Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Об аксиоматическом подходе в динамических системах 13
1.1. Анализ аксиоматического задания двух дифференциальных моделей... 13
1.2. Автоматизация вывода уравнений в дифференциальных моделях 22
1.3. Реализация алгоритма проверки совместности и независимости аксиоматики имитационной модели двух конкурентов 26
1.4. Реализация алгоритма проверки совместности и независимости аксиоматики имитационной модели "хищник-жертва" 35
1.5. Постановка задачи классификации типа взаимодействия 36
ГЛАВА 2. Метод мастер:уравнения в динамических системах 43
2.1. Усреднение реализации динамической системы 43
2.2. Вывод мастер-уравнения для усредненной реализации 46
2.3. Сходимость мастер уравнения при ограниченных параметрах а и v 64
2.4. Сходимость мастер-уравнения к уравнению диффузии 67
2.5. Сходимость мастер-уравнения при неограниченных параметрах а и v 70
2.6. Основная теорема 73
ГЛАВА 3. Численная реализация метода мастер-уравнения для компьютернаых имитационных моделей 76
3.1. Исследование имитационных моделей "хищник-жертва" и конкурентов методом мастер-уравнения 77
3.2. Исследование дифференциальных моделей "хищник-жертва" и конкурентов методом мастер-уравнения 83
3.3. Тестирование метода мастер-уравнения на модели броуновского движения 90
3.4. Метод мастер-уравнения для одной модели пробоя диэлектрика 93
Заключение 100
Список использованных источников 102
Приложение 1 105
- Реализация алгоритма проверки совместности и независимости аксиоматики имитационной модели двух конкурентов
- Вывод мастер-уравнения для усредненной реализации
- Сходимость мастер-уравнения при неограниченных параметрах а и v
- Исследование дифференциальных моделей "хищник-жертва" и конкурентов методом мастер-уравнения
Введение к работе
Современное состояние и актуальность темы исследований.
Развитие методов компьютерного имитационного моделирования получило особенно широкое распространение в последнее десятилетие и в различных областях науки и техники является главным инструментом реализации информационных технологий. Суть этого моделирования в том, что некоторый набор правил (аксиом), определяющий свойства исследуемого объекта реализуется в виде программного продукта [16], [17], [25], [26], [31], [34], [36]. Имитационные модели динамических систем в общем случае не обязаны иметь реализацию в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений. Если динамическая система и допускает дифференциальную модель, то изменение аксиоматики, продиктованное эмпирическими соображениями, приводит к моделям, не имеющим дифференциальной реализации. Пример такой ситуации был исследован автором, [3], [22] в обобщении известной модели Вольтерра-Лотки. Исследование дифференциальных моделей имитационных динамических систем основаны на хорошо разработанных методах: от [7], до [5], [15], [25]. Для динамических систем, не имеющих дифференциальных реализаций, не существует даже методов идентификации этих моделей с их дифференциальными аналогами. Это затрудняет исследование имитационных динамических систем, не имеющих дифференциальных реализаций, [17], [26]. Это обстоятельство определило задачу, которая состоит в том, что по численной реализации динамического процесса определить дифференциальный аналог модели или, как мы будем говорить тип динамического взаимодействия. Например, всегда ли аксиоматические задание взаимодействия типа хищник-жертва или типа конкурентов таковыми являются на самом деле? Исследование в лингвистической среде не дает решения проблемы. Идентификация фазовых портретов - пригодна лишь для динамических систем, имеющих дифференциальные реализации.
Для динамических систем, не имеющих дифференциальной реализации, вопрос остается открытым. Итак, под определением типа взаимодействия в имитационной динамической системе мы понимаем задачу идентификации этих моделей с их дифференциальными аналогами. Задача определения типа взаимодействия возникает при исследовании моделей физических процессов:
- анализ фрактальных свойств материалов (поведение дислокаций моделируется взаимодействием типа хищник-жертва, [36], или более сложным);
- определение типа диффузии или волны в росте кластерных структур в, мезоскопических физических моделях, в частности, при моделировании» пробоя диэлектрика, [8], [9], [23].
Причины, по1 которым динамические системы не имеют дифференциальных реализаций, изучались как математиками, так и физиками. С точки зрения моделирования физических процессов эти исследования приведены, например, в.обзорах [30]; [12]. Одной»из причин, отсутствия дифференциальной модели динамической системы является сложная "геометрия" траекторий; имеющих дробные размерности больше единицы. Однако, фрактальное описание структур по сложившемуся мнению, [12] является дополнительным к статистическим методам. Нигматуллиным Р. Р. в [27], предложена модель описания статистических свойств физических систем с точки зрения наличия памяти в этих системах. В его моделях процесс с памятью описывается эволюционным уравнением с дробными производными по времени. Причем винеровскому процессу (с полным отсутствием памяти) соответствует уравнение диффузии, а процессу с полным сохранением памяти — волновое уравнение. Эта идея была взята нами на вооружение для исследования численных реализаций процессов вида tk - y\tk)є R (A: = 1,2,...). При наличии некоторой статистической определенности таких реализаций нами был применен метод мастер-уравнения Каца, [13], [30], позволяющий сопоставить эмпирической реализации {y(tk)}" (л- оо) эволюционное уравнение типа диффузии или волны. Это явилось нашей второй и главной задачей диссертационного исследования. Нами полностью обосновано решение этой задачи для реализаций {у( )}" в двух случаях: при полном отсутствии памяти и при полном сохранении памяти. Таким образом, вторая задача нашей работы состоит в теоретической разработке информационных методов определения типа памяти в численных реализациях вида (уу )}"» что можно рассматривать как решение проблему Нигматуллина в двух предельных случаях: в системах с полным сохранением памяти и в системах с полным отсутствием памяти. Третья задача диссертационной работы состоит в построении моделей ряда информационных систем (хищник-жертва, конкуренты, пробой диэлектрика и др.) на которых проверяется достоверность методов, разработанных при решении первых двух задач. Все вышесказанное определяет цель и задачи исследования, опирается на методы исследования, имеющие новизну, и позволяет сформулировать основные положения, выносимые на защиту. Цель и задачи исследований. Целью работы является разработка информационной технологии, позволяющей по численной реализации процесса {уу )1 построить дискретное эволюционное уравнение определенного типа. Достижение поставленной цели заключено в поэтапном решении следующих задач:
- разработка и реализация алгоритмов проверки корректности системы аксиом, определяющих имитационную модель (гл. I, §1-3), включая создание пакета программ, демонстрирующих корректность систем аксиом, а также программы, генерирующей уравнение по системе аксиом дифференциальной модели;
- построение модели усреднения динамической системы, дающей
параметры эволюционного уравнения (гл. II, §1);
- построение рекуррентных соотношений для усреднения по всевозможным состояниям системы и вывод мастер-уравнения (гл. II, §2);
- исследование условий сходимости мастер-уравнения к диффузионному и волновому уравнениям (устойчивость, аппроксимация) (гл. И, §3,5);
- создание программного продукта "Мастер-уравнение", демонстрирующего поведение решения мастер-уравнения (гл. III, §1);
- определение типа взаимодействия динамической системы на основе метода мастер-уравнения, для имитационных моделей хищник-жертва и конкурентов (гл. III, §2-3);
- тестирование метода мастер-уравнения на модели броуновского движения (гл. III, §4);
- исследование модели пробоя диэлектрика методом мастер-уравнения. Методы исследования. Для решения поставленных задач использовался аппарат методов математического моделирования, численные методы, методы теории дифференциальных уравнений, методы численного моделирования динамических систем.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
- разработаны и реализованы в виде компьютерных реализаций алгоритмы проверки совместности и независимости систем аксиом, определяющих динамическую систему;
- частично решена проблема классификации динамических систем по степени сохранения памяти: в случае систем, полностью сохраняющих память обоснована сходимость мастер-уравение к волновому уравнению, а в случае систем, полностью теряющих память, обоснована сходимость мастер-уравнения к диффузионному уравнению.
- исследована модель мастер-уравнения, позволяющая определить тип взаимодействия, реализуемого в известных имитационных моделях (пробоя диэлектриков, хищник-жертва, конкурентов) и наличия или отсутствия памяти;
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Модель мастер-уравнения и условия сходимости мастер-уравнения к волновому и диффузионному дифференциальным уравнениям (устойчивость, аппроксимация).
2. Алгоритм проверки корректности системы аксиом, задающих имитационную модель, а также программа генерации уравнений для систем аксиом, имеющих дифференциальную реализацию.
3. Исследование методом мастер-уравнения следующих имитационных моделей: пробоя диэлектриков, взаимодействия по типу конкурентов и по типу хищник-жертва, а также тестирование метода на модели броуновского движения.
Обоснованность» и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечивается:
- применением аналитических методов исследования сходимости дискретных моделей к дифференциальным;
- подтверждением аналитических выводов результатами компьютерного моделирования.
Практическая ценность и реализация результатов. Разработанная модель мастер-уравнения позволяет:
- идентифицировать имитационные модели с дифференциальными;
- классифицировать динамические системы по степени сохранения памяти;
- исследовать корректность аксиом соответствующих имитационных моделей;
- исследовать программные продукты конкретных имитационных моделей. Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались на Сибирском Конгрессе по Прикладной и Индустриальной Математике ИНПРИМ-1998, ИНРПИМ-2000; российско-корейской конференции, KORUS-1999, KORUS-2001, KORUS-2002, KORUS-2003; конференции Наука. Техника. Инновации НТИ-2001, НТИ-2002; Сборнике работ аспирантов НГТУ, 2001, №3, 2003; на семинарах академика Монахова В. Н. ИГД СО РАН; на семинарах проф. Селезнева В. Л. НГТУ, ФПМИ. Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликовано в 4 публикациях.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав основного содержания, 27 рисунков, заключения, списка использованных источников и 5 приложений.
Краткое- содержание работы. В первой главе представлен алгоритм исследования систем аксиом, определяющих динамическую систему, на совместность и независимость. Алгоритм, основанный на известных достаточных признаках совместности и независимости, применяется на примере систем аксиом дифференциальных моделей В. Вольтера в п. 1.1. В п. 1.2 показывается, как можно автоматизировать вывод дифференциальных уравнений из системы аксиом, используя язык программирования Prolog. Затем в п. п. 1.3-1.4, проводятся исследования по тому же алгоритму, что и дифференциальные, имитационных моделей взаимодействия по типу конкурентов и по типу хищник-жертва. В п. 1.5 показывается жесткость дифференциальных моделей, которая состоит в том, что изменение системы аксиом в рамках заданного типа взаимодействия может привести к тому, что получившаяся модель не будет иметь реализации в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений. При этом численная реализация в виде фазовых портретов может терять ряд специфических свойств модели. Приводятся конкретные примеры, иллюстрирующие такие реализации. Таким образом, можно говорить о потере изоморфизма моделей в рамках одного типа взаимодействия. Этот факт приводит нас к постановке задачи классификации типа взаимодействия.
Вторая глава посвящена обоснованию сходимости мастер-уравнения к двум видам уравнений: волновому и диффузионному. Сначала строится усреднение динамического, процесса. Затем, используя это усреднение, выводится мастер-уравнение и обосновывается его сходимость (аппроксимация и устойчивость) к волновому и диффузионному уравнениям. Мы будем усреднять: - детерминированные траектории: непрерывные t— Y(t)eRl или дискретные tk -» Y(tk)єRl, (к = 1,...,л); - стохастические траектории, представляющие достаточно большие дискретные выборки имитационной модели tk — Y(tk ) є Rl, tk є {tk};
Детерминированные траектории у нас появляются либо как реализации решений задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (аналитические или численные), либо как реализации детерминированных имитационных моделей. Стохастические траектории появляются как реализации имитационных моделей, где часть операций носит вероятностный характер. В том случае, когда реализации представляются набором выборок, мы будем считать, что имеем дело с одной типичной выборкой.
По реализации динамической системы, мы получаем параметры усреднения динамического процесса. В п. 2.1 описывается процесс усреднения, и даются определения параметров усреднения динамического процесса. В п. 2.2 усреднение записывается в виде рекуррентных соотношений. Затем, на основе этих соотношений выводится мастер-уравнение. В зависимости от поведения параметров усреднения, мы получаем различные случаи сходимости мастер-уравнения.
В п. 2.3 приводятся условия на соотношения параметров усреднения, и обосновывается сходимость (устойчивость и аппроксимация) мастер-уравнения к волновому уравнению при этих соотношениях параметров.
В п. 2.4 указываются условия на соотношения параметров усреднения, и обосновывается сходимость мастер-уравнения к диффузионному уравнению.
В п. 2.5, нами получены другие разностные операторы, к которым сходится мастер-уравнение при определенных соотношениях параметров усреднения.
В главе III решается задача классификации или определения типа взаимодействия в имитационной модели при условии, что имитационная модель задана аксиоматически и численно реализована в виде динамической системы:
t- Yl{f),(l = \,...,n).
Моделями такого рода являются рассмотренные в гл. I стохастические и детерминированные модели: пробоя диэлектриков, модели взаимодействия по типу хищник-жертва и конкурентов.
Дифференциальные модели (например, модели В. Вольтерра) имеют характерные фазовые портреты в окрестности особых точек. Для имитационных моделей, не реализуемых в виде дифференциальных уравнений, эта характеристика фазовых портретов не сохраняется, и мы поступаем следующим образом: определяем для дифференциальных моделей предельный тип мастер уравнения. Если имитационная модель имеет тот же предельный тип мастер уравнения, то мы относим исходную модель к тому же типу взаимодействия, что и дифференциальную модель.
В п. 3.1 описывается программный продукт "Мастер-уравнение", позволяющий проследить поведение решения мастер уравнения по введенной выборке динамического процесса.
В п. 3.2 исследуются все возможные виды мастер-уравнения для имитационных моделей взаимодействия конкурентов и типа хищник-жертва при различных параметрах реализаций.
В п. 3.3 аналогичным образом поступаем с дифференциальными уравнениями В. Вольтерра. Затем мастер-уравнения для имитационных и дифференциальных моделей сравниваются, и делается вывод о типе взаимодействия, реализуемого в динамической системе.
В п. 3.4 метод мастер-уравнения тестируется на броуновском движении.
В этой главе приводится доказательство того, что мастер-уравнение в случае броуновского движения сходится к диффузионному. Приводятся результаты численного моделирования мастер-уравнения броуновского движения.
В п. 3.5 методом мастер-уравнения исследуется модель пробоя диэлектрика. Показывается, что в том случае, если пробой быстро выходит на границу, мастер-уравнение сходится к волновому уравнению. В том случае, если пробой локализуется, доказывается, что мастер-уравнение имеет вид некоторого дискретного оператора.
В Приложении 1 представлено описание программного обеспечения для имитационной модели типа хищник-жертва.
Приложение 2 содержит описание программного обеспечения для имитационной модели взаимодействия конкурентов.
В Приложении 3 приводится описание программы "Мастер-уравнение".
В Приложении 4 приводится подробное описание модели пробоя диэлектрика и описание программы, имитирующей пробой диэлектрика.
В Приложении 5 приводится программа на языке Prolog, позволяющая преобразовать аксиоматику, сформулированную в конечных разностях в уравнение.
Реализация алгоритма проверки совместности и независимости аксиоматики имитационной модели двух конкурентов
В этом разделе мы покажем, что в моделях взаимодействия конкурентов и взаимодействия по типу хищник-жертва, описанных выше, вывод уравнений из системы аксиом можно автоматизировать. Все аксиомы данных моделей формулируются как отношения между некоторыми конечными разностями. Осуществить вывод уравнения в этих и других, подобных моделях можно используя язык программирования Prolog.
Prolog представляет собой декларативный язык логического программирования. В нем, в виде логических аксиом, формулируются сведения о задаче и предположения, достаточные для ее решения. Сама задача формулируется как целевое утверждение, подлежащее доказательству. Таким образом, программа представляет собой множество аксиом, а вычисление - это конструктивный вывод целевого утверждения программы. В логическом программировании используется только одно правило вывода - резолюция. Prolog работает только с предикатами с конечной областью определения. В этом языке исходное множество формул, для которого ищется пустая резольвента, представляется в виде так называемых "дизъюнктов Хорна". Хорновские дизъюнкты - это формулы одного из трех типов: отрицание: -4BitB2,...,Bm), факт: А, импликация (правило): А = \Bi,B2,...,Bm), где А, В\, ... - литеры - атомарные высказывания или предикаты с отрицаниями или без них в нормальной предваренной форме только с (подразумеваемыми) кванторами всеобщности для всех переменных. Очевидно, что любую логическую формулу можно привести к конъюнкции дизъюнктов Хорна. Таким образом, все задачи логического вывода можно формулировать, пользуясь только дизъюнктами Хорна, и все те задачи, которые являются в принципе разрешимыми, можно решить с помощью метода резолюции.
В нашем случае аксиомы представляют собой отношение равенства. При этом их можно сформулировать таким образом, что в левой части будет довольно простое выражение: переменная или конечная разность. Сама система аксиом удовлетворяет условиям совместности и независимости. В случае нарушения независимости программа может зациклиться. Аксиомы формулируются с помощью предиката axiom(A,B), в котором первая переменная - левая часть равенства, а вторая пере менная — правая часть равенства. Для записи выражений потребуется ввести специальный тип данных — operator. В нем могут присутствовать следующие операции: div(operator,operator) (деления), mul(operator,operator) (умножения), plus(operator,operator) (сложения), minus(operator,operator) (вычитания), mins(operator) (знак -), d(operator) (дифференциал), п(имя переменной). Выражения должны быть записаны, используя эти ключевые слова. Вывод уравнения осуществляется предикатом equation(operator,operator). Этот предикат работает следующим образом: все дифференциалы, содержащие выражения "+", "-", " ", "/", (знак -) преобразуются таким образом, чтобы эти операции выполнились после дифференциала. При этом проверяется, нет ли аксиом, по которым можно заменить это выражение. Если нет, то проверяется что это за операция: "+", "-", " ", "/", (знак -) или дифференциал. С каждым аргументом этой операции выполняется предикат equation. Таким образом, используя систему аксиом, производятся все возможные подстановки. Так как система аксиом независима, то процесс произведения всех возможных подстановок не зацикливается. В результате выполнения всех возможных подстановок получается некоторое выражение. Полученное выражение упрощается.
Под упрощением понимается сокращение противоположных по знаку выражений в сумме и взаимно обратных в произведении. Это осуществляется следующим образом: составляется дерево, отображающее последовательность выполнения операторов. При этом операция "а-Ь" заменяется выражением "а+(-Ь)"5 операция "а/Ь" заменяется выражением "а (Ь( 1))". Далее, используя арифметические тождества, все операции "-а" и "а 1" спускаются по дереву как можно ниже, а само выражение приводится к сумме произведений. После этого производятся сокращения. В результате получается более простое выражение.
Далее, в этом выражении, все операции mul, plus и т. д. заменяются, соответственно, на " ", "+" и т. д. Полученная таким образом строка выводится на экран. Например, для дифференциальной модели хищник-жертва система аксиом выглядит следующим образом:
Таким образом, корректно сформулировав аксиомы дифференциальной модели в виде конечных разностей и задав вопрос о том, как будет вести себя соответствующие отношения этих конечных разностей, можно автоматизировать вывод дифференциальных уравнений с помощью языка Prolog. Далее, с помощью соответствующей программы, можно будет решить полученную систему уравнений.
Вывод мастер-уравнения для усредненной реализации
В этой главе решаются следующие задачи: классификация имитационных моделей и задача определения типа взаимодействия в имитационной модели при условии, что имитационная модель задана аксиоматически и численно реализована в виде динамической системы:
Моделями такого рода являются рассмотренные в Главе I стохастические и детерминированные модели хищник-жертва и конкуренты.
Напомним, что дифференциальные модели (например, модели В. Вольтерра) имеют характерные фазовые портреты в окрестности особых точек. Для имитационных недифференциальных моделей эта характеристика фазовых портретов не сохраняется, и мы поступаем следующим образом: определяем для дифференциальных моделей предельный тип мастер уравнения и если имитационная модель имеет тот же предельный тип мастер уравнения, то мы относим исходную модель к тому же типу взаимодействия, что и в дифференциальной модели. Для динамических систем задаваемых аксиоматически и представляющих дедуктивно неполные системы аксиом нам не известны методы, позволяющие сопоставлять имитационным моделям системы, имеющие дифференциальную реализацию, кроме предлагаемого нами метода мастер-уравнения.
Кроме того, мы осуществляем практическую проверку результатов, полученных выше следующим образом: строятся мастер-уравнения для различных динамических систем и проводится анализ на соответствие мастер-уравнений для имитационных систем и для систем, сводящихся к дифференциальным моделям.
Мы будем строить мастер-уравнение для модели "хищник-жертва" из п. 1.2 и взаимодействия конкурентов из п. 1.3. Для построения мастер-уравнения имитационной модели необходимо определить параметры а(Д/) и v(A/). Напомним, что а(Д/) - это отношение количества экстремумов М в единицу времени. В имитационной модели интервал времени равен количеству итераций. Пусть N[i) - численность частиц в момент времени /, О / Т, где Т — общее число итераций. Тогда существование экстремума в момент времени і выражается формулой
Количество экстремумов за время Т будет сумма таких слагаемых по всем і, 0 / Т. Для применения метода мастер-уравнения необходимо, проследить как ведут себя параметры а(Д/) и v(Ar) при At = ti+\ j - 0. В данных моделях интервал времени [0,Г] можно разделить максимально на Т равных частей. Дальше делить временной интервал нельзя, так как численность определена только в моменты времени tj и tf+\, для любого /, 0 / Г, а внутри интервала (//,//+1) неопределена. Для определения численности внутри интервала (//,//+1) построим линейную интерполяцию численности на этом интервале. Вследствие такой интерполяции, для любого / внутри интервала (//,//+1) экстремумов нет, а это влечет за собой то, что при делении этого интервала на j равных частей, для вариации на этом интервале будет выполняться:
To есть, при такой интерполяции, измельчение интервала [0,Г] на большее число частей, чем Т никак не отражается на количестве экстремумов и вариации. А это значит, что и параметры ay&t) и v(Af) не будут изменяться при дальнейшем измельчении интервала. Таким образом, на основании всего вышесказанного о параметрах а и v, формулы для их вычисления выглядят следующим образом:
Такая интерполяция корректна на том основании, что параметры а и v имеют тенденцию стабилизироваться около некоторых значений при увеличении временного интервала [0,Г]. В качестве функции ф(х) мы взяли функцию іДі + х J. Мастер-уравнением для модели хищник-жертва в том случае, если ни один из них не вымирает за Г итераций является телеграфное, так как в этом случае а(АІ) — a, v(A?) — у, согласно лемме 2.9. Для численной реализации решения мастер-уравнения мы использовали программу "Мастер-уравнение". Ниже приведены графики поведения параметров а и v и решения мастер-уравнений для моделей взаимодействия хищников и жертв и конкурентов.
Сходимость мастер-уравнения при неограниченных параметрах а и v
Рассматривается задача классификации пробоя диэлектрика методом мастер-уравнения. Одной из моделей пробоя диэлектрика является известная модель лапласовского случайного блуждания, согласно работе Й. Ликлема, К. Эвертс [23]. Согласно [23], эта модель отражает статистические свойства формирования пробоя газового диэлектрика, описанного в работах Л. Пьетронеро и Г. Висмана [8,9], и задается следующими законами:
Пробой моделируется блужданием, которое происходит в области, реализуемой на дискретной квадратной решетке внутри круга радиуса Rc. Область характеризуется параметром ассимметрии г/ (см. ниже). Блуждание начинается с центральной точки окружности. 2. В области определен электрический потенциал, удовлетворяющий дискретному уравнению Лапласа: где сумма берется по всем ближайшим соседям узла /. 3. Электрический потенциал на границах области удовлетворяет условиям: 4. Закон формирования пробоя: Вероятность перехода из узла / в соседний узел j зависит от напряженности поля в некоторой степени r:где сумма берется по всем ближайшим соседям узла /. Таким образом выбирается новый узел j, в который перейдет частица из текущего узла /. Пример лапласовского блуждания Разница между рассматриваемым блужданием и моделью диэлектрического пробоя заключается в том, что в первом случае рост осуществляется только с последней точки ломаной, и поэтому образуются линейные фракталы вместо разветвленных. С позиции диэлектрического пробоя определение р{ имеет нефизическую "особенность", заключающуюся в том, что новый разряд зависит от напряженности поля только вблизи конца траектории. Однако рассматриваемое блуждание отражает некоторые статистические свойства модели пробоя диэлектрика, описанной в Приложении 4. Например, расстояние между началом и концом траектории в зависимости от числа итераций ведет себя так же, как и радиус средней структуры в модели пробоя диэлектрика. Как для лапласовского фрактала, так и для лапласовского случайного блуждания, необходимо вычислять значение электрического потенциала внутри диэлектрика. Так, для ситуации, изображенной на рис. 3.13 получим систему Ф2 =Фб/4 + 3/4 и Ф6 =Ф2/4 + 3/4, решение которой Ф2 =Фб - 1 отражает так называемое фарадеевское экранирование, которое будет иметь место в клетках любых размеров и конфигураций. Потенциал всех узлов внутри клетки оказывается равным 1 тогда, когда невозможно построить такую непрерывную последовательность связей между ближайшими соседями, которая выходит на границу области, не пересекая траекторию блуждания. Параметр г\ управляет асимметрией между разрешенными направлениями. При ц = О вероятность р; не зависит от напряженности поля, а при rj 0 имеем блуждание с отталкиванием. Вероятность возрастает вместе с напряженностью поля, и, следовательно, ориентированные наружу направления будут предпочтительнее других. В предельном случае при г - оо траекторией является прямая линия. Траектория блуждания с r = 25 изображена на рис. 3.14. Мы будем изучать ассимптотическое поведение расстояния между началом и концом траектории r\t) в зависимости от времени. В работе [23] утверждается, что R — расстояние между началом и концом траектории, измеряемое в количестве клеток, зависит от количества шагов N следующим образом: {R(N)) N\ (3.2) где 1/v = D — размерность траектории лапласовского блуждания. Пусть Ах -шаг разбиения поля по пространству, a At — промежуток времени формирования приращения пробоя на 1 "клетку", причем Ах Аґ. Число временных интервалов отсчитывается натуральной последовательностью п = \, 2, ... Как и в 2.1, t = NAt. t - время, в течении которого формировался пробой. Расстояние от начала до конца траектории обозначим Проведем рандомизацию параметра r{t), согласно (2.1)-(2.7). Для этого на необходимо определить параметры a(At)At и v(Af): a\At) - среднестатистическое число экстремумов Мп величины r(t) в единицу времени.
Исследование дифференциальных моделей "хищник-жертва" и конкурентов методом мастер-уравнения
Разница между рассматриваемым блужданием и моделью диэлектрического пробоя заключается в том, что в первом случае рост осуществляется только с последней точки ломаной, и поэтому образуются линейные фракталы вместо разветвленных. С позиции диэлектрического пробоя определение р{ имеет нефизическую "особенность", заключающуюся в том, что новый разряд зависит от напряженности поля только вблизи конца траектории. Однако рассматриваемое блуждание отражает некоторые статистические свойства модели пробоя диэлектрика, описанной в Приложении 4. Например, расстояние между началом и концом траектории в зависимости от числа итераций ведет себя так же, как и радиус средней структуры в модели пробоя диэлектрика.
Как для лапласовского фрактала, так и для лапласовского случайного блуждания, необходимо вычислять значение электрического потенциала внутри диэлектрика. Так, для ситуации, изображенной на рис. 3.13 получим систему Ф2 =Фб/4 + 3/4 и Ф6 =Ф2/4 + 3/4, решение которой Ф2 =Фб - 1 отражает так называемое фарадеевское экранирование, которое будет иметь место в клетках любых размеров и конфигураций. Потенциал всех узлов внутри клетки оказывается равным 1 тогда, когда невозможно построить такую непрерывную последовательность связей между ближайшими соседями, которая выходит на границу области, не пересекая траекторию блуждания.
Параметр г\ управляет асимметрией между разрешенными направлениями. При ц = О вероятность р; не зависит от напряженности поля, а при rj 0 имеем блуждание с отталкиванием. Вероятность возрастает вместе с напряженностью поля, и, следовательно, ориентированные наружу направления будут предпочтительнее других. В предельном случае при г - оо траекторией является прямая линия. Траектория блуждания с r = 25 изображена на рис. 3.14.
Мы будем изучать ассимптотическое поведение расстояния между началом и концом траектории r\t) в зависимости от времени. В работе [23] утверждается, что R — расстояние между началом и концом траектории, измеряемое в количестве клеток, зависит от количества шагов N следующим образом: {R(N)) N\ (3.2) где 1/v = D — размерность траектории лапласовского блуждания. Пусть Ах -шаг разбиения поля по пространству, a At — промежуток времени формирования приращения пробоя на 1 "клетку", причем Ах Аґ. Число временных интервалов отсчитывается натуральной последовательностью п = \, 2, ... Как и в 2.1, t = NAt. t - время, в течении которого формировался пробой. Расстояние от начала до конца траектории обозначим Проведем рандомизацию Блуждание в этом случае представляет собой спираль. Подсчитаем число изменений знака Aryt ) за N итераций. Пусть т - число витков спирали. Тогда количество итераций, на т-м слое будет удовлетворять арифметической прогрессии: Sm + 5. Следовательно, общее количество итераций будет равно сумме первых т членов арифметической прогрессии: На каждом слое будет 8 изменений знака Aryt ). Следовательно, а(т)= %т . Так как нас интересует предельное поведение a{At)At, то из (3.4) получаем: Следовательно, a(At)At — 0 при At—»0, а из (3.3) и (3.5) следует, что a{At)/v{At) — D при At— 0. Эти два условия обеспечивают представление мастер-уравнения в следующем виде: В этом случае есть потеря памяти: для нахождения следующей точки пробоя достаточно помнить только последний виток спирали. В данной модели мастер-уравнение предоставило критерий, позволяющий отличить два предельных случая пробоя диэлектрика: ситуацию, когда пробой помнит все и ситуацию, когда часть памяти теряется. Случаю, когда пробой помнит не все, соответствует дискретное уравнение (3.6), случаю без потери памяти соответствует волновое уравнение. Можно ожидать, что (3.6) является дискретизацией оператора с дробными производными, так как в последнем слагаемом Параметр ассимметрии г характеризует потерю памяти в данной модели. Мы выделили два случая: при Г — +оо потери памяти системы не происходит, при Г — -оо происходит потеря памяти. В данной модели мастер-уравнение предоставило критерий, позволяющий отличить два предельных случая пробоя диэлектрика: ситуацию, когда пробой локализуется и когда происходит быстрый выход на границу. В том случае, когда пробой локализуется, ему соответствует дискретное уравнение (3.6). В этом случае присутствует частичная потеря памяти, так как в противном случае (при полной потере памяти), согласно модели Нигматуллина мы должны были бы получить уравнение диффузии. В случае быстрого выхода на границу предельным является волновое уравнение. Этому случаю соответствует полное сохранение памяти. Нами предложена новая информационная технология, позволяющая динамическим процессам {у( )} сопоставлять эволюционное уравнение дискретного типа, которое в случае полного отсутствия памяти и в случае полного сохранения памяти становится дифференциальным уравнением. В соответствии с поставленными целями исследований получены следующие основные результаты: 1. Разработан алгоритм проверки корректности аксиоматики, задающей динамические системы, основанный на достаточных признаках совместности и независимости систем аксиом, а также произведена автоматизация вывода дифференциальных уравнений на основе системы аксиом. 2. Описан алгоритм построения мастер-уравнения для реализации динамического процесса {уу )} и доказана сходимость мастер-уравнения при различных отношениях параметров усреднения к следующим дифференциальным операторам
