Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние проблемы повышения эффективности исследования характеристик авиа ционных гтд с применением планированного эксперимента 12
1.1. Основные этапы, цели и задачи экспериментального исследования авиационных ГТД 12
1.2. Математическое моделирование характеристик ГТД на основе эксперимента 21
1.3. Основные требования к экспериментальным исследованиям и пути повышения их эффективности 30
1.4. Возможности планированного эксперимента 32
1.5. Опыт применения планирования эксперимента при исследовании характеристик авиационных ГТД 38
1.6. Основная цель и задачи, решаемые в диссертации 40
Глава 2. Теоретические основы оптимального планирования эксперимента 41
2.1. Системный подход к оценке эффективности плана эксперимента 41
2.2. Показатели и критерии эффективности плана эксперимента 45
2.2.1. Показатель и критерий точности регрессионной модели 46
2.2.2. Показатель и критерий объема эксперимента 69
2.2.3. Показатель и критерий стоимости эксперимента 72
2.2.4. Показатель и критерий длительности эксперимента 75
Глава 3. Численное определение плана эксперимента по критерию точности 81
3.1. Итерационная процедура построения точного плана эксперимента 82
3.2. Методика выбора оптимального плана эксперимента 86
3.2.1. Выбор плана эксперимента для функции, линейной по параметрам 86
3.3. Выбор плана эксперимента для функции, нелинейной по параметрам 90
Глава 4. Метод комплексной ( векторной ) оптимизации плана эксперимента 92
4.1. Сущность метода комплексной (векторной) оптимизации плана эксперимента 92
4.2. Взаимовлияние критериев эффективности плана эксперимента 94
4.3. Методы решения многокритериальных оптимизационных задач 98
4.4. Нормирование показателей эффективности плана эксперимента 102
4.5. Формирование множества Парето-оптимальных планов эксперимента 105
4.6. Выбор метода оптимизации векторного показателя эффективности плана эксперимента 109
Глава 5. Практическое применение методики комплексной оптимизации плана эксперимента при моделировании характеристик ГТД 110
5.1. Моделирование высотно-скоростной характеристики двигателя 110
5.1.1. Краткая характеристика ранее проведенного исследования 111
5.1.2. Выбор оптимального плана и сравнительная оценка его эффективности с исходным планом эксперимента 113
5.2. Моделирование характеристики компрессора вспомогательного ГТДТА-6А 117
5.3. Моделирование характеристики камеры сгорания с противоточным подводом первичного воздуха 129
5.3.1. Краткая характеристика ранее проведенного исследования 130
5.3.2. Выбор оптимальных планов и сравнение их эффективности с РКЦ планом 134
5.4. Моделирование прочности лопаток турбин 143
Основные результаты работы и выводы 144
Приложения 148
- Математическое моделирование характеристик ГТД на основе эксперимента
- Показатели и критерии эффективности плана эксперимента
- Выбор плана эксперимента для функции, нелинейной по параметрам
- Взаимовлияние критериев эффективности плана эксперимента
Математическое моделирование характеристик ГТД на основе эксперимента
Во всем многообразии экспериментального исследования ГТД можно выделить две взаимно дополняющие группы - физические испытания и испытания с привлечением моделей.
Физические испытания характеризуются использованием как искусственно создаваемых условий проведений испытаний, близких к условиям эксплуатации, так и естественных условий функционирования двигателя. Первые осуществляются с помощью специальных методов и средств в лабораторных условиях (лабораторные испытания) или в составе испытательных стендов (стендовые испытания). Эти средства позволяют воспроизводить в наземных условиях только часть воздействий, имеющих место при реальной эксплуатации. Примерами таких установок являются термобарокамеры, вибростенды, установки для контроля функциональных элементов и систем изделия и т. п. Ко вторым относятся натурные (летные) испытания функциональных элементов, узлов, агрегатов, подсистем и летательного аппарата в целом. Воспроизведение таких условий эксплуатации осуществляют либо в наземных условиях специально оборудованных площадок, либо на борту летающей лаборатории, опытного, эксплуатируемого или ремонтного образца летательного аппарата. В последнем случае представляется возможность наиболее полной оценки свойств объекта испытаний в условиях, наиболее приближенных к реальным условиям эксплуатации. К физическим испытаниям при естественных внешних воздействиях можно отнести также эксплуатационные испытания опытных образцов или головных серий изделий.
Испытания с применением моделей осуществляются с привлечением методов физического математического моделирования.
Физическое моделирование характерно тем, что объект испытаний заменяется более простой конструктивно подобной, условно конструктивной (динамически подобной), электронно-механической или летающей моделью, которая при определенных допущениях позволяет получить требуемую информацию. Такие модели используются, например, при оценке аэродинамических и прочностных свойств летательного аппарата, компоновке оборудования, макетировании процессов в гидравлических, электромеханических, электронных и других системах.
Применение математических моделей состоит в воспроизведении с их помощью требуемого поведения характеристик или проведении вычислительных экспериментов с функциональными моделями испытываемых объектов. Например, при лабораторных и стендовых испытаниях систем автоматического управления и модели случайных ветровых возмущений, использование вычислительного эксперимента является обязательным этапом предпроектных исследований и предварительным этапом при проведении всевозможных граничных испытаний, в - которых определяются области наиболее эффективного функционирования двигателя.
Во многих случаях испытания проводятся с целью построения или уточнения математической модели объекта, т. е. решается задача идентификации. При идентификации математическая модель создается по доступной для измерения входной и выходной информации объекта.
Задачи и методы идентификации классифицируются по ряду признаков: по типу математической модели объекта (методы идентификации линейных или нелинейных, стационарных или нестационарных, статических или динамических, непрерывных или дискретных, одномерных или многомерных и других типов объектов); по объему априорной информации об объекте (параметрическая или структурная идентификация); по характеру входных воздействий (активная или пассивная идентификация); по виду восстанавливаемой характеристики объекта (методы идентификации с параметрическим и непараметрическим представлением модели) и т. д.
Теория идентификации развивается как дочерняя наука математической статистики и теории управления. С позиции математической статистики идентификация связана с процессом оптимального оценивания в условиях косвенных измерений.
Одна из возможных общих схем идентификации представлена на рис. 1.2, где х, уо - соответственно входной и выходной сигналы объекта; т],% -помехи; x,y - входной и выходной сигналы модели, є = у- у. Модель перестраивается в процессе минимизации показателя близости /(f). Данная схема позволяет сформулировать задачу идентификации в форме, весьма близкой к задаче нахождения оптимального управления. Так, задача параметрической идентификации включает в себя следующие данные: входных х и выходные у0 сигналы, измеренные с помехами rj и , математическую модель с неизвестными параметрами ап область допустимых значений ah показатель/(f), характеризующий близость объекта и модели. Оценка параметров а, определяется путем минимизации показателя /(f).
При идентификации обычно входное воздействие известно, находится математическое описание объекта. В этом отношении задача идентификации относится к обратным задачам теории управления.
Показатели и критерии эффективности плана эксперимента
Применительно к плану эксперимента под понятием эффективность будем понимать его приспособленность к решению поставленных в проводимом исследовании задач. Для сравнения эффективности различных планов и выбора оптимального, как было показано в п. 2.1, необходимы показатели и критерии эффективности. Критерии эффективности формулируют условия, которым должны удовлетворять значения показателей эффективности и которые отражают желаемое качество плана эксперимента. При выборе показателей эффективности обычно стремятся, чтобы они обладали следующими свойствами: полнотой; реализуемостью (допускают возможность численной оценки); устойчивостью; чувствительностью (критичностью) к управляемым параметрам. На практике цель планирования эксперимента при исследовании характеристик авиационных ГТД состоит в выборе количества и условий проведения экспериментов, обеспечивающих получение наилучшего (оптимального) в определенном смысле результата исследования. Конкретизация понятия оптимальный зависит от особенностей процесса: вида модели, стоимости отдельного эксперимента, длительности исследования, целей исследования (получение модели во всей области, либо поиск экстремальных значений выходной переменной) и т.д. При проведении исследований с применением планированного эксперимента основное требование сводится к получению требуемого результата при наименьших временных и материальных затрата. Для комплексной оценки эффективности плана эксперимента (ПЭ) введем в рассмотрение показатели, характеризующие его как функциональное, так и экономическое качество (рис. 2.1): показатель Пт, характеризующий точность регрессионной модели, опре деляемой в ходе экспериментального исследования; показатель Пи, характеризующий объем исследования, т. е. количество опытов в ПЭ; показатель Пс, характеризующий стоимость затрат на проведение эксперимента; показатель Пт, характеризующий временные затраты на проведение эксперимента, т. е. реализацию ПЭ. В процессе разработки программы экспериментального исследования одним из основных этапов является выбор требований к точности и достоверности результатов. Для выбора требований к точности и достоверности оценки показателей в принципе можно разработать подход, обеспечивающий однозначность и оптимальность (в некотором смысле) принимаемого решения. В основу такого подхода, по-видимому, нужно положить экономический критерий.
С одной стороны, снижение указанных требований приводит к убыткам, связанным с возможными ошибками при оценке параметров исследуемого процесса. Повышение этих требований, с другой стороны, увеличивает стоимость эксперимента. Оптимальным можно считать уровень требований, минимизирующий сумму потерь от возможных ошибок оценки и затрат на проведение эксперимента. Если второе слагаемое может быть определено относительно легко, то определить первое слагаемое практически невозможно. Решения, принимаемые на данном этапе, очень сильно влияют на параметры плана эксперимента, на объем необходимых статистических данных, на величину затрат труда, времени, ресурса изделия, общую продолжительность и стоимость эксперимента. Окончательный вариант требований к точности оценки исследуемой модели и ее параметров всегда представляет собой компромисс между стремлениями получить высококачественную оценку и снизить затраты всех видов на проведение эксперимента. Очевидно, что при этом должны учитываться специфические особенности испытываемого изделия (назначение, типичные условия эксплуатации, стоимость часа эксплуатации), условия производства (объем партии), возможности испытательной базы и целый ряд других факторов. Именно по этой причине нормативные документы не устанавливают однозначно нормы на значения этих показателей, предполагая, что окончательный выбор значений точности проводится в процессе разработки конкретного плана эксперимента (программы испытаний). В ряде стандартов и РТМ устанавливаются рекомендуемые значения доверительной вероятности (QpeK) и доверительной относительной ошибки (5 ) оценки искомых показателей исследуемого процесса, которые могут быть различными для различных типов изделий (так, например, для изделий, входящих в Государственную систему приборов, рекомендуемыми значениями является Q = 0,8 и =0,3). В процессе экспериментального исследования статистические данные, необходимые для оценки неизвестных коэффициентов исследуемой модели, набираются по определенной программе, задаваемой планом эксперимента.
Для величины "у" (выходная величина, зависимая переменная или отклик), зависящей от вектора независимых переменных х = (х,,х2,...,дг„) При выборе любого экспериментального плана он должен быть таким, чтобы его информационная матрица М была невырожденной, поскольку в этом случае система линейных уравнений, к которой приводит критерий наименьших квадратов, имеет единственное решение [93]. Поскольку экспериментальное исследование ГТД связано с большими затратами, то практическую ценность имеют не непрерывные, а точные планы эксперимента, которые являются оптимальными для заданного числа наблюдений N [93]. При этом задача выбора точного оптимального плана сводится к нахождению такого расположения N точек xi(i = \,N) в пространстве планирования Gx, при котором выполняются требования соответствующего критерия оптимальности. В теории планирования эксперимента показатели, характеризующие точность результатов исследования, разделены на 2 группы (рис. 2.2) [25, 69, 88]: показатели, связанные с точностью оценки коэффициентов а = (а0, аь а2,.., ак) регрессионной модели у = f(xj,al); показатели, связанные с ошибкой оценки параметра модели у; Первую группу образуют показатели D-, А-, Е- оптимальности (ПЛ, Пп, П,) и ортогональность плана (Пу). Вторую группу образуют показатели G- и Q - оптимальности (Пс, nQ), ро-татабельности (Прот), униформности (Пун) и максимума точности оценки координат экстремума (П .). Структурная схема связи показателей эффективности плана эксперимента приведена на рис. 2.2, а алгебраическая и статистическая интерпретация критериев оптимальности, показывающих к какому экстремуму (минимуму или максимуму) должно стремиться значение показателя эффективности, в табл. 2.1.
Выбор плана эксперимента для функции, нелинейной по параметрам
В случае, когда функция связи у = /(х,в) является нелинейной по параметрам (коэффициентам вх, в2, ...), задача существенно усложняется, поскольку матрица F, а также вектор f(xnp) должны быть составлены из значений частных производных ду/дв [91, 93]. При линейной по коэффициентам функции отклика частные производные {дуїдв); = рДх) не зависят от значений коэффициентов в,. При нелинейной по коэффициентам функции отклика частные производные \c)y,at )i (P x ) а значит матрица F и вектор f(x„p) тоже зависят от в и построение оптимального плана без априорного знания коэффициентов ві невозможно. При этом можно задавать предварительные оценки ві (хотя бы ориентировочно) и строить план с учетом этих оценок. Для задач, требующих определение оценки отклика, этот прием может быть вполне приемлемым, в отличие от задач определения коэффициентов модели. Оценить коэффициенты модели по статистическим данным можно различными методами. Самые распространенные - принцип максимального правдоподобия и МНК[13, 38, 50, 93]. Ввиду сложности нелинейную задачу пытаются свести ее к более простым задачам и методам линеаризации: в некоторых случаях проводят простое преобразование путем замены переменных или логарифмированием (такое преобразование нельзя проводить в случае, когда предполагается аддитивность ошибки наблюдений); используется метод линеаризации Гаусса-Ньютона. Начальная информация об искомых параметрах 6, может быть определена: из литературных источников, где приведены значения постоянных ко эффициентов, показателей степеней в теоретических формулах расчета анало гичных объектов исследования; из ранее проведенных экспериментов над аналогичными объектами. Если о значениях параметров нет априорных сведений, то необходимо провести - "затравочный" эксперимент [93], от которого требуется, чтобы он был невырожден, т. е. давал однозначные оценки вг Следует отметить, что ввиду наличия веера моделей приходится решать также задачу выбора робаст-ных планов, т. е. планов малочувствительных к возможному изменению моделей хотя бы в пределах некоторого их класса [93]. Область экстраполяции (прогноза) может иметь вид гиперкуба, ребра которого параллельны осям х в гиперпространстве X, или вид пространственной фигуры С1пр, ограниченной замкнутой поверхностью F = f(x). Исходными данными при выборе плана являются: вид функции отклика у = у(х,в); априорные оценки коэффициентов в. Алгоритм построения плана остается таким же, что для случая линейной функции по параметрам (коэффициентам), за исключением того, что матрица F и вектор f(xnp) формируются из частных производных (ду/дв). Основной целью комплексной оптимизации исследования на основе планирования эксперимента является выбор плана, обеспечивающего достижимое значение эффективности проводимого исследования одновременно по всем основным показателям: точности моделирования исследуемых характеристик изделия, а также материальных и временных затрат на исследование. Сущность метода комплексной оптимизации плана эксперимента основана на последовательном выполнении следующих основных этапов работ (рис. 4.1): Этап 1. Формирование исходных данных. Этап 2. Формирование множества Парето-оптимальных планов эксперимента. Этап 3. Выбор окончательного плана эксперимента и его практическая реализация. Этап 1 включает: обоснование множества показателей и критериев эффективности плана, являющихся основными для проводимого исследования; выбор вида модели, описывающей исследуемую характеристику объекта; определение области реализации выбранных показателей эффективности плана эксперимента; формирование области реализации эксперимента. Область реализации показателей эффективности формируется с учетом ограничений по материальным и временным затратам на эксперимент, включая ограничение по количеству опытов в плане или ограничение по количеству образцов изделия, выделяемых на исследование.
Структура метода комплексной оптимизации плана эксперимента: Спр,тпр - ограничения по материальным и временным затратам; Nn/t - ограничение по количеству опытов или выделяемых на эксперимент образцов изделия Этап 2 предназначен для формирования области оптимальных компромиссных решений, получаемых оптимизацией плана с учетом одновременно всех показателей, выбранных на первом этапе. Отсутствие одного единственного решения обусловлено противоречивостью критериев эффективности плана эксперимента.
Взаимовлияние критериев эффективности плана эксперимента
Рассмотренные в главе 2 критерии эффективности плана эксперимента KT,KN,KC и Кт сводят задачу выбора его оптимального значения к проблеме принятия многоцелевого решения. Причем эти цели не могут быть выражены единообразно, т. е. быть измеряемыми в одинаковых единицах. Принципиально многомерные цели могут находиться друг с другом в следующих отношениях: 1. Цели взаимно нейтральны. Система или процесс могут применительно к отдельным целям характеризоваться и рассматриваться независимо; 2. Цели кооперируются. Здесь, как правило, систему или процесс удается рассматривать применительно к одной цели, а остальные достигаются одновременно; 3. Цели конкурируют. В этом случае одной из целей можно достигнуть лишь за счет другой. Если цели частично нейтральны, частично кооперированы, а частично конкурируют между собой, то задача формулируется таким образом, что нужно принимать во внимание только конкурирующие цели. Рассмотрение нейтральных или кооперативных целей не представляет особых трудностей, так что проблемы, ориентированные на множество целей, прежде всего, должны быть рассмотрены в части конкурирующих целей, коль скоро все они вместе не могут быть выражены одномерным параметром. Чаще всего это выглядит так, что каждый раз последовательно считают переменной одну из целей и оптимизируют ее, а остальные цели рассматриваются как ограничения. Это весьма рациональный метод, в процессе которого одна задача сводится к другой, ориентированной на единственную цель.
В общем случае сильные ограничения сужают пространство оптимизации в большей или меньшей степени произвольно. Это нередко может привести к такой ситуации, когда оптимум достигнут не будет и оптимальный вариант решения найти не удается. Если отдельные цели удается расположить в определенном иерархическом порядке и благодаря разному весу целей этот порядок ярко выражен. На первом этапе определяют множество вариантов решения, которые удовлетворяют цели наивысшего ранга. При определенных условиях здесь может быть предварительно задана область равноценных применительно к желаемой цели решений.
Сформированное таким образом множество решений на втором этапе ограничивается дальше, так же, как на первом, но уже применительно к следующей по важности цели в ряду приоритетов, и этот процесс продолжается, пока не останется один вариант решения. Если не удается прийти к единственному решению, то из нескольких оставшихся приходится делать субъективный выбор. Поскольку это становится необходимым только по отношению к целям низшего ранга, нежелательное влияние такого субъективного вмешательства обычно достаточно ограничено. Описанный метод прост и его широко практикуют при решении технических задач. Оптимальность здесь не гарантируется. Хотя обычно нельзя категорически указать или однозначно назвать одну доминирующую цель из множества данных, выстраивание целей по ранжиру по существу заранее предполагает наличие некоторой метацели. Анализ критериев Kr,KN,K(. и Кт показывает, что их взаимовлияние неоднозначно. Так, оптимизация плана эксперимента по критерию К., ведет к ухудшению эффективности по критерию KN, характеризующему объем эксперимента, и как следствие, к снижению эффективности плана по критериям К(. и Кт. Одно и тоже значение критерия Кт может обеспечиваться при разных значениях критериев KN, Кс и Кт. Желание повысить эффективность плана эксперимента по критерию длительности Кт, например, за счет форсирования режимов нагружения исследуемого изделия при проведении ресурсных испытаний, может привести к непомерно большим затратам на подготовку двигателя и испытательного стенда к испытаниям. Стремление повысить эффективность плана по критерию точности К, возможно за счет расширения области экспериментального исследования, но при этом могут увеличиваться затраты на реализацию плана эксперимента и т. д. Таким образом, очевидно, что выбор оптимального плана эксперимента является задачей многокритериальной векторной оптимизации.
Проблема векторной оптимизации - это проблема принятия компромиссного решения. Первоначально поиски методов решения задач с векторным критерием оптимальности в теории исследования операций были направлены на отыскание строгого единственного математического решения, обращающего в экстремум все скалярные критерии. Однако такого решения, как оказалось, объективно не существует. Объективным единственным фактором, характеризующим проблему векторной оптимизации (в рамках того субъективизма, который связан с выбором самих локальных критериев), является наличие области Парето в пространстве критериев и существование так называемых Парето-оптимальных решений [30, 68, 72, 84]. Область Парето (область компромиссов) ограничивает возможный выбор решений. Основным требованием, предъявляемым к выбранному решению, являлась его Парето-оптимальность. Множество допустимых вариантов плана эксперимента є(X) характеризуется некоторой замкнутой областью Gx {є{Х) eGx), где X— матрица плана є. Пусть задана система локальных критериев среди которых существуют противоречивые и несводимые один к другому. Для определенности пусть каждый из локальных критериев подлежит максимизации. Очевидно, что задача не имеет решения в области Gx. На рис. 4.2 представлена плоскость критериев К\ и К2, в которой область допустимых значений Gh, определяемая областью Gx, замкнута контуром ОСАВЕ.
