Содержание к диссертации
Введение
1. АНАЛИЗ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ И НАУЧНОЙ ЛИТЕ РАТУРЫ ПО ПРОБЛЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 19
1.1. Уравнения Лагранжа І, П рода, Гамильтона и канонических преобразований в учебной литературе по классической механике 19
1.2. Понятие скобок Пуассона в классической и квантовой механике 27
1.3. Мышление и решение задач 38
Основные выводы по главе 1 46
Комплекс 1. Метод кратных скобок Пуассона при решении задач классической механики 48
Задача об одномерном осцилляторе в квантовой механике 75
2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ 80
2.1. Составление функций Лагранжа и Гамильтона при решении механических задач 80
2.2. Некоторые существенные моменты электродинамики 90
2.3. Некоторые процедуры и функции Maple, предназначенные для автома-тизации аналитических вычислений 95
Основные выводы по главе 2 102
Разложение (1.2.10) в задаче Ампера при правильно и не правильно составленных фунютиях Гамильтона 104
3. ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА 105
3.1. Структура педагогического эксперимента 105
3.2. Определение состояния проблемы в высшем учебном заведении 111
Итоги педагогического эксперимента 116
Основные выводы по главе 3 120
'Заключение 122
Список литературы 124
- Уравнения Лагранжа І, П рода, Гамильтона и канонических преобразований в учебной литературе по классической механике
- Составление функций Лагранжа и Гамильтона при решении механических задач
- Структура педагогического эксперимента
Введение к работе
Особенности обучения теоретической физике в педагогических вузах привлекают пристальное внимание как в плане изменений, происходяпщх в самой физике [25] и роли физики в общей системе современного образования [28], так и в плане значения теоретической физики в подготовке преподавателей физики [ 26].
Курс теоретической физики призван сформировать основную систему идей и концепций современной физики и в этом смысле играет одинаково важную роль при подготовке исследователей и педагогов. Общие курсы теоретической физики, читаемые независимо от конкретной специализации студентов, содержат классическую, квантовую механику, классическую электродинамику, статистическую физику и термодинамику [27,29].
Фетишизация точного научного знания, характерная для физики прошлого, постепенно отходит на второй план, уступая место отчётливому пониманию модельного характера и приближённости наших знаний о природе. В процессе развития физической теории становится доминирующей идея щзинципиального значения приближённых методов, которая определяет современную философию физического знания.
Новый современный компонент методологии физики - это математическое моделирование, заключающееся в замене исходного реального объекта его математической моделью и исследованием свойств этой модели. Отсюда, в конечном итоге, возникает триада современной физики: теоретическая физика - экспериментальная физика - вычислительная физика.
Само математическое моделирование как методология научного исследования зародилось, развилось и оформилось в определённую систему в процессе решения ряда физических задач, в основном, при проведении закрытых исследований, выполнявшихся, главным образом, в СССР и США во второй половине XX в. Именно тогда появились и приобрели вполне определённый смысл такие фундаментальные понятия математического моделирования, как адекватность моделей, их универсальность, иерархичность, оснащённость, нелинейность, численная реализация и многие другие [62].
Современная структура физики предъявляет новые требования к содержанию и методам обучения, которые должны в полной мере соответствовать модельности всех наших знаний о природе. Для курсов теоретической физики это означает необходимость создания таких курсов классической и квантовой механики, в которых бы последовательно прослеживались определённые характерные моменты создания и исследования свойств с моделей изучаемых явлений. Отметим некоторые из них.
В первую очередь, это иерархичность фундаментальных моделей, положенных в основу теории. В качестве примера можно указать на понятие стационарного состояния атома в нерелятивистекой квантовой механике, которое определяется с помощью уравнения Шредингера и которое не соответствует экспериментальным данным относительно существования спонтанного излучения. Дальнейшее развитие фундаментальной модели приводит к выводу о необходимости рассматривать более широкую систему атом + электромагнитное поле. Эта модель уже гораздо точнее описывает свойства реальных атомных систем, что, разумеется, никак не мешает использовать более простую модель изолированного атома для объяснения и предсказания различных свойств атомных систем [74].
Второй характерный момент связан с установлением точных соотношений, связывающих различные характеристики изучаемой системы в рамках определённой фундаментальной модели явления. Такие точные соотношения наряду с законами сохранения, определяемыми свойствами симметрии, позволяют глубже понять физический механизм явлений, контролировать условия справедливости модели и определять границы её применимости.
Третий характерный момент связан с исследованием свойств математических моделей явления на предмет её соответствия физической модели, послужившей основой для создания математической модели. Нередко математическая модель содержит больше, чем в неё было заложено при создании. Пренебрежение этим обстоятельством может приводить к задержке теорети ческих предсказаний свойств реальных систем. Это произошло с явлением плазменного эхо, так как отсутствовали исследования связи затухания Ландау с модами Ван - Кампена колебаний в плазме [25].
Развитие современной теоретической физики продемонстрировало возможность использования различных математических методов. Так, в классической механике возможны подходы, основанные на использовании формализма Лагранжа, Гамильтона, уравнения Гамильтона-Якоби, теории канонических преобразований и т. д. В квантовой механике известны варианты Шредингера, Гейзенберга, Дирака, метод функционального интегрирования, которые в рамках различных математических схем приводят к одинаковым результатам при рассмотрении физических задач. По исторически сложившейся традиции в каждом разделе «популярны» свои методы, которым обычно и отдаётся предпочтение при изучении теоретической физики в педвузе, где недостаток времени не позволяет рассмотреть различные возможные варианты. Так, в теоретической механике обычно рассматривается и используется при решении задач на семинарских занятиях метод Лагранжа, в квантовой механике рассмотрение основывается исключительно на использовании уравнения Шредингера. Общей тенденцией при этом является всё более широкое использование численных методов, часто в ущерб овладению методами аналитических преобразований.
Очень ограниченный ресурс времени, отводимого для изучения теоретической физики в педвузе, делает актуальной задачу выбора таких математических методов, которые бы обладали определённой универсальностью и могли бы последовательно использоваться при изучении различных разделов теоретической физики; были бы широко употребительны в современной теоретической физике, что позволяло бы вплотную подводить студентов к последним достижениям науки и обладали бы определённой простотой и компактностью, что позволяло бы на семинарских занятиях по теоретической и квантовой механике вырабатывать умения и устойчивые навыки работы с математическим аппаратом.
Проведённое нами исследование показало, что наиболее подходящими с точки зрения указанных требований являются так называемые алгебраические методы, которые в последнее время становятся все более и более популярными как в самой математике [65], так и в её конкретных приложениях, в том числе, и в теоретической физике [1].
Характерной чертой существующих курсов теоретической физики является использование различного языка при описании классических и квантовых явлений. Между тем, хорошо известно, что возможно использование системы понятий и физических величин, обеспечивающих возможность единого языка в таких случаях. Сюда можно, в первую очередь, отнести смешанное (вигнеровское) представление в квантовой статистической физике, соответствие между коммутаторами в квантовой механике и скобками Пуассона в классической. Использование методики изложения, опирающейся на максимально возможную унификацию языка при рассмотрении классических и квантовых явлений, позволяет существенно повысить качество изучения, как фундаментальных положений теоретической физики, так и её конкретных приложений.
Нами предложена и разработана методическая система изучения классической и квантовой механики, основанная на последовательном использовании алгебраических методов, позволяющая добиваться определённого прогресса в решении данного вопроса, что обеспечивает более глубокое понимание физики студентами. Основные идеи этой системы могут быть сформулированы следующим образом.
В рамках курса теоретической механики предлагается метод решения динамических задач, основанный не на интегрировании дифференциальных уравнений движения, а на многократном применении скобок Пуассона для получения решения задачи в виде разложения по степеням времени движения. Такой подход делает также весьма наглядным и поучительным сравнение аналитических методов решения с численными методами решения.
При рассмотрении гармонического осциллятора в квантовой механике вводится так называемое представление Фока, основанное на использовании операторов рождения и уничтожения квантов колебаний, которое позволяет не только технически проще и компактнее проводить расчёты (что особенно важно в педагогическом вузе), но и, развив определённую технику таких преобразований на лекциях и семинарских занятиях по решению задач, проводить рассмотрение ряда актуальных задач современной физики, такие как движение частицы в электромагнитном поле, суперпозиция различных квантовых состояний, когерентные состояния, сжатые состояния и т. д.
Широкое внедрение персональных компьютеров в процесс обучения привело к настоящей революции в деле подготовки специалистов всех уровней, в том числе и преподавателей физики. Достижения в этой области общеизвестны. Однако наряду с большим количеством положительных моментов, связанных с этим обстоятельством, имеется и ряд отрицательных, причём некоторые из них способны нанести огромный вред самому развитию физики как фундаментальной естественной науки. Здесь, прежде всего, речь идёт о потере «моды и вкуса» к аналитическим методам развития физической теории и решения конкретных задач, которые во всё большей степени вытесняются численными методами и вычислительным экспериментом как основными способами добывания необходимой информации. В этих условиях становится необычайно актуальной задача создания таких курсов теоретической физики, которые отличались бы тщательным отбором используемых аналитических методов, действительно необходимых для достижения определённого уровня понимания основных положений современной теоретической физики и способности теоретически исследовать конкретные явления [25]. Особенное значение этот вопрос имеет для изучения теоретической физики в педагогических вузах в силу положения, особенностей и специфики этих курсов в учебных планах вузов [28].
В настоящей работе предлагается один из возможных подходов к решению этой задачи, основанный на использовании таких аналитических методов, которые, с одной стороны, соответствуют современному состоянию ос новных разделов теоретической физики - классической и квантовой механики - и оказываются наиболее удобными для сравнения точных решений с приближёнными, полученными с помощью персонального компьютера. При этом обеспечивается единый подход к изучению классической и квантовой механики, при котором некоторые необходимые для квантовой механики "математические понятия и методы могут вводиться уже на уровне классической механики, разгружая тем самым изучение квантовой механики, в которой при традиционном подходе к обучению наблюдается « сгущение» новых, достаточно сложных физических и математических понятий. Более того, предлагаемый подход при его последовательном применении позволяет наиболее естественным образом подойти к изучению статистической физики, когда классическая и квантовая статистики выступают как конкретные реализации определённого общего подхода и естественным образом вводятся такие важные объекты современной статистической физики, как смешанное (вигнеров-ское) представление, когерентные состояния и т.д.
При существующем подходе к изучению теоретической механики довольно большое количество времени отводится решению динамических задач на основе интегрирования дифференциальных уравнений движения, что, по существу, в значительной степени дублирует соответствующие занятия по общей физике и превращает эти занятия в упражнения по освоению аналитических методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате, дело практически не доходит до изучения и освоения таких методов аналитической механики как канонические преобразования, скобки Пуассона, действительно необходимых для изучения и развития современной теоретической физики, не говоря уже о том, что большинство уравнений, которым приводят физически интересные задачи, не удается проинтегрировать явно в аналитическом виде. Между тем, возможен подход к динамическим задачам, в котором аналитическое решение для консервативной системы может быть получено на основе использования только дифференциальных выражений, содержащих скобки Пуассона в виде ряда Тейлора по степеням времени движения. При этом оказывается возможным нахождение решений, недоступное в рамках непосредственного аналитического интегрирования, не говоря об удобстве сравнения таких решений, с решениями, полученными численными методами.
Сравнение предложенного подхода задач динамики с методом уравнений Лагранжа второго рода показывает несомненное методическое преимущество данного подхода. С помощью тех же математических операций, которые производятся при составлении уравнений Лагранжа, в данном случае получается не только это уравнение, но и его решение в виде разложения по степеням t, что, как уже отмечалось выше, позволяет перекинуть более широкий мостик Б между аналитическими и численными методами в плане сравнения результатов мелсду собой и качественного исследования поведения рассматриваемой динамической системы. В то же время, практическое овладение студентами техникой использования скобок Пуассона позволяет подробнее остановиться на таких вопросах, как канонические преобразования, что оказывается очень полезным при рассмотрении некоторых вопросов квантовой механики.
Здесь оказывается возможным развить квантовомеханический формализм в фазовом пространстве на основе использования смешанного (вигае-ровского) представления, который в настоящее время является эффективным методом исследования разных систем, например в квантовой оптике при рассмотрении когерентных и сжатых состояний [1,65]. Квантовомеханический формализм в фазовом пространстве представляет собой наиболее простой и понятный язык для описания таких состояний. В тоже время использование канонических преобразований позволяет глубже вскрыть смысл соотношения неопределённостей, в частности, при рассмотрении распльшающихся волновых пакетов.
Отметим, что уже в рамках классической физики использование канонических преобразований позволяет глубже вскрыть смысл градиентных преобразований в электродинамике -7, -; „ л , 1 дЛ с dt которые представляют собой частный случай канонических преобразований с производящей функцией вида F(r,p ,t) = r-p --A(rtl с где Л- произвольная, дважды дифференцируемая функция. Это немедленно доказывает инвариантность вида уравнений движения в гамильтоновой форме при градиентных преобразованиях электромагнитных полей.
Характерной чертой существующих курсов и учебных пособий по квантовой механике является ярко выраженный крен в сторону использования шредингеровскои картины. В то же время, следует признать, что в отличие от классической механики, в современных курсах появилась тенденция более широкого использования альтернативных подходов, в частности, алгебраических методов, которые позволяют в простой и элегантной форме представить целый ряд шзинцшшальньгх вопросов, а главное - наиболее естественным образом подойти ко многим разделам современной теоретической физики, таким как квантовая теория систем многих частиц, квантовая оптика и т. д.
Вводить алгебраические методы при изучении квантовой механики удобно при рассмотрении традиционно входящей во все учебники по квантовой механике задачи об одномерном гармоническом осцилляторе. Используя представление Фока, в котором гамильтониан системы записывается в терминах операторов рождения а+ и уничтожения а квантов колебаний, можно с помощью перестановочных соотношений типа На = а(Н -\),На+ = а+(н -1) определить энергетический спектр осциллятора и найти выражение для волновой функции системы. Отметим, что решение связанных с гармоническим осциллятором учебных задач с помощью такого подхода оказывается технически проще, чем при явном использовании волновых функций в координатном представлении, позволяет у студентов развить алгебраическую технику работы с операторными равенствами и подготовить их идейно и технически к изучению ряда тонких и сложных моментов современной теоретической физики. В качестве одной из таких задач целесообразно рассмотреть заряженную частицу в постоянном однородном магнитном поле, используя аналогию гамильтониана с гамильтонианом гармонического оспиллятора.
Использование указанного подхода позволяет естественным образом подойти к рассмотрению суперпозиции квантовых состояний, а также к когерентным и сжатым состояниям и когерентным состояниям заряженной частицы в магнитном поле. Введение таких состояний может быть осуществлено путем использования канонических преобразований, демонстрируя универсальность и эффективность этого метода при решении различных квантово-механических задач. Помимо того, что изучение различных когерентных и сжатых состояний само по себе представляет большую познавательную ценность, оно является основой для выработки адекватного понимания соотношения между классическими и квантовыми представлениями в современной физике: в когерентных состояниях амплитуды осцилляции пропорциональны квадратному корню из среднего числа квантов колебаний точно также, как соответствующие амплитуды для классического осциллятора пропорциональны квадратному корню из энергии колебаний. Таким образом, приходим к отчётливому пониманию смысла утверждения о том, что когерентные состояния ближе всего соответствуют состояниям классического осциллятора.
Изучение теоретической физики в педагогическом вузе обычно заканчивается каким-либо обзорным курсом, посвященным последним достижениям физики. Однако более предпочтительным представляется завершение изучения теоретической физики курсом лекций, посвященных анализу физических парадоксов, определивших важнейшие этапы её развития, таких как парадокс возврата Цермело, парадокс обратимости Лошмидта, ультрафиолетовая катастрофа, явление плазменного эха и т.д. Такие парадоксы возникают при выходе за границы применимости используемой физической модели, которые не всегда могут быть определены заранее. Классическим примером здесь явля ются парадоксы сухого трения Пенлеве, возникающие в результате выхода за границы применимости модели абсолютно твёрдого тела, которые проявляются в ситуациях, не обнаруживаемых предварительным анализом. Изложение этих парадоксов отсутствует в используемых в настоящее время в учебных пособиях как по общей, так и по теоретической физике, и даже в Физической энциклопедии.
В некоторых случаях, как в явлении плазменного эха, парадоксальная ситуация возникает не в результате выхода за границы применимости модели, а наоборот, вследствие того, что развитая математическая модель явления фактически содержит больше, чем было заложено в её формулировке. Так, свойство полноты незатухающих мод Ван-Кампена, приводит об обратимости затухания Ландау в плазме, получаемого в рамках бесстолкновительного приближения Власова. Это затухание в действительности соответствует рас-фазировке мод Ван-Кампена, суперпозицией которых может быть представлено любое начальное возмущение системы. И только по прошествии времени релаксации, обусловленного межчастичным столкновением, процессы в плазме становятся макроскопическими необратимыми. Изложение подобных вопросов в заключительных курсах теоретической физики способствовало бы наиболее эффективному усвоению студентами её современной методологии.
В заключение следует признать, что новизна заключатся не только в обучении физике как таковой, но и в обучении новой, наиболее важной методологии научного исследования в любой области знаний, на всех этапах образования - от средней школы до вуза и последующей профессиональной деятельности. В то же время появляется актуальная задача создания общей теории обучения физике и конкретных методик обучения на разных уровнях образования, которые обеспечили бы адекватное отражение указанной выше современной структуры физики и её методологии. Такая методика должна быть ориентирована на сохранение и дальнейшее развитие наиболее важной черты физического знания - предсказательной функции физической теории и на развитие у обучаемых универсальных навыков исследовательской деятельно ста по созданию моделей сложных явлений.
Объект исследования: процесс обучения классической и квантовой механике студентов физических факультетов педагогических вузов, основанный на последовательном использовании алгебраических методов.
Предмет исследования: методика решения задач, позволяющая улучшить качество изучения классической механики в педагогическом вузе.
Рассматриваемые нами методы позволят развить аналогичный подход к квантовой механике.
Цель исследования: обоснование и разработка методики решения задач для улучшения качества изучения классической механики в педагогическом вузе.
Методологическую основу исследования составили:
концепция информатизации системы физического образования;
концепция единого подхода к процессу изучения классической и квантовой механики в педагогическом вузе;
достижения классической механики и тенденции в обучении данному разделу в настоящее время.
Гипотеза исследования:
Последовательное использование алгебраических методов позволит существенно улучшить качество изучения классической механики в педагогическом вузе.
Задачи исследования:
1. Выявить современные тенденции в обучении классической механике в педагогическом вузе;
Обосновать и разработать методику решения физических задач классической механики;
Обосновать и разработать комплекс задач, решаемых на основе использования метода кратных скобок Пуассона;
4. Внедрить данный комплекс в процесс обучения классической механике в курсе теоретической физики педагогического вуза;
5. Экспериментально доказать повышение эффективности обучения теоретической механике при внедрении предложенного комплекса в процесс обучения указанному разделу в педагогическом вузе;
6. Выявить возможности использования алгебраических методов при обучении квантовой механике. •
Методы исследования:
анализ учебной литературы и научных изданий по классической и квантовой механике, программ обучения данным разделам университетов; анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования;
наблюдение процесса обучения теоретической механике в педагогическом вузе;
проведение занятий по классической механике; педагогический эксперимент с целью оценки эффективности предлагаемой методики. Достоверность и обоснованность результатов обеспечены опорой основных положений на достижения теоретической физики, педагогики и психологии;
точным соответствием между целями, задачами и методами исследования;
корректным проведением педагогического эксперимента. Научная новизна. В отличие от предшествующих работ, посвященных изучению теоретической и квантовой механики в вузе [21,69,77] в которых предлагались отдельные улучшения изложения некоторых частных вопросов курса, в настоящем исследовании впервые предложена и обоснована новая методика решения задач классической механики, основанная на последовательном использовании кратных скобок Пуассона и исключающая необходимость предварительного составления уравнении движения на основе Лагранжева или Гамильтонова подходов.
Предложенная методика решения задач классической механики в рамках алгебраических методов,основанная на использовании кратных скобок Пуассона,может быть непосредственно распространена на изучение квантовой механики.
Теоретическое значение результатов диссертационного исследования заключается в разработке нового подхода к решению задач при изучении классической механики,позволяющего превратить теоретическое «ядро» классической механики,являющееся принципиальной основой построения современной статистической физики и кинетики в рабочий аппарат рассмотрения конкретных физических явлений и процессов. Развитый подход позволяет построить аналитическое решение « классических» задач теоретической механики, предложенных в первом томе курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [35] в виде рядов Тейлора по степеням времени движения. Полученный результат находится в русле основных тенденций развития современного образования, основанных на информационных технологиях.
Апробация и внедрения результатов исследования. Основные положения работы докладывались на Ш международной практической конференции « Новые технологии в преподавании физики: школа и вуз» (НТПФ -Ш) (2002 международной научной конференции «Герценовские чтения» (2000-2002 гг.), учебных и научных семинарах Санкт-Петербургского государственного университета, Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена, Уральского государственного университета, Уральского государственного педагогического университета.
Практическая значимость заключается в разработке комплекса задач динамики, позволяющего на практике организовать процесс изучения классической механики с последовательным использованием алгебраических методов.
На защиту выносятся следующие положения 1. Последовательное использование алгебраических методов,основанных на кратных скобках Пуассона,позволяет проводить построение аналитических решений задач классической механики в виде рядов по степеням времени движения.
Данный метод обеспечивает возможность единого подхода к изучению классической и квантовой механики и позволяет существенно улучшить качество изучения основных разделов аналитической механики.
Разработанная методика способствует превращению теоретического «ядра» классической механики в рабочий инструмент решения задач и позволяет установить приемлемый баланс между аналитическими методами решения задач динамики при изучении классической механики.
Основные положения, выносимые на защиту раскрыты в следующих работах:
1. Скобки Пуассона при решении задач по теоретической физике в педагогическом вузе // Методика обучения физике в школе и вузе. Сборник научных статей.-СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. ГерценаДООО.- С. 199- 202.
Методические рекомендации по использованию скобок Пуассона при решении конкретных задач //Теория и практика обучения физике: Материалы международной научной конференции « Герценовские чтения». -Спб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена,2000.- С. -212-214.
Применение скобок Пуассона при нахождении зависимости координаты от времени // Физика в школе и вузе. Сборник научных статей. -СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена,2001.- С.184-187.
Теоретическая физика в педагогических вузах // Преподавание физики в школе и вузе: Материалы международной научной конференции «Герценовские чтения».- Спб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена,2001. - С. 154-157.
Канонические преобразования в учебной литературе по теоретической физике // Актуальные проблемы методики обучения физике в школе и вузе. Межвузовский сборник научных статей. - Спб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена,2002. -С.234-238.
6. Основные выводы Ж. Л. Лагранжа и У. Р. Гамильтона по динамике системы тел // Современные проблемы обучения физике в школе и вузе: Материалы международной научной конференции « Герценовские чтения».- Спб.: Изд-во РПТУ им. А. И. Герцена,2002.- С.268-273.
7. Понятие скобок Пуассона в литературе, программах обучения, диссертационных исследованиях по классической и квантовой механике // Проблемы преподавания физики в школе и вузе. - Спб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена,2003.- С.243-245.
Алгебраические методы при изучении теоретической физики в педагогических вузах // Новые технологии в преподавании физики: школа и вуз (НТПФ-Ш). Третья международная научно-методическая кон-ференция. Тезисы доклада. - М.: Изд-во МПГУ, март 2002. -С.49.
Теоретическая физика в педагогических вузах// Вестник СЗО РАО. Образование и культура Северо - Запада России. Вып.7 Тенденции в развитии и модернизации современного образования. - Спб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена,2002.- С.214-221.
Алгебраические методы при решении задач классической механики: Учебно-методическое пособие. - Спб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Гер-цена,2002.-71 с.
П.Кондратьев А. С, Танкова А. В. Алгебраические методы при изучении теоретической физики в педагогическом вузе. Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Фундаментальное естественно-научное образование», 2002,7 (1-2), с. 88-90.-0,18/0,9 п. л. 12. Кондратьев А. С.,Танкова А. В. Алгебраические методы при изучении теоретической физики в педагогических вузах.// Физическое образование в вузах, 2003. Т. 9, № 1, с. 94-109.- 0,93 п. л./0,46 п.л.
Работы 1,2,3,5,6,7 написаны лично автором. В работах 4,8,9,10 обоснование нового подхода к обучению теоретической физике в педагогическом вузе принадлежит А.С. Кондратьеву. Реализация основных положений работ 4,9 принадлежит А. В. Танковой, в работе 8- А. В. Танковой и С. В. Борисен ку. В работе 10 А. С. Кондратьевым, С В. Борисёнком и А. В. Танковой бьш разработан комплекс динамических задач, А. И. Ходановичем рассмотрен вопрос об автоматизации аналитических вычислений.
В опубликованных работах полно отражены основные положения, результаты и выводы диссертационного исследования.
Уравнения Лагранжа І, П рода, Гамильтона и канонических преобразований в учебной литературе по классической механике
Изучение теоретической физики традиционно всегда начинается с теоретической (классической) механики, в которой задаются как идейные и методологические принципы теоретической физики, так и вводится соответствующий математический аппарат. Современные тенденции в обучении теоретической физике заключаются в выборе универсальных математических методов, которые могли бы эффективно использоваться при изучении всех последующих разделов теоретической физики.
Структура и уровень курса теоретической механики варьируется в широких пределах, в зависимости от того, кому он предназначен: в технических вузах курс теоретической механики ориентирован, главным образом, на решение важных прикладных вопросов, актуальных для общей инженерной подготовки, в то время как в университетах и педагогических вузах основной упор делается на развитие общих фундаментальных положений. Наш анализ будет посвящен изучению теоретической физики в университетах и педагогических вузах.
Общая схема изучения классической механики с возможными вариациями, определяемыми взглядами авторов учебников и учебных пособий, выглядит следующим образом: изложение начинается с кинематики, где развиваются математические методы, позволяющие описывать механическое движение в различных системах координат - декартовой, пилиндрической, сферической и т. д. Изложение основ динамики соответствует схеме механики Ньютона и представляет собой разработку математических методов решения задач: это уравнения Лагранжа I рода, предназначенные для рассмотрения движения со связями при необходимости определения силы реакции связи и уравнения Лагранжа И рода, основанные на введении обобщённых координат, позволяющие исключить связи из рассмотрения. Традиционно уравнения Лагранжа П рода рассматриваются как наиболее удобный универсальный инструмент решения конкретных механических задач и именно их использованию посвящена самая значительная часть времени, отводимого на семинарских занятиях в университетах и педвузах. Разбор некоторых из таких задач обычно включается в теоретическую часть курса. Дальнейшее развитие математического аппарата классической механики заключается в выводе системы канонических уравнений Гамильтона с помощью преобразования Лежандра, позволяющего заменить обобщённые скорости на импульсы. Система канонических уравнений Гамильтона является основой для всех последующих теоретических обобщений, проводимых в курсе классической механики. Следует отметить, что, несмотря на принципиальную важность этого раздела курса, уравнения Гамильтона редко используются на семинарских занятиях для решения конкретных задач.
Важным компонентом курсов классической механики является изложение вариационных принципов, которые позволяют ввести наиболее универсальный современный подход в формулировке основных положений динамики не только в рамках классической механики, но и во всех остальных разделах теоретической физики.
Последующая теоретическая часть курса классической механики связана с введением универсальных характеристик физических систем, которые используются или имеют непосредственные аналогии в других разделах теоретической физики. Сюда, прежде всего, относятся такие объекты, как скобки Лагранжа, скобки Пуассона, интегральные инварианты. Важность этого раздела классической механики обусловлена именно идейной универсальностью развиваемых математических методов, образующих теоретическое «ядро» современной теоретической физики. Сюда непосредственно примыкают другие возможные формулировки основных положений механики, такие как уравнения Гамильтона-Якоби и особенно метод канонических преобразований. Характерной особенностью положения с указанными вопросами является, с одной стороны, исключительная важность для развития последующих разделов теоретической физики и, соответственно, необходимость чёткого усвоения и глубокого понимания этих положений обучаемыми, а, с другой стороны, -почти полное отсутствие их использования в практике решения задач на семинарских занятиях, что обычно не позволяет довести степень усвоения этого материала до необходимого уровня.
Кроме изложения этих теоретических положений в курсах классической механики обычно предлагаются такие вопросы как движение твёрдого тела, физика механики колебаний, основы механики сплошной среды (гидро- и аэромеханика). Остановимся на анализе пособий по классической механике, которые могут быть использованы в процессе обучения теоретической физике в педагогическом вузе.
Составление функций Лагранжа и Гамильтона при решении механических задач
Вводить алгебраические методы при изучении квантовой механики удобно при рассмотрении традиционно входящей во все учебники по квантовой механике задачи об одномерном гармоническом осцилляторе. Используя представление Фока, в котором гамильтониан системы записывается в терминах операторов рождения а+ и уничтожения а квантов колебаний, можно с помощью перестановочных соотношений типа
На = а(Н -\),На+ = а+(н -1) определить энергетический спектр осциллятора и найти выражение для волновой функции системы. Отметим, что решение связанных с гармоническим осциллятором учебных задач с помощью такого подхода оказывается технически проще, чем при явном использовании волновых функций в координатном представлении, позволяет у студентов развить алгебраическую технику работы с операторными равенствами и подготовить их идейно и технически к изучению ряда тонких и сложных моментов современной теоретической физики. В качестве одной из таких задач целесообразно рассмотреть заряженную частицу в постоянном однородном магнитном поле, используя аналогию гамильтониана с гамильтонианом гармонического оспиллятора.
Использование указанного подхода позволяет естественным образом подойти к рассмотрению суперпозиции квантовых состояний, а также к когерентным и сжатым состояниям и когерентным состояниям заряженной частицы в магнитном поле. Введение таких состояний может быть осуществлено путем использования канонических преобразований, демонстрируя универсальность и эффективность этого метода при решении различных квантово-механических задач. Помимо того, что изучение различных когерентных и сжатых состояний само по себе представляет большую познавательную ценность, оно является основой для выработки адекватного понимания соотношения между классическими и квантовыми представлениями в современной физике: в когерентных состояниях амплитуды осцилляции пропорциональны квадратному корню из среднего числа квантов колебаний точно также, как соответствующие амплитуды для классического осциллятора пропорциональны квадратному корню из энергии колебаний. Таким образом, приходим к отчётливому пониманию смысла утверждения о том, что когерентные состояния ближе всего соответствуют состояниям классического осциллятора.
Изучение теоретической физики в педагогическом вузе обычно заканчивается каким-либо обзорным курсом, посвященным последним достижениям физики. Однако более предпочтительным представляется завершение изучения теоретической физики курсом лекций, посвященных анализу физических парадоксов, определивших важнейшие этапы её развития, таких как парадокс возврата Цермело, парадокс обратимости Лошмидта, ультрафиолетовая катастрофа, явление плазменного эха и т.д. Такие парадоксы возникают при выходе за границы применимости используемой физической модели, которые не всегда могут быть определены заранее. Классическим примером здесь явля ются парадоксы сухого трения Пенлеве, возникающие в результате выхода за границы применимости модели абсолютно твёрдого тела, которые проявляются в ситуациях, не обнаруживаемых предварительным анализом. Изложение этих парадоксов отсутствует в используемых в настоящее время в учебных пособиях как по общей, так и по теоретической физике, и даже в Физической энциклопедии.
В некоторых случаях, как в явлении плазменного эха, парадоксальная ситуация возникает не в результате выхода за границы применимости модели, а наоборот, вследствие того, что развитая математическая модель явления фактически содержит больше, чем было заложено в её формулировке. Так, свойство полноты незатухающих мод Ван-Кампена, приводит об обратимости затухания Ландау в плазме, получаемого в рамках бесстолкновительного приближения Власова. Это затухание в действительности соответствует рас-фазировке мод Ван-Кампена, суперпозицией которых может быть представлено любое начальное возмущение системы. И только по прошествии времени релаксации, обусловленного межчастичным столкновением, процессы в плазме становятся макроскопическими необратимыми. Изложение подобных вопросов в заключительных курсах теоретической физики способствовало бы наиболее эффективному усвоению студентами её современной методологии.
Структура педагогического эксперимента
Изучение теоретической физики традиционно всегда начинается с теоретической (классической) механики, в которой задаются как идейные и методологические принципы теоретической физики, так и вводится соответствующий математический аппарат. Современные тенденции в обучении теоретической физике заключаются в выборе универсальных математических методов, которые могли бы эффективно использоваться при изучении всех последующих разделов теоретической физики.
Структура и уровень курса теоретической механики варьируется в широких пределах, в зависимости от того, кому он предназначен: в технических вузах курс теоретической механики ориентирован, главным образом, на решение важных прикладных вопросов, актуальных для общей инженерной подготовки, в то время как в университетах и педагогических вузах основной упор делается на развитие общих фундаментальных положений. Наш анализ будет посвящен изучению теоретической физики в университетах и педагогических вузах.
Общая схема изучения классической механики с возможными вариациями, определяемыми взглядами авторов учебников и учебных пособий, выглядит следующим образом: изложение начинается с кинематики, где развиваются математические методы, позволяющие описывать механическое движение в различных системах координат - декартовой, пилиндрической, сферической и т. д. Изложение основ динамики соответствует схеме механики Ньютона и представляет собой разработку математических методов решения задач: это уравнения Лагранжа I рода, предназначенные для рассмотрения движения со связями при необходимости определения силы реакции связи и уравнения Лагранжа И рода, основанные на введении обобщённых координат, позволяющие исключить связи из рассмотрения. Традиционно уравнения Лагранжа П рода рассматриваются как наиболее удобный универсальный инструмент решения конкретных механических задач и именно их использованию посвящена самая значительная часть времени, отводимого на семинарских занятиях в университетах и педвузах. Разбор некоторых из таких задач обычно включается в теоретическую часть курса. Дальнейшее развитие математического аппарата классической механики заключается в выводе системы канонических уравнений Гамильтона с помощью преобразования Лежандра, позволяющего заменить обобщённые скорости на импульсы. Система канонических уравнений Гамильтона является основой для всех последующих теоретических обобщений, проводимых в курсе классической механики. Следует отметить, что, несмотря на принципиальную важность этого раздела курса, уравнения Гамильтона редко используются на семинарских занятиях для решения конкретных задач.
Важным компонентом курсов классической механики является изложение вариационных принципов, которые позволяют ввести наиболее универсальный современный подход в формулировке основных положений динамики не только в рамках классической механики, но и во всех остальных разделах теоретической физики.
Последующая теоретическая часть курса классической механики связана с введением универсальных характеристик физических систем, которые используются или имеют непосредственные аналогии в других разделах теоретической физики. Сюда, прежде всего, относятся такие объекты, как скобки Лагранжа, скобки Пуассона, интегральные инварианты. Важность этого раздела классической механики обусловлена именно идейной универсальностью развиваемых математических методов, образующих теоретическое «ядро» современной теоретической физики. Сюда непосредственно примыкают другие возможные формулировки основных положений механики, такие как уравнения Гамильтона-Якоби и особенно метод канонических преобразований. Характерной особенностью положения с указанными вопросами является, с одной стороны, исключительная важность для развития последующих разделов теоретической физики и, соответственно, необходимость чёткого усвоения и глубокого понимания этих положений обучаемыми, а, с другой стороны, -почти полное отсутствие их использования в практике решения задач на семинарских занятиях, что обычно не позволяет довести степень усвоения этого материала до необходимого уровня.
