Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Особенности математического моделирования и вычислительного эксперимента в задачах свободной конвекции
1.1. Вычислительный эксперимент как основной инструмент исследований явления переноса
1.1.1. Современная технология и методология проведения теоретических исследований 10
1.1.2. Этапы вычислительного эксперимента 13
1.1.3. Математическое описание функционирования детерминированных систем 15
1.1.4. Фундаментальные уравнения явлений переноса 18
1.2. Основные подходы при организации вычислительных процедур 24
1.2.1. Дискретизация непрерывной области решения 24
1.2.2. Метод конечных разностей 26
1.2.3. Преобразование уравнений явлений переноса 29
1.2.4. Конечно-разностные схемы 33
1.2.4.1. Эллиптические уравнения 33
1.2.4.2. Параболические уравнении 35
1.3. Идентификация предметной области как класса задач явлений переноса 37
1.3.1. Математическая модель свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости 37
1.3.2. Исследование естественной конвекции в сферических резервуарах 40 1.3.2.1. Экспериментальные исследования и приближенные модели 40
1.3.2.2. Численное интегрирование 47
1.4. Выводы 56
ГЛАВА 2. Математическая модель свободноконвективного теплообмена в сферических резервуарах 58
2.1. Обобщенная формулировка уравнений Навье - Стокса
в приближении Обербека Бусинеска 58
2.1.1. Основные допущения и векторная форма записи уравнений Обербека - Буссинеска для вязкой несжимаемой жидкости 58
2.1.2. Начальные и граничные условия 61
2.1.3. Постановка задачи для осесимметричного случая 62
2.1.4. Безразмерная форма записи уравнений модели 66
2.2. Переход от естественных переменных к переменным
Гельмгольца 68
2.2.1. Координатный способ перехода к переменным Гельмгольца для сферической осесимметричной задачи 68
2.2.2. Вычисление ротора от уравнений Обербека -Буссинеска 70
2.2.3. Постановка граничных условий 73
2.3. Выводы 75
ГЛАВА З. Синтез вычислительных процедур решения уравнений модели 77
3.1. Квазинеявная конечно-разностная схема 77
3.1.1. Дискретизация уравнений для вихря, функции тока и поля температур 77
3.1.2. Аппроксимация граничных условий 80
3.1.3. Адаптация метода верхней релаксации для решения дифференциального уравнения связи функции тока и вихря 82
3.1.4. Условия устойчивости конечно- разностной схемы и реализация численного решения 85
3.2. Неявная конечно-разностная схема 95
3.2.1. Дискретизация уравнений для вихря, функции тока и поля температур 95
3.2.2. Конечно - разностная модификация граничных условий 97
3.3. Реализация вычислительных процедур 100
3.3.1. Анализ условия устойчивости для явной схемы 100
3.3.2. Динамика гидротермических полей 102
3.4. Выводы 105
ГЛАВА 4. Анализ результатов вычислительных экспериментов 107
4.1. Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 1-го рода 107
4.1.1. Методика проведения расчетов 107
4.1.2. Структура гидротермических полей и обобщение результатов 109
4.2. Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 2-го рода 117
4.2.1. Постановка задачи 117
4.2.2. Структура гидродинамических и тепловых полей 119
4.3. Прогнозирование времени бездренажного хранения криогенных жидкостей 124
4.3.1. Исходные данные и основные допущения 124
4.3.2. Результаты и практические рекомендации 128
Заключение 131
Список литературы
- Математическое описание функционирования детерминированных систем
- Основные допущения и векторная форма записи уравнений Обербека - Буссинеска для вязкой несжимаемой жидкости
- Аппроксимация граничных условий
- Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 2-го рода
Введение к работе
Появление широкодоступных и быстродействующих ЭВМ резко изменило характер научных исследований - наряду с теоретическим и экспериментальным подходом получил развитие так называемый вычислительный подход (вычислительный эксперимент). Задачи, которые сейчас с малыми затратами решаются на вычислительных комплексах за несколько секунд, всего 20 - 30 лет назад известными в то время численными методами на существовавших ЭВМ могли быть решены лишь за несколько лет.
Особенно роль и значение нового подхода проявились при решении задач явлений переноса в ракетно-космической технике, теплоэнергетике, химической и пищевой технологиях, гео- и астрофизических исследованиях, охраны окружающей среды и т.д., что потребовало внедрения в практику методов точного расчета теплообмена, позволяющих учитывать сложные условия на границе. В настоящее время наиболее полно исследован теплообмен при вынужденном движении жидкости. В то же время все большее распространения получают устройства, в которых происходит свободная конвекция. В первую очередь это относится к атомным энергетическим установкам, радиоэлектронным устройствам, системам электроотопления, криогенике и др. В связи с этим значительный интерес представляет исследование свободной конвекции в наиболее часто применяемых на практике геометрических областях, например, в сфере.
Главное различие между свободной и вынужденной конвекцией заключается в самой природе течения. При вынужденной конвекции наложенное внешнее течение в общем случае известно, а при свободной конвекции течение возникает в результате взаимодействия разности плотностей с гравитационным или каким-либо другим полем массовых сил, и поэтому оно постоянно связано с полем температуры и зависит от него. Таким образом, возникающее течение заранее не известно, и его нужно определить из совмест-
7 ного рассмотрения процессов тепло - и массообмена и механизма течения жидкости.
Математическая модель такой физической картины обычно представляется уравнением Навье — Стокса в виде Обербека — Буссинеска с соответствующими начальными и краевыми условиями, которые в общем случае не решены. Поэтому для получения информации о свободноконвективном течении и о параметрах теплообмена необходимо применять специальные вычислительные процедуры с их реализацией на компьютерных системах.
Диссертация выполнялась в рамках госбюджетной НИР Воронежской государственной технологической академии по теме «Математическое обеспечение структурного и параметрического анализа технологических, технических и информационных систем» (№ гос. per. 01.20.0011235).
Цель работы - разработка математических моделей и пакета прикладных программ для проведения и анализа результатов вычислительных экспериментов по свободной конвекции в вязкой несжимаемой жидкости в сферических объемах.
Задачи исследования:
анализ существующих подходов при математическом моделировании и проведении вычислительного эксперимента во внутренних задачах свободной конвекции;
синтез и анализ математических моделей явлений переноса в сферической системе координат на основе уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека - Буссинеска;
разработка полунеявной и неявной конечно-разностных схем для численного решения уравнений моделей;
создание пакета прикладных программ для реализации вычислительных экспериментов;
проведение вычислительных экспериментов по свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферических резервуарах, анализ и обобщение результатов.
Методы исследований. Теоретические и практические разработки, представленные в диссертации, базируются на применении математического аппарата и методов теории гидромеханических, тепло- и массообменных процессов, теории систем и моделирования, вычислительной гидродинамики.
Научная новизна.
на основе уравнений Навье - Стокса в приближении Обер-бека - Буссинеска получены математические модели свободно конвективных течений в осесимметричной постановке для сферических объемов в переменных Гельмгольца при граничных условиях типа Дирихле и Неймана и предложены алгоритмы их численного анализа;
установлены устойчивость полунеявного и сходимость неявного конечно-разностных аналогов уравнений модели, а также условия их применения в задачах о свободной конвекции для сферической геометрии, получены оценки точности расчетных результатов проведения вычислительных экспериментов из теплового и импульсного интегральных балансов;
идентифицирована структура гидродинамических и тепловых полей ламинарных свободноконвективных течений в сферических объемах при различных тепловых нагрузках и теплофизических характеристиках жидкостей, на основе которой предложена обобщенная критериальная зависимость для описания безразмерного коэффициента теплоотдачи;
предложена методика прогнозирования времени бездренажного хранения криогенных жидкостей.
Практическая значимость и реализация результатов работы.
Математические модели, вычислительные алгоритмы и прикладные программы позволяют осуществлять эффективный анализ и получать результаты по контролю и прогнозированию гидротермической обстановки при естественной конвекции ньютоновских жидкостей в сферических объемах в зависимости от тепловой обстановки на смоченной границе.
Результаты диссертационной работы в виде алгоритма и методики расчета теплообмена в сферических резервуарах в условиях свободной конвекции используются в КБХА, о чем имеется соответствующий акт.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на: международной конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования информационных и электронных технологий» (Москва, 2003);XVI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (С- Петербург, 2003); XII Всероссийской научно-технической конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического моделирования (Тамбов, 2004); VI международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии» (Воронеж, 2005) и отчетных научных конференциях Воронежской государственной технологической академии (2003-2005).
Работа выполнялась на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии.
Математическое описание функционирования детерминированных систем
Известно [13], что все системы классифицируются на три большие группы по своему качественному поведению: стохастические (вероятностные), детерминированные, смешанные. Исходя из феноменологического подхода к описанию явлений переноса субстанций, их можно рассматривать как детерминированные системы [17-21], описываемые уравнениями в частных производных [22-24]. В этой связи у дифференциальных уравнений в частный производных выделяют физические и математические свойства для выявления физических и математических особенностей их решения.
Уравнения классифицируются по физическому признаку на стационарные и маршевые задачи [25]. Задача называется стационарной, если решение уравнения в частных производных внутри некоторой области определяется лишь условиями на границе этой области. Физически, стационарная задача описывает установившийся процесс, а математически сводится к решению задачи с граничными условиями (краевой задачи) для уравнения в частных производных. Маршевой или эволюционной (или задачей распространения) называется задача в которой требуется найти решение уравнения в частных производных в незамкнутой области при заданных начальных и граничных условиях. Математически, задачи такого типа являются задачами с начальными условиями или задачами с начальными и граничными условиями. Решение таких задачи должно быть найдено последовательным движением в маршевым направлением наружу от поверхности, на которой заданы начальные условия, при этом необходимо удовлетворить также граничным условиям.
Следует отметить, что выражение законов явлений переноса в дифференциальной форме, как правило, приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка [26], которые в общем виде таковы [27]:
Трудность, возникающая при попытке решить уравнение в частных производных состоит в ответе на вопрос, корректно ли поставлена задача [30]. При этом считается, что задача является корректной, если она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и граничных условий. На возможную неединственность решения уравнения в частных производных указано в [31].
Наиболее часто встречающимся краевым условиям (не только для уравнения Лапласа) присвоены имена известных ученых [24]. Первой укажем задачу Дирихле, в которой требуется найти решение в замкнутой области, если на ее границе задано значение искомой функции. В задаче Неймана надо найти решение в замкнутой области, если на ее границе задана производная искомой функции по нормали к границе, а не сама искомая функция. Обобщением задач Дирихле и Неймана, когда на границе замкнутой области задана линейная комбинация искомой функции и ее производной по нормали к границе, является так называемая смешанная краевая задача. Эту краевую задачу иногда называют также третьей краевой задачей [29] или задачей Робина. Однако одним уравнением в частных производных очень редко описывают функционирование сплошной детерминированной системы и поэтому обычно приходится решать системы в частных производных. При этом определить тип такой системы удается лишь в простейших случаях [26]. Например, система уравнений щ = [Л] йхх параболическая в том случае, когда все собственные значения [А] вещественные.
Фундаментальные уравнения явлений переноса основаны на универсальных законах сохранения [20]: сохранения массы, сохранения количества движения и сохранения энергии.
Уравнение, получающееся в результате применения закона сохранения массы, является уравнением неразрывности [21]: + V-(pf) = 0 (1.6) где р - плотность среды, V - ее скорость, t - текущее время. Закон сохранения количества движения - это второй закон Ньютона [17]. Его применение дает векторное уравнение, известное как уравнение количества движения или как уравнения импульса: DV P- - = P/+V-nw, (1.7) где / - массовая сила, Hi - - компоненты тензора напряжений, выражающие суть механических напряжений поверхностных сил, действующих на выделенный элемент среды и образованные нормальными и сдвиговыми напряжениями. Закон сохранения энергии тождественен первому закону термодинамики и выражается уравнением энергии [18]: М. + у. К = -У.д+р7-К + У.(П 7), (1.8) где Et = pie-{-V2/2 +потенциальная энергия + ...) - полная энергия единицы объема; е — внутренняя энергия единицы массы; dQIdt - скорость тепловыделения внешних источников, отнесенная к единице объема; V q -тепловые потери за счет теплопроводности через поверхность в единицу времени (отнесенные к единице объема). Для замыкания системы (1.6) — (1.8) добавляются соотношения, устанавливающие связь между свойствами среды [32].
Исторически сложились два подхода к получению уравнений явлений переноса [33, 34]: феноменологический и использующий кинетическую теорию. В первом случае постулируются определенные соотношения между механическим напряжением и скоростью деформации, между потоком тепла и градиентом температуры, после чего уравнения явлений переноса выводятся из законов сохранения. Требуемые константы пропорциональности между напряжением и скоростью деформации и между потоком тепла и градиентом температуры (называемые коэффициентами переноса) в этом подходе должны определяться экспериментальным путем. Во втором подходе уравнения явлений переноса получают с коэффициентами переноса, которые определяются в рамках некоторых интегральных соотношений, возникающих при рассмотрении статистики сталкивающихся частиц. Слабая сторона этого подхода состоит в том, что для вычисления интегралов вероятностей столкновения необходимо определить силы взаимодействия между частицами. Таким образом, неопределенность феноменологического подхода, обусловленная экспериментом, сменяется неопределенностью математического свойства в кинетическом подходе. Эти два подхода приводят к одним и тем же уравнениям явлений переноса, если при их выводе принимаются равнозначные допущения.
Основные допущения и векторная форма записи уравнений Обербека - Буссинеска для вязкой несжимаемой жидкости
После дискретизации области решения основной задачей является аппроксимация производных, входящих в дифференциальные уравнения [44-46]. Пусть w.. =и(х0,у0), где и — некоторая искомая функция, а и - — ее дискретный аналог; і, j — номера узлов; х0, у0 — некоторая реперная точка в CUT
В связи с тем, что уравнения явлений переноса представляют собой уравнения в частных производных не выше второго порядка (1.9), то введенных разностных операторов вполне достаточно для аппроксимации производных, входящих в эти уравнения: (Ах) где О (Ах) обозначает, что погрешность аппроксимации по абсолютной величине не превосходит К (Ах) при Ах —- 0 (для достаточно малых Ах), причем К О - вещественная константа. Практически порядок погрешности аппроксимации в этом случае равен Ахк и является самой высокой степенью, общей для всех членов уравнения. Приведенные аппроксимации производных используют три узла разностной сетки. Конечно-разностные аппроксимации производных, использующих больше трех узлов сетки, приведены, например, в [16].
После получения конечно-разностного аналога дифференциального уравнения возникает вопрос: где гарантия, что решая разностные уравнения, получатся значения, достаточно близкие к решению исходного уравнения? На этот вопрос можно ответить утвердительно, лишь если разностная схема удовлетворяет условиям согласованности и устойчивости [44]. Выполнение условий устойчивости и согласованности достаточно для сходимости разностной схемы, что доказано в теореме Лакса об эквивалентности [47] для линейных уравнений в частных производных. Необходимо отметить, что во многих работах предполагается справедливость этой теоремы для нелиней 28 ных уравнений в частных производных, хотя для таких уравнений эта теорема не доказана.
Для данного уравнения в частных производных и данной конечно-разностной сетки конечно-разностный аналог этого уравнения может быть построен разными методами [37-40, 44 7]: разложением функции в ряд Тейлора; интерполяцией функций полиномами; интегральным методом и методом контрольного объема. Первые три подхода строят разностные схемы, обращаясь только к математическим средствам, а физические законы применяются лишь при выводе самих аппрксимируемых уравнений. В этом смысле эти способы построения являются формальными. При использовании метода контрольных объемов разностная схема строится на основе физических законов явлений переноса, следствием которых является рассматриваемое уравнение в частных производных. Сначала эти законы формулируются словесно для некоторого контрольного объема, окружающего узел разностной сетки, а потом записываются математически с учетом дискретной сетки. Описанная процедура во многом похожа на ту, с помощью которой уравнения в частных производных выводятся из физических законов, не проводится лишь переход к пределу при стягивании контрольного объема в точку. Следует отметить тем не менее, что для линейных уравнений в частных производных, при использовании различных методов получаются одни и те же разностные схемы. Наиболее заметно отличие построенных различными способами разностных схем при использовании неортогональных систем координат и при аппроксимации записанных в недивергентной форме уравнений [47].
Ключевым моментом в использовании конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений является устойчивость полученной схемы. Понятие устойчивости конечно-разностных схем аналогично понятию устойчивости в теории управляемых систем [48]. Передаточная функция в теории управляемых систем играет ту же роль, что и разностный оператор схемы. Пусть на п — м шаге по времени начальные значения известны, а на (п + 1) — м шаге по времени значения этих величин надо определить.
Аппроксимация граничных условий
При решении конкретной задачи о свободной конвекции необходимо систему (2.3) - (2.5) замкнуть начальными и граничными условиями. Для поля скоростей как правило применяется гипотеза «прилипания» вязкой жидкости на смоченной поверхности, на оси симметрии градиент вектора скорости по нормали равен нулю, а на свободной поверхности нормальная составляющая вектора скорости отсутствует как и трение.
По принятой классификации в теории теплообмена граничные условия, отвечающие различному физическому смыслу, классифицируются как граничные условия соответственно 1, 2, 3, и 4-го родов. Для криогенной техники актуальны граничные условия 1 и второго рода.
Граничные условия 1 рода фактически означают задание температуры на границе области, в которой решается задача. Эти условия для криогенной техники, и в частности, при хранении криогенных жидкостей в резервуарах, ставятся, например, при непосредственном охлаждении криогенных жидкостей путем вакуумирования парового пространства резервуара. По причине высокой температуропроводности материала стенок внутреннего сосуда по сравнению с температуропроводностью самих криогенных жидкостей выравнивание температуры стенок до значения температуры зеркала жидкости происходит очень быстро.
Граничные условия 2 рода обычно применяются для описания бездренажного хранения криогенных жидкостей в резервуарах. Т.к. градиент температур в теплоизоляции достаточно велик, то полагают, что удельная величина теплового потока через стенку является постоянной величиной.
Граничные условия 3 рода используются при описании процессов теплообмена в баковых резервуарах летательных аппаратов, в которых теплоизоляция не может быть совершенна по причине выдерживания тактико -технических показателей. Для описания свободной конвекции в этом случае уже не применима модель Обербека - Буссинеска, т.к. течение будет существенно турбулентным.
Особо стоит проблема задания граничных условий для поля давления, т.к. пока отсутствует обобщенное уравнение состояния для вязкой несжимаемой жидкости, и поэтому приходится его поиск связывать сопряжено с полем скоростей. Математически пока не удается точно решить эту проблему.
В главе 1 указывалось, что процесс решения внутренней задачи о свободной конвекции в трехмерной нестационарной постановке остается еще до конца неосмысленным. В связи с этим снижение размерности уравнений Обербека - Буссинеска, исходя из особенностей применения их к конкретной задаче, остается актуальным.
Учитывая возможность рассмотрения осесимметричной формулировки граничных условий, т.е. их однородность, связанную с существом физического смысла конкретной производственной проблемы (бездренажное хранение, испарительное осаждение и т.д.), можно снизить размерность уравнений Обербека - Буссинеска в сферической системе координат за счет симметричности меридиальных сечений (рис. 1.1). Как указывалось выше, присутствие в уравнениях модели (2.23) -(2.33) давления Р, делает задачу нахождения ее решения псевдоконкретной, т.е. на первый взгляд как бы не хватает определяющих уравнений для Р и отсутствуют граничные условия. Однако на самом деле система (2.23) -(2.33) несопряжена по давлению. Это означает, что поле скоростей и температур можно определить, не вычисляя поле давления. Это можно сделать исключением градиентов давления из уравнений (2.23) и (2.24) дополнительным перекрестным дифференцированием с последующим вычитанием. Такой прием и лежит как раз в основе перехода от задачи (2.23) - (2.33), которая называется задачей в естественных переменных, к новой задаче, в новых зависимых переменных, которые носят название переменных Гельмгольца.
Исследована возможность записи исходной системы уравнений математической модели в несопряженной форме относительно давления. 3. Осуществлен покоординатный переход исходной задачи от естественных переменных к переменным Гельмгольца. 4. Сформулированы краевые условия для функций тока и вихря, которые замыкают задачу о свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в полностью заполненной сфере. 5. Приведена общая формулировка задачи о свободной конвекции в сферическом объеме, применимая для граничных условий 1-го и 2-го рода для температуры на смоченной поверхности.
В силу осесимметричности задачи область решения представляет собой полукруг, определяемый декартовым произведением D (R, ip) = [0,1] х [0, тт], где і? Є [0,1], ф Є [0, тт]. Согласно конечно-разностной технологии непрерывная область заменяется дискретной (рис. 3.1 а). Особенностью представления уравнений Обербека - Буссинеска является неопределенность на некоторых границах и в точках, связанная с наличием множителей при производных R l и sin" ср. Физически построение сетки осуществляется разбиением радиальной компоненты на N частей, а угловой на М частей. Решение исходной задачи осуществляется в узлах сетки. Памятуя о преодолении неопределенности, вместо дискретной области в виде полукруга OMN будем иметь дело с областью в виде ABCD. Область ABCD проецируется на декартовую плоскость в виде матрицы ABCD (рис. 3.1, б), что удобно для использования на компьютере.
Наиболее простой и физически оправданной является двухслойная схема шаблона по времени, а учитывая двумерность области решения — центральный крест (рис. 3.1, в). Использование такого шаблона при построении конечно-разностной аппроксимации уравнений модели приводит к квазинеявной вычислительной схеме, что обусловлено параболичностью для уравнений вихря и теплопроводности и эллиптичностью уравнения связи функции тока с функцией вихря.
Вычислительный шаблон (рис. 3.1, в) аппроксимирует уравнения модели с первым порядком точности по времени и вторым порядком точности по координатам. Будем обозначать координаты текущего узла сетки как (i,j), тогда вершины матрицы ABCD (рис. ЗА, б) имеют координаты А(1,1), В (N - 2,1), С (N - 2, М - 2), D (1, М - 2).
Свободная конвекция вязкой несжимаемой жидкости в сферическом объеме при граничных условиях 2-го рода
Корректность аппроксимации граничных условий играет определяющую роль при реализации численной схемы (3.1) - (3.5). Граничные условия 1-го рода, т.е. когда задана функция на границе, проблем для дискретного представления не создает. А вот граничные условия 2-го рода, т.е. когда задана производная на границе, требуют более внимательного рассмотрения. Это связано прежде всего с тем, что аппроксимация в этом случае определяет физичность получаемого численного решения, т.к. значение искомого потенциала задачи сопряжено с его значением внутри области интегрирования. Поэтому порядок аппроксимации граничных условий, по крайней мере, не должен быть ниже порядка аппроксимации самих уравнений внутри области интегрирования. По этой причине аппроксимация градиентных условий не может быть осуществлена по двухточечному шаблону с первым порядком аппроксимации, т.е. если у - искомый потенциал, а х - аргумент, то запись граничных условий справа и слева от границы в виде Ах как показывают расчеты искажают картину процесса. Чтобы повысить порядок аппроксимации необходимо использовать трехточечный шаблон по нормали к границе. По понятным причинам центральная аппроксимация У2 Уо _ ,. ипи не обладает требуемой эффективностью, в силу не полного учета значения функции в центральной точке, по сравнению с левой и правой аппроксимациями от границы: Особая ситуация обстоит с аппроксимацией граничного условия (2.66). Установлено, что обычный трехточечный шаблон вблизи границы, не прино- сит желаемого результата. Поэтому был использован четырехточечный шаблон для аппроксимации этого граничного условия со вторым порядком точности в виде:
Сообразуясь с выше приведенными рассуждениями, дискретный аналог граничных условий (2.64) - (2.68) имеет следующий вид: Т.о. полный дискретный аналог задачи (2.60) - (2.68) представляется алгебраической системой уравнений (3.1) - (3.14). Явный характер задачи определяет форма представления дискретного аналога уравнений (3.1), (3.3) и неявный (3.2). Отсюда следует и название предлагаемой вычислительной схемы - квазинеявная (т.е. почти неявная).
Ключевым моментом при реализации квазинеявной численной схемы является рациональная организация алгоритма решения для уравнения связи между функциями тока и вихря (3.2), можно придти к выводу, что структурно это уравнение представлено в матричном виде. Действительно, обозначив коэффициенты дискретного уравнения через представим его в виде A = F, (3.15) где Л - матрица коэффициентов; Ф, F- вектор - столбцы неизвестных и правых частей. Чтобы уяснить структуру матричного представления (3.15) рассмотрим сетку 4x4, при этом і — 1,2; j; = 1,2. Опуская у Ф верхний индекс (к + 1), получим:
Т.о. организация вычислительной процедуры по квазинеявной конечно-разностной схеме выглядит следующим образом: вначале задаются начальные и граничные условия для временного слоя к = 0; затем вычисляются маршевые зависимые переменные Т и Q по уравнениям (3.1) и (3.3) для временного слоя к + 1; по схеме (3.19) интегрируется уравнение (3.2) и на- т к+1 - ходится Ф ; переприсваиваются наиденные поля, т.е. предыдущим значениям искомых параметров присваиваются последующие. Листинг разработанной программы в среде DELPHI 6 приведен в приложении 1.
Квазинеявность схемы (3.1)-(3.14) характеризуется тем, что процедуры вычисления функции вихря и температуры осуществляются по маршевой схеме (маршевая координата - время), а функция тока по неявной схеме (см. 3.1.3). Известно [126], что любая неявная схема абсолютно устойчива, поэтому вопрос об устойчивости вычислительного процесса по квазинеявной схеме сводится к выяснению условий устойчивости вычислений по уравнению конвективного теплообмена и уравнению для вихря. Причем это условие должно выражать связь между шагами интегрирования по времени и пространственным координатам в зависимости от параметров задачи: чисел Прандтля и Грасгофа.
Вначале рассмотрим сеточное уравнение (3.3), предполагая, что приближенное решение есть суперпозиция точного решения и неоднородной ошибки вычислений С, в виде, аналогичном (3.3), которое после преобразований станет
