Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Радиально жёсткая система отсчёта 16
1.1. Обзор литературы, посвящённой неинерциальным системам отсчёта 17
1.2. Современные представления об основах специальной теории относительности 26
1.3. Метрика радиально жёсткой неинерциальной системы отсчёта . 28
1.4. Условие общей форминвариантности метрики 31
1.5. Справедливость условия общей форминвариантности для классической механики 34
1.6. Примеры преобразований, удовлетворяющих условию форминва-риантности метрики 37
1.7. Условие общей форминвариантности в его применении к стереометрии и времени 39
Выводы по главе 41
Глава 2. Специальное преобразование в глобальную, радиально жёсткую неинерциальную систему отсчёта 43
Введение 43
2.1. Специальное преобразование в неинерциальную радиально жёсткую систему отсчёта 43
2.2. Область применения специального преобразования 46
2.3. Единственность специального преобразования 48
2.4. Зависимость скорости точки пространства неинерциальной системы от векторного параметра. Его физический смысл 49
Выводы по главе 52
Глава 3. Специальное преобразование в локальную жёсткую систему отсчёта 53
Введение 53
3.1. Приближение жёсткого тела 54
3.2. Параметр преобразования как функция лабораторного времени и собственных координат 59
3.3. Нелинейное сокращение линейки системы координат 63
3.3.1. Одна из причин нелинейного лоренцевского сокращения 67
3.3.2. Некоторые возражения против формулы нелинейного сокращения 69
3.4. Рассинхронизация координатных часов 72
3.5. Рассинхронизация часов измеряющих физическое время с течением лабораторного времени 73
3.6. Справедливость обратного преобразования ЛМН 76
Выводы по главе 81
Глава 4. Общее преобразование в глобальную, радиально жёсткую неинерциальную систему отсчёта 85
Введение 85
4.1. Общее преобразование в радиально жёсткую неинерциальную систему отсчёта. Требования к матрице вращения 85
4.2. Общее преобразование при совершении буста. Угол поворота Виг-нера 88
4.3. Общее преобразование в 4-мерном виде. Тетрадный смысл характеристик неинерциальной системы отсчёта 93
4.4. Дифференциальные уравнения для обратной задачи релятивистской кинематики 99
4.5. Схема решения обратной задачи кинематики 104
4.6. Пример применения уравнений обратной задачи кинематики 105
Выводы по главе 106
Основные результаты и выводы 109
Список сокращений 112
Благодарность 113
Список работ, опубликованных автором по теме диссертации 114
Список использованных источников 116
- Примеры преобразований, удовлетворяющих условию форминва-риантности метрики
- Зависимость скорости точки пространства неинерциальной системы от векторного параметра. Его физический смысл
- Некоторые возражения против формулы нелинейного сокращения
- Общее преобразование в радиально жёсткую неинерциальную систему отсчёта. Требования к матрице вращения
Введение к работе
Актуальность темы. Преобразование Лоренца и преобразование в данную неинерциальную систему отсчёта из лабораторной инерциальной системы отличаются друг от друга. Этот вывод можно сделать в результате исследований Мёллера [6], который нашёл преобразование в произвольную жёсткую систему отсчёта двигающуюся прямолинейно. Продолжателем идей Мёллера стал Нэлсон. В первой своей работе [7] он предложил замечательное преобразование, которое индуцировало метрику как раз отвечающую неинер-циальной системе отсчёта сохраняющей радиальные собственные размеры, причём такая система отсчёта обладала собственной прецессией Томаса. Такое преобразование в честь заслуг его первооткрывателей назовём специальным преобразованием Лоренца-Мёллера-Нэлсона (далее ЛМН). Наиболее общее преобразование в систему отсчёта двигающуюся произвольно предложил также Нэлсон [8]. Данное преобразование является фундаментальной основой всей релятивистской кинематики жёстких тел в специальной теории относительности (далее СТО).
Рассматривая общее преобразование ЛМН первый вопрос, который встаёт перед исследователями - это вопрос о физическом смысле параметров входящих в это преобразование. Актуальность данного вопроса для теории очевидна.
Специальное преобразование применимо для любой радиально жёсткой неинерциальной системы отсчёта, начало которой двигается произвольно. Следовательно существует вопрос о том, в какой степени специальное преобразование ЛМН относится к ускоренному движению реального протяжённого тела изготовленного из упругого материала и другие связанные с этим вопросы. Для специальной теории относительности данные эффекты имеют принципиальное значение. Однако анализ ситуации в области исследования на базе литературных источников и научно-исследовательских работ позволяет сделать заключение об их неизученности.
Наконец ещё одним актуальным теоретическим вопросом непосредственно следующим из общего преобразования ЛМН является решение важной обратной задачи релятивистской кинематики, т. е. задачи восстановления параметров движения жёсткой неинерциальной системы отсчёта по её известным характеристикам (т. е. функциям собственного ускорения и угловой скорости) как функциям собственного времени начала отсчёта.
Степень разработанности темы. Предшествующими работами имеющими непосредственное отношение к исследуемой проблеме связи между лабораторной системой и жёсткой неинерциальной системой отсчёта явля-3
ются классические монографии О. С. Иваницкой [1] , К. Мёллера [2] и Ч. Мизнера, К. Торна, Дж. Уилера [3]. Однако в книге О. С. Иваницкой [1] рассматривались в основном локальные преобразования Лоренца зависящие от координат. В учебнике же [2] в п.п. 4.14 и 8.15 уже была рассмотрена жёсткая система отсчёта с произвольно движущимся началом. Однако при этом предполагалось, что в данной системе отсчёта отсутствует собственное вращение. В отличие от монографии Мёллера в учебнике [3] в главе 6 части II произвольное собственное вращение тетрады связанной с началом отсчёта жёсткой системы рассматривалось. К сожалению не было в явном виде выписано преобразование в произвольную жёсткую систему отсчёта и вопросы связанные, например, с физическим смыслом параметров входящих в это преобразование оказались неизученными. Разумеется осталось неисследованным и обратное преобразование и его физические следствия.
Цель работы. Главная цель данного исследования состоит в выяснении пределов возможности в СТО моделировать реальным жёстким телом поступательно движущуюся неинерциальную систему отсчёта при её движении с меняющимся собственным ускорением, обосновать и разработать концепцию ускоренного движения реального протяжённого жёсткого тела в специальной теории относительности, а также в поиске основных физических следствий специального преобразования в жёсткую неинерциальную систему отсчёта и характерные особенности отличающие его от обычного преобразования Лоренца. Ещё одна цель диссертации заключается в определении движения неинерциальной системы отсчёта, имеющей собственное вращение под действием внешней силы, заданной в собственной системе.
Научная новизна.
-
Выяснен физический смысл параметров наиболее общего преобразования Лоренца - Мёллера - Нэлсона. То есть приводятся новые требования на матрицу вращения, которая в отличие от оригинального преобразования понимается как матрица собственного вращения и установлена зависимость векторного параметра специального преобразования ЛМН входящего в специальное преобразование от собственных координат.
-
Найдено условие при котором неинерциальное движущееся тело в собственной системе отсчёта является жёстким и впервые приводится решение поставленной задачи нахождения обратного специального преобразования методом разложения в ряд по степеням собственных координат. Таким образом найдена зависимость радиус-вектора и времени в жёсткой неинерциальной системе отсчёта , которая двигается поступательно
от координат и времени лабораторной системы . Это позволило впервые найти прямые физические следствия этого преобразования, т.е.
а) величину нелинейной рассинхронизации в системе координатных
часов этой системы отсчёта, предварительно синхронизированных в ла
бораторной системе ;
б) нелинейное кинематическое сокращение в лабораторной системе ли
неек системы ;
в) неоднородное поле скоростей точек системы координат радиально-
жёсткой неинерциальной системы отсчёта, двигающейся относительно
лабораторной системы отсчёта поступательно;
г) величину рассинхронизации физических часов системы отсчёта в
лабораторной системе . Для прямолинейно движущейся и невращаю-
щейся неинерциальной системы найдена простая формула описывающая
разность показаний в лабораторной системе двух часов, измеряющих
физическое время и закреплённых в различных положениях в неинер-
циальной системе отсчёта.
3. Поставлена задача восстановления параметров общего преобразования в жёсткую систему отсчёта по известным характеристикам как функциям собственного времени и впервые сформулированы дифференциальные уравнения её решающие.
Теоретическая и практическая значимость работы. Сформулированное обратное специальное преобразование Лоренца - Мёллера - Нэлсона пригодно для реальных жёстких систем отсчёта при условии скорости изменения собственного ускорения много меньшей чем отношение произведения скорости звука в материале системы отсчёта на собственое ускорение к размеру данной системы отсчёта. Это преобразование может использоваться в углублённых учебных курсах по теории относительности. Не исключено, что данное преобразование будет использоваться в различных разделах теории электромагнитного поля. Сформулированные дифференциальные уравнения обратной задачи релятивистской кинематики с последующим учётом гравитационного поля будут использоваться в космонавтике.
Методология и метод исследования. Теоретической и методологической основой проведённого исследования послужили труды отечественных и зарубежных физиков-релятивистов. Методом изучения жёстких систем отсчёта является глобальное голономное преобразование.
Положения, выносимые на защиту:
-
Жёсткое вращение системы отсчёта подчиняющейся общему преобразованию ЛМН происходит не в лабораторной системе, а является собственным. Требования к матрице вращения имеют определённый вид. Смысл векторного параметра входящего в специальное преобразование Лоренца-Мёллера-Нэлсона заключется в том, что он является скоростью точек невращающейся системы отсчёта сопутствующей той системе отсчёта, движение которой описывается данным специальным преобразованием ЛМН. Поле скоростей точек пространства жёсткой неинерци-альной системы отсчёта двигающейся поступательно является неоднородным и имеет определённый вид.
-
Точное специальное преобразование ЛМН применимо только для глобальной радиально жёсткой системы отсчёта, т. е. такой системы, все точки которой двигаются принудительно заданным образом, чтобы их собственный радиус-вектор оставался постоянным. Разработанное же приближённое преобразование ЛМН пригодно для реальной, почти жёсткой системы отсчёта, только одна точка которой двигается заданным образом, а остальные предполагаются свободными. Рассинхрониза-ция координатных часов, физических часов и длина ускоренного тела в лабораторной системе отсчёта зависят от собственного ускорения начала отсчёта. Разность показаний двух физических часов закреплённых на прямолинейно движущемся ускоренном жёстком теле не зависит от конкретного уравнения его движения, а только от скорости и ускорения его начала в начальный и конечный момент времени.
-
Найденные уравнения обратной задачи кинематики решают задачу восстановления параметров движения жёсткой системы отсчёта по её известным собственным характеристикам.
Степень достоверности результатов. Все математические вычисления проведённые в диссертации являются достоверными. Достоверность физических результатов диссертации обеспечивается использованием в качестве его основы фундаментальных положений специальной теории относительности, в том числе работ ведущих зарубежных и отечественных ученых в исследуемой области, качественным согласием полученных эффектов с основными эффектами специальной теории относительности. Обоснованность результатов, выдвинутых автором обеспечена совпадением результатов кинематического и общерелятивистского подходов к ходу физического времени в радиально жёсткой неинерциальной системе отсчёта, а также непротиворечивостью выводов теории и принципиальным соответствием основным результатам других исследователей.
Апробация результатов. Различные разделы диссертации докладывались на XX Международной летней школе-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики ’Волга-2007’ (XX Петровские чтения) Казань 22.06.2007 - 03.07.2007; научной конференции "Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation"; на XIX международной научно-практической конференции "Инновации в науке"22 апреля 2013 г.-Новосибирск; на IV международной научно-практической конференции. 14 мая 2013 г."Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии"; на II Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Шаг в будущее: теоретические и прикладные исследования современной науки" 26-27 ноября 2013 г., г. Сакт-Петербург; на XIII международной научно-практической конференции «Естественные и математические науки в современном мире», 9 декабря 2013 г.-Новосибирск; на международной научно-практической Интернет-конференции "Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте 2013", 17 - 26 декабря 2013 г.; на XIII Международной научно-практической конференции «Современное состояние естественных и технических наук 16.12.2013 г. , г. Москва; и на семинарах в Башкирском государственном педагогическом университете и в Челябинском государственном университете.
Личный вклад. Основные результаты диссертации опубликованы в ведущих российских научных журналах. Вошедшие в диссертацию результаты опубликованы в работах [А1]–[А13].
Результаты относящиеся к матрице вращения в общем преобразовании Лоренца-Мёллера-Нэлсона и к доказательству форминвариантности общего преобразования Лоренца-Мёллера-Нэлсона получены в соавторстве с Н.Г. Миграновым. Остальной материал, представленный в диссертации, получен, обработан и проанализирован автором лично.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём работы содержит 120 страниц текста, включая список использованной литературы, содержащий 59 ссылок.
Примеры преобразований, удовлетворяющих условию форминва-риантности метрики
Рассмотрим примеры преобразований, при которых форма метрики (1.17), (1.18), (1.19) остаётся инвариантной [А4]. Первым примером сохранения метрики является классическое преобразование перехода во вращающуюся систему отсчёта (1.30). Действительно, нетрудно показать, что в релятивистском случае это классическое преобразование не изменяется. Подставляя преобразование (1.30) в интервал ускоренной и вращающейся системы отсчёта (1.15) и используя формулы (1.31), (1.32), (1.34) можно заметить, что в результате интервал остаётся точно такого же вида (1.15), но с новыми собственным ускорением (1.36) и угловой скоростью (1.37).
В качестве другого примера использования данного условия найдём преобразование сдвига на вектор b в ускоренной системе отсчёта (Q = 0). Предположим, что оно является обычной заменой вида г = г + Ь. Подставив её в (1.12) и сделав очевидные преобразования можно свести интервал к виду
Определяемая отсюда метрика является частным случаем (1.17)-(1.19) и, следовательно, сделанное предположение справедливо. Заодно здесь было получено преобразование времени
Из (1.38) видно, что при сдвиге в ускоренной системе отсчёта на вектор b , собственное ускорение системы отсчёта изменилось и стало
Данная формула давно известна [16, c. 206].
Ещё одним примером преобразования координат и времени, которое сохраняет вид интервала (1.15) является специальное преобразование Лоренца - Мёллера - Нэлсона переводящее инерциальную систему отсчёта S(T, R) в ускоренную и вращающуюся систему s(t,r). Об этом преобразовании подробно будет идти речь в последующих главах.
Наконец ещё одной иллюстрацией преобразования между системами отсчёта является предлагаемое преобразование сдвига на вектор Ь(&, 0, 0) относительно первоначальной равномерно вращающейся с угловой скоростью Q вдоль оси Z системы отсчёта с декартовыми координатами S(T, X, У, Z)
Для пространственное преобразование (1.41)-(1.43) переходит в классическое преобразование сдвига
Уравнение (1.44) установлено Х. Николичем [50]. При преобразовании (1.41)-(1.44) собственное ускорение W новой системы отсчёта s(t,x,y,z) есть
Существуют такие физические законы (например, принцип наименьшего укороченного действия, принцип Ферма), в математическую формулировку которых входит не метрический тензор пространства - времени, а метрический тензор пространства в неинерциальной системе отсчёта. В связи с этим приведём другую эквивалентную формулировку условия общей форминвариантности метрики специально для стационарных жёстких систем отсчёта, отличающихся друг от друга только положением их начала отсчёта в системе координат одной из них.
Поскольку метрический тензор при сдвиге остаётся форминвариант-ным, форминвариантной должна быть и комбинация этих коэффициентов, задающих 3-мерную метрику пространства и “метрику” физического времени. Если бы математическая форма метрики пространства при сдвиге изменялась, то следовательно существовал бы геометрический способ выбрать из множества различных стационарных систем отсчёта обладающих одинаковыми характеристиками некоторую абсолютную систему отсчёта, относительно которой метрика пространства наиболее проста. Эта возможность является, конечно, невероятной. Аналогично этому, математическая форма элемента физического времени, мгновенно сопутствующей данной точке локальной инерциальной системы отсчёта, также не изменяется, иначе существовал бы способ выбрать абсолютную систему отсчёта с помощью часов. Таким образом, при сдвиге из произвольной системы отсчёта в систему отсчёта отличающейся от первоначальной лишь её постоянным положением в системе координат первоначальной системы, метрики пространства и физического времени (1.22), (1.23) в новой системе отсчёта в новой декартовой системе координат не изменятся (т.е. будут форминвариантны). Изменяются лишь собственные характеристики системы отсчёта, числовое же значение и математическая форма элемента расстояния и физического времени должны остаться неизменными
Примером использования условия общей форминвариантности в форме (1.25) является (как показано в [А4]) уже приведённое выше полное преобразование сдвига из равномерно вращающейся системы отсчёта (1.41)-(1.44), а в форме (1.49) - укороченное преобразование (т.е. только его пространственная часть) (1.41)-(1.43). Собственные характеристики новой системы отсчёта при сдвиге могут быть получены не только из принципа общей форминвариантности в форме (1.25) но и из факта инвариантности форм (1.22), (1.23). К примеру, во вращающейся системе отсчёта (W = 0) элемент длины есть
Зависимость скорости точки пространства неинерциальной системы от векторного параметра. Его физический смысл
Продифференцировав (2.1) и (2.2) и учитывая формулы (2.11)-(2.13)
Заметим, что в формулах (2.24) и (2.25) величина us + Сіт х г является скоростью Uk точки в сопутствующей системе s новой невращающейся системы отсчёта к, оси которой в каждый момент времени совпадают с осями s. Тогда эти формулы упрощаются и имеют вид
Отсюда очевидно, что для того, чтобы точки системы координат к в этой системе отсчёта покоились (щ = 0), необходимо, чтобы относительно инерциальной системы отсчёта S они двигались со скоростью U = v. Таким образом v в специальном преобразовании ЛМН есть скорость в лабораторной системе S точек системы координат к, которая не имеет собственного вращения и оси которой, в данный момент времени, сопутствуют и сонаправлены осям системы S.
Возможно и другое понимание функции v. Из (2.24) видно, что для того, чтобы точки 3-пространства системы s покоились относительно её системы координат (us = 0) необходимо, чтобы они двигались относительно S не со скоростью U = v, а со скоростью U = Us
Раскладывая выражение (2.28) по степеням г в первом приближении, получим
В частном случае прямолинейного движения системы отсчёта s (Сіт = 0) из (2.28), (2.29) видно, что в этом случае точки её системы координат движутся в ту же сторону со скоростью Us = v. Это конечно не означает, что скорость всех точек системы координат s будет одинаковой и равна скорости V, с которой движется начало отсчёта s. Уравнения (2.28), (2.29) наводят на мысль, что с точки зрения наблюдателя в S система координат неинерциальной системы s двигается неоднородно и, значит, не будет жёсткой. Оказывается, что скорость v сама зависит от г, поэтому окончательно, неоднородность движения точек s будет доказана в следующей главе. Таким образом, другое понимание функции v в инерциальной системе отсчёта заключается в том, что через эту функцию определяется поле скоростей Us точек системы отсчёта s относительно S в данный момент Т, как показано в [А5]. Справедливость специального преобразования Лоренца - Мёллера -Нэлсона является следствием условия форминвариантности метрики ради-ально жёсткой неинерциальной системы отсчёта. Это преобразование описывает переход из лабораторной инерциальной системы отсчёта в такую ра-диально жёсткую неинерциальную систему отсчёта , оси которой двигаются, условно говоря, "параллельно"осям лабораторной системы отсчёта. Эта неинерциальная система отсчёта обладает собственным вращением, которое называется собственной прецессией Томаса.
Данное преобразование выполняется для произвольной, всегда дифференцируемой функции v(). Это означает, что в том случае, если непрерывная функция параметра преобразования в некоторый момент времени испытывает излом, что соответствует разрыву первого рода его первой производной, специальное преобразование ЛМН будет неприменимо.
Специальное преобразование ЛМН является единственным, при условии его соответствия неголономному дифференциальному преобразованию Лоренца, если неинерциальное движение стало равномерным.
Физический смысл векторного параметра v в специальном преобразовании ЛМН заключается в том, что этот параметр является скоростью системы отсчёта, которая сопутствует системе , но, в отличие от неё, не испытывает собственного вращения (т.е. подвергается прецессии Ферми-Уолкера). Скорость какой-либо точки системы определённым образом зависит от векторного параметра v и её координаты r. Таким образом, точки такой системы отсчёта в лабораторной системе совершают самосогласованное движение, своё для каждой точки. Данное движение является таким, чтобы собственные размеры неинерциальной системы в процессе движения оставались постоянными.
Некоторые возражения против формулы нелинейного сокращения
Представление о неоднородности движения точек ускоренного жёсткого стержня обычно наталкивается на возражение, что эта неоднородность скоростей несовместима с жёсткостью стержня [А1], [А8]. Другими словами, если перейти в мгновенно сопутствующую инерциальную систему отсчета, двигающуюся со скоростью задней точки, то, казалось бы, скорость передней точки стержня в этой системе отсчёта будет отлична от нуля. Создаётся впечатление, что в том случае, если допустить неоднородность скоростей - жёсткая система координат ускоренной системы отсчёта будет отсутствовать. На самом деле это возражение является предрассудком основанном на распространении закона вычитания скоростей справедливом для инерциальных систем отсчёта на неинерциальные системы. Рассмотрим, например, равноускоренную систему отсчёта. В этом случае, если перейти в инерциальную систему отсчета, относительно которой прямолинейно движущаяся равноускоренная система двигается с начальной скоростью равной нулю, то из (2.15) следует, что = 0. Подставляя в (2.16), (2.17) значение = 0 можно заметить, что в этот начальный момент времени, когда начала отсчёта у систем совпадают, совпадает также и их системы координат = . Это и означает, что система координат ускоренной системы отсчёта является жёсткой в собственной системе отсчёта.
Ещё одним возражением против возможности влияния ускорения на длину тела является раннее (1907 г.) рассуждение А. Эйнштейна. В статье «О принципе относительности и его следствиях» он писал [30, с. 106]: «...Как влияет это ускорение [] на форму тела в системе отсчета? Если подобное влияние существует, оно будет заключаться либо в равномерном изменении размеров в направлении ускорения, либо же в двух перпендикулярных ускорению направлениях, ибо другие результаты исключаются по соображениям симметрии. Каждое обусловленное ускорением сокращение (если оно вообще существует) должно быть чётной функцией []; следовательно, им можно пренебречь, если ограничиться случаем, когда [] так мало, что можно отбросить члены второй и более высоких степеней по []. Поскольку в дальнейшем мы ограничимся этим случаем, влияние ускорения на размеры тела можно не учитывать.» Однако возражение учитывающее симметрию несостоятельно, поскольку на самом деле никакой симметрии здесь нет. Два жёстких тела, начальные точки которых имеют одинаковую скорость , но разные по знаку ускорения (относительно лабораторной ИСО) находятся в неодинаковом состоянии. Скорость переднего конца у разгоняющегося тела больше, а у замедляющегося тела меньше чем , как это видно из формулы (3.24).
Иногда против формулы для длины (3.41) или её частного случая (3.47) выдвигается следующее возражение. Когда на стержень прекращает действовать сила, он начинает двигаться инерциально. Это означает, что в этот момент, (когда ускорение исчезает), его длина должна рассчитываться по формуле Лоренца. Это обстоятельство противоречит формуле (3.47). Другими словами, ускоренный стержень собственной длиной = 2 при исчезновении ускоряющей силы должен мгновенно уменьшить свою длину к величине определяемой формулой Лоренца, т.е. даваемой лишь первым членом уравнения (3.47), в котором под скоростью надо понимать скорость центра стержня. В момент исчезновения ускорения положение переднего конца стержня должно резко измениться, что конечно невозможно. Данное возражение можно обратить и рассуждать следующим образом. Поскольку в момент прекращения действия силы концы стержня не могут испытывать скачок, в стержне должен происходить переходной волновой процесс. Этот процесс со скоростью звука в материале стержня распространяется от центра масс стержня к его концам. В результате при этом передний конец с координатой спустя некоторое время запаздывания наберёт дополнительную скорость, а задний конец с координатой - (первоначально имеющий более высокую скорость, чем центр стержня) замедлится на ту же величину. Таким образом, для резкого изменения собственного ускорения формула (3.47) неприменима. Это хорошо согласуется с (3.1) и с тем, что идеально твёрдых тел не существует. Другое объяснение этого парадокса основывается на том, что в момент, когда собственное ускорение начала отсчёта ускоренной системы отсчёта скачком исчезает, происходит разрывный переход метрики Мёллера (1.12) к метрике инерциальной системы отсчёта. Такой разрывный переход невозможен, следовательно, обязан существовать некий переходной процесс. Различие рассматриваемых в лабораторной системе отсчёта ускоренного и инерциального стержней показывает неэквивалентность ускоренной и сопутствующей инерциальной систем отсчёта. Однако, с точки зрения мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта, она (в отношении измерения длин) мгновенно эквивалентна ускоренной системе отсчёта. Таким образом, понятие жёсткости является относительным. Ускоренный стержень, будучи жёстким в собственной системе отсчёта относительно лабораторной инерци-альной системы отсчёта является уже нежёстким в том смысле, что с течением времени его длина в ней не сохраняется.
Общее преобразование в радиально жёсткую неинерциальную систему отсчёта. Требования к матрице вращения
Во второй и третьей главах диссертации было рассмотрено преобразование для поступательного движения неинерциальной системы отсчёта. В главе 4 исследуются вопросы, касающиеся преобразования в глобальную, радиаль-но жёсткую неинерциальную систему отсчёта, которая относительно лабораторной системы может двигаться произвольно. Сначала в п. 4.1 будут даны начальные сведения о преобразовании в произвольную радиально жёсткую, неинерциальную систему отсчёта и будут установлены формулы касающиеся матрицы вращения входящей в общее преобразование ЛМН. Затем, в п. 4.2 рассмотрено вращение Вигнера и показана форминвариантность общего преобразования после совершения буста. Далее в этой же главе рассматривается 4-мерная формулировка общего преобразования ЛМН и выяснен тетрадный смысл собственных характеристик системы отсчёта. В п. 4.4 выводятся дифференциальные уравнения обратной задачи релятивистской кинематики, решающие задачу определения движения произвольной радиально жёсткой неинерциальной системы отсчёта. В последующих параграфах приводится схема решения этой задачи и простой пример использования данных уравнений.Из данного уравнения (4.7) мы видим, что коэффициенты avl у Нэлсона зависят не только от угловой скорости ujf,/K(t) относительно осей ускоренной и вращающейся системы отсчёта, но также и от скорости орбитального движения (второй член в правой части (4.7)). Однако 3 степени свободы твёрдого тела отвечающие за вращение являются независимыми от 3 степеней свободы отвечающих за поступательное движение. Поэтому в произвольной системе отсчёта угловые координаты отвечающие за собственное вращение не могут зависеть от компонент орбитальной скорости V [А11], [А12]. Следовательно уравнения (4.3) являются неверными. Напротив, уравнения (1.31), (1.32), (1.35) являются правильными уравнениями, которым должна удовлетворять собственная матрица вращения [А11], [А12], [А4].
Возникает вопрос: почему же Нелсон считал их верными? Видимо под коэффициентами avl Нелсон понимал (хотя и не говорил явным образом) матрицу вращения в лабораторной системе отсчёта. Напротив, под avl необходимо понимать матрицу собственного вращения.
Итак, общее преобразование ЛМН производится в 2 шага. На первом шаге производится переход в поступательно движущуюся систему отсчёта (специальное преобразование ЛМН), а на втором шаге производится переход во вращающуюся систему отсчёта с матрицей вращения аРа. Собственное ускорение есть таким образом композиция формул (2.7) и (1.36), т.е.
Условимся, что неинерциальная жёсткая система s : {t,r) движется с параметром преобразования v «без поворота» относительно некоторой инер-циальной системы отсчёта S : (Т, R) (это означает, что в общем преобразовании ЛМН а = 5 ) и совершим переход из системы отсчёта S в движущуюся с постоянной скоростью и относительно неё инерциальную систему отсчёта S : (T ,R ). Найдём математическую форму преобразования связывающего систему s и новую систему отсчёта S , которую можно принять за лабораторную.
Координаты и время в системах отсчёта S, S связаны обычным преобразованием Лоренца
Таким образом, при переходе из лабораторной инерциальной системы отсчёта в другую инерциальную систему двигающуюся со скоростью u «без поворота», система , которая двигалась «без поворота» относительно , уже относительно будет двигаться «с поворотом» [А13]. Величина угла поворота равна (4.38)-(4.40). При этом специальное преобразование ЛМН (2.1), (2.2) переходит в общее преобразование (4.1), (4.2) с параметрами преобразования (4.20) и (4.41). Общее же преобразование ЛМН (4.1), (4.2) с первоначальной матрицей вращения при переходе в другую систему отсчёта перейдёт также в общее преобразование (т.е. будет форминвариантно), но с новым векторным параметром v равной (4.20) и новой матрицей вращения равной
