Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения математическому анализу студентов направления подготовки «прикладная математика и информатика» в условиях модульной системы образования 10
1.1. Парадигма математического образования в условиях модернизации всех его уровней 10
1.2. Модульная система обучения студентов вузов математическому анализу 17
1.3. Ведущие принципы конструирования системы модулей по курсу математического анализа 21
1.3.1. Интенсификация обучения и ее реализация в математической подготовке студентов.21
1.3.2. Фундаментализация образования как направление его модернизации 30
1.4. Предмет математического анализа и его влияние на конструирование содержания обучения студентов направления подготовки «Прикладная математика и информатика» 33
1.5. Применение систем компьютерной математики при обучении студентов математическому анализу 36
1.6. Принципы отбора содержания курса математического анализа в условиях модульной системы образования 38
ГЛАВА 2. Методика организации компьютерного эксперимента при модульной системе обучения студентов математическому анализу 45
2.1. Общая характеристика системы модулей по курсу математического анализа 45
2.1.1. Общие цели обучения и образовательные результаты 45
2.1.2. Методическое руководство к освоению содержания модулей по курсу математического анализа 47
2.1.3. Организация самостоятельной научно-исследовательской работы студентов в условиях модульной системы обучения как стратегическое направление сохранения фундаментальности образования 56
2.1.4. Связь содержания обучения по математическому анализу с практической деятельностью 65
2.2. Модуль «Введение в анализ» 69
2.2.1. Дидактические цели модуля 69
2.2.2. Содержание обучения модуля «Введение в анализ» 71
2.2.3. Методика использования компьютерного эксперимента в условиях модульной системы обучения 75
2.3. Модуль «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» 85
2.3.1. Дидактические цели модуля 85
2.3.2. Содержательные аспекты модуля 86
2.3.3. Методика использования компьютерного эксперимента в рамках модуля «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» 93
ГЛАВА 3. Педагогический эксперимент и его результаты 99
3.1. Констатирующий и поисковый этапы педагогического эксперимента 99
3.2. Формирующий этап педагогического эксперимента 107
3.2.1. Установление отсутствия статистически значимого различия уровня контрольной и экспериментальной групп до экспериментального воздействия 108
3.2.2. Статистический анализ результатов после экспериментального воздействия 109
Выводы по главез 1 12
Заключение 113
Библиографический список 116
Приложения 128
- Модульная система обучения студентов вузов математическому анализу
- Модуль «Введение в анализ»
- Модуль «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»
- Формирующий этап педагогического эксперимента
Введение к работе
Актуальность исследования. Как известно, математическое образование играет значимую роль для формирующегося в настоящее время информационного общества, поскольку во многих отраслях человеческой деятельности наблюдается потребность в специалистах, владеющих современными, универсальными математическими методами моделирования и исследования реальных процессов и явлений. На удовлетворение указанных запросов ориентированы актуальные математико- информационные направления подготовки будущих специалистов (например, «Прикладная математика и информатика», «Математика. Компьютерные науки» и т. п.), сочетающие традиционную фундаментальность математического образования с приложениями математических знаний.
Значительная часть осваиваемых студентами математических методов формируется в курсе математического анализа, который является методологической базой для ряда прикладных дисциплин (например, «Дифференциальные уравнения», «Уравнения математической физики», «Численные методы», «Методы оптимизации», «Методы решения нелинейных задач оптимизации»).
В то же время, важной тенденцией современного отечественного образования является осуществление комплекса мер по приведению системы образования в соответствие с современными мировыми стандартами. В отношении высшей школы интеграции России в международное образовательное пространство способствует переход на двухуровневую модель образования. Реализация данной модели предполагает, как правило, уменьшение временного ресурса на освоение основных дисциплин учебных планов и увеличение доли самостоятельной работы студентов в сравнении с подготовкой специалистов в недавнем прошлом. Для бакалавриата и магистратуры стоит принципиальная задача сохранения высокого качества подготовки выпускников. В данных условиях традиционные подходы к выстраиванию образовательного процесса не обеспечивают решения поставленной задачи, поэтому целесообразно внедрение модульной системы обучения, которая позволяет студентам более мобильно и интенсивно изучать разделы важных курсов. Следует отметить, что модульный принцип построения обширных курсов, каковым, в частности, является математический анализ, может приводить к нарушению их внутренней логики и, в конечном итоге, к потере фундаментального характера данной дисциплины.
На сегодняшний день можно констатировать, что традиционный курс математического анализа, построенный в идущей от Г. В. Лейбница и Г. Лопиталя форме «исчисления», фактически исчерпал свой методический потенциал. Для современного студента, «вооруженного» программами MathCad, MathLab и др., как показывает практика, он малоинтересен.
В этих условиях становится актуальной проблема поиска новых методических подходов к построению курса математического анализа при модульной системе обучения, реализующих требования сохранения его фундаментальности и направленности на решение задач практики. Целями изучения математического анализа по-прежнему должны оставаться фундаментальные предметные знания, формирование навыков математического моделирования, приобщение к профессиональной деятельности, а также развитие логического, алгоритмического и эвристического мышления студентов.
Следует также подчеркнуть: математический анализ представляет собой постоянно развивающуюся область математической науки, что, с одной стороны, должно отражаться в содержании образования, а с другой - открывает возможность для организации научных исследований студентов.
В указанных обстоятельствах перспективным направлением в методическом обеспечении курса математического анализа в условиях модульной системы обучения в вузе является использование компьютеров, в частности для организации и проведения численного эксперимента. На широкие возможности экспериментальной деятельности в обучении математике указывал, например, академик В. И. Арнольд. В школе имени академика А. Н. Колмогорова при МГУ имени М. В. Ломоносова в рамках так называемого математического практикума целенаправленно применялся математический эксперимент. На важность использования компьютерных экспериментов в обучении математике обращали внимание Е. В. Ашкинузе, С. А. Бешен- ков, Э. И. Кузнецов, Н. К. Нателаури и др. Именно наглядные результаты компьютерного эксперимента раскрывают актуальность и проясняют студентам целесообразность освоения современных аспектов математического анализа: явлений бифуркации и фракталов, элементов нелинейной динамики и негладкого анализа и т. п. Посредством вовлечения в экспериментальную работу студенты получают реальную возможность выдвигать гипотезы, проводить первичную проверку и искать им теоретическое обоснование. В данных условиях компьютерный эксперимент служит мощным методическим средством формирования научного стиля мышления, что является одной из главных общеобразовательных задач современного курса математического анализа при модульной системе обучения в вузе.
Проблема исследования определяется противоречием между широкими потенциальными возможностями математического эксперимента для развития современного научного мировоззрения студентов, а также представлений об общей методологии познания и отсутствием методики его использования при обучении математическому анализу в условиях модульной организации образовательного процесса в вузе.
Объект исследования - процесс обучения математическому анализу студентов направления подготовки «Прикладная математика и информатика» в вузах.
Предмет исследования - методика обучения студентов университета направления подготовки «Прикладная математика и информатика» математическому анализу в условиях перехода на двухуровневую модель высшего образования при модульной организации образовательного процесса.
Цель диссертационного исследования заключается в изучении педагогической целесообразности и эффективности использования компьютерного эксперимента как методического инструмента преподавания математического анализа студентам - будущим бакалаврам направления подготовки «Прикладная математика и информатика» в условиях модульной системы обучения в вузе.
Гипотеза исследования:
Обучение математическому анализу студентов - будущих бакалавров направления подготовки «Прикладная математика и информатика» в условиях модульной системы обучения можно сделать более эффективным и отвечающим современным требованиям к уровню математического образования, если:
-
изучение фундаментальных основ математического анализа будет предваряться математическими экспериментами с использованием программного обеспечения, которые позволяют формировать интуитивные представления о познаваемых объектах и подготавливать студентов к осознанному восприятию строгих определений понятий и математических фактов;
-
в процессе изучения анализа будет сделан акцент на связь математических понятий с явлениями и процессами внешнего мира;
-
содержание обучения будет насыщено новыми научными фактами, отражающими современное состояние и методологию предметной области, что будет способствовать решению проблемы качественной математической подготовки студентов и их подготовки к профессиональной деятельности.
В соответствии с целью и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи.
-
-
Проанализировать особенности построения модульных систем обучения математике в вузе и выявить основные проблемы для преподавания математического анализа студентам направления подготовки «Прикладная математика и информатика» в условиях данной системы.
-
Выявить методические подходы к обучению студентов вузов математическому анализу, которых целесообразно придерживаться в условиях модульной системы обучения.
-
Осуществить отбор моделей для компьютерного эксперимента, согласующихся с общими целями и содержанием обучения студентов математическому анализу.
-
Разработать методику использования компьютерного эксперимента в преподавании математического анализа студентам направления подготовки «Прикладная математика и информатика» и экспериментально проверить ее эффективность.
Теоретико-методологическую основу исследования составляют:
-
работы по методологическим основам математики и методологии математического образования (Ж. Адамар, А. Д. Александров, В. И. Арнольд, Д. Гильберт, Б. В. Гнеденко, М. Клайн, Ф. Клейн, А. Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, М. Нугмо- нов, Д. Пойа, М. М. Постников, А. Пуанкаре, В. А. Садовничий, Г. И. Саранцев, В. М. Тихомиров, А. Я. Хинчин и др.);
-
теория деятельностного подхода в образовании и теория развивающего обучения (Л. С. Выготский, В. В. Давыдов, О. Б. Епишева, Л. В. Занков, В. П. Зинченко, А. Н. Леонтьев, Е. И. Лященко, А. А. Столяр, Н. Ф. Талызина, Д. Б. Эльконин и др.);
-
теории системного подхода в образовании и их реализации в обучении математике школьников и студентов (В. А. Гусев, В. С. Леднев, В. М. Монахов, А. М. Пышкало, А. И. Уемов, П. Г. Щедровицкий и др.);
-
психолого-педагогические исследования познавательно-поисковых процессов и концепции учебной мотивации (Е. П. Ильин, Р. С. Немов, Ж. Пиаже, К. Роджерс, М. А. Родионов, С. Л. Рубинштейн и др.);
-
концепции дифференциации и индивидуализации обучения математике (М. И. Башмаков, В. Г. Болтянский, Г. Д. Глейзер, В. А. Гусев, Л. Н. Журбенко, Е. Е. Семенов, И. М. Смирнова, М. В. Ткачева, Р. А. Утеева, В. В. Фирсов и др.);
-
работы по использованию задач в обучении математике (В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, В. А. Далингер, Г. В. Дорофеев, М. И. Зайкин, Е. С. Канин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, В. И. Мишин, В. М. Монахов, А. Г. Мордкович, Ф. Ф. Нагибин, Д. Пойа, Н. Х. Розов, В. И. Рыжик, Г. И. Саранцев, А. Д. Семушин, З. И. Слепкань, А. А. Столяр, Л. М. Фридман, И. Ф. Шарыгин, П. М. Эрдниев и др.);
-
исследования по модульной организации обучения (Е. А. Бутко, К. Я. Вазина, М. Т. Громкова, В. А. Ермоленко, С. А. Каинова, А. А. Муравьева, П. И. Третьяков, М. А. Чошанов, Т. И. Шамова, П. А. Юцявичене, Дж. Рассел, Г. Оуенс и др.);
-
работы по изучению возможностей применения систем компьютерной математики в образовательном процессе вузов разных профилей (М. В. Бушманова,
-
П. Дьяконов, С. А. Дьяченко, М. А. Зарецкая, М. Е. Иванюк, Ю. Г. Игнатьев, Т. В. Капустина, Г. А. Клековкин, Е. В. Клименко, О. П. Одинцова, Л. П. Судакова и др.);
современные научные и научно-методические исследования по дифференциальному исчислению функций одной переменной (Г. Г. Брайчев, В. Ф. Демьянов,
-
И. Калинин, Ф. Кларк, А. М. Рубинов, В. А. Попов, H. Alzer, M. Benzce, T. M. Flett, A. Ulrich и др.).
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической, методической и технической литературы, программ и учебников по вопросам преподавания математического анализа в вузе; анализ литературы по вопросам использования средств ИКТ в обучении; изучение возможностей применения программных продуктов в обучении математическому анализу; педагогическое наблюдение, опросы и анкетирование студентов, тестирование; обобщение педагогического опыта; педагогический эксперимент по проблеме исследования; статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.
Научная новизна исследования заключается в том, что исследованы возможности использования компьютерного эксперимента как методического инструмента при изучении студентами вуза математического анализа в условиях модульной системы, способствующего их подготовке к будущей профессиональной деятельности.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что обоснована педагогическая целесообразность применения компьютерного эксперимента в обучении студентов основам математического анализа в условиях модульной организации образовательного процесса как современного средства формирования научного мышления будущих математиков-прикладников.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработана система модулей по курсу математического анализа для студентов направления подготовки «Прикладная математика и информатика», методические рекомендации для проведения лекционных и практических занятий, рекомендации по осуществлению компьютерного эксперимента в организации аудиторной и самостоятельной научно- исследовательской работы студентов.
Этапы исследования. Констатирующий и поисковый эксперименты проходили в Вятском государственном гуманитарном университете.
На первом этапе (2007-2008 гг.) осуществлялись проведение констатирующего эксперимента; исследование особенностей модульной системы организации образовательного процесса, обсуждение проблемы математического образования; изучение и анализ теоретических исследований по данной проблеме; постановка целей и задач диссертационной работы.
Второй этап (2009-2011 гг.) был посвящен изучению возможности компьютерного эксперимента; отбору содержания обучения; проведению формирующего эксперимента и теоретическому обобщению результатов экспериментальной работы.
На третьем этапе (2011-2012 гг.) осуществлялись обсуждение и публикация теоретических и экспериментальных результатов, корректировка разработанных модулей, оформление текста диссертационного исследования.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечены применением методов, адекватных его проблеме, объекту, предмету, целям и задачам; внутренней согласованностью выдвигаемых теоретических положений, их опорой на фундаментальные работы математиков, методистов, философов, психологов; характером и итогами экспериментальной работы при преподавании дисциплины «Математический анализ» студентам специальности 010501.65 и направления подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика».
Апробация результатов исследования проводилась в виде выступлений и обсуждений на заседаниях кафедры математического анализа и методики обучения математике, а также кафедры прикладной математики и информатики Вятского государственного гуманитарного университета; на Всероссийских и Международных научных и научно-практических конференциях и семинарах (Пенза, 2008, 2009; Пермь, 2008; Киров, 2009, 2012; Екатеринбург, 2009, 2011; Москва, 2010; Елабуга, 2011; Арзамас, 2011).
На защиту выносятся следующие положения:
-
-
В математическом образовании центральным элементом является обучение моделированию, поэтому включение в содержание обучения математическому анализу современных представлений об актуальных научных разделах («Неравенства», «Выпуклые и логарифмически выпуклые функции», «Элементы негладкого анализа», «Вопросы теории расходящихся рядов» и др.) обеспечивает студентов инструментарием для исследования моделей, более адекватно отражающих процессы реального мира.
-
Модульная система обучения предполагает большую долю активной самостоятельной работы студентов, поэтому интенсификация обучения математическому анализу студентов направления подготовки «Прикладная математика и информатика» может быть реализована путем интеграции учебной и внеучебной деятельности, а также эффективного использования потенциала современных средств ИКТ в образовательном процессе. В таком случае возникает задача разработки и внедрения таких методических подходов, которые учитывают специфику сферы деятельности математика-прикладника.
-
Основным методическим инструментом, позволяющим обеспечить решение поставленной задачи, является компьютерный эксперимент. Обретение студентами навыков проведения численных экспериментов с математическими объектами посредством компьютерных программ учит их выдвигать гипотезы, искать эффективные пути доказательства или опровержения таковых, при этом сам эксперимент в рамках как учебной, так и внеучебной деятельности служит мощным методическим средством формирования научного стиля мышления, что способствует решению проблемы качественной подготовки будущих математиков-прикладников к профессиональной деятельности.
-
Применение в исследовательской деятельности систем компьютерной математики выводит математический эксперимент на качественно новый уровень, при этом сохраняется его смысловое наполнение: сбор и анализ эмпирических данных, выдвижение гипотез, их первичная проверка, поиск контрпримеров. Данное обстоятельство необходимо должно отражаться в современном содержании обучения студентов профильных направлений подготовки, в частности, при изучении ими математического анализа.
Модульная система обучения студентов вузов математическому анализу
Как отмечалось ранее, неотъемлемой частью двухуровневой модели высшего образования является модульная система организации учебного процесса. Модульное обучение приобрело большую популярность в вузах США, Америки, Германии, Канады.
Модульное обучение исторически основывается на концепции микрокурсов С. Послетвайта, в которой единица содержания обучения исчерпывается одной темой в рамках обучающей информации. Автор полагал, что малую порцию учебного материала можно считать независимой и свободно соединять с любой обучающей программой. В 70-х гг. XX в. микрокурсы использовались в университетах и колледжах Америки [32, с. 14].
В основе модульного обучения лежит идея блочной подачи учебного материала. Ее центральным элементом является модуль. В диссертационной работе [79] проведен подробный анализ подходов к определению данного понятия в отечественных и зарубежных педагогических исследованиях. Так, Дж. Рассел называет модулем учебный процесс, охватывающий единицу учебного материала [143, с. 58], а Б. Гольдшмидт и М. Гольдшмидт понимают под модулем замкнутую самостоятельную единицу запланированной серии учебной деятельности, созданную в помощь студенту для достижения им конкретных задач [153].
В результате сравнения различных точек зрения на трактовку понятия «модуль» Т. Н. Щеднова приходит к выводу, что следует «рассматривать модуль как логически завершенный, самостоятельный, информационно и методически обеспеченный блок учебной программы» [148, с. 18].
В отечественных педагогических исследованиях интерес к модульному обучению наблюдается с 80-х годов XX в. П. А. Юцявичене видит сущность модульного обучения в том, что «обучающийся более самостоятельно или полностью самостоятельно может работать с предложенной ему индивидуальной учебной программой, содержащей в себе целевую программу действий, банк информации и методическое руководство по достижению поставленных дидактических целей» [149, с. 10]. При такой организации учебного процесса «функции педагога могут варьироваться от информационно-контролирующей до консультативно-координирующей» [149, с. 10]. По мнению автора, инвариантными компонентам модуля являются учебный текст, руководство к обучению, консультация педагога.
В статье [33] целью разработки модулей видят «расчленение содержания каждой темы курса на составные компоненты в соответствии с профессиональными, педагогическими и дидактическими задачами, определение для всех компонентов целесообразных видов и форм обучения, согласование их по времени и интеграция в едином комплексе» [33, с. 30].
Л. П. Голощекина отмечает, что «модульный принцип построения учебных программ и планов отражает интегративные процессы между техникой, технологией и образованием. Подобно тому, как построение и эксплуатация средств робототехники, основанной на модульных конструкциях, позволяет точно решать вопросы специализации и универсализации исполь зования машин, так и системы обучения могут конструироваться на базе готовых моделей» [70, с. 65].
Ю. К. Балашов и В. А. Рыжов, анализируя западные системы -профессионального образования, отмечают следующие достоинства модульного обучения:«1) разбивка специальности на законченные части (модули и его элементы), имеющие самостоятельное значение;2) отсеивание материала, являющегося "лишним" для данного конкретного вида работ;3) максимальная индивидуализация продвижения в обучении» [14, с. 97].
С конца 90-х годов прошлого века в связи с усилением интеграционных процессов в образовании тематика модульной организации обучения, в том числе математическим дисциплинам, снова стала актуальной. Она затронута в работах Г. В. Лаврентьева, М. А. Чошанова, а также в диссертациях И. В. Галковской, О. В. Дерягиной, Н. Ю. Коробовой, Т. П. Махаевой, С. В. Рудницкой, Т. Н. Щедновой и других исследователей. В этот период педагогами предпринимаются попытки органичного слияния модульной организации обучения и традиционных подходов, принятых в отечественной системе образования. Так, М. А. Чошанов замечает, что «на современном этапе развития науки понятие модульности, наряду с таким важным принципом системного подхода, как принцип развития, определяет динамичность и мобильность функционирования системы. Сама система при этом может быть представлена как совокупность модулей, или рассматриваться как определенный модуль в более общей структуре. Традиционное чисто техническое мнение о модуле, как о фиксированном узле, страдает определенной незавершенностью. Это особенно заметно в свете современных представлений о системном анализе, согласно которым система может содержать как базовые, так и вариативные модули, а те, в свою очередь, иметь базовый и вариативный компоненты. Такое строение модуля придает ему качества мобильности и гибкости, а также предупреждает "игнорирование логики учебного предмета", что является основным аргументом оппонентов модульного обучения» [143, с. 17].
В диссертациях Н. Ю. Коробовой [67], Т. П. Махаевой [79], Т. Н. Щедновой [148] рассматривается модульная организация обучения математике студентов нематематических специальностей. В докладе [17] кратко охарактеризована модульная технология обучения студентов математическому анализу, но основной акцент сделан на рейтинговой системе оценки знаний. Таким образом, на сегодняшний день можно констатировать недостаток системных исследований по модульной организации обучения студентов мате
Модуль «Введение в анализ»
Конкретизируем образовательные цели обучения через определение соответствующей деятельности студентов в рамках каждого модуля. В скоб ках указаны коды формируемых компетенций [138]: ОК - общекультурные компетенции, ПК - профессиональные компетенции.
Усвоение содержания модуля «Введение в анализ» можно считать успешным, если студент направления подготовки ПМиИ: - корректно использует терминологию и символику математического анализа (ОК-1, ПК-1); - владеет техникой предельного перехода (ПК-3); - эффективно применяет свойства пределов числовых последовательностей и функций для решения задач прикладной направленности (ПК-3); - .строит математические модели реальных процессов и явлений, используя функциональную зависимость (ПК-3); - анализирует, отбирает и эффективно использует средства ИКТ для решения теоретических и прикладных задач из начал математического анализа (ОК-14, ПК-2, ПК-10); - знает исторические периоды зарождения и становления математического анализа как научной области и основных его творцов (ОК-3, ОК-9). Указанные общекультурные и профессиональные компетенции характеризуют личность, готовую к профессиональной деятельности в современных быстро изменяющихся условиях. Так, глубокие знания основ математического анализа являются необходимым требованием к уровню подготовки математика-прикладника, поскольку сфера его деятельности достаточно широка и включает разнообразные математические объекты, для работы с которыми часто требуется изучение дополнительной научно-технической литературы и нередко - получение собственных научных результатов.
Широкий спектр областей профессиональной деятельности обусловливает также необходимость развивать кругозор и общую культуру студентов направления подготовки ПМиИ: они должны иметь представления о физических, химических, социальных процессах, закономерности развития живых организмов, популяций, общества в целом и т. п.
Наконец, компонента профессионального образования для направления подготовки ПМиИ, соответствующая информатике, предполагает владение современными средствами ИКТ, умение программно реализовывать алгоритмы различной степени сложности, особенно, касающиеся обработки числовых данных и структур, а также вопросов математического моделирования.
Таким образом, в рамках первого модуля - «Введение в анализ» -должны быть четко определены основные направления развития личности студентов рассматриваемого направления подготовки, которые будут сохраняться во всех модулях конструируемой системы.
Изучение математического анализа в вузе начинается с раздела «Введение в анализ», поэтому от успешного овладения студентами его содержанием зависит дальнейшее освоение всего курса. Б. В. Гнеденко писал: «Математика больше, чем какая-либо другая учебная дисциплина требует строгой последовательности в приобретении знаний. Нельзя успешно справиться с текущим материалом, если прежние понятия, определения и методы остались непонятыми и студент активно не овладел ими» [34, с. 158]. В то же время у студентов первых курсов возникают значительные затруднения, одна из главных причин которых - недостаточный уровень школьной подготовки.
В связи с этим в педагогических исследованиях происходит постоянный поиск эффективных подходов, обеспечивающих качественное усвоение ключевых понятий введения в анализ. В диссертационной работе Г. Л. Барбашовой [15] для обучения базовым понятиям математического анализа предлагается использовать технологических подход, реализуемый посредством соответствующей системы упражнений. Аналогично Е. М. Архипова использует для обучения математическому анализу атлас технологических карт [7].
О. С. Викторова в своем исследовании [30] провела анализ понятий и теорем из раздела «Введение в анализ», вызывающих у студентов первых курсов наибольшие трудности в понимании и освоении. Так, согласно полученным ею результатам, к наиболее трудным понятиям относятся: определения предела последовательностей, предела функции по Коши и фундаментальной последовательности. К наиболее сложным формулировкам теорем студенты относят теорему Кантора, критерий Коши, теорему о пределе частного [30, с. 111-112]. Наш опыт работы со студентами направления подготовки ПМиИ позволяет дополнить список вопросов, вызывающих наибольшие затруднения. Так, например, очень сложным для восприятия первокурсниками является понятие точной грани множества, доказательства первого и второго замечательных пределов, понятие равномерной непрерывности функции на множестве.
С учетом указанных затруднений, возникающих у студентов, а также в силу существенного влияния раздела «Введение в анализ» на дальнейшее освоение курса, содержание соответствующего модуля должно обеспечивать:- повторение, систематизацию и углубление знаний школьной программы по математике;- глубокое понимание фундаментальных понятий анализа;- формирование математической культуры студентов. Формирование математической культуры играет ключевую роль впредметной подготовке будущих математиков, поскольку широкий кругозор,
Модуль «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»
В современном мире большую роль играет исследование различных процессов или явлений посредством изучения их моделей. Моделирование позволяет снизить финансовые затраты на эксперимент, избежать негативных воздействий на человека и окружающую среду и т. д. Возможности компьютерной техники значительно расширили возможности данной области и обеспечили условия для экспериментального исследования сложных моделей. Таким образом, можно утверждать, что сегодня моделирование является одним из важнейших методов научного познания.
В классическом университетском курсе математического анализа традиционно рассматриваются модели с дифференцируемыми («гладкими») функциями. Данные модели описывают многие процессы, например, прямолинейное равномерное движение тела, размножение бактерий и т. д., однако они являются достаточно грубыми, или, следуя терминологии В. И. Арнольда, «жесткими» [4]. При попытке уточнения исследуемой модели нередко возникает необходимость отказа от условия дифференцируемости функции, что приводит к потребности обращения к понятиям так называемого «негладкого» анализа.
В качестве иллюстрации рассмотрим такую физическую задачу [58, с. 11]. Имеется эластичная лента с закрепленным верхним концом, к нижнему концу прикреплен груз единичной массы. Когда лента растягивается вниз на длину х, она действует на груз с направленной вверх возвращающей силой. пропорциональной х (закон Гука). Когда лента не растянута, возвращающая сила отсутствует. Этим эластичная лента отличается от пружины.
Если груз движется вертикально, функция x(t) определяет величину, на которую расстояние от груза до конца ленты отличается от длины нерастянутой ленты в момент времени t. По второму закону Ньютона имеем уравнение:
В последнем выражении g - ускорение силы тяжести (g « 9,8), к - постоянная Гука (неотрицательная величина, которая зависит от материала ленты). Величиной силы трения и весом самой ленты пренебрегаем.Заметим, что функция J[x(t)) является непрерывной, но недифференци-руема в точке х = 0.
Подобные функции довольно часто возникают при решении экономических, физических, инженерных и других задач. С одной стороны, возможности современной вычислительной техники достаточно широки и можно прибегнуть к численному эксперименту. С другой стороны, даже самому современному компьютеру требуется четкий алгоритм, который должен быть оптимальным по потреблению ресурсов и по времени выполнения. Для создания такого алгоритма необходимо владеть аналитическими методами. В связи с этим на повестку дня выходит расширение содержания курса дифференциального исчисления, обеспечивающее выход на современные вопросы и разделы анализа. Для более эффективного усвоения нового содержания образования необходимо соответствующее ему методическое сопровождение.
В существующих исследованиях по вопросам обучения студентов математических специальностей методические аспекты преподавания основ негладкого анализа практически не затрагиваются, хотя они имеют большое значение в плане прикладной подготовки студентов-математиков.
На данный момент практический опыт включения элементов негладкого анализа в образовательный процесс имеется в Санкт-Петербургском государственном университете, где профессор В. Ф. Демьянов читает специальный курс «Негладкий анализ и квазидифференциальное исчисление» [37], в Вятском государственном гуманитарном университете, где элементы негладкого анализа рассматриваются в курсе дифференциального исчисления, а также в Пермском государственном педагогическом университете, о чем свидетельствует доклад о спецкурсе по выбору «Многообразие дифференцируемое в анализе» [116] и статья [115]. Однако системных исследований по включению обсуждаемого материала в курс математического анализа в педагогической литературе не обнаружено.
Традиционно в курсе дифференциального исчисления рассматривается понятие дифференцируемости по Коши (дифференцирование в обычном смысле). Эквивалентным условием существования конечной производной в точке является дифференцируемость по Каратеодори [53, с. 188]:
Функцию f, определенную в окрестности U(XQ), назовем дифференцируемой по Каратеодори в этой точке, если существует такая определенная на рассматриваемой окрестности и непрерывная в точке XQ функция Ф(х), что на U(XQ) будет иметь место представление
В работе [54] приводится иллюстрация изложения основ дифференциального исчисления в терминах производной Каратеодори. Данный алгебраический подход обеспечивает компактный вид доказательств, что позволяет сократить время, затрачиваемое на рассмотрение данного блока материала. Экономия времени позволяет в рамках лекционных занятий уделить время вопросам обобщения понятия производной и ослабления условий дифференцируемое функции, что обеспечивает интенсификацию обучения студентов дифференциальному исчислению. В Приложении Г приводится фрагмент лекции, посвященной некоторым обобщениям понятия производной. В ходе лекции формулируются задания для самостоятельной работы студентов.В исследовании негладких функций можно выделить два основных направления. Порядок их рассмотрения определяется методической целесообразностью, поскольку изучение методов негладкого анализа требует определенного уровня подготовленности студентов.
Первое направление опирается на понятие односторонних производных функции в точке. Данный подход обеспечивает постепенное ослабление условий, накладываемых на функцию, при этом формулировки утверждений остаются доступными для понимания студентов в силу аналогии с классическими утверждениями математического анализа.Стандартный метод исследования функций средствами дифференциального исчисления опирается на классические теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.Теорема (Ролля). Пусть f :[а;Ь\— R -непрерывная функция, дифференцируемая на интервале (а;Ь), для которой выполняется условие /(a) = fib). Тогда найдется хотя бы одна точка ,,, є (a;b) такая, что Л#) = 0.
Теорема (Лагранжа). Если функция /:[я;б]—»R непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, то найдется хотя бы одна точка . є (a;b) такая, что fib) - f{a) = f i%)ib - а).Теорема (Коши). Пусть /:[а;Ь]- К, g :[a;b]- R -непрерывные на отрезке [а;Ь] функции, дифференцируемые внутри этого отрезка, причем g ( ?) О для любого хєіа;Ь). Тогда найдется хотя бы одна точка , є ia;b) такая, чтоДоказательства теорем приводятся в известных учебных пособиях по математическому анализу [141, 146].
Формирующий этап педагогического эксперимента
Третий этап педагогического эксперимента - формирующий - проводился в 2009-2010 и 2010-2011 уч. г. на факультете информатики, математики и физики Вятского государственного гуманитарного университета. Целью заключительного этапа являлась проверка эффективности разработанной системы модулей по курсу математического анализа, выраженная в уровне усвоения программного материала. Для проверки устойчивости результатов педагогического воздействия эксперимент проводился два года. Поскольку в 2009-2010 учебном году на специальность «Прикладная математика и информатика» состоялся набор двух групп, то появилась возможность выделить экспериментальную (ПМ-11) и контрольную (ПМ-12) группы. Эксперимент продолжился на следующий учебный год. Всего в эксперименте принимало участие 110 студентов. Студенты экспериментальной группы привлекались к работе студенческого научно-исследовательского семинара. При проведении лекционных и практических занятий программный материал дополнялся фактами, восходящими к негладкому анализу. В качестве самостоятельной работы студентам задавалось проведение численного эксперимента и анализа его результатов. Система задач модулей включала большое количество заданий прикладной направленности. Студенты контрольной группы обучались по традиционной системе, содержание образования включало только программный материал. шкале, число градаций L = 4 3, следовательно, для принятия решений о том, какую гипотезу следует выбрать (нулевую или альтернативную), ис-пользуем критерий однородности % [83, с. 51]: где N, М - число членов экспериментальной и контрольной группы соответственно, пк, т — число членов экспериментальной и контрольной группы соответственно, получивших к-ът балл, к = 1, 2, ..., L (L - количество баллов). Для 2009-2010 учебного года эмпирическое значение критерия одно-родности і эмп = 0,453253. При уровне значимости а = 0,05, при количестве баллов L = 4 критическое значение выбранного критерия х фит= 7,82. Поскольку х Эмп X крит, то следует принять нулевую гипотезу: уровни подготовки в контрольной и экспериментальной группах до экспериментального воздействия статистически не отличаются. Для 2010-2011 учебного года эмпирическое значение критерия однородности х2эмп = 0,05. Поскольку снова х2ЭМп %2кРит, то следует также принять нулевую гипотезу. Это означает, что результаты в этих группах могут быть сопоставимы для проверки эффективности модуля по дифференциальному исчислению функций одной переменной. Эффективность модульной системы обучения студентов направления подготовки ПМиИ будет проверяться за счет сравнения эмпирических данных в контрольной и экспериментальной группах, полученных после окончания изучения ими модуля «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Для выяснения качества усвоения данного курса была проведена контрольная работа, состоявшая из 6 задач (Приложение 3). Усвоение знаний фиксировалось по уровням, предложенным В. П. Беспалько [20]. Результаты контрольной работы приведены в таблице 5.
Анализ полученных данных показывает, что большинство студентов успешно усвоило материал модуля «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». В первый год для контрольной и экспериментальной групп качество знаний составляет 48% и 81,5% соответственно. Во второй год этот показатель составил 56,7% для контрольной и 92,9% для экспериментальной группы. По рисункам 12 и 13 видно, что оба года в экспериментальной группе преобладают III и IV уровни усвоения. Помимо уровней усвоения, по результатам контрольной работы был определен коэффициент усвоения учебного материала по формуле В. П. Беспалько: к = —, где п - количество баллов, набранных участниками эксперимента, N- максимально-возможное количество баллов. Гипотеза Но . Уровень усвоения в контрольной и экспериментальной группах не отличаются. Альтернативная гипотеза Hf. Уровни усвоения в контрольной и экспериментальной группах статистически различны, что обусловлено применением системы модулей. Чтобы результаты до и после эксперимента были сравнимы, для принятия решений о том, какую гипотезу следует выбрать (нулевую или альтернативную), снова используем критерий X Для 2009-2010 учебного года эмпирическое значение критерия однородности % эмп - 9. При уровне значимости а = 0,05, при числе градаций L = 4 2 2 2 критическое значение выбранного критерия %криг=7,82. Имеем Хэмп ХкРит» следовательно, уровни усвоения в контрольной и экспериментальной группах статистически различны, что обусловлено применением системы модулей. 111 Для 2010-2011 учебного года эмпирическое значение критерия одно-родности х эмп = 11,7, что также превосходит критическое значение. Следовательно, можно констатировать устойчивость положительного эффекта от применения модульной системы обучения математическому анализу студентов направления подготовки ПМиИ. В третьей главе настоящей диссертации приводится описание экспериментальной проверки эффективности функционирования модульной системы обучения математическому анализу студентов направления подготовки «Прикладная математика и информатика». В результате проведения констатирующего этапа эксперимента был выявлен ряд проблем в преподавании математики на младших курсах вузов и показана необходимость интенсификации процесса обучения студентов математическому анализу в условиях перехода к модульной системе образования, в частности, путем включения в него компьютерного эксперимента. Составной частью поискового этапа эксперимента являлась опытная работа, включающая экспериментальную работу студентов с привлечением средств ИКТ, систематическое проведение студенческих научно-исследовательских семинаров по математическому анализу и «вертикальных» коллоквиумов. Анализ итогов данной деятельности позволил выявить компоненты модулей, способствующие интенсификации обучения студентов направления подготовки «Прикладная математика и информатика». В случае применения сконструированной системы модулей по математическому анализу для обучения студентов направления подготовки «Прикладная математика и информатика» повышается эффективность образовательного процесса, что подтверждается результатами формирующего эксперимента.
Похожие диссертации на Методика использования компьютерного эксперимента в процессе преподавания математического анализа в условиях модульной системы обучения
-
-
-
