Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ и классификация нечетких моделей в задачах принятия решений 14
1.1. Нечеткая информация в задачах принятия решений 14
1.2. Истинность нечетких высказываний 29
1.3. Представление экспертной информации в виде систем нечетких высказываний 35
1.4. Нечеткие схемы принятия решений 43
1.5. Выводы 52
Глава 2. Принятие решений на основе нечетких схем дедуктивного и индуктивного вывода 53
2.1. Истинность нечеткого правила modus ponens 53
2.2. Выбор дедуктивных решений на основе истинности нечеткого правила modus ponens 59
2.3. Выбор решений при нечеткой монотонной экспертной информации .68
2.4. Классификационная модель принятия решений на основе истинности нечеткого правила modus ponens 70
2.5. Классификационная модель принятия решений при экспертной информации второго рода 76
2.6. Выбор решений на основе истинности нечеткого правила modus ponens при индуктивной схеме вывода 85
2.7. Выбор решений на основе истинности нечеткой индуктивной схемы вывода 91
2.8. Выводы 95
Глава 3. Принятие решений на основе нечеткой аналогии ..97
3.1. Истинность нечеткой схемы вывода по аналогии з
3.2. Анализ использования оператора импликация в нечеткой аналогии 99
3.3. Выбор решений на основе нечеткой аналогии 116
3.4. Выводы 130
Глава 4. Определение нечетких инвариантов нечетких графов 131
4.1. Нечеткие внутренне устойчивые множества 137
4.2. Нечеткие внешне устойчивые множества 145
4.3. Нечеткие ядра 152
4.4. Нечеткие клики 154
4.5. Сильная связность нечетких графов 157
4.6. Нечеткие базы и антибазы нечетких графов 169
4.7. Нечеткая окраска нечетких графов 177
4.8. Выводы 188
Глава 5. Оценка степени изоморфизма нечетких графов на основе нечетких инвариантов 190
5.1. Оценка степени изоморфизма нечетких графов на основе нечетких множеств внутренней устойчивости 190
5.2. Оценка степени изоморфизма нечетких графов на основе нечетких множеств внешней устойчивости
5.3. Оценка степени изоморфизма на основе нечетких множеств ядер и клик нечетких графов 202
5.4. Оценка степени изоморфизма на основе нечетких баз и антибаз нечетких графов
5.5. Оценка степени изоморфизма на основе анализа сильной связности нечетких графов 210
5.6. Оценка степени изоморфизма нечетких графов на основе нечетких хроматических множеств 216
5.7. Выводы 222
Глава 6. Практическое применение разработанных методов 223
6.1. Выбор аналогов проектируемых изделий 223
6.2. Выбор определяющего параметра проектируемой детали 235
6.3. Размещение «центров» нечетко обслуживающих заданную область 244
6.4. Выводы 247
Заключение 249
Литература
- Представление экспертной информации в виде систем нечетких высказываний
- Классификационная модель принятия решений на основе истинности нечеткого правила modus ponens
- Анализ использования оператора импликация в нечеткой аналогии
- Оценка степени изоморфизма на основе нечетких множеств ядер и клик нечетких графов
Представление экспертной информации в виде систем нечетких высказываний
Аксиома (1.1.10) определяет граничные условия и обозначает, что все t-нормы совпадают на границе единичного квадрата [ОД]2. Аксиомы (1.1.11) и (1.1.12) являются коммутативностью и ассоциативностью t-нормы. Аксиома (1.1.13) задает монотонность t-нормы и гарантирует, что введение третьей оценки не изменит порядок оценок. Типичной t-нормой является операция min или логическое произведение: fM(x,y) = min(x,y) (1.1.14)
Из аксиом (1.1.10) и (1.1.11) следует, что область определения tM(x,y) находится на сторонах единичного куба в плоскости (х,у). Другими словами, из аксиомы (1.1.10) следует, что на стороне у=1 единичного куба образуется линия /м(х,у) = х, а на стороне у=0 - линия tM(x,y) = 0. Если использовать симметричность аксиомы (1.1.11), то на стороне х=1 получается прямая линия tM (х, у) = у, а на стороне х=0 - линия в плоскости tu (х, у) = у. Таким образом, значения tM(x,y) в четырех вершинах единичного куба являются значениями четкой операции &. Из аксиомы (1.1.11) также следует, что график функции tM(x,y) симметричен относительно плоскости, образуемой наклонными х = у. Наряду с t-нормой (1.1.14) иногда используются следующие операции: /р (х, у) = х х у - алгебраическое произведение (1-15) th (х, у) = тах(х + у -1,0) - граничное произведение (1.16) w(x y); у, если X = 1, х, если у = 1, - слабая t-норма (1.1.17) О в других случаях Справедливо соотношение: tw (х, у) tL (х, у) tp (х, у) tu (х, у). Помимо указанных можно создать бесконечное число других t-норм. Так, например, в работе [Iancu,1998] рассматривается t-норма как линейная комбинация алгебраического и граничного произведений: t(x, у) = тах((1 + Я)(х + у -1) - Аху,0), Л -1. В работах [Shitong,Jianfu, 1993, Аверкин, Костерев,2000] приведены семейства t-норм Ягера и Франка, задающие неограниченное число t-норм с вещественными параметрами. Однако при любом способе создания t-норм можно показать, что она будет расположена между логическим произведением и слабой t-нормой.
Нечетким расширением ИЛИ является t-конорма (или s-норма), которая определяется как: Определение 1.1.14. Если t(x,y) является t-нормой то двойственная к ней t-конорма S: [ОД] х [0,1] - [0,1] задается как: S(x,y) = l-f(l-x,l-y). (1.1.18) Для t-конормы выполняются следующие аксиомы: S(x,l) = l,S(0,x) = x, (1.1.19) S(x,y)=S(y,x), (1.1.20) S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z), (1.1.21) x y S(x,z) S(y,z). (1.1.22) Типичными t-конормами являются: SM (х, у) = max(x, у) - операция максимум (1.1.23) Sp (х, у) = х + у - х х у - вероятностная сумма (1.1.24) SL(x,y) = min(x + y,l) - граничная сумма (1.1.25) sw(x y): у, если х = 0, х, если у = 0, - сильная t-конорма (1.1.26) 1 в других случаях Справедливо соотношение: SM(x,y) SP(x,y) SL(x,y) Sw(x,y), т.е. порядок операций обратный, нежели в случае t-нормы. Рассмотрим теперь расширение условного оператора «ЕСЛИ...ТО» (или оператора импликация) до нечеткой операции. Существует три подхода к получению оператора импликация с нечеткими предикатами [Dubois, Prade,1999]. Первый подход основывается на классическом взгляде на импликацию. Учитывая, что в двузначной булевой алгебре высказывания «если х то у» и «не х или у» имеют одинаковые значения истинности (x y = xvy), одной из возможностей моделирования нечеткой импликации является определение функции 1:[0,1]2 -»[0,1] в виде: 1(х,у) = S(JV(x),y) - S-импликация. Второй способ расширения оператора импликации использует понятие границы непрерывной слева t-нормы. В этом случае нечеткая импликация определяется как: 1(х,у) = sup{z є [0,1] I /(x,z) у} - R-импликация. Согласно третьему способу, нечеткая импликация определяется как: I(x,y) =S(iV(x),r(x,y)) - QL-импликация. С помощью того или иного метода можно получать различные операции нечеткой импликации. Наиболее распространенными являются [Iancu, 1998]: Операция импликация по Райхенбаху (Reichenbach): 11(х,у) = 1-х + хху. (1.1.27) Операция импликация по Заде (Zadeh): 12 (х, у) = тах(1 - х, тіп(х, у)). (1.1.28) Операция импликация по Мамдани (Mamdani): I3(x,y) = min(x,y). (1.1.29) Операция импликация по Рейчер-Геинесу (Rescher-Gaines): І4(х,у) = 1 Х У (1.1.30) [0, x у. Операция импликация по Клини-Дайнесу (Kleene-Dienes): I5(x,y) = max(l-x,y). (1.1.31) Операция импликация по Броуэр-Геделю (Brouwer-Godel): І6(х,у) = 1 Х У (1.1.32) min(—,1), х 0, ,j j 33ч 1, х = 0. Операция импликация по Гогену (Goguen) 1?(х,у) = Операция импликация по Лукасевичу (Lukasiewicz): I8(x,y) = min(l-x + y,l). (1.1.34) Операция импликация по Вилмоту (Willmott): I9(x,y) = min{max(l - х, у), max(x, 1 -y,min(l -х,у))}. (1.1.35) Для операции импликация могут выполняться следующие свойства: Свойство 1.1.1. Если х х , тогда 1(х, у) 1(х ,у). Свойство 1.1.2. Если у у , тогда 1(х, у) 1(х, у ). Свойство 1.1.3. 1(0, у) = 1 - ложь влечет за собой все. Свойство 1.1.4. 1(1, у) = у. Свойство 1.1.5. 1(х, у) у.
Свойство 1.1.6. 1(х, х) = 1 - правило идентичности. Свойство 1.1.7. I(x, I(y, z)) = I(y,I(x, z)) - правило расширения. Свойство 1.1.8. 1(х, у) = 1 тогда и только тогда, когда х у . Свойство 1.1.9. 1(х, у) = I(7V(y),Ar(x)) - правило контрапозиции. Свойство 1.1.10. Функция 1(х, у) является непрерывной. Отметим, что для приведенных выше операций все свойства 1.1.1-1.1.10 выполняются только лишь для операции импликации по Лукасевичу 18(х, у).
Классификационная модель принятия решений на основе истинности нечеткого правила modus ponens
Если V2 = 0, то F3 (v) достигает максимального значения при ve Vi . Иными словами, если для любого veV не выполняются одновременно условия Ел + ii(v) з и 1,2 + M-2(v) ,3, то функция F3 (v) достигает своего наибольшего значения в точках пересечения кривых ,i + Hl(v) И 2 + M-2(V). V2 Ф 0. Иными словами существует непустое подмножество V2, для элементов которого выполняются условия ,i + \i\(v) 3 и + _i2(v) ,з-Обозначим через V2 следующее подмножество V2=V2nS3. Здесь S3-носитель нечеткого множества, определяемого функцией принадлежности u.3(v). Возможны также два случая. V2 = 0. Пример для этого случая показан на рис.2.2.5. Справедливо выражение (Vv є V)[F3(v) ,3]. Иными словами, при V2 = 0 значение функции (v) никогда не превышает 3, причем F3(v) = ,3 в случае, когда ve V2. Поэтому при V2= 0 величина f0 = Ё,3 и множество Vg1 = V2. V0 Ф 0. Пример такого случая показан на рис.2.2.6. Обозначим через F3 подмножество, для элементов v которого выполняются условия (m(v) - U; fo2(v) - %г)\ ((i3(v) 4 - 3) ц(и) 0,4 и и " ul и2 и V2 = 0; V2 = [v , v"]; S3 = [vb v2]; V2 = 0. Рис.2.2.5 Иными словами, V3 = { veV i + n,(v) & Ъ + Ha(v) 4 & з + H3(v) 4 }. Рассмотрим два случая. Уз Ф 0. Тогда справедливо выражение (Vv6V3)[F3(v) = ]. ц(и) ul и u2 и " и V2 0; V2 = [v , v"]; S3 = [vb vj; V2 = [v\ v"]. Рис. 2.2.6 Иными словами, функция F3 достигает максимального значения при всех значениях veV3. Поэтому при V3 Ф 0 значение f0 = 4 и множество Vo = V3. V3 = 0. Справедливо выражение (VvEV2 )fe F3(v) 4]. Пусть для определенности функции m(v)находится "левее" [i2{v) и "правее" m(v). Обозначим через vH и vK границы интервала, определяющего множество V2, через V - подмножества V2, для элементов которого справедливо равенство + l (v) = з + m(v)-Свойство 2.2.3. Число элементов в V2 не превышает одного. Иными словами, Vl \ 1. Свойство 2.2.4. Функции i2(v) и \х,г{у) монотонны на множестве V2 . Свойств 2.2.3 и 2.2.4 являются следствием квазивогнутости (унимодальности) функций u2(v) и ja3(v) Теорема 2.2.3. Если V3=0 и V =0, то F3(v) достигает своего максимального значения в точке vH или vK. Доказательство теоремы 2.2.3 непосредственно следует из свойства 2.2.4. Теорема 2.2.4. Если V3 = 0 и V ={v }, то F3(v) достигает своего максимального значения при v = v . Иными словами, множество Vo = {v }. Доказательство теоремы 2.2.4 аналогично доказательству теоремы 2.2.3. На основе рассмотренных выше случаев можно предложить следующий алгоритм ALj нахождения множества Vo оптимальных значений параметра V: 1. Определить ,І,Ц.І,І = 1,nv, Vx,V/. Перейти к п.2. 2. Если Vi = 0, то перейти к п.З, иначе -к п.4. f 3. Присвоить V0: = V/. Перейти к п. 19. 4. Определить V2. Перейти к п.5. 5. Если V2 = 0, то перейти к п.6, иначе - к п.8. 6. Определить V . Перейти к п.7. 7. Определить V0 - {v v = arg max F3(v)}. Перейти к п. 19. 8. Определить V2 . Перейти к п.9. 9. Если V2 = 0, то перейти к п. 10, иначе - к п. 11. 10. Присвоить Vo: = Vi. Перейти к п. 19. 11. Определить V3. Перейти к п. 12. 12. Если V3= 0, то перейти к п. 13, иначе-к п. 14. 13. Присвоить Vo: = Vj. Прейти к п. 19. 14. Определить V . Перейти к п. 15. 15. Если V = 0, то перейти к п. 16, иначе - к п. 17. 16. Присвоить Vo: =У Перейти к п. 19. 17. Определить vH и vK. Перейти к п. 18. 18. Определить V0 = {veV \v= arg max[F3(vH ), F3(vK )}. Перейти к п.19. 19. Конец.
Пример 2.2.1. Рассмотрим работу алгоритма на следующем примере. Пусть лингвистические переменные рх PY, Pv и система эталонных логических высказываний первого типа L(,) - те же, что и в примере 1.3.1. Функции принадлежности u.x ,fix ,u.Y ,\Лу M-v №у JM-V определяющие семантику соответствующих базовых значений переменных рх, PY, PV, приведены на рис.2.2.7. Определим значения выходного параметра V при входных параметрах х=14 и 7=27. В этом случае функция истинности нечеткого правила modus ponens примет вид: Tmp (v) = min { [1,1 - min(0,6, 0,8) + u (v)], min [1,1 - min (0,6, 0,3) + \i_ (v)], min [1,1 - min (0,4, 0,7) + ц (v)], min [1,1 - min (0,4, 0,3) + "2 aV2 % (V = тІП [0 4 + % vu [ 3 + aV2 (v)]» f0 7 + 1% 20 x 40 У 26 30 х 34 35 40 v Функции принадлежности цх, М-х2 »Цу, 1%2 » v, v2 »H-v3 Рис. 2.2.7 Учитывая выражение (2.2.1), получаем i = 0,3; 2 = 0,4; ,3 = 0,7; ,4 = 1 и JLXI = ц. ;jU2 = )u ; д.3 = ju . Согласно алгоритму определяем множество V = dV2 Vj dV3 [22, 37] и S2 = [20, 28]. Далее находим Vj = [22, 28]. Так как множество Vj Ф 0, то определяем V2 = [24, 26]. Откуда V2 = 0, поэтому fo = ,з = 0/7 и Vo = V2 = [24,26]. Таким образом, для рассмотренной выше системы нечетких экспертных высказываний L(1) и входных параметров х =14 и у = 27 значения выходного параметра V находятся в пределах от 24 и 26. При выборе единственного значения на этапе дефаззификации методом середины максимума 25. 24 + 26 определяем величину v0 = 2.3. Выбор решений при нечеткой монотонной экспертной информации
Рассмотрим теперь алгоритмы нахождения значений V0 выходного параметра V при которых истинность Ттр нечеткого правила modus ponens достигает наибольшего значения в случае, когда нечеткая система экспертных высказываний Z(1) обладает свойством монотонности [Берштейн,Боженюк, 1998а, Bershtein,Bozhenuk,Rozenberg, 1998].
Свойство 2.3.1. Если система L обладает свойством монотонности, то в выражении (2.2.1) справедливы неравенства %к +1 к+2 —-%т - при к т , %к 4k_t %к_2 ... 1, при к Ф 1. Данное свойство позволяет предложить следующие алгоритмы нахождения значений параметра V, для которых величина истинности Tmp (v) достигает своего наибольшего значения. Отсортируем вначале значения 15 ,,..., f;OT в порядке их увеличения. Будем считать, что , 2 ... ,т 1, где Е, i соответствует значению a Vj є Tv . Рассмотрим вначале алгоритм для более простого случая. Обозначим через Sv S ...,SVm- носители нечетких множеств, соответствующие нечетким переменным aVx,aVo,...,aVm. Пусть выполняется условие: (\/i = l,m-2)[SVf nSVM nSv =0]. (2.3.1) Иными словами, для любого значения параметра V число функций принадлежности, одновременно не равных 0, не превышает двух. Пример такого случая показан на рис.2.3.1.
Анализ использования оператора импликация в нечеткой аналогии
Если А 0,5 , или tA 0,5 , то tH [0,1] и следовательно, функция f(tH) достигает своего наибольшего значения В-(1-А) при tH =1. В этом случае, степень истинности определится как: TAN(A ,B ) = = l-B-(l-A) = l-B + B-A = l-(lB) + (lB)-(lA) = = 1 " tA + tA tB = (1 - tA + tA tB)& (1 - tB + tA tB) = tA - tB. Если A 0,5, или tA 0,5,ToTAN(A ,B ) = l-fmax = 1- 4.(1_" у Свойство 3.2.4 доказано.
Из доказанных свойств 3.2.1-3.2.4 вытекает следующее следствие: Следствие 3.2.1. Степень аналогичности TAN(A ,B ) нечеткой схемы вывода (3.1.5) при определении операции импликация согласно выражениям (1.1.27)-(1.1.35) не зависит от семантики лингвистической переменной (Зн, т.е. от вида функций принадлежности (И-нД 1)} ее базовых значений TH={aH},i = l,n,
Рассмотрим метод нахождения значения b (значений) параметра В, для которого при заданном значении а є А и заданных нечетких экспертных системах высказываний Ц1) и L{22), степень аналогичности TAN нечеткой схемы вывода (4.1.2), принимала бы наибольшее значение [Боженюк, 1999а, Берштейн, Боженюк, Розенберг,2000, Берштейн, Боженюк,2001б].
Оператор нечеткой импликации будем задавать согласно логике Лукасевича. Поэтому, как показано в предыдущем разделе, степень аналогичности нечеткой схемы вывода определяется как: TAN(A ,B )= &((Т(А /АІ)о(Т(В /В;))). (3.3.1) i = l,n 117 Пусть R, и R2 - двудольные графы соответствий Г\ = ({Я {}, {А } ,}) и Г2 = ({Н;},{Вк},Р2), отражающую нечеткую экспертную информацию Lj(!) и Z,22) . Обозначим через R0 двудольный граф соответствия, полученного результате композиции соответствий Г;"1 и Г2, т.е. Г0 = Гу1 о г2 = ({Aj},{Bk},F0) . В графе R0 вершины соответствуют нечетким высказываниям {Aj}, j = l,m, и {Bk}, k = 1, f, а ребра устанавливают взаимосвязь между степенями истинности T(A /Aj) и Т(В / Вк) в выражении (3.3.1). Рассмотрим случай, когда соответствие аналогии обладает свойствами а)биективности, т.е. (Vj = tm,Vk = tf)(r(Aj)= 1&Г(Вк)= 1 ). Откуда следует, что m=f; б) монотонности, т.е., если на множествах {Aj} и {Вк} задано отношение упорядочения , то выполняются условия (Vi,jelJm)[Ai А} - ГСА ГСА ] или (Vi, j є l,m)[A, Aj - Г(А.) Г(А,)]. Пусть, для определенности, Aj Ai+1, Bj Bi+1, i = l,m-l и (Vi = 1,т)[Г(А;) = BJ. Пример двудольного графа такого соответствия показан на рис.3.3.1: А А2 В А3« В3 А ш В Рис.3.3.1 118 Будем считать, что функции принадлежности цА (а) и цв.(Ь) являются квазивогнутыми функциями, удовлетворяющим свойствам (1.1.2)-(1.1.5). Кроме того, для каждой нечеткой переменной аА (ав ) всегда найдется хотя бы одно значение а; є А (Ъ{ є В), для которого цА.(а;) = 1 и (Vj і)(р.А.(а;) = 0). Такое значение а; єА назовем характеристическим значением нечеткой переменной аА (соответственно Ьі є В характеристическим значением переменной аВк).
Таким образом, для любого значения аєА (ЬеВ) существует не более двух и не менее одной функций принадлежности, со значением отличным от нуля. Для простоты функции принадлежности цА.(а) и цв. (Ь) будем представлять в виде трапеции, показанной на рис.3.3.2: Рис.3.3.2 о Здесь а.{ - характеристическое значение функции цА.(а); [a,a[] = QA о ядро функции цА(а) (т.е. (Va eQA)((iAi(a) = 1) ); [a,a?] = SAi - носитель функции цА (а). Пусть, для определенности, величина af а aj+1. Будем искать значение параметра В в интервале [b;, bi+1 ]. 119 Свойство 3.3.1. В силу построения функций принадлежности цА. и \хв. значение истинности TAN (а , Ь) определится как: TAN(a\b) = (цАі(а )о цВі(Ь))&(цАі+)(а )о цВі+і(Ь)). Рассмотрим два взаимоисключающих случая. Случай 1. Существует единственное значение аА. для которого \хА.(а ) 0. Иными словами, значение функции цА.+1(а ) = 0. Пример такого случая показан нарис. 3.3.3.
Оценка степени изоморфизма на основе нечетких множеств ядер и клик нечетких графов
Отметим, что схемы вывода (2.6.1) и (2.2.2) принципиально отличаются друг от друга. Так, в схеме (2.2.2) высказывания о значениях входных параметров (высказывания А и А-) являются посылками как в самой схеме вывода, так и внутри системы Lw\ а высказывания о значениях выходных параметров (высказывания В и Bj ) являются следствиями. В схеме же вывода (2.6.1) высказывания о значениях входных параметров являются посылкой для самой схемы (высказывание А) и следствием внутри системы L(2) (высказывания А ), а высказывания о значениях выходных параметров являются следствием для схемы вывода (2.6.1) (высказывание Bj, но посылкой внутри системы L(2) (высказывания BjV). Поэтому для выбора значений выходного параметра V на основе правила modus ponens необходимо преобразовать схему вывода (2.6.1) к схеме вывода (2.2.2). Для этого предлагается преобразовать систему высказываний второго типа в эквивалентную ей систему первого типа, используя правило контрапозиции согласно которому для произвольных выражений А и В высказывания ЕСЛИ А ТО В и ЕСЛИ JV(B) ТО N(A) эквивалентны [Паршин,Боженюк, 1986, Берштейн,Боженкж, 19896].
Здесь высказывания АГ(А)и N(B) являются нечеткими отрицаниями высказываний А и В . Применяя правило контрапозиции к высказываниям L(2) = {L{f : если Bj то А }, j = 1, m системы второго типа, получаем: если Bj то А- = если N(Aj) то N(B-}) , где высказывания N( A j) и N (В i) можно рассматривать как высказывания (3W есть awj0 и 3V есть avy , в которых значения awj и avj определяются ФУНКЦИЯМИ ПрИНаДЛеЖНОСТИ Щ И Щ , ЯВЛЯЮЩИМИСЯ ДОПОЛНеНИЯМИ К JLXwj и m (w) = 1 - Hwj(w), VweW (2.6.2) ivj (v) = 1 - p.vj(v), \/veV (2.6.3) Введя новые обозначения A = N(Aj) и В = N(Bj) , запишем систему эталонных высказываний ІЯ , эквивалентную системе L(2) \ в виде: LP : ЕСЛИА\ТОВ\ \ Го - J L? ЕСЛИ А; ТО В; ; 1 2: ЕСЖА-шТОВщш . Тогда схема вывода (2.6.1) запишется в виде схемы аналогичной схеме вывода (2.2.2): А - истинно; (2.6.4) В - истинно. Истинность нечеткого правила modus ponens для схемы вывода (2.6.1) запишется в виде Т ф2\А,В) = Т2трф \А,В)= &_(Т(А/А ) Т(ВІВ])). j=\,m
Рассмотрим алгоритм выбора значений V0 выходного параметра V при котором истинность нечеткого правила modus ponens достигает своего максимума. Нечеткую импликацию, как и ранее, будем представлять в виде импликации Лукасевича. Отметим, что для импликации Лукасевича свойство контрапозиции выполняется. Для нахождения множества значений V0 выходного параметра V запишем Т как функцию от переменной v в следующем виде: Tmp(2) (v) = тіп{1,[1 -#, ( ) + u.w (v)], ... [1 -//»„ W + И (v)]}. Отсюда, учитывая выражения (2.6.2) и (2.6.3), получаем Tmp(2) (v) = min{ 1,[1 + ju»] (w) - Xv7 (v)], ..., [1+ / m(w) -щ,т (v)]}. (2.6.4) Таким образом, при задании экспертной информации в виде системы эталонных высказываний второго типа выбор значений выходного параметра Гна основе правила modus ponens формулируется следующим образом. Свойство 2.6.1. Для любых значений w и v истинность Т2Р (L(2) ,А,В) нечеткого правила modus ponens для схемы вывода (2.6.1) и истинность Т р (L(2) ,В,А)схемы вывода (2.6.5): L(2); В - истинно; (2.6.5) А - истинно, совпадают.
Доказательство. Заметим, что схема вывода (2.6.5) имеет вид схемы вывода (2.2.2) в которой высказывания о значениях выходных величин (Ви Bj) являются посылками, а высказывания о значениях входных величин (А и Aj) являются следствиями. Поэтому значение Т2р (L(2),В,А) схемы вывода (2.6.5) запишется в виде: Tm.p.(L(2) ДЛ) =min{l,[l -/ , (w) + \iv] (v)], ..., [1 -/iwm(w)+\imn (w)]}, что полностью совпадает с выражением Т р (L(2),А,В) нечеткого правила modus ponens для схемы вывода (2.6.1) Следствие 2.6.1. Схемы вывода (2.6.1) и (2.6.5) эквивалентны с позиций правила modus ponens. Иными словами, для одних и тех же высказываний /?w есть aw и (3V есть ау истинности правила modus ponens для схем вывода (2.6.1) и (2.6.5) совпадают. Рассмотрим теперь алгоритм, который при заданной системе эталонных логических высказываний второго типа для значения w . входного параметра W определяет множество Vo(2) выходного параметра V для каждого элемента тр которого схема вывода (2.6.1) имеет наибольшую степень истинности Т, (2) правила modus ponens, определяемую выражением (2.6.4).
