Введение к работе
Актуальность. Последние годы характеризуются значительным ростом информационных систем, предназначенных для анализа и обработки данных с учетом неопределенностей и неоднозначностей. К их числу относятся информационные системы, использующие методы интервального анализа, оперирующие с элементами пространства вещественных интервалов. Каждый интервальный параметр имеет вид ограниченного сегмента.
Интервальный анализ получил широкое распространение в качестве основы для доказательных, достоверных и надежных компьютерных вычислений с гарантированной точностью, а также в информационных системах поддержки принятия решений, оценивания параметров сложных систем и др. Развитию теории интервального анализа посвящены работы В.М. Брадиса, Л.В. Канторовича, Р.Е. Мура, Ю.И. Шокина, В.В. Шайдурова, З.Х. Юлдашева, Г.Г. Меньшикова, СП. Шарого, Г. Алефельда, Ю.Херцбергера, А.П. Вощинина, Г.Р. Сотирова, А.И. Орлова и др.
Одними из разработанных и получивших распространение методов интервального анализа является решение интервальных систем линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).
В современном аппарате интервального анализа известно несколько видов множеств решений интервальных систем. Наиболее часто встречающимся способом оценивания множества решений интервальных систем являются внешнее и внутренне интервальное оценивание.
Задачи, возникающие в области математической экономики, технологического проектирования, автоматического управления часто требуют нахождения множества решений линейной вещественной системы, в которой коэффициенты матрицы известны неточно и требуется найти решения системы, удовлетворяющие для всех возможных значений матрицы заданным допускам на правую часть. Решение задачи подобного типа в рамках интервального анализа носит название решение линейной интервальной задачи о допусках и является задачей оценки допускового множества решений интервальной системы.
Если размерность интервальной системы линейных алгебраических уравнений велика, то прямое описание ее допускового множества решений, при котором выписываются все ограничивающие гиперплоскости, становится трудоемким и практически бесполезным. По этой причине для практических целей удобнее находить брус, содержащийся в допусковом множестве решений рассматриваемой ИСЛАУ.
Построение бруса решений осуществляется на основе разрешимости линейной задачи о допусках. В настоящее время известны алгоритмы оценки внутреннего бруса решений (А. Ноймайер, И.В. Дутаров, В.В. Шайдуров и др.),
г- . /г „— , ЛЛ1»Л
исиирущщпссл пл иримспсппп lyywiv пи^іьдиоаппл ^cupvuiriivii't/iii ^ix.i vii,
H.A. Хлебалин); полного исследования разрешимости, на основе исследования свойств вогнутого функционала (СП. Шарый), и решении задачи линейного
программирования (Л.Т. Ащепков, Д.В. Давыдов, А.Ф Бочков и Т.В. Евтушенко и др.).
В случае применения грубого исследования разрешимости, описание допускового множества решений интервальных систем заключаются в построении решений относительно центров ограниченных сегментов.
Однако, если внутри каждого интервала системы и ограниченной допусковой области решений интервальной системы, на основании имеющихся данных, построить функцию плотности распределения величин, то можно столкнуться с тем, что математическое ожидание, не всегда соответствует медианной оценке. А распределение случайных величин внутри интервального измерения в общем случае не будет симметричным.
Согласно вышесказанному, в сопоставление гипотезе о совпадении .центра и медианного значения ограниченного сегмента, соответствующего симметричному закону распределения, предлагается ввести альтернативную гипотезу: центр может не совпадать с медианным значением из-за присутствия ассиметричного распределения внутри ограниченного сегмента.
Таким образом, развитие методов внутреннего оценивания на основе использования теории вероятности и математической статистики с целью нахождения центра бруса решений внутри ограниченного допускового множества решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений является важной и актуальной задачей.
Цель работы. Разработка модифицированного метода решения интервальной линейной задачи о допусках, основанного на комплексном использовании интервальных и статистических методов.
Основные задачи исследования.
-
Провести аналитический обзор информационных систем, использующих методы интервального анализа.
-
Провести обзор методов оценивания решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.
-
Сформулировать задачу внутренней оценки решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений на основе известных допусков на систему с учетом специфики интервальных данных.
-
Реализовать в виде программных модулей построение теоретической плотности вероятности случайной величины в интервальном измерении.
-
Разработать методику нахождения центра интервальной величины, возможно смещенного относительно медианной оценки.
-
Модифицировать метод нахождения внутренней оценки допускового множества решений системы линейных интервальных уравнений с учетом анализа характера данных.
-
Решить интервальные задачи на основе модифицированного метода.
-
Провести анализ результатов и выявить области эффективного использования.
Объект исследования. Интервальные данные, характер которых определяет ассиметричное расположение их центра.
Предмет исследования. Методы поиска и оценки решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений.
Методы исследования. В работе используются методы интервального анализа, теории вероятности, вычислительной математики и современные информационные технологии.
Научная новизна.
-
Разработан модифицированный метод решения интервальной линейной задачи о допусках, позволяющий учитывать расположение центра в интервальных данных.
-
Введена гипотеза о соответствии эмпирической плотности вероятности случайной величины внутри интервального измерения бета-распределению.
-
Разработана методика поиска центра интервальных данных и получения наиболее вероятного бруса решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений на основе вычисления квантилей бета-распределения.
Практическая ценность. На основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных модулей в среде MATLAB, реализующий модифицированный метод решения линейной интервальной задачи о допусках.
Комплекс теоретических и практических результатов предназначен для использования при создании информационных систем различного назначения, оперирующих с интервальными данными.
Реализация результатов. Разработанное программное обеспечение используется в учебном процессе Московского государственного университета печати в рамках дисциплины «Программные средства обработки информации».
Апробация результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на 4 научных конференциях:
VIII международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения, информатики и экономики» (Сочи, 2005);
конференция молодых ученых «Приборостроение» (Москва, 2006);
IX всероссийской научной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008);
конференции молодых ученых и аспирантов Московского государственного университета печати (Москва, 2008),
а также на регулярном научно-методическом семинаре кафедры «Прикладная математика и моделирование систем» МГУП.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации
рекомендованном ВАК. Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, состоит в разработке модифицированного метода решения интервальной линейной задачи о допусках, а также в решении прикладных задач с его помощью.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 118 с. машинописного текста, и состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения.
