriurn gas flow", Nonequilibrium processes in combustion and plasma based technologies Minsk, Belarus, (MIC 2005) 2005, p.141-143
8. Мукин Р.В. Осипов А.И. Рощииа Н.А. Уваров А.В. Гидродинамическая устойчивость в неравновесных газовых системах с энерговыделением при разных способах теплоотвода // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике т.Н Аннотации докладов, Нижний Новгород, изд-во Нижегородского гос. университета.
Объем и структура диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем 103 страницы, в том числе 45 рисунков. Список литературы содержит 42 наименования.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы и изложено ее краткое содержание.
В первой главе приведены результаты расчета профилей гидродинамических параметров для различных моделей накачки энергии. Рассмотрена строгая постановка задач об отражении и прохождении звуковых и вихревых возмущений через неравновесную область в одномерном и двумерном приближениях. Найдены коэффициенты отражения (прохождения) для всех возникающих при этом возмущений во всем диапазоне частот. Показано, что при дополнительной турбулизации генерируется тепловая мода и при определенных параметрах системы ее амплитуда достаточно большая.
Во второй главе рассмотрена строгая постановка задачи устойчивости потока неравновесного газа по отношению к малым линейным одномерным и двумерным возмущениям. Для каждой модели накачки энергии найдены кривые нейтральной стабильности, ниже этого графика поток неравновесного газа будет устойчив, а выше - неустойчив. Далее рассмотрен вопрос устойчивости нелинейных возмущений. Приведено обоснование выбора метода расчета нелинейной задачи.
В третьей главе приведен алгоритм расчета скорости волны горения а также рассчитана неустойчивость волны горения с учетом теплопроводности и диффузии.
Четвертая глава посвящена расчету нелинейного режима взаимодействия малых возмущений с потоком в условиях неустойчивости стационарного течения.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы.
Особенности проточных лазерных систем
Неравновесный газ, т.е. газ с неравновесным запасом энергии во внутренних степенях свободы, нельзя рассматривать в отрыве от источников накачки энергии и способов ее отвода. Задача с отводом тепла за счет процессов теплопроводности хорошо изучена. Однако наиболее мощные лазеры и разряды создаются по другому принципу. Теплоотвод в таких системах осуществляется за счет прокачки газа. Конечно, это не теплоотвод в обычном понимании, а просто унос из системы нагретого газа.
Для определенности будем рассматривать колебательно-неравновесную систему. Равновесный холодный газ из области I поступает в область накачки энергии И. После накачки энергии в колебательные степени свободы, в области III колебательная температура Ту становится много больше поступательной температуры газа Т, и такое состояние используется для создания лазера, однако, за счет VT - релаксации газ нагревается, и рабочая область III переходит в равновесную область IV, где Ту — Т.
Традиционный анализ малых тепловых возмущений в неравновесной покоящейся среде здесь неприменим, поскольку даже в случае усиления этих возмущений неустойчивость не будет наблюдаться из-за сноса усиливающихся возмущений вместе с потоком. Поэтому важную роль играет обратная связь, которая возникает за счет отражения возмущений от профилей параметров, эта область образует своеобразный резонатор для гидродинамических возмущений. В итоге необходим анализ двух процессов: взаимодействия с профилями параметров и обычного механизма усиления, связанного с изменением сброса энергии при прохождении возмущений.
В простейшей постановке рассматривается одномерная задача для невозмущенных параметров и одномерная или двумерная задача для возмущений, однако следует иметь ввиду, что в реальности система ограничена по длине, это могут быть зеркала или стенки и звуковые возмущения могут отражаться от них и возвращаться в неравновесную область.
Для простейшего случая одномерного потока газа возможны две постановки задачи о распространении возмущений. В одномерном варианте, когда возмущения распространяются вдоль потока, возмущения среды можно представить в виде а (х, t) = а(х)еи в случае, если основной ноток неоднороден, но стационарен и основные параметры не зависят от времени. Здесь через а обозначено возмущение любого гидродинамического параметра (плотности р, температуры Т, скорости vx и колебательной энергии є). В двумерном случае a (x,y,t) = а(х)еші+гкуУ, то есть, помимо частоты и, возникает волновой вектор ку, поскольку основные параметры не зависят от координаты у и произвольное возмущение может быть разложено по гармоникам по этой координате. Кроме того, добавляется возмущение скорости по оси у -v[ (стационарное значение vy = 0). Трехмерный случай для возмущений не вносит ничего нового, поскольку для любых волновых векторов ку и kz задачу можно свести к двумерной соответствующим поворотом оси координат. В равновесной области градиенты термодинамических параметров равны нулю, при этом возмущения для каждой моды будут распространяться независимо. Это позволяет найти дисперсионное уравнение для каждой моды возмущений. Интегрируя каждую моду в отдельности по неравновесной области справа налево и сшивая на границе (см. рис.1.2), получим матрицу, состоящую из амплитуд возмущений, для одномерного случая размерности (4 х 4), а для двумерного (5x5).
Если задать падающую на неравновесную область звуковую, тепловую или вихревую волну, то можно рассчитать соответствующие каждой моде коэффициенты прохождения и отражения, т.е. получить характеристики неравновес ной зоны как резонатора. Неустойчивость будет возникать в случае бесконечно большого коэффициента прохождения, т.е. в ситуации, когда неравновесная область сама генерирует возмущения. В одномерном случае варьируемых параметра три - колебательная температура Ту, скорость потока газа v и частота и (uL/Cs в безразмерном виде) В двумерном случае варьируемых параметров четыре - добавляется волновой вектор ку. Задавая определенным образом профили невозмущенных параметров в неравновесной области, можно учитывать способ накачки энергии и релаксацию, т.е. учитывать конкретные варианты лазерных систем. В данной работе рассматриваются три вида накачки лазерной системы: 1. Накачка энергии происходит в узкой зоне, гораздо меньшей зоны релаксации, в дальнейшем будем называть такой вариант - система с локальной накачкой энергии. 2. Накачка энергии происходит в протяженной зоне, т.е. учитывается конечная ширина зоны накачки (система с протяженной накачкой энергии). 3. Модель постоянной колебательной энергии (є = const). Такой вариант накачки соответствует быстрому восстановлению колебательной неравновесности, например, за счет обмена энергией с электронами.[25].
Влияние стенок резонатора на свойства проточной системы
Учет влияния стенок резонатора связан с тем, что в реальных системах помимо двух рассмотренных неоднородных профилей параметров присутствуют стенки и торцы, от которых звуковые возмущения могут отражаться, возвращаясь обратно в неравновесную область. Остальные возмущения не могут отражаться от стенок поскольку они уносятся потоком. В этом разделе с помощью описанного выше метода анализируются свойства неравновесной области с учетом стенок.
Заштрихованные области Ту и v, к которой рассматриваемая система работает как резонатор. ре Ту в рассмотренном интервале имеются аномально большие коэффициенты прохождения, как в случае узкой зоны накачки энергии, так и в случае протяженной зоны накачки энергии. Таким образом, в этом случае при любой Ту система может генерировать возмущения, но только в небольшой области частот. В этой области частот на длине неравновесной зоны укладывается целое число звуковых и тепловых длин волн, поэтому наблюдаются резкие резоиаи-сы. В реальных проточных системах крайне важно, чтобы возникающие возмущения оказались не в резонансной области, что необходимо учитывать при проектировании геометрии установки.
Двумерные возмущения целиком описывают свойства системы, т.к ось z можно получить, повернув на соответствующий угол ось у. Как и в одномерном случае, интегрируя возмущения, соответствующие различным модам, по релаксационной зоне и приравнивая возмущения гидродинамических параметров слева и справа от разрыва, получаем матрицу (5 х 5).
Рассматривается задача о прохождении падающей звуковой волны через неравновесную область. Вычисление коэффициента прохождения и отражения звуковой волны полностью аналогично методу, описанному в одномерном случае. Отличие состоит в том, что эти коэффициенты вычисляются при косом падении звуковой волны. На рис. 1.16 представлены трехмерные графики зависимости коэффициента прохождения (Ktr) от безразмерных волновых чисел UJL/CS и куЬ при фиксированной колебательной температуре Ту = 2350/іГ и скорости потока газа v = 100 м/с в случае локальной накачки энергии. Как видно из рис. 1.16(A) при некоторых значениях lm(wL/Cs) и kyL, величина коэффициента прохождения Ktr 1- Как видно из рис. 1.16(B), эффект сильного усиления связан со сбросом энергии из колебательных степеней свободы и при его отключении он пропадает. На рис. 1.17, па котором представлены трехмерные графики коэффициента прохождения при разных Ту, при небольших Ту, коэффициент прохождения меньше 1, с увеличением Ту, начиная с некоторой колебательной температуры на определенных lm(cuL/Cs) и kyL, возникает большой коэффициент прохождения Ktr Ю- При дальнейшем увеличении Ту пик постепенно исчезает.
Если выбрать другую скорость v, то можно найти область Ту, при которых коэффициент прохождения достаточно велик. Таким образом можно построить график 1.18, на котором выделена область Ту и v, в которой Ktr 10, т.е., если для проточной системы при некоторой скорости прокачки колебательная температура будет находиться в заштрихованной области, то при определенной lm(puL/Cs) и kyL возмущения будут усиливаться более чем в 10 раз. Внутри заштрихованной области на рис. 1.18 выделена линия, соответствующая макси малыюму коэффициенту усиления.
Для других Ту при той же скорости прокачки зависимость Ktr(lm(wL/Cs),kyL) представлена на рис. 1.20. Заметим, что имеется область Ту, в которой происходит резонансное усиление возмущений. Таким образом можно найти область Ту при фиксированной и, в которой наблюдается аномально большие коэффициенты прохождения. Выбирая другую скорость прокачки, можно найти другую Ту и т.д. Получающаяся зависимость представлена на рис.1.21. Заштрихованная область, как и на рис. 1.18, соответствует Ktr 10. Видно, что зависимость немонотонная. Такая немонотонность наблюдалась во многих экспериментах с прокачкой газа. Па рисунке 1.25 представлена полученная экспериментально зависимость предельной вкладываемой мощности в разряд от скорости потока газа. Видно, что эти графики подобны.
В реальных лазерных проточных системах большое влияние могут оказывать стенки резонатора. Это связанно с тем, что в реальных системах помимо двух рассмотренных неоднородных профилей параметров присутствуют стенки и торцы. Эти факторы приводят к образованию граничных условий и, фактически, ограничивают пространство для звуковых возмущений, т.к. звуковые возмущения, отражаясь от стенок, возвращаются в неравновесную область.
Результаты численного моделирования
Рассмотрим более подробно устойчивость потока неравновесного газа по отношению к малым одномерным возмущениям. Как уже было указано выше, в одномерном случае волновой вектор / =0, и третье уравнение в системах (2.2, 2.3) отсутствует. Проводя анализ устойчивости, описанный выше, для заданной скорости потока можем найти такую предельную колебательную температуру, при которой детерминант матрицы (2.4) запуляется при Re(uL/Cs) 0. Т.к. в численных расчетах невозможно достижение нуля, то будем считать, что детерминант зануляется, если он меньше 0.0001. На рисунке 2.1 приведен пример расчета детерминанта для случаев, когда он зануляется при Re(uL/Cs) 0, т.е. возмущения затухают с течением времени, и Re(uL/Cs) 0, т.е. возмущения усиливаются.
Рассмотрим более подробно устойчивость потока неравновесного газа по отношению к малым одномерным возмущениям. Как уже было указано выше, в одномерном случае волновой вектор ку 0, и третье уравнение в системах (2.2, 2.3) отсутствует.
Проводя анализ устойчивости, описанный выше, для заданной скорости потока можем найти такую предельную колебательную температуру, при которой детерминант матрицы (2.4) зануляется при Re(ioL/Cs) 0. Т.к. в численных расчетах невозможно достижение нуля, то будем считать, что детерминант зануляется, если он меньше 0.0001. На рисунке 2.1 приведен пример расчета детерминанта для случаев, когда он зануляется при B,e{toL/Cs) 0, т.е. возмущения затухают с течением времени, и R.e{uiL/Cs) 0, т.е. возмущения усиливаются.
Для одномерных возмущений существуют только четыре волны: тепловая, релаксационная и две звуковые. При малых частотах обе звуковые волны направлены против потока, т.к. мнимая составляющая звуковой волны Т больше пуля, Im(kxI) 0. Начиная с uiL/Cs = 1.2, Im{kxI) 0, наблюдается нормальный режим распространения звуковых волн, т.е. звуковые волны направлены в разные стороны. Исследование устойчивости проводилось именно при нормальном распространении звуковых волн, поскольку зануление детерминанта происходит именно на таких частотах.
В условиях эксперимента фиксированным параметром, как правило, является ширина зоны накачки, а скорость потока и степень неравновесное можно варьировать. На рис. 2.4 самая верхняя кривая соответствует бесконечно малой длине зоны накачки. При увеличении этой длины кривые смещаются вниз.
При анализе устойчивости основную роль играет соотношение ширин зоны накачки и зоны релаксации. С увеличением ширины зоны накачки газ становится менее устойчивым (рис. 2.4). Если усиливается вихревая мода, то в возникающем турбулентном потоке теплообмен улучшается, т.е. улучшаются условия генерации. Кривые нейтральной устойчивости: 1 - модель локальной накачки энергии: 2, 3 и 4 - модель протяженной накачки энергии, при d 3 см; 10 см; 30 см. следствие, к срыву генерации. Проведенный анализ лишь указывает, что выше кривой нейтральной стабильности одномерное течение становится неустойчивым. Для ответа на вопрос о последствиях потери устойчивости для генерации, необходимо рассмотреть более сложную нелинейную задачу. Однако качественные выводы могут быть сделаны уже из анализа амплитуд гидродинамических мод в точках нейтральной стабильности. На рис. 2.5 представлены результаты расчета для возмущений колебательной энергии, температуры и компонент скорости для модели локальной накачки энергии (см рис. 2.4). Все амплитуды отнесены к амплитуде звуковой моды, распространяющейся против потока. На графиках представлены модули этого комплексного отношения в зависимости от скорости потока.
Критические возмущения возникают в области, где ширина релаксационной зоны порядка длины звуковой волны. По-видимому, речь не идет о тепловом взрыве и контракции, поскольку температурные возмущения имеют конечные значения амплитуды как для тепловой, так и для звуковой мод (отношение к звуковой волне, распространяющейся против потока, равно единице даже при малых скоростях потока). Кроме того, с увеличением скорости роль тепловой моды в формировании температурных возмущений уменьшается.
Гидродинамическая устойчивость волны горения с учетом диф фузии и теплопроводности
Неустойчивость возникает при появлении возрастающих гидродинамических и термодинамических возмущений, исходящих от самой волны. Перейдем к анализу малых возмущений. Перед и за волной горения малые возмущения можно разложить по модам, затухающим при отходе от волны.
Интегрируется система (3.10) по зоне нагрева с начальными параметрами, для соответствующих мод, распространяющихся в однородной нагретой зоне. Далее полученные моды согласуются на фронте реакции с модами, распространяющимися в зоне 2, см. рис. 3.2. Условия на фронте реакции хорошо известны [28].
В условиях согласования мод можно отказаться от использования параметра . В качестве профилей гидродинамических параметров выбирается численное решение уравнений 3.5 методом "пристрелки". В этом случае для полного согласования мод необходимо будет учитывать еще две вязкостные моды. Система сильно усложняется, но при этом получаемые результаты практически не изменяются.
Данный подход является общим и он включает как теорию ЛД, так и теорию ДТН. Действительно, если рассматривать только 4 переменные (Т , дТ /дх, а , да /дх), постулируя, что вес остальные равны нулю, получим теорию ДТН. Если же учитывать только переменные р , v x, v y, полагая температурные и концентрационные возмущения равными нулю, получим теорию ЛД. Области применимости каждого из этих приближений будут определены в ходе решения задачи. План дальнейшего изложения таков. Сначала будет рассмотрено общее решение задачи для газов в том диапазоне параметров, который приводит к теории ЛД, затем будет исследовано влияние параметров среды на изменение этого решения, в конце работы будет определен диапазон параметров, соответствующих ДТН.
Как видно из графиков, на поведение дисперсионных кривых существенным образом влияют число Льюиса, энергия активации Еа и суммарное энерговыделение Q. С другой стороны, изменение Еа не приводит к заметным изменениям вида дисперсионных кривых, в то время как скорость волны горения при этом меняется на порядок.
Таким образом, строгий анализ устойчивости показывает, что для длинноволновых возмущений модель ЛД достаточно точно описывает гидродинамические неустойчивости. Однако уже при ку5 0,2 для Le = 1 происходит отклонение от решения ЛД. Гипотеза Маркштейна [3G] о зависимости скорости волны от кривизны качественно правильно описывает характер изменения коэффициента усиления от длины волны, однако в противоположность теории Маркштейна эта зависимость не параболическая. Таким образом рассмотренный в работе подход позволяет решить задачу устойчивости при произвольном числе Le. Отметим, что при низких частотах гидродинамическая неустойчивость является определяющей.
Дисперсионные кривые: (а) для различных значений числа Le при Ea/RTo = 8, Q = 6, (б) для различных величин энергии активации Ea/RTo при Le = 1, Q — б, (в) для различных значений суммарного энерговыделения Q при Le = 1, Ea/RTo = 8. Пунктирная линия - линия нейтральной устойчивости в теории ЛД. Рис. 3.7: Дисперсионные кривые для различных значений величины Кр при суммарном энерговыделении Q = 6, Le — 1, Ea/RTo = 10. Ни рис. 3.7 представлены результатов расчета коэффициента усиления для различных значений коэффициента сжимаемости Кр. Видно, что при уменьшении Кр, соответствующему переходу к жидкой фазе, дисперсионная кривая начинает еще больше отклоняться от теории ЛД. Таким образом теория ЛД остается справедливой только для очень малых волновых векторов, т.е. для очень больших длин волн возмущений, которым соответствуют малые коэффициенты усиления возмущений.
При дальнейшем уменьшении Кр будет происходить переход к ДТН. Однако это оказывается верным только для одномерных возмущений. На рис. 3.8 представлен набор кривых нейтральной устойчивости, отделяющих область неустойчивости (ниже кривых 1 и 1 ) от неустойчивых режимов. Как видно из графика, полученные нами кривые 1 при уменьшении Кр приближаются к кривой 1 известного приближения ДТН для одномерного случая [28]. Изменение Кр только сдвигает эту кривую, не меняя характера зависимости. Однако кривая для двумерных возмущений имеет совершенно иной вид.
Таким образом, общий анализ устойчивости позволил создать теорию объединяющую вместе различные типы неустойчивости. Механизм неустойчивости ЛД носит универсальный характер, однако он справедлив только для длинноволновых возмущений, причем граница устойчивости сильно зависит от свойств среды. Механизм ДТН также универсален, его появление в одномерном случае практически не зависит от свойств среды. Однако в двумерной задаче еуще ствеппую роль начинают играть возмущения, содержащие вихревую моду. Это приводит к сдвигу порога устойчивости в сторону более низких параметров по сравнению с приближением ДТН [28]. Основные результаты главы 3 1. Реализован алгоритм расчета скорости волны горения и профилей гидродинамических параметров, позволяющий получить как точное, так и приближенное значения скорости. 2. Разработан алгоритм расчета неустойчивости, учитывающий сжимаемость среды, теплопроводность и диффузию. Найдены зависимости коэффициента усиления от волнового вектора. Показано, что для длинноволновых возмущений работает механизм Ландау-Дарье, однако с увеличением волнового вектора коэффициент усиления уменьшается и в итоге становится отрицательным. Полученные кривые лишь примерно описываются с помощью эмпирической теории Маркштсйна. Кроме того, в отличие от анализа Маркштейна, данный результат получается точно из решения системы гидродинамических уравнений, без введения дополнительных предположений. Также, найдена зависимость коэффициента усиления от числа Льюиса. 3. Для диффузионно-тепловой неустойчивости показано, что одномерные возмущения полностью соответствуют результатам, получаемым из точной теории, однако при анализе двумерных возмущений выяснилось, что более неустойчивым оказывается режим, при котором задействованы как тепловые, так и вихревые моды и который не может быть получен из приближенной теории.
