Содержание к диссертации
Введение
1 Метод правил сумм КХД 13
1.1 Теоретическая часть правил сумм 13
1.2 Феноменологическая часть правил сумм 20
1.3 Анализ правил сумм КХД 22
1.4 Правила сумм КХД для константы распада и амплитуды распределения пиона 24
2 Метод правил сумм КХД с нелокальными конденсатами 32
2.1 Нелокальные конденсаты 32
2.1.1 Скалярный и векторный кварковые конденсаты 33
2.1.2 Кварк-глюонный конденсат 36
2.1.3 Четырехкварковый конденсат 38
2.1.4 Глюонный конденсат 39
2.2 Уравнения движения КХД и ограничение на конденсаты 40
2.3 Операторное разложение коррелятора двух векторных токов 42
2.4 Анализ гауссовых моделей 46
3 Амплитуда распределения пиона 53
3.1 Уравнение эволюции АР пиона 53
3.2 Правила сумм КХД с нелокальными конденсатами для АР пиона 55
3.3 Данные CLEO и решеточная КХД 62
4 Электромагнитная структура пиона 66
4.1 Асимптотическое поведение формфактора пиона 66
4.2 Построение правил сумм КХД 67
4.3 Анализ правил сумм КХД 75
Заключение 86
- Феноменологическая часть правил сумм
- Уравнения движения КХД и ограничение на конденсаты
- Данные CLEO и решеточная КХД
- Построение правил сумм КХД
Введение к работе
Квантовая хромодинамика (КХД) зародилась в 1973 г. как калибровочная теория кварковых полей с неабелевой 5/7(3)-группой локальной калибровочной симметрии. Именно, в работах /1, 2/ было показано, что КХД с лагранжианом
Cqcd = -\с%са*"+ J2 #-Д;
q=u,d,b
D^ = дІЛ-ідіаА«, (0.1)
где fabc — структурные константы группы 577(3), ta = |ЛЙ, Ла — матрицы Гелл-Мана, обладает свойством асимптотической свободы, т. е. ее эффективный заряд ("бегущая константа связи"), ab(Q2), при больших передачах импульса Q2 ^$> 1 ГэВ2 логарифмически спадает:
ab(Q2)~ = т. (0.2)
601п
QVA2
Асимптотическая свобода означает, что однопетлевой коэффициент /3-функции, 6о = (1ШС — 2Nf)/3, положителен при iVc = 3 и iV/ = 3, а именно &о = 9- Триумф и признание КХД в качестве теории сильного взаимодействия были связаны в первую очередь с работами /3, 4, 5/,
в которых на основе КХД-теории возмущений были объяснены резуль-
Г 1 т
таты по логарифмическому (~ In Q2/AqCD ) нарушению скейлинга по
переменной Бьеркена хщ в структурных функциях глубоко неупругого ер-рассеяния, полученные в SLAC.
Однако описание адронов как связанных состояний кварков осложнялось тем обстоятельством, что кварки в свободном состоянии экспериментально не наблюдались. Это в конце концов привело к представлению
о пленении (конфайнменте) кварков и глюонов внутри адропов, что для взаимодействия кварка и антикварка означало бесконечное возрастание gg-потенциала на больших расстояниях. Такая картина качественно согласуется с ростом эффективной константы связи as(Q2) при малых Q2: при Q2 —> AqCD эффективный заряд КХД неограниченно растет (полюс Ландау), как видно из (0.2).
Однако из-за такого роста теория возмущений в области больших расстояний (малых Q2) становится неприменимой и для понимания спектроскопии адронов необходимо использовать непертурбативные методы или адекватные модели. В качестве таковых применялись модели мешков, различные составные кварковые модели (нерелятивистские и релятивистские) и эффективные киральные модели. Роль же КХД в анализе адронного спектра сводилась только к определению приближенных флей-ворных симметрии спектра.
Ситуация существенно изменилась в 1979 г. после опубликования цикла работ Шифмана, Вайнштейна и Захарова (ИТЭФ) /6, 7, 8/ по правилам сумм (ПС) КХД и их применению в спектроскопии мезонов. Предложенный ими метод ПС КХД позволял рассчитывать характеристики адронных состояний (массы, распадные константы, магнитные моменты), ничего не говоря о самом процессе связывания кварков в адрон, т. е. обходя проблему конфайнмента, что было продемонстрировано в /7/ для 7Г-, р-, и-, J/ф- и ?7с-мезонов.
Основная идея метода проста: интересующая нас проекция коррелятора двух или более адронных токов определяется двумя способами, а ПС КХД получается в результате их согласования. В первом случае строится операторное разложения коррелятора Поре, а во втором он определяется модельной спектральной плотностью через спектральное представление этого коррелятора Uhadimh, fh)- Эта спектральная плотность содержит искомые параметры адронного спектра. Для корреляторов двух токов такими параметрами будут: массы (т^) и константы
распадов (Д) нижайших состояний (как правило учитывается одно-два состояния), а также параметр порога (s0) с которого начинается описание высших состояний пертурбативной спектральной плотностью ^pert(s) согласно гипотезе о локальной дуальности кварк-адронного описания:
/?had(s) = fh6{S~ л) + Ppert(s) 0(s- S0) .
Из равенства результатов двух подходов получаем ПС КХД
Пьасі(га/иЛ) = Поре,
анализируя которое можно извлекать искомые величины тд и Д, что подробно рассмотрено в первой главе диссертации.
В 1980-ые годы метод ПС КХД был успешно применен практически для всех известных радиально-невозбужденных мезонов. Для работы с барионами потребовалось научиться строить соответствующие токи для барионов. Оказалось возможным рассчитывать магнитные моменты ад-ронов. Обзор различных приложений метода см. в /9/.
Примерно в то же время метод был применен для анализа мезонных амплитуд распределения (АР) /10, 11/. В стандартных ПС КХД вычисление теоретической части Поре осуществляется с использованием локальных конденсатов, получаемых тейлоровским разложением нелокальных конденсатов по координатам полей. При этом ряд обрывается, т. е. пре-небрегается локальными конденсатами высшей размерности d > 6. В результате непертурбативные вклады операторного разложения при изучении АР мезонов tp(x) имеют поведение:
d 6 (х) 4- (с2 + с3 х) 5' (х) + (х —» х) ,
значительно отличающиеся от поведения пертурбативного вклада: х(1 — х). Непертурбативные вклады сосредоточены в концевых точках х — О и х — 1 из-за того, что локальный конденсат не пропускает через себя импульс и как следствие импульс исследуемого мезона будет нести один из его кварков. Одним из недостатков в использовании локальных
конденсатов при вычислении вкладов в ПС КХД для АР мезонов следует признать плохую сбалансированность получающегося ПС /12, 13, 14, 15, 16, 17/.
Рассматриваемая в нашей работе пионная АР является амплитудой перехода 7г(Р) —> и(Рх) + d(P(l — х)) физического пиона с импульсом Р в ud-napy с импульсами хР и (1 — х)Р (здесь х — доля импульса, х є [0,1]), в которой кварк и антикварк находятся на световом конусе, как показано на рис. 0.1. Она определяется согласно
(0 | ф)7"75г*(0) I *(Р)> , - И*Р" [ dx efa<zP> ір^х, д2), (0.3) где /і2 фиксирует точку нормировки. Из-за рассогласованности вкладов
тг(Р)
Рис. 0.1. Физический смысл пионной АР.
ПС для АР пиона оказываются устойчивыми и хорошо сбалансированными только для случая нулевого момента (что соответствует изучению константы распада), а уже для первого нетривиального конформного момента они становятся разбалансированными и генерируют завышенное значение второго момента (^2)^ = 0.66, полученное в работе /10/. Для получения реалистической ж-зависимости непертурбативных вкладов необходимо отсуммировать вклады операторов высшей размерности типа (q(0)D2q(0)}, {q(0)(D2)2q(0)} и т.п., получаемых как тейлоровское разложение (1.10) изначально нелокального конденсата (напр. (q(0)q(z))). Предложенный в работах /12, 13, 15, 18/ для анализа мезонных АР и в' работе /14/ для анализа мезонных ФФ метод избегает тейлоровского разложения и оперирует непосредственно с нелокальными
конденсатами. Это приводит к модифицированной диаграммной технике, включающей в себя новые линии и вершины отвечающие нелокальным конденсатам, что детально рассмотрено во второй главе диссертации. Координатные зависимости нелокальных конденсатов в этом подходе выражаются через изначально неизвестные функции fs, fs, Л (см- (2.2), (2.3) и (2.10)) с помощью (^-представления. Нелокальные конденсаты в локальном пределе должны совпадать с локальным конденсатом, откуда получают единственные достоверные сведения (2.5 и 2.13) об этих функциях. Этих сведений явно недостаточно для определения функции /s> /\л Л- Явный вид этих функций должен браться, вообще говоря, из конкретной модели непертурбативного вакуума КХД, например из ин-стантонной модели, либо из моделирования на решетке. В отсутствии информации о координатных зависимостях кварковых конденсатов было предложено /12, 13, 15, 18/ пользоваться первым нетривиальным приближением, учитывающим лишь конечную ширину пространственного распределения кварков и глюонов в вакууме (2.4), (2.15).
Важно то, что несогласованный выбор этих функций может привести к тому, что будут нарушены такие важные принципы как калибровочная инвариантность и уравнения движения. По этой причине мы исследовали наиболее популярную минимальную модель /19, 20, 21/ (2.43), основанную на предположении о гауссовой зависимости конденсатов от координат полей, и показали /22/, что она приводит к нарушению указанных принципов: нарушены уравнения движения для кварковых полей (2.19) безмассовой КХД и непертурбативная часть коррелятора векторных токов (2.27) непоперечена. Важно отметить, что поскольку мы рассматриваем случай легких мезонов, а именно пионов, мы можем работать в киральном пределе, положив массы кварков равными нулю. Предложенная в диссертационной работе улучшенная модель (2.21) /23/ также основана на гауссовых распределениях, но за счет обобщения модели позволяет точно удовлетворить уравнения движения и минимизировать
непоперечные вклады в коррелятор векторных токов, что продемонстрировано во второй главе. Эта модель была применена для изучения АР пиона в третьей главе, где были получены уточненные конформные моменты пионной амплитуды распределения в новой модели и допустимая область значений гегенбауеровских коэффициентов ач и а4 пионной амплитуды распределения.
В четвертой главе мы рассматриваем электромагнитный форм-фактор (ФФ) пиона в евклидовой области значений квадратов передач импульса (q2 = —Q2 < О, где q — 4-импульс фотона), который, в однопетлевом приближении при асимптотически больших Q2, имеет вид F~er (Q2) = 8ircxs(Q2) fl/Q2- Значение импульса Q2, при котором этот режим должен преобладать, не может быть определено точно. Выполненные оценки показали, что этот переходный масштаб порядка 100 ГэВ2 /26, 29, 25/, а-возможно и ниже - 20 ГэВ2 /24, 75, 76/. Но даже такие малые квадраты передач импульса далеки от возможностей действующих и планируемых экспериментальных установок.
Ситуация на промежуточных значениях передачи импульса 20 ГэВ2 > Q2 > 1 ГэВ2 осложняется тем, что факторизация здесь частично нарушена из-за значительного, так называемого мягкого вклада, который нефакторизуем. Поэтому, необходимо вычислять эту часть пи-онного формфактора используя либо феноменологические модели /26, 27, 28, 29/, либо непертурбативные подходы: метод ПС КХД /33, 34, 14/ или подход локальной кварк-адронной дуальности /30, 31, 32/. Одно из преимуществ подхода трехточечных ПС КХД для формфактора пиона /34, 33/ то, что оно не как не связано с АР пиона, в отличие от подхода факторизации, сокращая таким образом теоретическую неопределенность.
Однако, стандартные ПС имеют серьезный недостаток из-за использования локальных конденсатов: они нестабильны при Q2 > 3 ГэВ2. Причиной тому служит наличие в операторном разложении вкладов, одни
из которых постоянны, а другие растут линейно с увеличением Q2 (Таб. 4.2). Такие вклады неверно описывают непертурбативную составляющую правил сумм. Для более правильного учета непертурбативных вкладов мы использовали минимальную и улучшенную модель нелокальных конденсатов.
К сожалению, первая попытка обобщить подход ПС КХД /14/, используя нелокальные вакуумные конденсаты, неполна, поскольку все еще содержит вклады локального типа. Источником таких вкладов является использовавшаяся специфическая модель для трехточечного кварк-глюон-кваркового нелокального конденсата. В этой модели нелокальный конденсат, описываемый функцией 1Щ(х2,у2, (х — у)'2) (см. (2.10)), является нелокальным лишь по отношению к двум из трех расстояний х2 (между кварком и антикварком), у2 (между антикварком и глюоном) и (х — у)2 (между кварком и глюоном). Например, скалярная функция М\, описывающая тензорную структуру і — 1, в этой модели не зависит от квадрата расстояния между кварком и антикварком х2. Поэтому, полученные в /14/ ПС также обладают недостатками стандартных ПС КХД.
Несмотря на этот недостаток, полученные в рамках этого подхода вклады от нелокальных конденсатов имеют модельно-независимый вид, т.е. полученные выражения для непертурбативных вкладов представлены для произвольных параметрических функций fs, fv и ft (см. (2.7) и (2.10)). Это позволяет нам использовать полученные в /14/ выражения, но уже с применением более точных моделей для кварк-глюонного нелокального конденсата. В четвертой главе получены оценки для пионного формфактора в минимальной и улучшенной моделях, которые представлены в сравнении с экспериментальными данными /35, 36/, решеточными вычислениями /37/, методом голографической КХД /38, 39, 40, 41/ и другими подходами. Научные положения, выносимые на защиту:
1. Показано, что минимальная гауссова модель не удовлетворяет урав-
нениям движения безмассовой КХД и приводит к непоперечности непертурбативного вклада в коррелятор векторных токов.
2. Построена улучшенная гауссова модель нелокальных конденсатов,
ч согласованная как с уравнениями движения, так и с поперечностыо
коррелятора векторных токов.
Произведен расчет области допустимых значений коэффициентов а-2 и <24 гегенбауэровского разложения амплитуды распределения пиона в улучшенной модели.
Вычислен электромагнитный формфактор пиона в пространственно-подобной области квадрата передачи импульса 1 — 10 ГэВ2 в минимальной и улучшенной моделях.
Апробация работы:
Результаты представленные в диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова (ОИЯИ, Дубна), на семинарах кафедры теоретической физики Иркутского государственного университета (ИГУ, Иркутск), на семинаре Европейского центра теоретической физики (ЕСТ*, Трен-то, Италия, декабрь 2006), в Мюнхенском университете им. Людвига и Максимилиана (LMU, Мюнхен, март 2008) и на Международных конференциях: "Рождение, свойства и взаимодействие мезонов" (Краков, Польша,- июнь 2006), "Новые направления в физики высоких энергий" (Ялта, Украина, июнь 2006), "Структура адронов" (Модра-Гармония, Словакия, сентябрь 2007), "Структура адронов и КХД" (Гатчина, Россия, июнь 2008), "Возбужденная КХД" (Закопане, Польша, февраль 2009). Публикации: По материалам диссертации опубликовано 6 работ /22, 23, 42, 43, 44, 45/ в отечественных и зарубежных изданиях.
Феноменологическая часть правил сумм
Приступим к изучению феноменологической части ПС КХД. Исследуемый коррелятор берется в дисперсионном представлении, после чего к нему применяют преобразование Бореля: где спектральная плотность phad(s) = ImII(s)/7r феноменологически насыщается адронными состояниями. Для простоты рассмотрим коррелятор двух векторных токов Jfj,(x) = u(x)jfj,d(x) и J ц(х) = 4(х) ци(х) отвечающих заряженным р±-мезонам. Матричный элемент такого тока определяет константу распада fp физического р±(Р,є)-мезона с поляризацией є и импульсом Р, удовлетворяющими условиям: (Р є) — 0 и (є,є) = -1. Вставляя единицу Ї = Y x{P) \Х(р)){Х(р)\, представленную полным набором состояний, между токами этого коррелятора, мы получим /54/: С учетом соотношения Сохоцкого мнимая часть (1.21), необходимая для вычисления спектральной плотности, примет вид В результате имеем Лоренц-инвариантность требует выполнения условия p(q2) 0. Выписывая все возможные структуры, имеем (0 /м(ж)Х(р)) = [Лрц + В Е{\ е грх с р є — 0 (поэтому є є — —1: в пространстве Минковского может быть только один орт с положительной нормой, именно, р2 = т2 0, значит є є 0 ). Из закона сохранения векторного тока следует Л = 0, а коэффициент 5 = fxTnx, тогда согласно (1.20) получаем что дает нам положительную спектральную плотность описываемую дискретным полным набором состояний X. Таким образом спектральная плотность может быть представлена в виде суммы вкладов основного состояния h и континуума возбужденных состояний, который начинается с порога s = SQ. В предположении Рис. 1.2. Феноменологическая спектральная плотность / (s) в сравнении с экспериментальными данными в векторном канале группы ALEPH /55/. локальной дуальности кваркового и адронного описания вклад от континуума возбужденных состояний может моделироваться свободной спектральной плотностью, описываемой теорией возмущений: Выбор такой модели мотивирован также и экспериментальными данными /55/ для спектральных плотностей, см. рис. 1.2. Предполагая глобальную дуальность кваркового и адронного описаний, мы приравниваем феноменологическую и теоретическую части Фьасі (М2) — ФОРЕ (М2) И как результат получаем следующее ПС Анализ получаемых таким образом ПС КХД связан с выявлением области устойчивости правила сумм (1.29) по М2 подбором соответствующих значений порога s0 и параметров резонанса т\ и Д.
Область устойчивости определяется из требований малости вклада высших резонансов: что дает ограничение М2 М2, и малости вклада конденсатов в операторное разложение: что дает ограничение М2 М2. При определении окна доверия Mi М2 Ml руководствуются тем, чтобы непертурбативные вклады и вклады от высших резонансов не превышали 1/3 от всей величины соответственно левой и правой части ПС. Отсюда и возникает значение погрешности определения физических наблюдаемых в ПС и составляет примерно 10% 100%(1/3)2. Требовать большей точности от ПС неразумно из-за различных модельных ошибок, таких как предположение локальной дуальности для модельного представления вкладов-высших резонансов и приближенного вычисления непертурбативных поправок. Упрощая (1.29) получим Исследуемые физические параметры (в данном случае это тн и Д) не должны зависеть от произвольного борелевского параметра М2, что достигается поиском такого порога SQ, при котором эта зависимость минимальна. Рассмотрим процедуру поиска порога s0 на примере нулевой или известной из других источников массы irih, тогда из правил сумм (1.30) мы имеем константу распада Д как функцию /2 = F(M2,so) ОТ параметров М2 и so. Поиск оптимального so может осуществляться с помощью минимального среднеквадратичного отклонения: a Mf = M i + гЛм, Ам = (Mj - M i)/NM. Функция F(M2,s0) в исследуемой области М2 гладкая, так что NM — 20 вполне достаточно. Наличие минимума x2(so) при некотором оптимальном пороге SQ = SgP говорит о хорошей стабильности ПС, т.е. о согласованности его левой и правой частей. При этом искомый порог должен лежать в промежутке Sppt є (m,m+1) между исследуемомым (rnjj и следущим (m fl+l) резонансами вблизи середины этого интервала SQP (m l + т\+1)/2.
Полученная таким образом константа распада примет вид где 0.1 соответствует 10-процентной ошибки определения непертурба-тивного вкладов и вклада высших состояний, а ошибка x(soP ) связана с согласованностью ПС. Техника правил сумм была подробно рассмотрена также и на точно решаемых квантовомеханических примерах в сравнении с КХД-случаем в /54/, где на игровых моделях подробно рассмотрено выполнение локальной и глобальной дуальностей, а также вопрос поиска доверительного интервала. Правила сумм КХД для константы распада и амплитуды распределения пиона Рассмотрим двухточечное правило сумм для константы распада fn пиона, которое строится на основе коррелятора , двух аксиально-векторных токов Jy&{z) = d(z)jlljr)u{z). Матричный элемент аксиально-векторного тока где 7г(р))—состояние пиона с импульсом р, определяет константу fn распада пиона 7г — ць . При изучении этой величины интересна только тензорная структура, отвечающая Пг-части коррелятора, так как она определяет исследуемый матричный элемент (1.32). Все вклады этого коррелятора равны соответствующим вкладам в коррелятор векторных токов (1.19), за исключением четырехкваркового вклада, у которого меняется знак. Поэтому при описании пиона можно использовать результаты, получаемые для коррелятора векторных токов.
Уравнения движения КХД и ограничение на конденсаты
В первых работах по ПС с нелокальными конденсатами предполагалось, что параметры нелокальности разных конденсатов (Ary, Ау и XqAq) могут различаться /13, 14, 15/. В дальнейшем, для упрощения модели и уменьшения числа параметров был введен единый параметр нелокальности — как для скалярного и векторного НВК (см. (2.4)), так и для кварк-глюон-кварковых (трилокальных) НВК /17, 19, 20/: Ay = XqAq = Xq (см. (2.15)). Получаемую таким образом модель, основанную на параметризациях (2.7) и (2.9) с модельными функциями (2.4 и 2.15) и условием на параметры Ay = XqAq — Xq, мы называем минимальной. Покажем, что эта, наиболее популярная, модель приводит к нарушению условия попе-речности коррелятора векторных токов П (д) и несогласована с уравнениями движения безмассовой КХД. Уравнение Дирака для кваркового поля q(x) имеет вид (Ш/Х7М — wi) ч{х) = 0 отсюда получаем уравнение движения для раз- двинутого кваркового тока g(0)7 ( ) в следующем виде: {idlL - т) д(0)Ъд(х) = - Если произвести усреднение этого операторного уравнения по физическому вакууму КХД, то мы получим такое уравнение для конденсатов Сначала разберемся с левой частью этого соотношения. Подставим в него выражение (2.3) и дельта-анзац (2.4) и перейдем к киральному пределу т = 0: Отсюда сразу видно, что при использовании минимального дельта-анзаца для функций /і и для того, чтобы в (2.21) с обеих сторон была одна и та же экспоненциальная функция, мы должны положить Но для равенства в (2.21) этого явно недостаточно: минимальный анзац генерирует только первое слагаемое в квадратных скобках правой части (2.21), а именно, 3 ехр (Лгс2/4). Чтобы исправить этот недостаток, мы предлагаем вместо (2.22) использовать улучшенный дельта-анзац: Исходя из предположения (2.14), что кварк и антикварк в вакуумном конденсате в определенном смысле взаимозаменяемы, поскольку взаимодействуют с глюоном одинаково, мы получаем дополнительные условия Итак, рассмотренное уравнение движения (2.19) для нелокального тока накладывает условие (2.20а) на векторный кварковый и кварк-глюон-кварковый конденсаты. Минимальная модель (2.22) этому требованию не удовлетворяет, что приводит нас к необходимости расширить эту модель путем введения дополнительных параметров. Так мы "приходим к улучшенной модели (2.24) и условиям на её параметры (2.23), (2.25) и (2.26). Но этих условий явно недостаточно для фиксирования введенных в этой модели параметров.
Дополнительные ограничения могут быть получены из условия поперечности коррелятора векторных токов. 2.3. Операторное разложение коррелятора двух векторных токов Используя минимальную (2.22) и улучшенную (2.24) модели, рассмотрим коррелятор где n — произвольный светоподобный вектор, n — 0, удовлетворяющий nq ф 0. Для сокращения записи аргумент q у U u(q) будем в дальнейшем опускать и писать просто П ,. Этот коррелятор используется при изучении амплитуды распределения р-мезона и его константы распада. Операторное разложение коррелятора двух аксиально-векторных токов, используемого при построении ПС КХД для пиона, тесно связано с операторным разложением этого коррелятора. Очевидно, что коррелятор (2.27) должен обладать поперечностью по отношению к току JJ (x): (/"Ш , = 0. Мы покажем, что это не так и что эта непоперечность дает вклад в проекцию ПцП и , использовавшуюся в ряде работ /12, 13, 15, 18/ при изучении р-мезона и пиона. Отметим, что коррелятор П , зависит от двух векторов q и п, что позволяет его записать в виде разложений по следующим лоренцевым структурам Рис. 2.4. Вклад билокального векторного (ДгуП ,, слева) и кзарк-глюонного-кваркового (АдЛ П , справа) конденсатов в коррелятор П ,. стыми алгебраическими соотношениями Если учесть сохранение векторного тока Jv{x), то quY\. v = 0 и мы получим: или, переписывая через AN, , ijv, Мы будем анализировать функцию ГГ{ , выделяемую проектором n q"/(nq), поскольку именно она может давать искажение коэффициента AN, ответственного за амплитуду распределения ведущего твиста. В 0(as(qq}2)-порядке непертурбативный вклад ДП , в П , генерируется билокальным векторным, кварк-глюон-кварковым (см рис. 2.4) и четырехкварковым конденсатами (см. рис. 2.5): (З.С. обозначает здесь вклад зеркально-сопряженных диаграмм: для рис. 2.4 это будут диаграммы, в которых НВК вставлены не в верхнюю линию, а в нижнюю).
В произвольном случае имеется два четырехквар- ковых вклада (4Qi и 4Q2), один из которых (4Q2) при использовании проекции п пи зануляется (2.40), поэтому в первой главе упоминался лишь ненулевой вклад. Для используемых нами параметризаций вакуумных конденсатов (2.7), (2.12) интересующие нас величины, отвечающие нарушению попе-речности коррелятора, Fi(a1,a2,az,N,M2), Gt = Gt(ai, л2, аз, N, М2) и Яг- = Нг(а\, а2, аз, iV, М2) приведен в Приложении А. Вклад Д4 21П (М2) записан для анзаца (2.4). Кроме вкладов, нарушающих поперечность коррелятора П , нас также интересуют вклады в структуру q q , определяющую функцию Л , СМ. (2.30), которая просто равна сумме двух поперечных функций Uj + П 2. По этой причине мы в дальнейшем будем говорить об этой структуре как о поперечном вкладе Рис. 2.5. Вклады четырехкваркового конденсата (слева A4Qin ,, справа A4Q2n /) в корре- лятор П Он определяется вкладами отдельных диаграмм: где функции $ (аі, аг, «з) = &(скі, аг, аз, ж, М2) и (аь а2, #? Л 2) в явном виде выписаны в Приложении А. Поскольку в поперечную структуру дает ненулевой вклад лишь один из двух кварковых вкладов, положим Сохранение векторного тока требует поперечности по индексу и суммы вкладов векторного двухкваркового, кварк-глюон-кваркового и четырехкваркового конденсатов: Здесь, также как и при анализе правил сумм КХД, мы работаем с боре-лизованными величинами. Поскольку мы изучаем гауссову модель вакуума КХД, основанную на дельта-анзацах (2.4), (2.24), ожидать полного сокращения вкладов конденсатов в непоперечность не приходится: мы заложили гауссов характер пространственных зависимостей нелокальных конденсатов (2.6) и (2.24) извне (нам так удобнее считать), а не получили как следствие КХД-уравнений движения. Поэтому наша задача состоит в выборе таких параметров анзацев, при которых ДП минимален. Более точно, нас интересует минимальность не абсолютных значений всех моментов АП с N — 0,1, 2,..., а их линейных комбинаций, отвечающих конформным моментам A(2Ar)L, которые и анализируются в правилах сумм КХД для АР мезонов.
Данные CLEO и решеточная КХД
Высокоточные экспериментальные данные /58/ группы CLEO по электромагнитному формфактору FT/ n(Q2) пион-фотонного перехода были использованы в ряде работ /73, 74, 75, 77, 51, 56/ для определения амплитуды распределения пиона рп(х). Авторы /56/ использовали ПС на световом конусе /73, 74/ в следующем за ведущим порядке теории возмущений КХД для проверки теоретических неопределенностей в анализе данных CLEO для более надежного извлечения первых нетривиальных коэффициентов Гегенбауэра ач и а4, которые параметризуют отличие АР от её асимптотического выражения ср . Результаты анализа /56/ изображены на рис. 3.5. Сплошные линии на всех рисунках отвечают 2сг-контуру, а штрихованные—lcr-контуру. Три наклоненных заштрихованных прямоугольника представляют ограничения на (а2, О-А) полученные на основе ПС КХД /20/ в минимальной модели с различными значениями параметра нелокальности А2 = 0.4, 0.5, 0.6 ГэВ2 (слева направо). Все величины вычислялись на масштабе //2 = 2.4 ГэВ2 после эволюции в следующем за ведущим порядке. Видно, что данные CLEO предпочитают значения параметра нело- кальности КХД-вакуума Ajj = 0.4 ГэВ2. Из данных представленных на рисунке 3.5(a) также вытекают следующие заключения /56/ (верные даже при 20-процентной неопределенности вклада твиста-4 /43/): АР полученная Черняком-Житницким (ЧЖ) () не входит даже в 4сг-область, а асимптотическая АР () исключена на За-уровне. С другой стороны, большая часть области (наклоненный заштрихованный огурцеподобный четырехугольник с центром К) отвечающей АР БМС, лежит внутри 1а-контура. Имеется также другая возможность, предложенная в /78/, получать ограничения на АР пиона из анализа ПС на световом конусе данных CLEO, используя ограничения, следующие из модели вклада твиста 4, основанной на ренормалонах. Используя этот метод, были получены /57/ ренормалонные ограничения на параметры ао и а±, показанные на рис. 3.6 в виде la-эллипсов (штрихованные контуры) около соответствующей точки лучшей подгонки (о).
Недавно, высокоточные решеточные измерения второго момента (2)тг = /о (?х )2 тт(х) d% АР пиона были опубликованы двумя различными решеточными группами /80, 79, 81/. Обе группы извлекали ИЗ СООТВеТСТВуЮЩИХ Моделирований ГегенбауэрОБСКИЙ Коэффициент 2о, но с различными интервалами ошибок. Замечательно то, что центральное значение ао решеточных измерений /79, 82/, показанных на рис. 3.6 в виде вертикальных полос, очень близко к центральному значению улучшенного «пучка» (4-), тогда как половина «пучка» БМС /20/ (наклоненный четырехугольник на левом панели рис. 3.6) и весь улучшенный «пучок» /22/ (наклоненный четырехугольник на правой панели рис. 3.6) находятся внутри решеточных ограничений. Обе модели имеют согласие со стандартными 1а-ограничениями /74, 56/, основанными на данных CLEO. Улучшенный подход имеет лучшее согласие (на la-уровне) с ре-нормалонным анализом данных CLEO /57/ в сравнении с минимальным подходом, пучок предсказаний которого входит лишь в 2а-эллипс. Более Используя предложенную во второй главе модель нелокального вакуума КХД, мы проанализировали правила сумм КХД для пионной АР и показали, что они приводят к 2-параметрическому "пучку" допустимых моделей для пионной АР с параметрами ог и (ц, показанными на рис. 3.3. Показано, что эти модели хорошо согласуются с результатами обработки независимого правила сумм для обратного момента пионной АР, (ж-1)[1С. Особо отмечаем тот факт, что полученная ранее в минимальной гауссовой модели непертурбативного вакуума КХД модель БМС /20/, показанная на рис. 3.3 символом о, находится внутри нового 2-параметрического "пучка" допустимых моделей. Это говорит о том, что все характерные черты старого "пучка" БМС присущи и новому "пучку". Полученные 2-параметрические "пучки" допустимых моделей для пионной АР находятся в хорошем согласии как с последними решеточными вычислениями /80, 79, 81/, так и с результатом анализа /56, 78/ данных CLEO по формфактору /?7Г_»7 7(С72). Электромагнитные формфакторы адронов, как типичный пример процесса с жестким рассеянием /84, 85, 68, 86, 87, 71/, привлекают внимание с раннего этапа развития КХД, с того момента как стало ясно, что пертурбативный подход в КХД может быть использован и при изучении высокоэнергетических асимптотик эксклюзивных процессов. Формфактор пиона Fn определяется следующим матричным элементом: где JfJ,(x) = euu(a;)7Mw(x) + е d(x),ylld(x) — электромагнитный ток, ІР2 — Pi)2 — Ч2 = —Q 2 — виртуальность фотона, а формфактор пиона нормирован на единицу: (0) = 1. Здесь еи = 2/3 и е = —1/3 — электрические заряды и- и d-кварков. Мы интересуемся пространственно-подобной областью импульсов фотона q2, что соответствует Q2 0.
Поскольку при асимптотически больших Q2 теорема факторизации КХД применима /68/, мы можем представить формфактор пиона через обратный момент (а:-1) масштабно-инвариантной амплитуды распределения пиона /67/ ведущего твиста „-(ж, Q2) (см. (3.4)): В однопетлевом приближении при асимптотически больших Q2 формфактор пиона имеет вид F% {Q2) — 8 тг as(Q2) f2/Q2. Значение импульса Q2, при котором этот режим должен преобладать, не может быть определено точно. Выполненные оценки /24, 25/ показали, что этот переходный масштаб порядка 20 — 100 ГэВ2. Ситуация на промежуточных значениях переданного импульса 20 ГэВ2 Q2 1 ГэВ2 осложняется тем, что факторизация здесь частично нарушена из-за значительного так называемого мягкого вклада, который нефакторизуем. Поэтому необходимо вычислять эту часть пи-онного формфактора, используя либо феноменологические модели /26, 27, 28, 29/, либо непертурбативные подходы, такие как метод ПС КХД /33, 34, 14/ или подход локальной кварк-адронной дуальности /30, 31, 32/. Одним из преимуществ подхода трехточечных ПС КХД для форм-фактора пиона /34, 33/ является его независимость от АР пиона, что уменьшает теоретическую неопределенность. Но стандартные ПС имеют серьезный недостаток: они нестабильны при Q2 3 ГэВ2. Причиной тому служит наличие в операторном разложении членов, одни из которых постоянны, другие растут линейно с увеличением Q2 (Таб. 4.2). Такие вклады неверно описывают непертурбативную составляющую правил сумм. С другой стороны, правила сумм, основанные на локальной дуальности, не имеют конденсатного вклада за счет перехода к пределу М2 — со. По этой причине для определения порога SQ необходимо выйти за рамки самих ПС в отличие от ПС с конденсатами. Порог so извлекают из ПС (основанных на локальной дуальности) для константы распада пиона Д, но это отвечает малым значениям импульса Q2 для формфактора пиона, на что указывает тождество Уорда.
Построение правил сумм КХД
Одним из преимуществ подхода трехточечных ПС КХД для форм-фактора пиона /34, 33/ является его независимость от АР пиона, что уменьшает теоретическую неопределенность. Но стандартные ПС имеют серьезный недостаток: они нестабильны при Q2 3 ГэВ2. Причиной тому служит наличие в операторном разложении членов, одни из которых постоянны, другие растут линейно с увеличением Q2 (Таб. 4.2). Такие вклады неверно описывают непертурбативную составляющую правил сумм. С другой стороны, правила сумм, основанные на локальной дуальности, не имеют конденсатного вклада за счет перехода к пределу М2 — со. По этой причине для определения порога SQ необходимо выйти за рамки самих ПС в отличие от ПС с конденсатами. Порог so извлекают из ПС (основанных на локальной дуальности) для константы распада пиона Д, но это отвечает малым значениям импульса Q2 для формфактора пиона, на что указывает тождество Уорда. Как обычно в ПС КХД используется дисперсионное соотношение, но в данном случае двойное, т.е. по двум импульсам пиона р\ и ро: о о Так же как и для двухточечных ПС, здесь используется преобразование Бореля (1.17), но по двум импульсам входящего и выходящего пиона: Такое преобразование факториально подавляет вклады от конденсатов высших размерностей, удаляет неявно выписанные полиномиальные вы-читательные вклады дисперсионного соотношения (4.5) и подавляет вклад от спектральной плотности при больших значениях s\ и s2, т.е. подавляет вклад высших резонансов: что позволяет более точно изучать вклад основного состояния, используя следующее модельное представление для спектральной плотности: Такая модель получается путем прокладываний двумя „единицами Ї = г)(г между токами в Т-произведении трех токов в (4.3). Нижайшим состоянием является интересующий нас пион. Используя соотношения (4.1) и (1.34), получим следующее соотношение для этого вклада При взятии проекции (4.4) мы получим пионный вклад в модельную спектральную плотность (4.8). Вклад же от высших состояний, используя предположение о локальной дуальности, моделируется пертурбатив-ной спектральной плотностью рз начиная с некоторого порога so".
Итак, левая феноменологическая часть ПС для формфактора пиона представима функцией Фьаа(Ф2, М2, so) (4.7) и зависит от модельного параметра SQ, а правая — теоретическая часть есть сумма пертурбатив-ного (Фрегь (4.7)) и непертурбативного (ФПопрегО вкладов операторного разложения коррелятора (4.3). Приравнивая теоретическую и феноменологическую части, мы получим следующее ПС: Непертурбативный вклад Фпопрег в изучаемый коррелятор (4.3) представим суммой Фпопреі = Ф з + Ф(дд) глюонного и кваркового вкладов. Кварковая часть представляется вкладами от четырехкваркового 4(3 (2.16), билокального векторного Ф2у (2.3) и кварк-глюон-кваркового Ф? (2.12) конденсатов: На рис. 4.3 и 4.4 приведены диаграммы, отвечающие соответственно, пертуроативным и непертурбативным вкладам в теоретическую часть ПС. Полученное ПС (4.10) перепишем непосредственно для формфактора пиона Рис. 4.3. Диаграммы, отвечающие ведущему пертурбативному вкладу /63, 30/ (а) и следующим за ведущим вкладам /88/ (б,в) в коррелятор (4.3). Рис. 4.4. Диаграммы, отвечающие непертурбативным вкладам /30, 63, 14/ в ПС КХД, см. (4.11) Для каждого подкласса диаграмм показана она типичная диаграмма. Полный набор диаграмм включает в себя также зеркально сопряженные диаграммы (для подклассов 4Q и qAq) и диаграммы с различными вставками глюонных линий (подкласс G). с пертурбативной трехточечной спектральной плотностью была вычислена в начале 80-х /63, 30/, в то время как явное выражение спектральной плотности в следующем за ведущим порядке Дрз (si,S2,Q2) было получено совсем недавно /88/ и имеет достаточно сложный вид, чтобы выписывать его явно. Следуя аргументам, представленным в /32, 24/, в нашем исследовании мы используем однопетлевую аналитическую константу связи Ширкова-Соловцова /89/ с однопетлевым коэффициентом / -функции bo — 9 и масштабным параметром AQCD = 300 МэВ. Непертурбативные вклады Фс и Ф в случае использования локальных конденсатов хорошо известны /30, 63/ и имеют простой вид Стандартный подход ПС /30, 63/ для формфактора пиона основан именно на этих локальных выражениях, имеющих неверное поведение при больших Q2, Как мы видим из (4.15), кварковый вклад содержит как линейно растущий, так и постоянный вклады, тогда как глюонный вклад совсем не зависит от импульса Q2. В тоже время, первое слагаемое правой части (4.11), т.е. пертурбативный вклад в ПС, имеет обратно-степенное поведение sl/QA, SQM2/Q4 или M4/Q4 при больших Q2. По этой причине ПС теряют свою стабильность уже при Q2 3 ГэВ2. Тот факт, что конденсатные вклады в ПС для формфактора являются константами или даже растут с Q2, удивителен, поскольку отвечающие им диаграммы должны давать вклады, убывающие с ростом Q2. Напомним, что диаграммы, дающие конденсатные вклады, отличны от обычных пертурбативных диаграмм Фейнмана.
Наиболеее простой вклад, вклад от кваркового конденсата, получается заменой кваркого пропагатора (T(q(z)q(O))) на кварковый конденсат ((0)(/(0)). В результате, вместо 5 2-зависимого вклада мы имеем постоянный вклад. Чтобы получить -зависимость необходимо вычислять вклады от операторов высшей размерности типа (q(0)D2q(0)), (q(Q)(D2)2q(0)) и т.д., получаемых как тейлоровское разложение изначально нелокального конденсата {q(0)q(z)), т.е. непертурбативной части кваркового пропагатора. Полный конденсатный вклад убывает с ростом Q2. В то время как каждый по отдельности вклад стандартного операторного разложения имеет структуру (Q2/M2)n. Следовательно, для получения осмысленного результата необходимо отсуммировать весь тейлоровский ряд. Используемый нами метод избегает тейлоровского разложения и оперирует непосредственно с нелокальными конденсатами, см. /14/. В этом методе самый простой член из кварковых вкладов Ф (, ), возникающий за счет векторного конденсата Мц (2.3), примет вид: Как и ожидалось, этот вклад исчезает при больших значениях импульса Q2. Более того, чем больше значение параметра нелокальности А2, тем быстрее этот вклад уменьшается с ростом Q2. Величина Q2 при котором функция ДФу начинает падать, Q2, сильно зависит, от величины М2: для значения А2 = 0.4 ГэВ2 это Q2 = 2,6, и 13 ГэВ2 для М2 = 1,1.5, и 2 ГэВ2, соответственно. Четырехкварковый Ф и кварк-глюон-кварковый ФдАц вклады достаточно сложны и мы не приводим их. К сожалению, первая попытка обобщить подход ПС КХД /14/ используя нелокальные вакуумные конденсаты неполна, поскольку все еще содержит вклады локального типа. Источником таких вкладов является использовавшаяся специфическая модель (4.16) для трехточечного кварк-глюон-кваркового нелокального конденсата. В этой модели нелокальный кондесат, описываемый функцией Мг-(ж2,у2, (х — у)2) (см. (2.10)), является нелокальным лишь по отношению к двум из трех расстояний х2, у2, (х — у)2, см. рис. 4.5. Авторы этого подхода используют следующие параметрические функции (Л = Л /2).
Похожие диссертации на Учет нелокальности вакуумных конденсатов в правилах сумм КХД для легких мезонов
