Содержание к диссертации
Введение
1 Современное состояние теоретического прогнозирования надежности рэа с учетом фактора температуры и математического моделирования температурных полей в радиоэлектронной аппаратуре 11
1.1 Теоретическое прогнозирование надежности РЭА 11
1.2 Математическое моделирование температурных полей в радиоэлектронной аппаратуре 17
2 Постановка задачи теплоперенос а в узле рэа и методы ее решения 37
2.1 Общая физическая постановка 37
2.2 Математическая постановка задачи пространственного теплопереноса ... 40
2.3 Метод решения 43
2.4 Постановка задачи теплопереноса в рамках двумерной модели и метод ее решения 47
2.5 Тестирование математических моделей и метода решения 53
3 Исследование температурного поля и показателей надежности печатного узла РЭА 58
3.1 Численный анализ температурного поля в пространственной постановке для типичных режимов работы 62
3.2 Численный анализ температурного поля в двумерной постановке для типичных режимов работы 103
Заключение 125
Литература 127
Приложение
- Математическое моделирование температурных полей в радиоэлектронной аппаратуре
- Математическая постановка задачи пространственного теплопереноса
- Постановка задачи теплопереноса в рамках двумерной модели и метод ее решения
- Численный анализ температурного поля в двумерной постановке для типичных режимов работы
Введение к работе
Современные тенденции развития радиоэлектронной техники при всем многообразии типов конкретной радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) и ее практическом назначении характеризуются стремлением к: 1) снижению массы и размеров изделий; 2) повышению энергетических характеристик; 3) повышению надежности работы конкретных изделий. Все три основные требования по своей сути противоречивы, так как, например, снижение массы и размеров неизбежно влечет за собой ухудшение условий охлаждения конкретного изделия при прочих неизменных характеристиках [1]. А последнее в свою очередь вызывает как снижение показателей полезного энерговыделения, так и соответствующее снижение показателей надежности. Или с другой стороны, повышение показателей полезного энерговыделения приводит или к снижению надежности при неизменных массогабаритных характеристиках РЭА, или к повышению размеров и массы при стабилизации показателей надежности на некотором заданном уровне.
Решение трех выше названных задач до последнего времени осуществляется в основном эмпирическим путем и сопряжено с крупными материальными затратами на отработку опытных образцов в течение достаточно больших периодов времени.
Отсутствие в настоящее время конкурентоспособных на мировом рынке образцов радиоэлектронной техники российского производства обусловлено, в том числе и во многом отсутствием у соответствующих предприятий, работающих на территории РФ, материальных ресурсов для проведения опытно-конструкторских работ, необходимых для доведения своих изделий до мировых стандартов.
Решение всех трех выделенных выше задач возможно было бы с крупномасштабным применением методов математического моделирования,
4 подобно тому как это было сделано в СССР при разработке изделий ракетно-космической техники в 60-70-ые годы, когда прямые затраты на ОКР аналогичных образцов военной техники в СССР были в десять раз меньше, чем в США [2,3], Но в настоящее время, если судить по отечественным научно-техническим изданиям, методы математического моделирования при проектировании и отработке изделий радиоэлектроники применяются достаточно редко и не для решения тех трех основных задач, о которых шла речь выше.
Причина, очевидно, состоит в том, что нет математических моделей и методов их реализации, которые позволяли бы решать названные задачи. При этом необходимо отметить, что рассматриваемая проблема, состоящая в моделировании режима работы РЭА с учетом основных эксплуатационных факторов с целью оценки показателей надежности конкретных изделий, является по сути междисциплинарной. Специалисты в радиотехнике не владеют в полной мере математическим аппаратом, необходимым, например, для решения пространственных нестационарных нелинейных задач теплопереноса, а специалисты-математики недостаточно хорошо представляют специфику физических процессов, протекающих при работе типичных узлов и блоков РЭА. Поэтому, несмотря на определенное число публикаций по математическому моделированию процессов теплопереноса в РЭА, опубликованных в последние 25-30 лет [1,8,14-44], до настоящего времени нет документированных научных результатов по методам прогнозирования надежности радиоэлектронной аппаратуры с учетом реального теплового состояния.
Согласно современным представлениям о методах прогнозирования (расчета) надежности как отечественных, так и зарубежных электрорадиоизделий (ЭРИ) и электрорадиоэлементов (ЭРЭ), надежность является функцией многих аргументов (факторов, влияющих на надежность ЭРИ), в общем случае индивидуальных для каждого класса ЭРИ [4,5]. Этими факторами являются температура, влажность, давление, механические воздействия и т.п.
Общепризнано, что наиболее важным фактором, определяющим надежность
5 изделий большинства классов ЭРИ, а особенно полупроводниковых приборов,
является температура. Достаточно давно известно, что повышение температуры
даже до относительно умеренных значений +40-60С может приводить [5,6] к
снижению коэффициента усиления полупроводниковых транзисторов,
увеличению обратных токов полупроводниковых переходов, возрастанию токов
утечки в полупроводниковых приборах и другим эффектам, непосредственно
оказывающим влияние на надежность РЭА. Помимо этого, в [4] отмечен факт
резкого увеличения количества отказов интегральных микросхем из-за дефектов
кристалла и корпуса. А дефекты такого рода в значительной степени обусловлены
температурной неоднородностью и температурными напряжениями [7].
Для анализа температурных полей в элементах и блоках радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) до настоящего времени наиболее часто использовались модели с сосредоточенными параметрами [8] или «нуль-мерные». При таком подходе существенно упрощаются процедуры анализа и расчета температурных полей благодаря положенному в основу моделирования базовому допущению о том, что как в малоразмерных ЭРИ, так и в достаточно крупных деталях аппаратуры отсутствуют градиенты температуры по всем координатным направлениям. Соответственно температурное поле любого ЭРИ или блока РЭА является однородным и характеризуется некоторой средней температурой, которая зависит только от времени. Поэтому в этом случае достаточно реально может быть отражено тепловое состояние лишь узлов радиоэлектронной аппаратуры, в которых неравномерность температурного поля невелика — порядка единиц градусов. В других случаях обычно остается открытым вопрос о погрешности такой интерпретации реальных температурных полей.
В специальной литературе достаточно давно были сформулированы математические модели, описывающие процессы теплопереноса в РЭА в рамках двумерных и трехмерных постановок [1]. Но в настоящее время отсутствуют сведения об их реализациях, в которых одновременно учитывались бы следующие важные факторы: пространственные области соответствуют реальным узлам и
(или) элементам РЭА (например, интегральным схемам); учитываются механизмы конвективного и радиационного теплообмена с внешней средой и режим работы РЭА. Важным является и то, что реальная аппаратура космического, авиационного, морского, транспортного базирования в основном работает в нестационарных режимах, обусловленных спецификой ее использования. Поэтому известные аналитические и численно-аналитические методы [1,9,10], достаточно эффективные при решении сложных стационарных линейных и даже некоторых нелинейных задач теплопроводности не всегда могут применяться при анализе тепловых режимов реальной радиоэлектроники.
Необходимо также отметить, что реальная РЭА космического и авиационного назначения достаточно часто работает в условиях узких диапазонов рабочих температур (до ±1С), для обеспечения которых создаются специальные системы термостатирования [36,37]. Такие специальные активные системы с обратной связью, реальные для крупногабаритных изделий, представляются нереальными для малогабаритных или миниатюрных. Для последних наиболее целесообразными являются пассивные системы термостатирования с такой компоновкой элементов, которая обеспечивала бы быстрое охлаждение в режимах «пассивного охлаждения». Разработка таких систем возможна только при наличии методов пространственного моделирования неоднородных температурных полей в областях с существенно отличающимися теплофизическими характеристиками и необходимыми условиями теплообмена на всех границах. В настоящее время задачи пространственного моделирования неоднородных температурных полей в системах с большими градиентами температур и существенно отличающимися теплофизическими характеристиками не решены.
Целью данной работы является анализ надежности элементов РЭА с применением современного аппарата теории надежности и методов математического моделирования пространственных температурных полей в блоках и узлах радиоэлектронной аппаратуры.
Для достижения этой цели необходимо решение следующих задач:
7 Математическое моделирование температурного поля в типичном узле РЭА
(печатной плате с радиоэлементами) с учетом важнейших факторов:
пространственного характера распространения тепла;
нестационарности процессов теплопереноса;
конвективного теплообмена с внешней средой;
радиационного теплообмена с внешней средой;
наличия локально сосредоточенных источников тепловыделения.
Расчет надежности типичного узла РЭА на основе результатов решения задачи 1 и современного аппарата теории надежности.
Научная новизна работы. В диссертации получены новые результаты: Впервые решена двумерная нелинейная нестационарная задача теплопереноса в типичном печатном узле РЭА с учетом конвективного и радиационного теплопереноса с внешней средой и неоднородности теплофизических характеристик области решения.
Проведено сравнение полученных результатов по температурам в фиксированных точках с опытными данными и получено хорошее соответствие, что подтверждает достоверность результатов численного моделирования температурных полей.
Проведено численное моделирование показателей надежности типичного печатного узла с использованием двумерного нестационарного температурного поля.
Установлено, что численные значения полученных показателей надежности существенно отличается от аналогичных показателей, полученных для осредненных по области решения значений температуры, когда не учитывается двумерный характер теплопереноса в рассматриваемой области. Решена нелинейная пространственная задача нестационарного теплопереноса в типичном печатном узле РЭА с учетом конвективного и радиационного
8 теплообмена с внешней средой и неоднородности тепло физических
характеристик области решения.
6. Проведено численное моделирование показателей надежности типичного
печатного узла РЭА с использованием полученных в данной работе
пространственных полей температур. Установлено, что численные значения
этих показателей существенно отличаются от значений аналогичных
показателей, полученных с применением «нуль-мерных» моделей.
Практическая ценность. Результаты диссертационной работы являются
основанием для выводов о практической целесообразности моделирования
показателей надежности РЭА с учётом пространственного распределения
температур.
Достоверность полученных результатов. Обоснованность и достоверность
полученных результатов следует из сопоставления полученных теоретических
результатов с экспериментальными данными других авторов, проверок
используемых методов на сходимость и устойчивость решений на множестве
сеток.
Автор защищает:
Пространственную нестационарную модель типичного печатного узла РЭА с учетом конвективного и радиационного теплообмена с внешней средой и неоднородностью теплофизических характеристик области решения.
Результаты численного моделирования показателей надежности типичного печатного узла РЭА с использованием полученных пространственных полей температур и их сравнения с аналогичными показателями, полученными с применением «нуль-мерной» модели.
Двумерную (плоскую) нестационарную модель типичного печатного узла РЭА с учетом конвективного и радиационного теплообмена с внешней средой и неоднородностью теплофизических характеристик области решения.
Результаты численного моделирования показателей надежности типичного печатного узла РЭА с использованием полученных плоских полей температур
9 и их сравнения с аналогичными показателями, полученными с применением
«нуль-мерной» модели.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Третьей Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2002 г.); XXVI Сибирском теплофизическом семинаре (Новосибирск, 2002 г.); III Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2002 г.); Международной конференции «Сопряженные задачи механики, информатики и экологии» (Томск, 2002 г.); II Всероссийской научной конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2001 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журналах «Journal of Engineering Thermophysics», «Инженерно-физический журнал», «Успехи современной радиоэлектроники», депонированы в ВИНИТИ. Всего по материалам диссертации опубликовано 10 работ, 9 из них в соавторстве с доктором физико-математических наук, профессором Г.В. Кузнецовым и кандидатом технических наук В.П. Алексеевым.
Содержание работы. Аналитический обзор современного состояния теоретического прогнозирования надежности РЭА с учетом фактора температуры проведен в первой главе. Вторая часть главы посвящена анализу работ, посвященных вопросам математического моделирования температурных полей в радиоэлектронной аппаратуре.
Во второй главе сформулирована пространственная нестационарная модель типичного печатного узла РЭА с учетом конвективного и радиационного теплообмена с внешней средой и неоднородностью теплофизических характеристик области решения. Сформулирована двумерная (плоская) модель для оценки влияния на показатели надежности такой интерпретации реальных температурных полей печатного узла РЭА. Выполнено сравнение результатов
'<*
10 численных экспериментов по представленным моделям с известными
экспериментальными данными.
В третьей главе выполнено исследование температурного поля печатного узла РЭА и его надежности в форме параметрических численных исследований с изменением основных значимых параметров и характеристик объекта исследования в диапазонах изменения, соответствующих реальным режимам работы РЭА. Проведено варьирование следующих важных параметров: температуры внешней среды, мощности тепловыделения источника и теплофизических характеристик материалов отдельных элементов печатного узла.
В заключении подведены основные итоги проведенных исследований.
'*
Математическое моделирование температурных полей в радиоэлектронной аппаратуре
Радиоэлектронная аппаратура компонуется в конструкции с ярко выраженной иерархической структурой (стойки, блоки, узлы на печатных платах, элементы). Согласно [1] при конструировании РЭА выделяют несколько иерархических уровня компоновки. 1. Интегральные микросхемы (ИМС), микросборки и дискретные электрорадиоэлементы, являющиеся элементной базой РЭА. 2. Функциональные ячейки, обычно представляющие собой печатные платы, на которых компонуются элементы первого уровня. 3. Блоки, объединяющие в одной несущей конструкции несколько функциональных ячеек. 4. Многоблочные конструкции, в которых блоки компонуются на общем несущем основании. Примерами таких конструкций являются шкафы, стойки, пульты, стеллажи и монтажные рамы. 5. Отсеки носителей, аппаратные помещения с размещенными в них радиотехническими комплексами. Поэтому при анализе теплового режима РЭА широко используются основные принципы расчета температурных полей в сложных системах тел. Применяемые тепловые и математические модели описывают процессы теплообмена на различных конструктивных уровнях с разной степенью детализации: от определения средних температур блоков до расчета пространственных температурных полей в микросборках. Элементы первого уровня представляют собой изделия, которые помещаются в стандартные корпуса, конструкции которых определены стандартами [1]. Задачи анализа их теплового режима сводятся к расчету пространственных температурных полей в телах или системе тел канонической формы [14-20]. В простейших случаях, например в [14], при анализе процесса нагрева тонкопленочных резисторов в полупроводниковых устройствах, внутренняя структура (в данном случае окисел - резистивная пленка — окисел) моделируется как конечная однородная стенка с граничными условиями первого и второго рода. Это позволяет получить простые и достаточно точные аналитические зависимости температуры элемента тонкопленочного резистора от параметров электрического сигнала. В более сложных случаях для полупроводниковых приборов (а также гибридных микросхем (ГИС)) эта система тел состоит из двух или трех параллелепипедов с разными тешгофизическими параметрами.
В первом случае моделируется система подложка-клей, и на нижней грани задаются условия идеального контакта с изотермическим основанием. Во втором случае моделируется система подложка-клей-основание и учитывается тепловое сопротивление основания корпуса. В [15] вычислено температурное поле в микросхеме с цилиндрическими магнитными доменами. Исходя из условий симметрии, 1А часть микросхемы моделируется кусочно-однородной областью, составленной из двух прямоугольных областей одинаковой ширины, имеющих разные физические свойства. На границе слоев предполагается идеальный контакт. Решение стационарного двумерного уравнения теплопроводности получено с помощью интегрального преобразования Лапласа и косинус - преобразования Фурье. Результаты расчета температурных полей в гибридных интегральных микросхемах приведены в [15]. Общей тепловой моделью для конструкций ГИС является двухслойный прямоугольный параллелепипед, на одной из больших граней которого находятся плоские прямоугольные источники тепла. Материалы слоев имеют разные коэффициенты теплопроводности. Применение плоских источников тепла авторами статьи обосновано тем, что тонкопленочные элементы имеют толщину на 3-7 порядков меньше толщины подложки, и, следовательно, теплопроводность подложки с учетом пленки будет отличаться от теплопроводности без учета пленки меньше чем на 1%. Температурное поле на поверхности подложки определяется как суперпозиция температурных полей, создаваемых, источниками тепла. Описывающее температурное поле стационарное двумерное уравнение теплопроводности решено конечно-разностным методом. Для дальнейшего повышения точности расчетов авторы [16] предлагают учитывать эффекта отвода тепла через выводы и крышку корпуса, особенно при низких значениях коэффициента теплоотдачи. В этой работе тепловая модель состоит из трех многослойных параллелепипедов, имитирующих кристалл, основание корпуса и крышку корпуса или плату. В пределах каждого слоя материал параллелепипедов однороден. Параллелепипеды связаны друг с другом через соединительные слои, разбитые на элементарные области. В пределах каждой элементарной площадки, которыми ограничиваются элементарные области, реальное распределение температур заменяется средними значениями. Коэффициенты теплоотдачи на поверхности каждого параллелепипеда и выводов корпуса задаются различно, в зависимости от условий охлаждения корпуса ИС и связи его с реальной конструкцией микроэлектронных узлов. Величины тепловых сопротивлений элементарных областей в пределах одного и того же параллелепипеда могут быть разными, что позволяет имитировать следующие особенности конструкции ИС: раковины в соединительном слое припоя и клея под
Математическая постановка задачи пространственного теплопереноса
В рассмотренной постановке задача сводится к решению трехмерного нестационарного уравнения теплопроводности: где х, у, z - координаты; Lx,Ly,Lz - размеры параллелепипеда по осям х, у и z соответственно; Г- температура; f- время; А,-коэффициент теплопроводности; а - коэффициент конвективного теплообмена с внешней средой; Гв — температура внешней среды; єпр- приведенный коэффициент черноты поверхности тела и окружающей среды; а - постоянная Стефана-Больцмана. Для описания зависимости коэффициента конвективного теплообмена внешних поверхностей тела с окружающей средой в диапазоне температур 0-130С для типичных геометрических размеров печатных узлов РЭА используем функцию, предложенную Г.Н.Дульневым в [8]: где Tm- среднее арифметическое температур поверхности тела и внешней среды; N2 - коэффициент, зависящий от ориентации поверхности в пространстве; Т — температура поверхности; Гв — температура внешней среды; L - определяющий размер поверхности. Приведенный коэффициент черноты поверхности тела и окружающей среды вычисляется по формуле [8]: черноты окружающей среды. Сформулированное дифференциальное уравнение (2.1) с соответствующими начальными (2.2-2.3) и граничными условиями (2.4-2.9) решено методом конечных разностей [45]. Для решения разностных аналогов трехмерного уравнения использована схема расщепления по координатам [46]. Решение полученных одномерных разностных уравнений проводится в два этапа: 1. Построение итерационного цикла для преодоления нелинейности граничных условий, вызванных наличием радиационного теплообмена с внешней средой по закону Стефана-Больцмана. В качестве начального приближения задается значение сеточной функции на предшествующем временном слое. После подстановки начального приближения получаем линейное уравнение для определения первого приближения. Итерационный цикл заканчивается при условии: где g- номер итерации, 6- заданная точность вычислений. При достижении заданной точности осуществляется переход к следующему пространственному слою. В принятом диапазоне температур целесообразно считать достаточной точность вычислений 5 = 0,005К. 2. Для решения линейной системы на каждом шаге итерационного цикла используется метод прогонки с применением неявной четырехточечной разностной схемы аппроксимации [45], обладающей абсолютной устойчивостью и хорошо себя зарекомендовавшей при решении задач теплопроводности [1,45,46].
Для построения разностных аналогов исходного дифференциального уравнения введем равномерную прямоугольную сетку с пространственными узлами в точках (x„yj,zk) и временными узлами в точках (ґ): где т - шаг сетки по времени; hx,h ,h2- шаги сетки по пространственным координатам лг, у, z. Разностный аналог температуры Разностный аналог удельной тепловой мощности источника В соответствие со схемой расщепления переход от п к п+1 осуществляется с помощью трех «дробных» шагов и уравнение (2.1) заменяется эквивалентной системой уравнений: (2.20) Уравнение (2.18) есть сеточная аппроксимация предельно анизотропного процесса теплопередачи, при котором распространение тепла происходит лишь в направлении оси х; аналогично можно истолковать уравнения (2.19) и (2.20). Предполагается, что попеременное распространение тепла по направлениям осей х, у и z будет приближать реальный (изотропный) процесс, описываемый уравнением (2.1). Известны и другие методы, применяемые при решении пространственных задач теплопроводности, например метод переменных направлений, схема предиктор-корректор [45]. Выбранный метод в сравнении с ними имеет следующие преимущества: хорошая сочетаемость с любым родом краевых условий, простота реализации разностных схем - использование в каждом направлении только неявных разностных операторов усиливает устойчивость схемы. Свойства рассмотренной схемы решения трехмерной задачи хорошо исследованы учеными и широко освящены в литературе [45,46]. Известно, что такая схема обладает суммарной аппроксимацией с погрешностью порядка 0(т+й +hy +h\) и безусловной устойчивостью. Рассмотрим способ решения уравнения (2.18), уравнения (2.19) и (2.20) решаются аналогично. Сгруппировав слагаемые, содержащие значения температуры на разных временных слоях, запишем: Уравнение (2.21) записано для трех пространственных точек разностной схемы. Учитывая, что количество точек практически всегда более 3-х, поставленная краевая задача сводится к решению системы алгебраических уравнений типа (2.21) с заданными граничными условиями - разностными аналогами уравнений (2.4-2.9). Широко известным и эффективным способом решения таких уравнений является метод прогонки [43]. Сокращенно запишем уравнение (2.21) следующим образом: Введем вспомогательные коэффициенты pf и #(. Согласно формулам прямой и обратной прогонок имеют место следующие зависимости: Коэффициенты и , последовательно рассчитываются путем прямой прогонки, затем на их основе путем обратной прогонки рассчитываются значения Ті Коэффициенты plt q{i Tj определяются с помощью разностных аналогов уравнений (2.4-2.5), описывающих граничные условия, следующим образом. Запишем разностный аналог уравнения (2.4):
Сформулированная выше пространственная задача сложна и требует достаточно больших вычислительных ресурсов. Поэтому представляет самостоятельный интерес анализ температурного режима рассмотренного печатного узла в двумерной постановке, на основе которого в дальнейшем можно провести прогноз его надежности и сопоставление полученных результатов с результатами анализа по пространственной модели. Решается задача расчета температурного поля в пластине с размерами по осям х и у равными LxnLr (рис. 2.3). В пределах пластины есть несколько областей (зон) с отличающимися теплофизическими характеристиками. Одна из зон является локальным источником тепловыделения заданной интенсивности Q(t), На краях пластины заданы граничные условия III рода с излучением (смешанный теплообмен). Основные допущения, используемые при постановке задачи. 1. Теплофизические характеристики материалов не зависят от температуры. 2. Тепловой контакт на границах между областями считается идеальным. 3. Верхняя и нижняя грани пластины в двумерной постановке теплоизолированы. Сток тепла с этих граней во внешнюю среду за счет конвекции и излучения учитывается в уравнении теплопроводности дополнительными источниками тепловыделения. 4. Источник тепловыделения в двумерной постановке плоский. Теплообмен с боковых граней источника, суммарная площадь которых примерно равна площади верней грани, учитывается за счет увеличения (пропорционально отношению площадей боковых и верхней грани) мощности дополнительных источников (см. допущение №3) в зоне источника тепловыделения.
Постановка задачи теплопереноса в рамках двумерной модели и метод ее решения
Свойства рассмотренной схемы решения трехмерной задачи хорошо исследованы учеными и широко освящены в литературе [45,46]. Известно, что такая схема обладает суммарной аппроксимацией с погрешностью порядка 0(т+й +hy +h\) и безусловной устойчивостью. Рассмотрим способ решения уравнения (2.18), уравнения (2.19) и (2.20) решаются аналогично. Сгруппировав слагаемые, содержащие значения температуры на разных временных слоях, запишем: Уравнение (2.21) записано для трех пространственных точек разностной схемы. Учитывая, что количество точек практически всегда более 3-х, поставленная краевая задача сводится к решению системы алгебраических уравнений типа (2.21) с заданными граничными условиями - разностными аналогами уравнений (2.4-2.9). Широко известным и эффективным способом решения таких уравнений является метод прогонки [43]. Сокращенно запишем уравнение (2.21) следующим образом: Введем вспомогательные коэффициенты pf и #(. Согласно формулам прямой и обратной прогонок имеют место следующие зависимости: Коэффициенты и , последовательно рассчитываются путем прямой прогонки, затем на их основе путем обратной прогонки рассчитываются значения Ті Коэффициенты plt q{i Tj определяются с помощью разностных аналогов уравнений (2.4-2.5), описывающих граничные условия, следующим образом. Запишем разностный аналог уравнения (2.4): Сформулированная выше пространственная задача сложна и требует достаточно больших вычислительных ресурсов. Поэтому представляет самостоятельный интерес анализ температурного режима рассмотренного печатного узла в двумерной постановке, на основе которого в дальнейшем можно провести прогноз его надежности и сопоставление полученных результатов с результатами анализа по пространственной модели. Решается задача расчета температурного поля в пластине с размерами по осям х и у равными LxnLr (рис. 2.3). В пределах пластины есть несколько областей (зон) с отличающимися теплофизическими характеристиками. Одна из зон является локальным источником тепловыделения заданной интенсивности Q(t), На краях пластины заданы граничные условия III рода с излучением (смешанный теплообмен). Основные допущения, используемые при постановке задачи. 1. Теплофизические характеристики материалов не зависят от температуры. 2. Тепловой контакт на границах между областями считается идеальным. 3.
Верхняя и нижняя грани пластины в двумерной постановке теплоизолированы. Сток тепла с этих граней во внешнюю среду за счет конвекции и излучения учитывается в уравнении теплопроводности дополнительными источниками тепловыделения. 4. Источник тепловыделения в двумерной постановке плоский. Теплообмен с боковых граней источника, суммарная площадь которых примерно равна площади верней грани, учитывается за счет увеличения (пропорционально отношению площадей боковых и верхней грани) мощности дополнительных источников (см. допущение №3) в зоне источника тепловыделения. где С—удельная теплоемкость;х,у — координаты; р —плотность; Г—температура; t - время; X - коэффициент теплопроводности; Q - тепловыделение источника; S - площадь источника; h - толщина пластины; к — коэффициент; а - коэффициент конвективного теплообмена поверхности пластины с внешней средой; Тв температура внешней среды; о - постоянная Стефана-Больцмана; єпр приведенный коэффициент черноты поверхности пластины и окружающей среды. Четвертое слагаемое в правой части уравнения учитывает сток тепловой энергии во внешнюю среду за счет механизмов конвективного и радиационного теплообмена. С помощью коэффициента к учитывается теплообмен с боковых граней источника, его значение определяется функцией: где Qs- зона источника тепловыделения. Область решения ограничивается следующими временными и геометрическими условиями где х, у - координаты; Lx,Ly - размеры пластины по осям х, у соответственно; tmax время работы. При задании начальных условий считаем, что температура пластины в начальный момент времени распределена равномерно: где x, у - координаты; Г- температура; t — время; Т0 — начальная температура. В граничных условиях учитывается конвективный и радиационный теплообмен, коэффициент конвективного теплообмена является функцией температуры: где д:, - координаты; LX,L — размеры параллелепипеда по осям ;с, соответственно; /-температура; t— время; X.—коэффициент теплопроводности; а - коэффициент конвективного теплообмена с внешней средой; Тв — температура внешней среды; спр- приведенный коэффициент черноты поверхности тела и окружающей среды; а — постоянная Стефана-Больцмана. Зависимость коэффициента конвективного теплообмена внешних поверхностей тела с окружающей средой описывается функцией (2.10). Приведенный коэффициент черноты поверхности тела и окружающей среды вычисляется по формуле (2.11). В целом, метод решения дифференциального уравнения (2.33) с начальными (2.35-2.36) и граничными условиями (2.37-2.40) аналогичен методу решения уравнения (2.1) - применяется метод конечных разностей. Для решения разностных аналогов двумерного уравнения также использована схема расщепления по координатам. Решение полученных одномерных разностных уравнений проводится в два этапа:
Численный анализ температурного поля в двумерной постановке для типичных режимов работы
Проведенный в 3.1 численный анализ температурных полей и показателей надежности печатного узла с использованием пространственной модели теплопереноса потребовал больших затрат времени работы персональных ЭВМ. Исходя из традиционных требований минимизации затрат на отработку новой техники логичным является вопрос о возможности использования менее сложных моделей, на реализацию которых требуется существенно меньше затрат времени работы ЭВМ. Так, например переход от пространственной (трехмерной) модели печатного узла с общим числом точек разностной сетки около 2-Ю6 к плоской (двумерной) модели с числом узлов около 1,3-10 приводит к тридцатикратному снижению времени, затрачиваемому на непосредственные вычисления. Поэтому были проведены исследования с целью апробации плоской модели, представленной во втором разделе. В двумерной (плоской) постановке численный анализ проведен при следующих параметрах: время работы Гтах=180с, размеры узла равны соответственно Lx =60мм, г=55мм, температура окружающей среды 7,В=283К, 293К, 300К, мощность источника 1,5Вт. Теплофизические характеристики материалов областей 1-3 (см. рис. 2.2) приведены в таблице 2.3. На рис 3.55-3.81 представлены типичные результаты численного анализа с использованием плоской модели. Сравнение их с рисунками 3.29-3.32, например, показывает, что абсолютные отклонения по максимальным температурам узла составляют для адекватных исходных данных и условий теплообмена с внешней средой около 15С. Учитывая вышеизложенное (3.1) можно сказать, что 105 двумерные модели могут бьпъ использованы на практике, но отклонения по значениям температуры могут быть достаточно велики. Причина этих отклонений заключается в том, что при использовании плоской модели для расчета температурного поля предполагается малой толщина печатного узла и линейное распределение температуры по координате z. В этом случае все особенности теплопередачи по направлению z (наличие границ между элементами, изменение теплофизических характеристик при переходе от одного элемента к другому, неидеальность контакта и другие факторы) исключаются из рассмотрения. Соответственно погрешность, вносимая таким упрощением, будет тем больше, чем больше будет размер области решения по координате z и чем значительнее будет неоднородность характеристик материалов по этому координатному направлению. Плоское приближение в некоторой степени идеализирует процесс теплопереноса по третьей координате. В результате при таком подходе температура в каждой точке узла будет несколько ниже, чем при реализации пространственной постановки. Но возможно в ряде случаев эти отклонения будут незначительными и приемлемыми при конструкторском анализе.
В то же время сравнение например рис. 3.6, 3.8 и 3.56, которые являются типичными иллюстрациями как для пространственной, так и для плоской модели, показывает серьезные отличия в конфигурации изотерм, соответствующих этим двум моделям. Изотермы трехмерной модели почти точно в сечении z = 3,5 мм соответствуют конфигурации тепловыделяющего элемента, а в сечении z - 1,5 мм отражают уже последствия процесса рассеяния тепловой энергии по объему инертных (нетепловыделяющих) элементов печатного узла, сохраняя в некоторой степени следы работы источника. Изотермы же, соответствующие плоской модели, имеют совершенно другую конфигурацию и не сохраняют следы воздействия источника энергии. При этом максимальные температуры отличаются всего на 5-6С, что можно считать в первом приближении приемлемым при проведении инженерных расчетов. Температуры же на некоторых границах области решения отличаются уже на 10-12С. Последнее является, очевидно, следствием неучета в плоской модели особенностей пространственного теплопереноса в печатном узле. Можно сделать вывод о том, что т.к. плоская модель не отражает реальных градиентов температур по обеим координатам х и у, а также и величин тепловых потоков в любых сечениях плоскости печатного узла, то она может иметь ограниченное применение для оценки в первом приближении уровней максимальных температур в точках узла. При этом необходимо учитывать, что эти значение будут всегда несколько заниженными по отношению к температурам реальным. Проводя такие оценки, необходимо еще раз отметить, что достоверность полученных теоретических результатов данной работы проверялась сравнением с экспериментальными данными [50-59] по температурным полям рассматриваемого печатного узла. Отклонения по температурам от опытных значений не превышали 2-3 С, что можно считать хорошим соответствием. При этом приемлемые отклонения получены при сравнении как пространственной, так и плоской модели, потому что в одном случае расчеты давали заниженные по сравнению с опытом результаты, а в другом завышенные. Кроме того, термопарные измерения проводились как уже отмечалось на участке поверхности печатного узла, максимально приближенной к источнику тепловыделения и максимально удаленном от границ области с низкими температурами. Поэтому отклонения расчетных и экспериментальных значений Г были минимальными. Проводя сравнения температурных полей, полученных с использованием двумерной модели, целесообразно также отметить, что изменение величины температуры внешней среды отражается на величине Т в каждой точке печатного узла адекватно тому, как это проявлялось в результате решения пространственных задач. Т.е. увеличение Тв на 10С приводит к увеличению почти на 10С температуры в каждой точке области анализа (рис. 3.55-3.56), увеличение Гв на
