Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Прохождение быстрых электронов через тонкий монокристалл 16
I. Нестационарное квантовое кинетическое уравнение для рассеяния на тепловых флуктуациях потенциала кристалла 17
2. Когерентное и некогерентное волновое поле электронов в кристалле 24
2.1. Когерентное поле в отсутствие некогерентного рассеяния. Двухволновое приближение... 25
2.2. Когерентное поле при учете некогерентного рассеяния. Двухволновое приближение 28
2.3. Анализ параметров теплового некогерентного рассеяния в кристалле 32
2 .4. Некогерентное волновое поле 55
3. Угловое распределение электронов при прохождении через тонкий монокристалл 37
4. Эффекты дифракции в угловом распределении про ходящих через монокристалл электронов 41
Глава 2. Ионизационные потери энергии электронов при прохождении через монокристалл 48
5. Нестационарное квантовое кинетическое уравнение для рассеяния на фононах и ионизации атомов кристалла 4-8
б. Уравнение потерь энергии 54
6.1. Когерентное и некогерентное волновое поле 54
6.2. Потери энергии быстрых электронов 55
7. Ориентационная зависимость потерь энергии электронов в монокристалле 57
Глава 3. Стационарное квантовое кинетическое уравнение и отражение быстрых электронов от монокристалла 63
8. Квантовое кинетическое уравнение в локально-эйкональноы приближении 63
9. Функция взаимной когерентности при рассеянии в аморфной среде 70
10.Ориентационная зависимость обратного рассеяния быстрых электронов 75
II.Эффекты дифракции в угловом распределении от раженных частиц ^9
Глава 4. Ориентационные эффекты при эмиссии оже-электронов с поверхностей монокристаллов 85
12.Зависимость полного Оже-выхода от ориентации начального потока 86
13. Сравнение с экспериментом 93
Заключение 101
Приложение. Угловые границы когерентных эффектов при рассеянии быстрых электронов в кристалле... 104-
Литература
- Когерентное и некогерентное волновое поле электронов в кристалле
- Уравнение потерь энергии
- Функция взаимной когерентности при рассеянии в аморфной среде
- Сравнение с экспериментом
Введение к работе
Интерференционные явления, возникающие при взаимодействии заряженных частиц с монокристаллами, в настоящее время служат предметом интенсивного изучения как с экспериментальной, так и с теоретической точек зрения [і].
Интерес к физике взаимодействия частиц высоких энергий с веществом связан с недавним открытием ряда новых эффектов: генерации интенсивного электромагнитного излучения в условиях кана-лирования или надбарьерного движения [2J, обнаружения поворота протонов в изогнутом монокристаллическом образце [з], выяснения особой роли, которую играют надбарьерные состояния в картине ка-налирования электронов различных энергий [ 5].
С другой стороны, необходимость исследования интерференционных явлений, сопровождающих движение частиц в кристаллах, связана с широким развитием в настоящее время методов анализа строения вещества с помощью пучков заряженных частиц. Наиболее распространенным из этих методов являются электронная микроскопия и электронография материалов, в которых обычно используют быстрые нерелятивистские электроны с энергией 10 100 кэВ [6-8J.
Восстановление структуры исследуемых материалов производится на основе анализа электронограмм с использованием теории рассеяния электронов в совершенных и несовершенных кристаллах.
Обычно это условие нарушается для монокристаллических пленок, толщина которых превышает несколько десятков ангстрем Шри энергии электронов 100 кэВ; для меньших энергий частиц нарушение условия происходит еще раньше). Поэтому анализ изображений, полученных при просвечивании таких пленок, требует применения теории, учитывающей многократный характер рассеяния электронов в кристаллах.
Волновая функция заряженной частицы при движении в неоднородной среде представляет собой результат интерференции волн, рассеянных атомами вещества. При этом в зависимости от характера расположения рассеивателей (которые, вообще говоря, обладают своими степенями свободы) может происходить когерентное или некогерентное сложение вторичных волн. Например, в идеальном монокристалле с периодическим расположением атомов рассеянные волны складываются когерентно, приводя к максимумам интенсивности в брэгговских направлениях. Однако в реальных совершенных кристаллах атомы участвуют в тепловом движении и их мгновенное расположение нерегулярно, что приводит к некогерентному рассеянию. Помило этого, быстрая частица при столкновениях с атомами теряет энергию на ионизацию, возбуждение других степеней свободы кристалла. Эти процессы также некогерентны, так что в реальных монокристаллах рассеяние носит одновременно и когерентный, и некогерентный характер. Длиной, характеризующей интенсивность некогерентного рассеяния, является длина свободного пробега .
При нормальных условиях (Т=300 К) tcn имеет величину порядка тысячи ангстрем. Поэтому в достаточно толстых образцах необходимо учитывать как многократный характер некогерентного рассеяния, так и эффекты накапливания в когерентном рассеянии.
В пренебрежении некогерентными процессами это достигается построением динамической теории дифракции, учитывающей связь проходящей волны и волн, отраженных от кристаллографических плоскостей. Влияние неупругого (некогерентного) рассеяния на процессы когерентной дифракции электронов впервые рассматривалось Йошио-кой [э\. В пренебрежении тепловыми колебаниями атомов им было показано, что учет процессов ионизации атомов кристалла приводит к появлению в дисперсионном уравнении мнимых добавок к фурье-компонентам потенциала кристалла. Эффективный гамильтониан взаимодействия электрона с кристаллом при этом становится неэрмитовым. дальнейшее развитие этот подход получил в работах Хашимото, Хови и Уэлана [ю], Холла и Хирша [її], Метерелла и Уэлана [12,із] , Хови и Валдре [I4J, Хамфриза и Хирша [l5J. Так, в [її] была проанализирована роль тепловых колебаний атомов кристалла в динамической теории дифракции. В модели Эйнштейна теплового движения было найдено, что рассеяние на температурных флуктуациях потенциала кристалла также приводит к появлению неэрмитового слагаемого в эффективном гамильтониане взаимодействия электронов с кристаллом. В [I5J выполнен сравнительный анализ вклада различных типов некогерентного рассеяния в матричные элементы неэрмитовой части гамильтониана.
Было показано, что определяющую роль в неупругом рассеянии играют тепловые колебания атомов (рассеяние на фононах), вклад которых в полное сечение некогерентных процессов в некоторых случаях достигает 90%.
Подробные численные расчеты матричных элементов неэрмитовой части гамильтониана взаимодействия электронов с кристаллом с учетом рассеяния на фононах, возбуждения плазмоном и ионизации атомов вещества были выполнены Ради [I6J. Полученные им результаты находятся в хорошем согласии с экспериментальными измерениями (там же приведен список ряда экспериментальных работ по определению матричных элементов неэрмитовой части гамильтониана, выполненных до 1970 года).
В работе [ю] эффекты неупругого рассеяния электронов в кристалле получили подробное теоретическое объяснение на основе представлений о возникающей при дифракции системе блоховских функций поперечного движения. При этом электроны, находящиеся в блоховских состояниях, локализованных вблизи атомных плоскостей, испытывают усиленное шо сравнению с ситуацией вдали от плотно-упакованных кристаллографических направлений) неупругое (некогерентное) рассеяние. Электроны в состояниях, локализованных в межплоскостных промежутках, напротив, рассеиваются слабо и глубоко проникают в глубину кристалла. Этот эффект аномального прохождения электронов аналогичен эффекту Бормана для рентгеновских лучей [l7j, однако выражен не столь сильно. Поскольку эффекты неупругого рассеяния рентгеновских лучей и электронов во многом сходны, при расчетах матричных элементов гамильтониана неупругого взаимодействия удобно использовать методы, разработанные Афанасьевым и Каганом в [18] и предшествующих работах.
Однако, если неупругие процессы с участием рентгеновского излучения в большинстве случаев приводят к его поглощению, для электронов ситуация принципиально иная. После неупругого взаимодействия с атомом среды потерявший часть энергии добычно незначи - 8 -тельную) быстрый электрон продолжает движение в измененной направлении. На длине свободного пробега (отличающейся по величине для блоховских состояний различного типа) происходит повторное некогерентное рассеяние и т.д. В достаточно толстых кристаллах неупругое (некогерентное) рассеяние электронов носит существенно многократный характер. При этом обычный формализм теории динамической дифракции [9-16] позволяет описать процесс движения электронов лишь до первого некогерентного столкновения и теряет свою применимость, если толщина кристалла превосходит длину свободного пробега многократно рассеянные электроны на электронограмме образуют широкий диффузный фон, подобный распределению частиц в случайно-неоднородной (аморфной) среде. Дифракция частиц на регулярном усреднённом расположении атомов приводит к образованию узора так называемых Кикучи-картин на плавно меняющемся фоне многократного рассеяния.
Экспериментальному изучению Кикучи-картин посвящен ряд работ I9-2IJ. При этом анализировалась интенсивность дифракционных эффектов в зависимости от толщины кристалла, угла между направлением падения начального потока электронов и направлением наблюдения. Выполненные в то же время теоретические работы использовали в основном представления об однократном некогерентном рассеянии и последующей дифракционной деформации фона, которая рассчитывалась на основе динамической теории [22-25]. Поскольку приближение однократного некогерентного рассеяния неприменимо для толстых кристаллов, полученные в этих работах выражения для контраста Кикучи-линий и полос можно использовать, лишь когда толщина кристаллической пластины не превосходит длины свободного пробега относительно неупругих взаимодействий. В частности, с неприменимостью использованного приближения связана полученная в \2Ц экс - 9 -поненциальная расходимость контраста Кикучи-полос на больших глубинах. Модель однократного рассеяния для расчета фона вокруг брэгговских максимумов была использована также в [2б]. Учет многократного рассеяния электронов в кристаллах был проведен Хойе-роы [28] с помощью метода, впервые предложенного Мольер для аморфной среды [27]. Однако в рамках этого подхода не удается получить аналитических выражений, пригодных для качественного анализа возникающих интерференционных эффектов.
Наиболее последовательным методом решения квантовых задач многократного рассеяния является квантовое кинетическое уравнение для матрицы плотности быстрых налетающих частиц. Такое уравнение впервые было предложено Мигдалом для случая аморфного вещества [29, Зо]. Обобщение этого уравнения на случай кристалла Каганом и Кононцом pl-33j позволило им построить последовательную квантовомеханическую теорию каналирования быстрых протонов. Квантовое кинетическое уравнение в представлении блоховских функций поперечного движения в настоящее время широко используется для анализа углового распределения выходящих из кристалла электронов [34-], для расчетов интенсивности неупругих процессов в кристаллах (генерации вторичного рентгеновского излучения, характеристических потерь энергии быстрых электронов) [35-38J . Другие подходы к описанию многократного рассеяния [39J отличаются чрезвычайной громоздкостью даже при построении основных уравнений, что сильно затрудняет нахождение их решений.
Как известно, нестационарное квантовое кинетическое уравнение для матрицы плотности быстрых частиц соответствует малоугловому приближению при решении соответствующей стационарной задачи, причем время и связано с глубиной проникновения в кристалл 2 как 2 = 1[t _32,40J. Поскольку малоугловое приближение неприменимо для описания столкновений с отклонением на угол V i. , нестационарное квантовое кинетическое уравнение не удается использовать для решения граничных задач рассеяния в толстых кристаллах и для вычисления потока частиц, отраженных от вещества при многократном рассеянии. Помимо этого, при достаточно низких энергиях падающих электронов (несколько десятков килоэлектронвольт) аналитическое решение кинетического уравнения в представлении блоховских функций затруднительно, что в некоторых случаях не позволяет произвести простой качественный анализ имеющихся экспериментальных результатов.
При близком к нормальному падении пучка быстрых электронов на поверхность толстого кристалла формирование отраженного потока частиц происходит в основном за счет многократного некогерентного рассеяния на тепловых флуктуациях потенциала. Аналитическая теория отражения быстрых электронов от поверхности аморфного вещества в настоящее время хорошо разработана подробный обзор имеющихся теоретических и экспериментальных результатов приведен в работе Тилинина [4-і]). При отражении быстрых электронов от кристаллов при не слишком малых скользящих углах падения можно выделить 2 типа возникающих ориентационных эффектов.
I) Картины каналирования, то есть зависимость полного коэффициента отражения частиц от ориентации начального пучка электронов относительно систем кристаллографических плоскостей кристалла. 2.) Картины обратного рассеяния (или Кикучи-картиньО, то есть деформация углового распределения отраженных частиц вблизи направлений плотноупакованных кристаллографических плоскостей вследствие дифракции. Картины каналирования в сканирующей электронной микроскопии впервые наблюдались Коутсом [42 J и Букером с сотр. ]43]. Многочисленные теории этого явления, использующие модель однократного рассеяния, дают лишь качественное согласие с экспериментом (обзор этих работ можно найти в [8j ). Наиболее последовательный метод расчета, предложенный Спенсером и Хамфризом [44] основан на использовании неоднородного стационарного транспортного уравнения. Однако феноменологический подход [44J не учитывает когерентность волнового поля падающих на кристалл электронов, что привело к неверным выражениям для источников в этом неоднородном уравнении (формула (в) из [WjJ. Картины обратного рассеяния электронов, которые используются для прецизионной ориентации массивных монокристаллических образцов, экспериментально наблюдались в [4-5,46]. Однако теоретических расчетов ориентационных эффектов в угловом распределении обратно-рассеянных электронов не проводилось.
Теоретический анализ распределения волнового поля электронов вблизи поверхности массивного монокристалла представляет интерес также в связи с активным изучением ориентационных эффектов, возникающих при генерации Оже-электронов в веществе [47-57]. При этом значительный вклад в полный выход вторичных процессов дают неупруго рассеянные быстрые электроны, волновые функции которых некогерентны с падающей на кристалл плоской волной.
Таким образом, в настоящее время актуальным является развитие аналитических методов расчета распределений быстрых электронов с учетом дифракции на регулярном расположении атомов кристалла и многократного некогерентного рассеяния. При этом особенно важным является построение теории, единым образом описывающей как случай прохождения через пластины вещества (например, в малоугловом приближении), так и рассеяние на углы v"! , включая отражение от толстых монокристаллических образцов.
Целью диссертацию является построение аналитических методов расчета угловых и энергетических распределений нерелятивистских электронов с энергией порядка нескольких десятков килоэлектронвольт при рассеянии в кристаллах в случаях прохождения и отраже - 12 -ния от образцов.
В первой главе диссертации рассматривается задача расчета углового распределения электронов при прохождении потока частиц через тонкую монокристаллическую пластину.
В § I выведено нестационарное квантовое кинетическое уравнение для матрицы плотности в импульсном представлении для рассеяния на тепловых флуктуациях потенциала кристалла.
В § 2 анализируются когерентное и некогерентное волновые поля электронов, возникающие при дифракции и некогерентном рассеянии в кристалле. В двухволновом приближении найдено решение системы уравнений для матричных элементов когерентного поля. Показано, что неупругие процессы в уравнениях для когерентного поля приводят к появлению мнимых добавок к фурье-компонентам усредненного потенциала взаимодействия с кристаллом. Дано прямое доказательство сохранения полного числа частиц, находящихся в когерентном и некогерентном поле.
В § 3 рассмотрено угловое распределение электронов с учетом динамической дифракции когерентного поля и многократного рассеяния на тепловых флуктуациях. в качестве примера в двухволновом приближении динамической теории дифракции рассчитаны угловые моменты распределения ч и v .
В § 4 проведен расчет эффектов, к которым приводит дифракция некогерентно рассеянных частиц. Получены аналитические выражения для распределения интенсивности в Кикучи-линиях и полосах, выполнен качественный анализ процессов многократного рассеяния на основе представлений о блоховских состояниях различного типа, сильно и слабо взаимодействующих с тепловыми колебаниями атомов.
Во второй главе рассматриваются потери энергии быстрых электронов на ионизацию атомов среды.
В § 5 дан вывод квантового кинетического уравнения с учетом возбуждения фононов и ионизации атомов кристалла, позволяющего учесть потери энергии движущихся в кристалле электронов.
В § б в малоугловом приближении =0 получено замкнутое уравнение потерь энергии быстрых электронов. Проведен анализ когерентного и некогерентного волнового поля с учетом потерь энергии. Найден энергетический спектр электронов после прохождения ими тонкого монокристаллического слоя.
В § 7 ориентационная зависимость потерь энергии анализируется на основе первого момента энергетического распределения -средней потерянной энергии. Показано, что в зависимости от ориентации начального пучка электронов относительно системы кристаллографических плоскостей интенсивность ионизационных процессов может превышать уровень, характерный для аморфной среды того же состава,или быть ниже этого уровня. Проведен анализ этих эффектов на основе представлений о различной заселенности блоховских состояний поперечного движения как функции угла падения электронов на кристаллографические плоскости.
Третья глава диссертации посвящена построению стационарной квантовой теории многократного рассеяния электронов.
В § 8 проведен вывод стационарного квантового кинетического уравнения в локально-эйкональном приближении. Показано, что данное уравнение в малоугловом приближении аналогично известному нестационарному подходу и учитывает как дифракцию на регулярном усредненном расположении атомов, так и многократное рассеяние с возбуждением электронной и фононной подсистем кристалла.
§ 9 посвящен исследованию взаимной когерентности волнового поля электронов при рассеянии в аморфной среде. Рассмотрена задача о прохождении потока быстрых частиц через пластину аморфного вещества с резкой (по сравнению с длиной свободного пробега) границей. Показано, что в этом случае выражение для функции взаимной
- 14 когерентности не удовлетворяет условию квазиоднородности [58,59] и для его нахождения недостаточно решения транспортного уравнения.
В § 10 выведена система уравнений для расчета ориентацион-ной зависимости полного коэффициента отражения электронов от массивного монокристаллического образца (.картины каналирования) с учетом когерентности возникающего при дифракции волнового поля.
§ II посвящен расчету дифракционных эффектов в угловом распределении отраженных частиц (картины обратного рассеяния электронов). В приближении малой ширины энергетического спектра отраженных частиц получено простое аналитическое выражение для контраста Кикучи-полосы, которое находится в соответствии с имеющимися экспериментальными данными _45, 46 J.
В четвертой главе диссертации рассматриваются ориентацион-ные эффекты, возникающие при эмиссии Оже-электронов из поверхностного слоя монокристалла.
В § 12 на основании развитых в третьей главе методов решения стационарной квантовой задачи многократного рассеяния рассчитана интенсивность генерации Оже-электронов в поверхностном слое монокристалла. В пренебрежении вариациями обратно-рассеянного потока получена простая формула для зависимости величины полного Оже-выхода от ориентации начального потока быстрых электронов.
§ 13 посвящен сравнению полученных результатов с имеющимися в литературе экспериментальными данными. Проведен анализ ориента-ционных эффектов в случае кристаллов со сложной элементарной ячейкой.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.
В приложении рассматривается возможность оценки угловых границ когерентных эффектов при рассеянии электронов с энергиями по - 15 -рядка нескольких мегаэлектронвольт на основании проведенного в первой главе анализа процессов конкуренции брэгговскои дифракции и некогерентного рассеяния в кристалле.
Основные положения работ, вошедших в диссертацию, докладывались на П Всесоюзном совещании по вторичному электронному излучению (Ленинград, 1983 г.), на Сессии отделения ядерной физики АН СССР (Москва, 1984 г.), на ХІУ Всесоюзном совещании по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 1984), а также на семинарах теоретического отдела Института кристаллографии АН СССР и МИФИ.
В диссертацию вошло пять опубликованных работ [60-64].
Когерентное и некогерентное волновое поле электронов в кристалле
Рассмотрим случай, когда некогерентным рассеянием можно пренебречь. В этом случае в (I.I.23) можно отбросить некогерентные интегралы столкновений и система уравнений для матричных элементов когерентного поля будет иметь вид
Если в начальный момент времени частица двигалась под брэгговским углом к системе атомных плоскостей, то отраженная частица также движется под брэгговским углом и движение является последовательностью таких отражений. В этом случае для некоторого вектора обратной решетки G- , перпендикулярного рассматриваемой системе плоскостей для начального импульса выполнено условие "хорошего сохранения энергии" при отражении п-& Єп ) « I п + п для всех % G- . Тогда в сумме по S в (1.2.2) можно оставить лишь слагаемые с X = ± G- или, что то же самое, матричные элементы Роо і Ри » Рю и Р± Обозначив Л4о =Л из Ц.2.2) нетрудно получить систему четырех уравнений для этих матричных элементов
Интегрируя уравнения для недиагональных элементов и подставляя в первое и четвертое уравнения из (1.2Л), получим систему двух уравнений для интенсивностей проходящей и отраженной волн pooW-alAl Cis -eoH Ip w-p w" dx . (1.2.5} й р« W- глГ Jas((et-gMfr Ы иИ (1.2.6)
Нетрудно видеть, что правые части (1.2.5) и (1.2.6) имеют форму интегралов столкновений, описывающих приход и уход частиц из соседнего канала в данный и наоборот. Однако, в отличие от некогерентных интегралов столкновений типа (I.I.I2) и (1,1.13), J.2.5) и (1.2.6; имеют нелокальный характер и изменение интенсивности волны в данный момент времени при когерентном рассеянии определяется ее значениями во все предшествующие моменты.
Для решения (I.2.5)-vI.2.6) удобно перейти к сумме и разности интенсивностей - г? 1 а.гл) В tO = р М - f« ( ) Уравнение для А("Ь) - вероятности находится в каком-либо из двух каналов когерентного рассеяния - получается суммированием (1.2.5) и v.I.2.6) и имеет вид (И и означает, что в двухволновоы приближении частица может иметь только импульс П или П + G- и не переходит в состояние с другими импульсами. Разность (1.2.5) и (1.2.6) даёт
Учитывая начальное условие &(о) - 1 t можно найти решение этого уравнения преобразованием Лапласа т = _al + -Ц- as(zAtff ) а.2.1о; где Ц = t n гн-G / I есть относительное энергетическое отклонение от точного брэгговского условия, которому соответствует Ц = О . Используя (1.2.7), можно написать вероятности найти частицу в проходящей или отраженной волне что совпадает с обычными формулами динамической теории дифракции в случае Лауэ для прозрачного кристалла [l7j.
Таким образом, когерентное дифракционное рассеяние частицы в монокристалле приводит к изменению ее импульса на дискретную величину - один из векторов обратной решетки. При определенной ориентации начального импульса частицы брэгговское рассеяние в идеальной решетке может быть описано двухволновым приближением, в котором интенсивности двух волн периодически колеблются при сохранении суммарной вероятности. Такое решение носит название маятникового решения.
Рассеяние на флуктуационной части потенциала кристалла приводит к потере когерентности волновых функций рассеянных электронов с падающей плоской волной и уходу частиц из состояний когерентного поля. Поэтому систему уравнений для матричных элементов (1.2.1) можно получить из СІЛ.23), учитывая в некогерентных интегралах столкновений лишь полные сечения рассеяния на флуктуа-циях St Рек. + l (t Ofevx = Т О Т7 с начальным условием (1.2.3). Если (1.2.13) написать в виде матричного уравнения с эффективным гамильтонианом Hes - 29 ipeb=Z{HEsps, - (H \sj es] (1 2#ш то нетрудно видеть, что некогерентное рассеяние приводит к появлению в уравнениях для матричных элементов когерентного поля мнимых добавок к фурье-компонентам регулярного потенциала кристалла es = t es + es - z es (1.2.15j где д3 представляют собой сечения некогерентного рассеяния на тепловых флуктуациях її - 1 №+ )-р р- з)) (г0 а.2Лб; и слабо зависят от своего верхнего индекса.
Поскольку VS = Ves , гамильтониан Ц.2.І5} при наличии некогерентного рассеяния становится неэрмитовым, что приводит к уменьшению полного числа частиц, находящихся в каналах когерентного рассеяния.
Уравнение потерь энергии
Как отмечалось в 2, когерентное поле состоит из проходящей волны и волн, отраженных вследствие дифракции на регулярном потенциале кристалла (І.2.І). С учетом потерь энергии электронов из 2.5.14) для когерентного поля нетрудно получить систему уравнений, совпадающую с (І.2.ІЗ), но в которой параметры неупругого рассеяния имеют вид KL-S&?sj(s VF-?-"-w«f-e.-v u
Как следует из (2.6.1), вклад в раскогеренчивание дают не только процессы рассеяния на тепловых флуктуациях потенциала ( \ = о ), но и рассеяние с возбуждение атомных электронных оболочек [I6J. Уравнение для электронов, вышедших из когерентных каналов рассеяния, можно получить из (2.5.14), пренебрегая слагаемыми с +. X X 6. (п + &е - р, р- п - еь) рис ( ). - 55 Согласно (2.6.2) уход частиц из состояний когерентного поля является источником в неоднородном уравнении для некогерентно (неупруго) рассеянного поля.
Пренебрегая торможением электронов в тонком слое кристалла после интегрирования (2.1.16) по импульсам нетрудно получить закон сохранения, аналогичный Ц.2.30) Потери энергии на ионизацию атомов
Если интересоваться энергетическим распределением электронов, возникающим в результате процессов ионизации, то для его вычисления необходима лишь некогерентная часть матрицы плотности S(E,)= \ f Ъ -ц)сс?Л) (2.6.4) поскольку частицы когерентного поля, не испытавшие неупругого рассеяния, дают вклад лишь в упругий пик при Е = . Интегрируя (2.6.2) согласно (2.6.4) можно получить замкнутое уравнение для энергетического спектра электронов после прохождения ими тонкого слоя кристалла і /2XKe(E)+ (E))P 2 e.u - 56 -где
Поскольку быстрые электроны теряют в рассматриваемом тонком слое лишь незначительную часть своей энергии, для решения (2.6.5,) можно воспользоваться приближением [27] малости переданной энергии по сравнению с .
Тогда, переходя в 2.6.5) от суммирования по квантовым числам возбужденных состояний к интегрированию по энергиям возбуждений и пренебрегая зависимостью сечения передачи энергии от скорости налетающего электрона, для распределения по потерянной энергии Д.
можно получить Д со о , (2.6.6) + ZZ.PMW ( (0 + "виИ w(e) - Z Wi (ІГ-Л+Є,Є-Д) S(E-E,) со (д) , ъТееи (її-л) Уравнение 1,2.6.6.), которое имеет вид свертки, удобно решать с помощью преобразования Лапласа по энергетической переменной А - 57 -Решение имеет вид (2.6.7) d(s.) -Jir e=cf(-W(s)(-x)) . W(s) = JcK Co(V) (i -expf-es)) о
Формула (2.6.7) даёт в пренебрежении дифракцией некогерентного фона энергетическое распределение потока быстрых электронов, прошедших по нормали к поверхности расстояние 2=ягГ в глубину монокристалла.
Ориентационная зависимость ионизационных потерь энергии электронов в кристалле
Поскольку в рассматриваемом тонком слое кристалла 2 Q_ происходи т всего несколько неупругих столкновений, выражение (2.6.7) не удаётся аппроксимировать простой аналитической зависимостью, подобно известному распределению Ландау [27]. Однако влияние начальной ориентации пучка на характер ионизационных потерь можно определить с помощью моментов энергетического распределения (2.6.7), в частности, средней энергии, теряемой электронами на
Глубине =» 1/Т Дф = j A A/t A (2.7.1) о Для вычисления (2.7.1) достаточно продифференцировать Лаплас-образ распределения по потерянной энергии v2.6.7) и положить - 58 -S=o , Тогда,используя тождество (1.3.5), нетрудно получить
Как следует из (2.7.2), средние потери энергии, а с ними и всё энергетическое распределение сильно отличаются от случая аморфной среды, если имеют заметную величину недиагональные элементы когерентной системы Ц.2.І), то есть когда возбуждены одно или несколько брэгговских отражений.
Случаю отражения на один вектор обратной решетки соответствует двухволновое приближение динамической теории дифракции (1.3.6) - II.3.8). Подстановка этих выражений в 2.7.2) позволяет получить простое, хотя и громоздкое аналитическое выражение для средней потерянной энергии Д (г) в условиях двухволновой дифракции падающих электронов.
Величиной, характеризующей отличие ионизационных потерь в кристалле от случая аморфной среды (точнее, от случая падения начального потока электронов вдали от плотноупакованных кристаллографических направлений), является относительная разность потерь А С-Ь) - ± Графики зависимости 1.2.7.3) от глубины проникновения в кристалл приведены на рисунках -, 5. Параметры Y00 Уо , Л 0 соответствуют отражению 220) германия и предполагаются вещественными [65J. Рисунок 4 выполнен для начальной энергии электронов 5 кЭв, рис. 5 - 100 кЭв.
Функция взаимной когерентности при рассеянии в аморфной среде
Формула (3.8.5) позволяет найти матрицу плотности в координатном представлении, выразив ее через решение (3.8.12). Величину pfrVr ) часто называют функцией взаимной когерентности [7IJ, и ее нахождение представляет интерес в связи с развитием экспериментальных исследований в области квантовых интерференционных измерений [83, 84-J. Как отмечалось во введении, существующие методы расчета функции взаимной когерентности позволяют найти её лишь в приближении квазиоднородности рассеивающей среды [58,59]
Условие (3.9.1) не выполняется вблизи границ рассеивающей среды, если они не являются достаточно "плавными" по сравнению с длиной свободного пробега. В частности, в задачах рассеяния быстрых заряженных частиц в твердых телах переходной поверхност ный слой имеет толщину, значительно меньшую, чем длина свободного пробега в веществе.
Для анализа взаимной когерентности волнового поля в среде с резкой границей рассмотрим задачу о прохождении быстрыми электронами пластинки аморфного вещества толщиной L с .г при близком к нормальному падении частиц на её поверхность. Согласно граничному условию (3.8.13) W ( "р, р 7, г ; и) не зависит от времени и может быть представлена в виде WCp.f, гд ;+) = &if4f-f)j(jJ a S ) где ось 2 направлена по внутренней нормали к входной поверхности 7ъ Функция j С"р7 ,2 ) удовлетворяет уравнению с граничным условием В 0.9.3) и(_2) = 1 для 0 Z L и обращается в нуль вне пластинки. Поскольку толщина пластинки Ь " , а сечение рассеяния электронов имеет резкий максимум в направлении "вперед", при решении (3.9.3) можно пренебречь отражением частиц от вещества. Для решения (3.9.3) удобно рассмотреть плоскость і 2, % ). Границы пластины при ,2 =0 и S z -L разбивают эту плоскость на девять подобластей, в каждой из которых (3.9.3) имеет различный вид. Функция 4-( ,2,2- ) может быть найдена из условия непрерывности решения на границах раздела подобластей.
Удобно ввести переменную = 2-+ 2 и вести интегрирование вдоль характеристик. Плоскость (2,27) и расположение характеристик приведены на рисунке 6. Как видно из рисунка, в зависимости от величины гі- і/ решение (3.9.3) будет сильно отличаться в областях I r-rZf\ L и 2-fc L . Однако, поскольку 1 г » 1Си = / оо , случай \ ъ-ъ(\ L не представляет физического интереса. Поэтому ниже будут рассматриваться лишь
Если обозначить решение соответствующего (3.9.3) транспортного уравнения с граничным условием (3.9.4) за А (р, П,в) , то -j-([),2,7) можно найти интегрированием вдоль характеристик представляет собой полное сечение рассеяния, а Л(о) есть среднее значение потенциала вещества. Как видно из СЗ.9.6-7), С5.8.9) , 2,) = А(рД 2) (3.9.8) Функцию взаимной когерентности можно выразить через -f(p,2r,2 ) из (3.9.6-7) как
В 58,59 предполагалось, что Pl r ) определяется формулой типа (3.9.9), где вместо --( ,2, стоит А(н,П, ) Однако, как видно из СЗ.9.6-7) существование резкой ио сравнению с длиной свободного пробега в веществе /)(00 ) границы раздела вакуум-среда приводит к тому, что j("p.2. 0 не сводится к функции одной переменной 15 =1t. + %f/ 2. Более того, 4-мЗ,2-,2 ) не является решением транспортного уравнения (транспортное уравнение справедливо лишь на характеристике Z=z/ рис. б), и даже в малоугловом приближении (рп)= (. ) обличается от А(р,П z) наличием экспоненциально быстро спадающего в продольном направлении множителя рО,г ) -f ({3,2,2 ) exf (-2-г Щ ) ІЗ.9.ІО;
Причиной появления такой зависимости является потеря взаимной когерентности волновых функций электронов на расстоянии, превышающем длину свободного пробега (_сп = / i -Отметим, что еще одной причиной ослабления когерентности волнового поля является различный набор фаз лучей, прошедших в веществе различные пути. В ІЗ.9.7) это обстоятельство отражается в виде множителя содержащего среднее значение потенциала вещества. Этот множитель обращается в единицу для (р h) = (Пп) и Да т ненулевой вклад лишь для тех частиц, которые отклонились от первоначального направления движения.
В заключение этого параграфа отметим, что расчет функции взаимной когерентности в задаче об отражении частиц от аморфного вещества при многократном некогерентном рассеивании полностью аналогичен только что проведённому и не вызывает никаких дополнительных трудностей. При этом достаточно изменить направление интегрирования вдоль характеристик на рис. б и учесть условие отсутствия падающего потока при 2, = L Эффекты квантовой интерференции в случае отражения от аморфной среды также описываются формулами іЗ.9.10) - (3.9.11).
Сравнение с экспериментом
Согласно t4.I2.I4), чтобы определить ориентационную зависимость полного выхода Оже-электронов заданной энергии, необходимо вычислить матричные элементы системы (4.12.15) J при li . Для Оже-электронов низких энергий ( 50 эВ) с малой глубиной выхода Х 0.5 нм при близком к нормальному падении первичного пучка на поверхность кристалла обычно выполнено неравенство Тогда решение (4.2.15) можно искать по теории возмущений
Неравенство (4.I3.I) имеет простой смысл - выражение (4.13.2) применимо, когда Оже-электроны выходят с малых глубин образца, где когерентное волновое поле еще мало отличается от падающей плоской волны (обсуждение такой ситуации можно найти в [57]). Б некоторых случаях более широкую область применимости имеет двухволновое приближение, когда вблизи направления П в 4.12.15) учитываются лишь матричные элементы Эо0 , J D » Зо » 3« . Недиагональные элементы в этом случае имеют вид м м г с, I ( А о - F Цю) 4=3 = - v С т7 -—тг- i ; ; ГДЄ CoS = CU С л - ) Как следует из 14.13.3), более точной оценкой пределов применимости борцовского приближения 14.13.2) является я + Х- 2Л 0 -вл) Напимер, для системы плоскостей ail) hi при энергиях первич - 94 -ных электронов Ер = 1500 эВ это неравенство имеет вид У/Соъ У 1,0 нм. Двухволновое приближение хорошо описывает когерентное поле быстрых электронов в кристалле при выполнении условия "слабой связи" [77], которое в рассматриваемом случае имеет вид
Как показывают оценки, (4.13.5) не выполняются для большинства отражений низкого порядка у различных химических элементов. Это требует учета .-. . , трех и более сильных волн. Необходимо отметить, что такой учёт легко провести численными методами с использованием стандартных программ обращения матриц. В то же время двухволновое приближение (4.13.3) пригодно для качественного рассмотрения.
На рисунке 8 приведены экспериментальные [47J и рассчитанные в трехволновом приближении по формулам (4.12.14) - (4.12.15) графики зависимости полного выхода L23VV (63.5 эВ) Оже-элект-ронов из алюминия. Значения фурье-компонент действительной части регулярного потенциала взяты из [іб], мнимой части - из [5б]. Глубина выхода Х предположительно составляла 0,5 нм, tp = 1500 эВ, отношение u(n)/ П »(П) принималось равным единице, R. =1.5.
Как видно из рисунка 8, теоретически рассчитанная величина ориентационных эффектов превышает экспериментальные значения. Однако, по сравнению с [5б], совпадение кривых несколько улучшилось. Для более точного сопоставления теоретических значений с экспериментальными данными необходимо учесть, что в действительности I Г (. )/ Г00 (.П) 1 . В изображенном на рис. 8 случае - 95 (100) (но) (010) т-0 90 ч 8. Ориентационная зависимость полного выхода L VV Оже-электронов с грани ФОІ) At . Полярный угол падения V = 20, азимутальный угол U) отсчитывается от плоскости (100). Ер = 1500 эВ, [X = 0,5 нм. Сплошная линия-эксперимент [47 , пунктирная - расчет по формулам (4.12.14) - (4.12.15) в трехволновом приближении -это отношение составляет примерно 0,8. Для точной оценки \ 1 / I необходимо вычислить элементы 5" -матрицы (А.12.9). До настоящего времени решение подобной задачи найдено лишь в водородоподобной модели [79].
Зависимость величины ориентационных эффектов от энергии Оже-электронов экспериментально изучалась в [55]. На рисунке 9 изображены теоретически рассчитанные профили зависимости полного выхода Оже-электронов при падении начального потока вблизи плоскостей (IIIJ АС для двух значений глубины выхода У = 0.5 нм и У = 2.5 нм. Нетрудно видеть, что ориентационный эффект более сильно выражен во втором случае, что находится в хорошем соответствии с результатами наблюдений. В двухволновом приближении можно получить аналитическое выражение для относительной величины ориентационного эффекта
При выполнении условия (А.ІЗ.4-) контраст (4.13.6) линейно возрастает с увеличением Х . Однако при СХ v Codj/ 2Л 0 разность \їі!; достигает максимального значения, а затем убывает. Для плоскостей ЦП) Д при Ер = 3 кэВ это происходит при Х 1.5 нм. Данный результат показывает некорректность проведенной в [55J линейной интерполяции в частном случае высоких энергий Оже-электронов ( ч 1000 эВ).
