Введение к работе
Актуальность темы. Одной из отличительных особенностей
человеческой деятельности был и остается обмен информацией. Общение людей, их
взаимоотношения с внешним миром, их производственная, научная и общественная
деятельность тесно связаны с информационными процессами — процессами
восприятия, передачи, обработки, поиска, хранения и отображения информации. В
настоящее время, когда информация становится жизненно важным ресурсом, когда
информационная деятельность определяется как приоритетная в процессе развития
цивилизации и когда эта деятельность опирается на современные достижения
компьютерной техники, становится очевидной необходимость всестороннего
фундаментального исследования понятий информации, процессов ее представления,
обработки, хранения и передачи. В этом отношении на первый план
выдвигаются задачи строгой формализации этих понятий, нахождение эффективных алгоритмов обработки и анализа информации, принятие на их базе наиболее рациональных решений, генерации новых знаний. Основой решения здесь считаются математические методы, в частности те достижения, которые накоплены в одном из важпейших научных направлений — математической теории игр.
В последние десять - пятнадцать лет наблюдается стремительное повышение
интереса к теории игр и значительное возрастание ее роли. Это объясняется в
первую очередь тем, что без нее в настоящее время уже немыслима современная
экономическая теория, причем область применения теории игр постоянно
расширяется. Теория игр прошла путь от весьма формализованной теории до одного
из важнейших инструментов решения большого многообразия задач, возникающих
в экономике, политике, социальных науках. Теория игр изучает математические
модели принятия оптимальных решений в условиях конфликтов. Под конфликтом
при этом понимается всякое явление, в котором участвуют различные стороны,
наделенные собственными интересами и обладающие определенными возможностями
действий. Теория игр, появившаяся как математическое описание экономических
проблем, но получившая самостоятельное развитие внутри математики, является
ныне важным инструментом для исследования конфликтов не только экономического
содержания, но также процессов принятия решений в условиях лишь модельно
сходных с конфликтами. Сюда относятся военные, дипломатические и
правовые вопросы, а также игровые модели принятия решений в планировании, прогнозировании, технике, экологии, медицине.
Игры, как правило, классифицируются следующим образом: коалиционные игры, в которых принимающие решения игроки объединяются фиксированные
коалиции, члены которых могут свободно обмениваться информацией и принимать полностью согласованные решения; бескоалиционные игры, если каждая коалиция состоит только из одного игрока; кооперативные игры, если допускается временное объединение игроков в любые коалиции для принятия совместных решений и, возможно, с доследующим перераспределением полученных выигрышей (побочные платежи). Предметом исследования в настоящей работе являются кооперативные игры, в которых допускается передача части выигрыша от одного игрока другому (игры с побочными платежами).
Теория кооперативных игр с побочными платежами возникла в начале XX века (монография Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение". М.: Наука, 1970 (1944)) и активно развивается до настоящего времени в работах многочисленных последователей. В таких играх, во-первых, разрешены побочные платежи, во-вторых, выигрыши игроков обладают свойством трансферабельности, т.е. измеряются в одной шкале и могут передаваться без потерь. Для этих игр характерна множественность принципов (критериев) оптимального поведения игроков. Однако можно указать некоторые свойства, присущие большинству из них: коллективная рациональность (единогласное одобрение всеми игроками) и индивидуальная рациональность (согласие каждого игрока). Решения, удовлетворяющие обоим требованиям, называются дележами. Рассмотрению последних (для игр в нормальной форме) к посвящена первая глава диссертации.
Как уже было указано, кооперативные игры с побочными платежами введены в рассмотрение фон Нейманом и О. Моргенштерном. Основные результаты этого направления получены в работах Р.Аумана, Л. Биллера, Э. Калаи, М. Машлера, Э. Мулена, Ж.-П. Обена, Б.Пелега, И. Розенмюллера, X. Скарфа, Дж. Харшаньи, Д. Шмайдлера, М. Шубика и др. Значительный вклад в развитие теории кооперативных игр внесли О.Н. Бондарева, В.А. Васильев, Э.Й. Вилкас, В.Б. Вилков, Н.Н. Воробьев, В.А. Горелик, Г.Н. Дюбин, Т.Е. Кулаковская, И.С. Меньшиков, В.В. Морозов, Н.И. Наумова, Л.А. Петросян, С.Л. Печерсхий, А.И. Соболев, Е.Б. Яновская и др. Однако в этих работах не учитывалось влияние помех, возмущений, ошибок измерений и другого вида неопределенностей, о которых известны лишь границы изменений. Подобные неопределенности присущи многим прикладным задачам, в частности математическим моделям экономики (срыв и изменение номенклатуры поставок, непредсказуемое изменение спроса, неожиданное появление на рынке других товаропроизводителей и т.д.). Учет таких неопределенностей является новым фактором в теории игр. Одно из направлений
этой теории — бескоалиционные игры при неопределенности — исследовалось в работах В.В. Жуковского1 и его учеников А.Е. Бардина, Л.В. Бирюковой, К.С. Вайсмана, Г.П. Житомирского и Л.В. Смирновой. Первые работы по кооперативным играм с побочными платежами и при неопределенности принадлежат В.А. Горелику и О.В. Лариной2, в которых на основе интервального подхода введена интервальная характеристическая функция и с ее помощью исследованы основные решения кооперативной игры. С 1996 г. Е.Н. Оплетаевой начато построение теоретических основ кооперативных игр без побочных платежей и при неопределенности, базирующихся на подходах теории многокритериальных задач при неопределенности3. Максиминный подход использован также в настоящей диссертации, посвященной гарантированным дележам и С-ядру в кооперативных играх с побочными платежами и при неопределенности.
Применение максиминного подхода, позволяющего учесть неполноту информации и. другого вида неопределенности, в кооперативных играх является новым направлением, актуальным как с точки зрения развития теоретической информатики, так и для создания более адекватного математического аппарата при анализе прикладных задач.
Целью работы является формализация и исследование свойств дележей и С-ядра в кооперативных играх с побочными платежами и при неопределенности. При этом предполагается, что о неопределенных факторах иззестны лишь границы изменений, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют. Исследования ограничены игрой трех лиц с целью наглядной геометрической интерпретации. Рассмотрено приложение к математической модели рынка неделимого товара при неопределенности.
Объектом исследования является теория кооперативных игр.
Предмет исследования — кооперативные игры трех лиц с побочными платежами и при неопределенности.
Проблема заключается в определении понятий решения кооперативной игры с побочными платежами и при учете неопределенных факторов.
В основу исследования положена следующая гипотеза: на основе принципа
хЖуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 461 с.
2Горелик В.А., Ларина О.В. Кооперативные игры с интервальной характеристической функцией // Моделирование, оптимизациї и декомпозиция сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 1993. С. 75-91.
3Zhukovskiy V.I., Salukvacbe М.Е. The Vector-Valued Maximin. N.Y. ets: Academic Press, 1994. 404 p.
гарангированного результата иожно определить понятия гарантированного дележа и гарантированного С-ядра для кооперативных игр с побочными платежами и при неопределенности, получить условия их существования.
Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной выше гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
— формализовать понятие гарантированного дележа, исследовать его свойства,
условия существования;
-— определить понятие гарантированного С-ядра, получить условия его существования;
— для дифференциальной кооперативной линейно-квадратичной игры при
неопределенности ввести понятие приемлемого гарангированного дележа, выяснить
"коэффициентные" условия его существования и построить явный вид;
— рассмотреть возможные приложения к конкретным экономическим задачам и
линейно-квадратичным играм.
Методологическую основу работы составляют современные методы и подходы теории многокритериальных задач, теории игр, выпуклого анализа, динамического программирования.
Научная новизна. Отличие данной работы состоит в том, что в ней предложен новый подход к кооперативным играм с побочными платежами и при неопределенности, а именно: предлагается понятие гарантированного дележа, основанное на максимине суммарного выигрыша, что позволяет игрокам (при реализации любой возможной неопределенности) гарантированно обеспечить себе некоторые "пороговые" выигрыши. Одновременно исследован случай, когда неопределенность формируется на основе "знания" выбранной игроками ситуации. В обоих случаях установлены условия существования, а также предложены способы распределения побочных платежей.
Формализуется также гарантированное С-ядро, исследованы его свойства, в частности (на основе теоремы Какутани) установлены условия непустоты гарангированного С-ядра при обычных для теории игр ограничениях.
Для дифференциальной линейно-квадратичной позиционной кооперативной игры с побочными платежами и при неопределенности предложено аовое понятие — динамически приемлемый гарантированный дележ. Установлены "коэффициентные" условия его существования и при выполнении этих условий найден его явный вид.
Практическая значимость работы. Предложенный максиминный подход в теории кооперативных игр при неопределенности может быть применен к различным прикладным задачам экономики, экологии, механики. В качестве
приложения в диссертации исследована одна математическая модель рынка с продавцом и двумя покупателями при учете колебания предварительной цепы товара. Отмстим также, что разработка (на основе предложенного подхода) экономико-математических моделей позволит, во-первых, дать более адекватное реальности описание процессов принятия решений, во-вторых, получить эффективные решения в сфере планирования и управления.
Основные положения, выносимые на защиту:
формализовано понятие гарантированного дележа для кооперативной игры с
побочными платежами и при неопределенности, выявлены свойства и условия
существования;
введено понятие гарантированного С-ядра и установлены условия его
существования;
построено гарантированное С-ядро в одной модели рынка неделимого товара при неопределенности;
на основе динамического программирования, объединенного с методом функций Ляпунова, найден явный вид динамически приемлемого гарантированного дележа в дифференциальной линейно-квадратичной позиционной кооперативной игре с побочными платежами и при неопределенности.
Апробация работы. Результаты исследований, представленные в работе,
прошли апробацию на международных конференциях: "Multiple Criteria and Game
Problems under Uncertainty" (Орехово-Зуево, 1996), "Математика. Экономика.
Экология. Образование" (Ростов-на-Допу, 1999). Кроме того, основные
результаты работы докладывались на IX Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционный задачам (1998) и Воронежской зимней математической школе " Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1999), на аспирантском семинаре кафедры математики и механики РосЗИТЛП и на научно- методическом семинаре кафедры информатики и дискретной математики МПГУ.
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 7 печатных работ. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов, изложенных на 156 страницах машинописного текста.
