Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор раьот и постановка задач 13
1.1. Обзор работ 13
1.1.1. Оценивание по априорным данным 13
1.1.2. Оценивание по апостериорным данным 15
1.1.3. Информационные технологии и программное обеспечение 18
1.2. Цель работы и постановка основных задач 40
2. Эллипсоидальная аппроксимация распределений 42
2.1. Принцип эллипсоидальной аппроксимации распределений 42
2.1.1. Вводные замечания 42
2.1.2. Принцип эллипсоидальной аппроксимации 42
2.2. Эллипсоид; льна я аппроксимация в случае порольного эталонного распределении 46
2.2.1. Полиномы Srvi.u) 46
2.2.2. Программное обеспечение для расчетов pTViu) и qfiXtO для нормального эталонного распределения '
2.2.3. Свойства полиномов Sr|J(u) 48
2.2.4. Разложение плотности случайного вектора по полиномам 5Гі„(Ю 48
2.2.5. Согласованность разложений вектора и его проекций по полиномам S,,. (и) 50
2.3. Рекуррентные формулы для вероятностных характеристик эллипсоидальных распределении 51
2.3.1. Моменты случайного вектора при эллипсоидальной аппроксимации плотности 51
23.2. Рекуррентные формулы для моментов различного порядка случайного вектора с эллипсоидальным распределением 52
233. Характеристическая функция и моменты при
эллипсоидальной аппроксимации плотности 53
23 А. Оценка точности эллипсоидальной аппроксимации распределений 53
23.5. Нахождение распределения нелинейных функций эллипсоидального случайного аргумента 54
2.4- Выводы по разделу 2 57
3. Методы эллипсоидальной аппроксимации одно- и многомерных распределений в стохастических системах 59
ЗХ Уравнения непрерывных стохастических систем 59
3.1.1. Уравнения дифференциальных стохастических систем 59
3. L2, Центральная задача дифференциальных стохастических систем 60
3,2. Метод эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения в непрерывных стохастических системах 61
3.2.1. Вводные замечания 61
3.2.2. Уравнения для т, К, с 62
3.23. Стационарные распределения 65
ЗЛА. Вырожденные случаи МЭА 68
3.23. Типовые интегралы и рекуррентные формулы метода эллипсоидальной аппроксимации 70
3J. МЭА многомерных распределений в непрерывных стохастических системах 71
33. L Вводные замечания 71
333. Уравнения для тпУ Кп и коэффициентов разлолсения с 72
333 Стационарные распределения 75
33.4. Типовые интегралы и рекуррентные формулы 76
3.4, Особенность эллипсоидальной аппроксимации распределений в дискретных стохастических системах 76
3.4.1. Уравнения дискретных стохастических систем 76
3.4.2. Уравнения для параметров эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения 11 3.43. Уравнения для параметров эллгтсоидальнои аппроксимации многомерных распределений 81 3.4,4. Метод дискретной эллипсоидальной аппроксимации для непрерывно-дискретных стохастических систем 82
3.5. Методы эллипсоидальной линеаризации в непрерывных стохастических системах 84
3.5.1. Эллипсоидальная линеаризация нелинейностей 84
3.5.2. Метод эллипсоидальной линеаризации для нахождения одномерных распределений 86
3.53. Метод эллипсоидальной линеаризации для нахождения многомерных распределений 90
3.5.4. Эллипсоидально-линеаризированные спектрально-корреляционные уравнения 91
3.5.5. Программное обеспечение 93
3.6, Метод эллипсоидальной линеаризации для
нелинейных дискретных стохастических систем 93
3.6.1. Вводные замечания 93
3.6.2. Основные теоремы дискретного МЭЛ 95
3.7. Выводы по разделу 3 91
4. Эллипсоидальные квазилинейные фильтры для оперативной обработки информации в стохастических системах 99
4.1. Постановка задачи 99
4.1.1. Вводные замечания 99
4.1.2. Уравнения состояния и наблюдения 100
4.1.3. Квазилинейный метод фильтрации, основанный на статистической линеаризации 101
4.2. Уравнения квазилинейного фильтра, основанного на МЭА 103
4.2.1. Непрерывные СтС 103
4.2.2. Дискретные СтС 106
4.2.3. Программное обеспечение 108
4.3. Уравнения квазилинейного фильтра, основанного на МЭЛ 108
4.3.1. Непрерывные СтС 108
4.3.2. Дискретные СтС 111
4.3.3. Программное обеспечение 115
4.4. Выводы по разделу 4 115
5. Стохастические модели и обработка информации в интерферометре фабри - перо 116
5.1. Статистическая динамика многолучевого интерферометра Фабри-Перо 116
5.1.1. Постановка задачи 116
5.1.2. Стохастическая модель резонатора Фабри - Перо 117
5.1.3. Точное решение в стационарном случае 127
5.1.4. Приближённое решение методом статистической линеаризации (MCJT) 129
5.1.5. Сравнение точного решения и приближённого по МСЛ 134
5.1.6. Приближённое решение методом эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) 136
5.2. Обработка информации в интерферометре Фабри - Перо поапостериорным данным 140
5.2.1. Постановка задачи 140
5.2.2. Квазилинейный фильтр на основе МСЛ 140
5.2.3. Обобщенный фильтр Калмана-Бьюси (ОФКБ) 141
5.2.4. Фильтр второго порядка 143
5.2.5. Эллипсоидальный квазилинейный фильтр (ЭКЛФ) 144
5.3. Выводы по разделу 5 145
6. Стохастические модели флуктуации чандлеровских колебаний полюса земли 146
6.1. Стохастические модели флуктуации чандлеровских колеба ний полюса Земли на основе априорных данных 146
6.1.1. Введение 146
6.1.2. Уравнения флуктуации автоколебаний полюса Земли 147
6.1.3. Чандлеровские автоколебания полюса Земли 149
6.1.4. Влияние гравитационно-приливных моментов на чандлеровской частоте 152
6.1.5. Флуктуации чандлеровских колебаний полюса Земли с учетом гравитационно-приливных моментов сил на чандлеровской частоте 156
6.1.6. Общая квазилинейная корреляционная модель флуктуации полюса Земли 169
6.2. Стохастические модели флуктуации колебаний полюса Земли на основе апостериорных данных 169
6.2.1. Квазилинейные модели на основе МСЛ и МЭЛ 169
6.2.2. Модели обобщенного фильтра Калмана-Бьюси (ОФКБ) 172
6.2.3. Модели фильтра второго порядка 173
6.3. Выводы по разделу
Заключение
Список литературы
- Оценивание по апостериорным данным
- Принцип эллипсоидальной аппроксимации
- Метод эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения в непрерывных стохастических системах
- Уравнения квазилинейного фильтра, основанного на МЭА
Введение к работе
Как известно, статистическая информатика обладает обширным арсеналом эффективных статистических методов анализа и оперативной (быстрой) обработки информации. Применение методов статистической информатики сдерживается практически полным отсутствием доступного для инженера и исследователя эффективного алгоритмического и программного обеспечения. При этом требуются нестандартные методы исследования, в первую очередь, одно- и многомерных распределений процессов в нелинейных стохастических системах (СтС).
В задачах стандартного анализа качества информационных технологий и систем обычно ограничиваются спектрально-корреляционными характеристиками, в то время как функционирование систем в экстремальных условиях требует развития нестандартных методов анализа, основанных на одно- и многомерных распределениях.
Для решения задачи анализа распределений в нелинейных СтС применяют следующие три принципиально различных подхода.
Первый подход состоит в использовании прямого численного решения уравнений СтС методом Монте-Карло. Часто этот метод называют методом статистического моделирования (МСМ).
Второй подход состоит в непосредственном составлении и интегрировании эволюционных функциональных уравнений, например, уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, Колмогорова-Феллера и их обобщений, а также уравнений Пугачева для характеристических функций.
Третий подход состоит в применении аналитических методов для приближенного решения уравнений, определяющих параметры одно- и многомерных распределений. К их числу относятся методы нормальной аппроксимации и статистической линеаризации, методы эквивалентной линеаризации, методы моментов, семиинвариантов, квазимоментов и их модификации, методы ортогональных разложений и др. Эти методы позволяют по исходной СтС получить детерминированные уравнения для параметров распределений.
Радикальным подходом к сокращению числа уравнений для параметров распределения является подход, основанный на параметризации структуры распределения. Так, как обнаружено В.И, Синицыным, радикального сокращения числа уравнений для параметров распределения удается добиться для эллипсоидальной структуры распределения.
Для комплесной обработки информации в нелинейных СтС научного и промышленного назначения, функционирующих в экстремальных условиях и отказах оборудования, важное значение имеют методы анализа и синтеза нелинейных фильтров на основе априорной информации без использования текущей информации. Здесь наряду с фильтрами Пугачева, как показано в работах Пугачева B.C. и Синицына И.Н. Казакова И.Е. и Гладкова Д.И., О М. и Шина В.И., если вычислять коэффициенты эквивалентной линеаризации на основе отрезка пира параметризованной плотности, возможно создание эффективных квазилинейных фильтров для оперативной обработки информации. О М. и Шином В.И, разработан квазилинейный фильтр на основе моментной аппроксимации апостериорного распределения. Основываясь на работах по эллипсоидальной аппроксимации, продолжим названные исследования для существенно негауссовских нелинейных СтС, допускающих эллипсоидальную линеаризацию и статистическую наблюдаемость. При этом особое внимание уделим разработке алгоритмов и специального программного обеспечения в среде MATLAB для реализации стохастической информационной технологии обработки информации.
Целью диссертации является разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения эллипсоидального анализа информации в нелинейных стохастических системах. Для достижения сформулированной цели ставятся следующие основные задачи;
1) Построить теорию анализа распределений по априорным данным в непрерывных (дискретных) негауссовских СтС на основе эллипсоидальной линеаризации.
2) Разработать теорию синтеза квазилинейных фильтров для оперативной обработки апостериорной информации в непрерывных (дискретных) гауссовских СтС на основе эллипсоидальной линеаризации.
3) Разработать алгоритмы и экспериментальное программное обеспечение для эллипсоидального анализа информации в нелинейных СтС.
В работе использованы современные методы теории вероятностей и математической статистики, стохастического анализа и теории стохастических дифференциальных уравнений, теории оптимального оценивания, вычислительные методы информатики.
В работе получены новые теоретические результаты в области статистической информатики, среди которых следует выделить следующие:
1) Получены уравнения методов эллипсоидальной линеаризации в непрерывных (дискретных) негауссовских СтС для анализа информации по априорным данным.
2) Выведены фильтрационные уравнения для эллипсоидальной обработки информации в непрерывных (дискретных) гауссовских СтС на основе апостериорных данных.
Практическая ценность работы состоит в том, что она является основой для создания современных информационных технологий статистического анализа и синтеза сложных информационно-измерительных и информационных систем. На основе результатов исследования разработаны:
1) Стохастические модели обработки информации в информационно-измерительных системах на основе интерферометра Фабри - Перо.
2) Стохастические модели флуктуации чандлеровских колебаний полюса Земли.
Результаты диссертации реализованы в 2-х НИР ИПИ РАН (2005-2007 гг.) и в проекте L5 Программы ОИТВС РАН "Фундаментальные основы информационных технологий и систем" (2005-2007 гг.).
Результаты работы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:
1. X Международная конференция МАИ «Системный анализ, управление и навигация», Москва, 2005;
2. XL1X Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва - Долгопрудный, 2006;
3. XLII Всероссийская конференция РУДН «Математика и информатика», Москва, 2006;
4. XLIII Всероссийская конференция РУДН «Оптические, математические и электронные методы обработки изображений и сигналов», Москва, 2007,
Список публикаций насчитывает 7 названий. Материалы также опубликованы в 2-х научно-технических отчётах ИПИ РАН.
Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения и приложений.
Раздел 1 посвящен обзору работ и постановке основных задач, В разделе 2 приведены сведения, положенные в основу профаммного обеспечения эллипсоидальной аппроксимации (ЭА) распределений случайных векторов, В разделе 3 рассматриваются методы эллипсоидальной аппроксимации (МЭА) и эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) для одно- и многомерных распределений в нелинейных непрерывных (дискретных) СтС,
Раздел 4 посвящен теории квазилинейного фильтра, основанного на МЭЛ для непрерывных (дискретных) СтС.
В разделе 5 дано решение задачи анализа и фильтрации для нелинейных процессов в интерферометре Фабри - Перо. Построены квазилинейные стохастические модели обработки информации по априорным данным в нелинейном интерферометре Фабри - Перо на основе МСЛ и M3JL Разработаны гауссовские и эллипсоидальные квазилинейные фильтры для обработки информации по апостериорным данным. Проведена оценка точности эллипсоидальных фильтров с помощью обобщенного фильтра Кал мана - Быоси (ОФКБ) и фильтра второго порядка,
В последнем разделе 6 разработаны стохастические модели флуктуации чандлеровских автоколебаний полюса Земли на основе априорных данных для нелинейного обобщенного релеевского механизма диссипации с учётом трехчленной полиномиальной модели диссипации.
Заключение содержит основные выводы и положения, выносимые на защиту, В приложения вынесен поясняющий вспомогательный материал.
Оценивание по апостериорным данным
Известно [3, 8], что попытки применения калмановской теории линейной фильтрации для нелинейных динамических систем не дали удовлетворительных результатов. В 1978 году B.C. Пугачев предложил принципиально новый подход, основанный на идее условно оптимальной фильтрации [29-31, 33]. Была разработана теория условно оптимальной (оперативной в реальном масштабе времени) фильтрации процессов в стохастических дифференциальных системах.
Полученный метод позволяет оценивать не только состояние системы, но и неизвестные параметры в ее уравнениях- Для решения уравнений, определяющих коэффициенты усиления и смещения в дифференциальном уравнении условно оптимального фильтра (фильтра Пугачева), было использовано уравнение Пугачева для одномерной характеристической функции- В этом случае все коэффициенты определяются заранее в процессе проектирования фильтра, а не во время его оперативной работы. Для синтеза фильтра Пугачева используется только априорная информация. При практическом применении фильтров Пугачева необходимо лишь интегрирование дифференциального уравнения фильтра в процессе получения текущей измерительной информации.
Итогом работ B.C. Пугачева, его учеников и последователей в области прикладной теории стохастических систем, в том числе фильтрации, экстраполяции и оценивания процессов в таких системах, является монография [39], В [70] B.C. Пугачевым предложен метод условно оптимального управления- Применение теории условно оптимальной фильтрации и экстраполяции для управления летными испытаниями летательных аппаратов описано в статье [32].
В публикациях [35, 36] Пугачевым B.C. и Синицыньш И,Н. поставлены задачи теории условно оптимальной фильтрации и экстраполяции применительно к проблемам управления и информатики- В обеспечение поставленных в [35] задач был выполнен ряд важных теоретических исследований для различных классов СтС [45] и прикладных работ по алгоритмическому обеспечению условно оптимальной фильтрации [34, 42, 44].
Теория фильтрации Пугачева была обобщена в [61] на задачи фильтрации процессов и оценки параметров в непрерывных и дискретных СтС по сложным статистическим критериям, представляющим собой функционалы от математического ожидания и матрицы вторых моментов ошибки оценивания. Примерами таких критериев могут служить критерий максимума вероятности попадания вектора ошибки оценивания в заданную область пространства, критерий минимума величины, которую с заданной вероятностью не превзойдет модуль вектора ошибки. Получены уравнения фильтра Калмана по сложному статистическому критерию. В [61] дано обобщение результатов на случай автокоррелированных помех. Полное систематическое изложение теории условно оптимальной- фильтрации и оценивания в стохастических дифференциальных и разностных системах в форме обновляющих процессов, а также по сложным статистическим критериям дано в [62]. В [60] разработана общая теория условно оптимальной фильтрации по байесовьш критериям, представляющим собой математическое ожидание от произвольной достаточно гладкой функции потерь. Здесь получены уравнения фильтра Калмана по байесовому критерию. Особое внимание уделено принципам построения условно оптимальных фильтров ври наличии ограничений на коэффициенты фильтра. Предложены приближенные приемы решения задачи для негладких функций потерь, основанные на нормальной аппроксимации. Анализ развития теории условно оптимальной фильтрации Пугачева и ее приложений в период 1978-1993 гг. был дан в [36-38].
А.Р. Панкову и его ученикам [28] принадлежат важные результаты по условно минимаксной нелинейной фильтрации в различных дискретных и непрерывно- дискретных динамических системах на базе использования методов статистического моделирования. Важное значение для теории условно оптимальной фильтрации и управления имеют работы И.Е.Казакова и его учеников в области синтеза фильтров Пугачева заданной сложности и условно оптимального управления на основе статистической линеаризации нелинейностей [9], В 80-90-ые годы В.В.Домбровским и его учениками было выполнены работы по синтезу линейных фильтров пониженного порядка. Принципиальное значение для практического применения теории условно оптимальный фильтрации имеют работы Е.А.Руденко [46- 8] в области алгоритмического синтеза фильтров конечного порядка и, в частности, оптимального выбора структурных функций фильтра.
Принцип эллипсоидальной аппроксимации
Следуя [39, 43], будем предполагать, что для рассматриваемых случайных величин существуют плотности распределения. Для структурной аппроксимации плотностей вероятности конечномерных случайных векторов будем использовать плотности, имеющие эллипсоидальную структуру, т.е. плотности, у которых поверхностями уровней равной вероятности являются подобные концентрические эллипсоиды (эллипсы для двумерных векторов, эллипсоиды для трехмерных векторов, гиперэллипсоиды для векторов размерности больше трёх). В частности, эллипсоидальную структуру имеет нормальное (гауссовское) распределение в любом конечномерном пространстве. Характерная особенность таких распределений состоит в том, что их плотности вероятности являются функциями положительно определенной квадратичной формы и — и{х) — (х - т ) С (х - га), где т математическое ожидание случайного вектора X, С - некоторая положительно определенная матрица.
Принцип эллипсоидальной аппроксимации Для нахождения эллипсоидальной аппроксимации (ЭА) плотности вероятности г —мерного случайного вектора X будем пользоваться конечным отрезком разложения по биортонормальной системе полиномов [43] \рТ (и(х)), (/,v/(w(30)k зависящих только от квадратичной формы и = и(х)} весом для которых служит некоторая плотность вероятности эллипсоидальной структуры w(u(x)): со J= і w(u(x))pri/(u(x))qrjt(u(x))dx = 6f/(r (2Л.1) -00
Здесь индексы v и fj, у полиномов означают их степени относительно переменой щ 6Щ - символ Кронекера. Конкретный вид и свойства этих полиномов определены ниже. Однако без потери общности можно принять, что qrQ (и) = рг{) (и) = 1. Тогда плотность вероятности вектора X может быть приближённо представлена выражением следующего вида [43]: N fix) и Г («) = w(u)J2cr,uPr,, («)- (2-1.2)
Здесь коэффициенты сГ1/ определяются формулой сГіІ/ - Mqrt/ (U) = J fixyj (u)dx} (2.13) U = [XT -тт)С(Х-т), (i/ = О,...,ЛГ), где M - символ математического ожидания. Поскольку prU(u) и #г#0 (м) взаимно обратные постоянные (полиномы нулевой степени), то всегда сгоРгО — 1 В основе ЭА распределений лежат следующие утверждения [43]. Теорема 2АЛ, Если для г-мерного случайного вектора X существует плотность вероятности, то ЭА (2 Л Л) сохраняет его математ и ческое ожидание, МЭАХ = МЛ".
Теорема 2.1.2, Если выбрать эталонное распределение win) в ЭА (2.1.2) таким образом, что вторые моменты существуют и совпадают с соответствующими моментами исходного распределения fix), то c,,i = 0. Таким образом, принимая во внимание, что cr(lpr(i = 19 а также iV i 2 требования теоремы 2.1 -2, перепишем формулу (2.1.2) для приближённого представления плотности fix) случайного вектора X в следующем окончательном виде: (2 Л .4) fix) й f (и) — w(u) Теорема 2Л-3 Если для г-мерного случайного вектора X существует плотность вероятности, то формула (2.1.4) выражает принцип ЭА плотности вероятности.
Чтобы построить систему полиномов \рги (и), ?г„ (и)\ относительно квадратичной формы и = (х — тп)Т С {х — тп). удовлетворяющих условию биортонормальности, преобразуем условие (2.1.1). Замена переменных х — х — m = С 1 гх даёт и — х х — \xf и условие биортонормальности принимает вид J = J w (и)рГ1Г (и) цГф Си) dx = -со \C\-lf2 f wfjxf) (\x\%Jx?)dx. (2.1.5) —оо Сделаем замену переменных х1 — а) /и:...:хг — ar Ju. При этом учтем, что хг -\ \-хг =х х = и и, следовательно, al+- + a2T = 1. Перепишем интеграл J (2.1.5) в переменных щ G:Iv..,Qr, принимая во внимание, во-первых, следующее выражение для якобиана перехода
Метод эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения в непрерывных стохастических системах
В разработанном программном обеспечении (модули "СтС -Э.АНАЛИЗ.б, 7, 8") для нахождения одномерной плотности вероятности /і (#; 0 р-мерного случайного процесса Х(і), определяемого стохастическим дифференциальным уравнением Ито (3.1,1), используются основные результаты раздела 2, Предположим, что нам известно распределение начального значения XQ — X(tQ} случайного процесса X(t). Представим одномерную плотность в виде отрезка ортогонального разложения (2Л .4) по полиномам, зависящим от квадратичной формы и(х) = (х —га )С(х - т), где га и К = С"1 математическое ожидание и ковариационная матрица случайного процесса X(t):
Здесь щ (и) - нормальная плотность р -мерного случайного вектора, выбираемая в соответствии с требованием сг1 = 0. Оптимальные коэффициенты разложения cpif определяются соотношением (2Л.З), которое в нашем случае примет вид со V = JАЫ)ь и = м рАи) (" = V-,iV). (3.2.2) —со Система полиномов \ppj/ (и), qpi/ (и) строится на основе ортогональной системы полиномов Spv (и)\ согласно формулам (2.2.4) и (2.2.5) при р 2, обеспечивающему биорто нормальность системы (2.1.1): р, Л и) = „,№), p7v - - -рр где полином Spi/ Си) задается формулой (2,2.3).
Решение задачи нахождения одномерной плотности вероятности методом эллипсоидальной аппроксимации (МЭА) распределений сводится к нахождению математического ожидания m и ковариационной матрицы К вектора состояния СДС (3.1.1), а также коэффициентов соответствующего разложения cpif. Справедливы следующие теоремы [43], лежащие в основе программного обеспечения "СтС - Э.АНАЛИ3.6". . Предполагая, что распределение имеет ту же структуру на протяжении матого интервала времени ty, 0 +Tj . № ) -Ц/ X i =2 ХЙ (я" - mj - А (т/ - m{)), (3.234) следует составить уравнения для коэффициентов разложения с/м, только для случайного вектора X и интегрировать их до момента tQ -f тї? когда матрица К перестанет быть вырожденной, совместно с уравнениями для т, К при аппроксимации плотности (3.234). Тогда, начиная с момента i0 + rj, можно будет интегрировать уравнения (3.2.8)-(3.2.10), положив на основании (2.2.12) cpi/ ( + )- chu ( +тг). Можно рекомендовать увеличивать h на каждом шаге численного интегрирования уравнений (3.2,8)-(3.2.10), по мере роста ранга матрицы К. 2 При неслучайных начальных условиях Х0 = х0 плотность вероятносш начального состояния представляет собой дельта-функцию 6[х — х0). В этом случае интегрируем уравнения для т, К при /j (х Л) = S[$ — х0) ОТ момента t0 до момента і0 + тг, когда матрица К перестанет быть вырожденной, а начиная с момента /.ft + тг перейдём к интегрированию уравнений (3.2.8) (3.2.10) при эллипсоидальной аппроксимации плотности вероятности вектора X. Здесь также можно по мере роста ранга h матрицы К на каждом шаге численного интегрирования в интервале чи Ч г] переходить к интегрированию уравнений для коэффициентов разложения, составленных для h -мерного вектора Лг при аппроксимации (3,2.34). Типовые интегралы и рещррентные формулы метода эллипсоидальной аппроксимации Учитывая приближенное представление (3.2,1) одномерной плотности yj (x;t) и формулу (2.3.1) для начальных моментов случайного вектора при со ЭА его распределения, получаем следующую приближенную формулу:
В [43] (приложение 1), посвященном вычислениям ряда типовых интегралов МЭА, входящих в уравнения для математического ожидания, ковариационной матрицы и коэффициентов разложения, выводятся формулы, позволяющие определять вторые слагаемые в (3.235) и (3.2,36). Они сводят соответствующий интеграл к сумме произведений начальных и центральных моментов нормального распределения wl (Ю,
При создании алгоритмического обеспечения для автоматического составления уравнений для параметров эллипсоидального распределения в случае полиномиальных нелиненноетей вместо использования типовых интегралов целесообразно применение в правых частях уравнений рекуррентных формул, связывающих старшие и младшие центральные и начальные моменты (п.2,3.2).
Уравнения квазилинейного фильтра, основанного на МЭА
Следуя [25], будем аппроксимировать нелинейные функции Ръ(Х 1) и pl(XJt) в уравнениях (3.2Л) и (3,2,2) методом статистической линеаризации (МСЛ), тогда получим Po(Xtit) = tpm+tpQl(Xt-mx)} (4Л.5) Рг (XtJt) lo + Рц ft - "О- (4.1.6)
Здесь коэффициенты статистической линеаризации ipm, 01 г іо и (рп определяются формулами: Рт = Аю {т # ) = Мл [Ро {Xt. )], fti = Vn (т„Кя) = Мл fa [Xitt)(Xt - тх)\К-х\ (4.1.7) - математическое где raf = MM и я=м[( (-тя)Й-тя)т ожидание и ковариационная матрица вектора состояния Xt —X(t) соответственно. Математическое ожидание М вычисляется для нормального распределения J\f{m Kx) с неизвестным математическим ожиданием m, и ковариационной матрицей Кх. Подставляя выражения (4,1.7) в (4.1.1) и (4.1 .2), получаем искомую статистически линеаризованную систему Xt = tpQlXt + рт - + , (4.1,8) Zt=Yt= fnXt + рт - ipnmx + У3. (4.1.9)
Для этой модели уравнения оптимального линейного фильтра Калмана-Бьюси вместе с соответствующими начальными условиями имеют следующий вид [57]: %i = Ч Л + йш - WA + A [Zt - 11 ю + ftim )3 (4.1.10) г (4Л.11) у о о)№ о = мд = м где Xt - оценка вектора состояния Xt=X{t)9 a Rt - (пххпх симметрическая матрица ошибки фильтрации. В (4.1.10) коэффициент усиления фильтра имеет вид &=і 2-\ (4.1.12) а ковариационная матрица ошибок удовлетворяет матричному уравнению Риккати Я, - + % -RtfW A +#і Г (4-1ЛЗ) Входящие н (4.1.10) и (4.1.13) коэффициенты у:00, 01, 10 и ipu определяются (4.1.7) приближённо согласно предположению о нормальном распределении вектора состояния Xt и системой уравнений для гпх и Кх: mz =(рЮт (4.1Л4) Кх = рпКх + і + фигфт. (4.1 Л 5)
В этом случае квазилинейный фильтр (4ЛЛ0) - (4ЛЛЗ) называется нормальным квазилинейным фильтром (НКЛФ) [27]. В разделах 5 и 6 приведены примеры использования НКЛФ.
Обобщая [25], дадим в разделах 4,2 и 4.3 развитие теории квазилинейных фильтров на основе использования методов эллипсоидальной аппроксимации (МЭА) и эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) [663 67J.
Непрерывные СтС. В силу [57] для уравнений (4.1-1) и (4Л,2) уравнения субоптимальной фильтрации определяются следующей теоремой 4,2Л. Теорема 4.2Л. Пусть уравнения стохастической дифференциальной системы (4ЛЛ) и (4Л.2) допускают применение МЭА, а апостериорная плотность распределения ошибки фильтрации имеет эллипсоидачьную структуру вида N 1 + 2 д0 (4.2.1) r=2 рь{х) = р (хув) = Wl(U) u = (xr-X [)c(x-Xt), где С - матрица, обратная по отношению к ковариационной матрице ошибки фильтрации Я,, С — Щ .
Тогда еж субоптималышя оценка Xs компоненты вектора состояния Xs удовлетворяет уравнению dXs=fsdt + h/\dYt -f{l)dt\ (5 = l,.„,n), (4.2.2) где fs -й элемент матрицы-столбца
На основе предложенных автором укороченных рекуррентных уравнений, связывающих старшие и младшие моменты при эллипсоидальной аппроксимации (раздел 1) для функций tpQ () и рх [ф\А в (4ЛЛ), (4Л.2) и (4Л.З), (4Л.4), аппроксимируемых кубическими полиномами, разработано алгоритмическое и программное обеспечение модули "СтС - фильтр - ЭА.1" и "СтС - фильтр - ЭА.2" (приложение 3), Там же даны примеры применения модулей.
