Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Инварианты бшшнейшх' преобразований дифференциалы ных систем 16
I. Билинейные преобразования и их свойства 16
2. Вид инвариантов бирациональных преобразований дифференциальных систем 29
3..Получение некоторых инвариантов билинейных преобразований 37
4. Применение полученных инвариантов для выделения дифференциальных систем, эквивалентных относительно билинейных преобразований 50
ГЛАВА II. Редукция дифференциальных систем при помощи бирациональных преобразований 56
5. Редукция двумерных дифференциальных систем с; полиномиальной правой частью при помощи били нейного преобразования 56
6. Триангуляция двумерных дифференциальных сис тем при помощи билинейного преобразования 79
7. Дробно-линеиные преобразования и их свойства 95
8. Триангуляция дифференциальных систем при по мощи дробно-линейного преобразования 106
9. Влияние бирациональных преобразований на асим птотические свойства дифференциальных систем 136
Литература
- Вид инвариантов бирациональных преобразований дифференциальных систем
- Применение полученных инвариантов для выделения дифференциальных систем, эквивалентных относительно билинейных преобразований
- Триангуляция двумерных дифференциальных сис тем при помощи билинейного преобразования
- Триангуляция дифференциальных систем при по мощи дробно-линейного преобразования
Вид инвариантов бирациональных преобразований дифференциальных систем
Отсюда еще раз следует, что является необходимым и достаточным условием для того, чтобы преобразование (1.23) было невырожденным в своей области определения, т.е. вне множества нулей многочлена Rl J) .
В 9 как- следствие из формулы для функционального опреде -лителя рационального преобразования получим, что для преобразования (1.5) при любом 71 имеем и1 Т-Г =-АІ )ГЛ (1.25) 2. Вид инвариантов бирациональных преобразоканий дифференциальных систем Определение 2.1: Будем говорить, что системы а/-=Р {Х),4,= Д,-/ (2.1) и Р ИД,..-, (2.2) с рациональными правыми частями бирационально эквивалентны, если существует бирациональная замена переменных СК =ХЦ)у преобразующая систему (2.1) в (2.2).
Определение 2.2: Функцию 1 (О) от коэффициентов С системы (2.1) будем называть инвариантом системы (2.1) при группе бирациональных преобразований Ц, , если существует такая функция Я(Qt) , зависящая только от элементов группы, что имеет место тождество I(S) = X(fy)I(C) (2.3) при всех (ЬЄ (Я и любых правых частях системы (2.l). Здесь G -коэффициенты преобразованной системы (2.2).
В дальнейшем будем считать, что 7t=2» . Установим связь между правыми частями систем (2.1) и (2.2), пользуясь тензорной записью. Из равенств (2.1) получаем Вводим антисимметрические тензоры %\ , v » следующим образом: eM V Очевидно, что S-jytfJ —— дь » S тА,= 1ь Д9-1196» отметим следующие равенства: ь г К Я (2-е) Из равенства (2.4"), пользуясь (,2.5), для правой части системы (2.2І находим где в правой части на месте Z0 стоит X—ЭСЛЧ). В случае определенного в предыдущем параграфе билинейного преобразования (і.23) имеем р 0 -- С Rt 1 г » fy4 Р с»). (2.8) Воспользуясь формулами (1.24), получаем Заметим, что многочлены (2.9) однородны второй степени относительно U . При этих обозначениях формулы (2.8) принимают вид Р у)=-Д Н tytu" « (2.Ю)
Заметим, что если г , Р многочлены, то г , Р являются, вообще говоря, рациональными функциями. Покажем это на примере билинейного преобразования. Для этого представим многочлены в виде суммы однородных слагаемых: Заметим, что траектории систем (2.2) и $ J), =1Д, (2.12) совпадают /с точностью до направления движения/ вне множества нулей многочлена RlN) , в частности, соответствующие этим системам уравнения одинаковы. Чтобы ограничиться рассмотрением систем с полиномиальными правыми частями, будем, отождествлять системы (2.2) и І2.І2). Допустим, далее, что Т Р Л .13) где K(N) - многочлен. Будем еще отождествлять системы (2.2) /или (2.12)/ и і СУ/4» 4 » 3 = Р (?»=4Д. (2.14)
Траектории систем (2.12) и (2.14) совпадают вне множества нулей многочлена КЫ) Эти соображения приводят к следующим определениям.
Определение 2.3: Будем говорить, что системы (2.12) и (2.14) с рациональными /в частности, полиномиальными/ правыми частями геометрически эквивалентны, если
Определение 2.4: Будем говорить, что системы (2.1) и (2.12) с рациональными /в частности,; полиномиальными/ правыми частями Ы -эквивалентны в обобщенном смысле, если существует преобразование 0.6 t переводящее (2.1) в некоторую систему (2.2), которая геометрически эквивалентна системе (2.12).
Легко проверить, что Ы.-эквивалентность в обобщенном смысле есть отношение эквивалентности.
Будем искать только такие инварианты системы (2.1) при группе бирациональных преобразований Ц, для которых соотношения вида (2.3) выполняются и для систем, Q, -эквивалентных в обобщенном смысле. Тогда, в частности, должно выполняться тождество Кс )=Ж)1(С ), (2.15) где С , О суть коэффициенты соответственно систем (2.12) и (2.14), связанных между собой раввнствами (2.13), а постоянная ЯЛ К) зависит только от многочлена 1\Ы). Пусть где только конечное число коэффициентов Сд у , Сдд,у не равняет ся 0, так что г , Р суть многочлены. Будем шзкать инва риант L в виде формального многочлена бесконечного числа пере менных Gjfr-y . Если возьмем то находим, что 1(G) должен быть однородным многочленом какой-то степени «& . Пусть "Э&—1 .
Применение полученных инвариантов для выделения дифференциальных систем, эквивалентных относительно билинейных преобразований
В данном параграфе, как и дальше, за исключением лишь 9, не будем пользоваться тензорными обозначениями. В частности, всегда будем снабжать переменные только нижними индексами и не будем опускать символ суммирования.
Воспользуемся найденными в прежнем параграфе соотношениями для установления билинейной эквивалентности /или неэквивалентности/ систем 1= хг и (4.1) (.4.2) Точнее, хотим выяснить, существует ли преобразование вида преобразующее систему (4.1) в систему, геометрически эквивалентную системе (4.2). Для систем (4.1) и (4.2) имеем Отсюда видно, что вторая система имеет интегральные лучи
Траектории системы (4.1) являются окружностями с центром в 0. Допустим, что системы (4.1) и (4.2) билинейно эквивалентны в обобщенном смысле. Тогда должно выполняться тождество (3.13), которое в данном случае имеет вид
Выражая X,, , Х через гг% согласно (4.3)/здесь ol , ft , Y , S и RlN/j i) подлежат определению/, находим, что
Если бы _Ц не допускал представления в виде произведения двух многочленов второй степени, то можно было сразу сказать, что системы (4.1) и (4.2) не эквивалентны. Однако в данном случае это не так. Имея в виду, что Kfy/ j) есть многочлен второй степени с действительными коэффициентами и что коэффициенты при Ч, и к во втором множителе левой части (4.4) положительны, находим
Тогда преобразование (4.3), возможно осуществляющее" эквивалентность систем (4Л") и (4.2), должно иметь вид где \7вЕ0, %Ь и /. - 1- действительные параметры.
В общем случае надо было вычислить JLe , 1 , Хе 1 , -подставить выражения (4.5) в равенства (3.24) и (3.34) и проверить, обращаются ли они в тождества при некотором выборе параметров 6 , А . Однако в данном случае-правые части систем (4.1) и (4.2) однородны и ІлрІзГІв—І-21 0 , поэтому тождества (3.24) и (3.34) удовлетворяются тривиальным образом.
В нашем случае непосредственно проверяется, что для всех V , \ преобразование (4.5) приводит систему (4.1) к виду следовательно, системы (4.1) и (4.2) эквивалентны.
Заметим, что преобразование (4.5) есть произведение инволюции вида (З.б), вращения, растяжения с коэффициентом Я и еще и отражения, если в равенствах (4.5) берем верхний знак. Все эти преобразования, кроме инволюции, сохраняют фазовый портрет системы (4.1). Поэтому при построении фазового портрета системы (4.2) ограничимся случаем, когда преобразование (4.5) есть инволюция \ : Щ VyW (4.7.) переводящая систему (4.1) в систему (4.6) со знаком— в правой части.
Преобразование (4.7) определено везде вне множества т.е. его область определения состоит из четырех углов, получающихся при пересечении прямых 4 -1LV3 2. Притом преобразование (4.7) отображает углы _L и взаимно однозначно в себя и отображает взаимно однозначно угол I в! /Рис. I.I/. Дуги - 53 -любой окружности с центром в 0, находящиеся в углу I , И , НЕ или JV , переводятся в неограниченные дуги, находящиеся соответственно в углу I , Ж , Ш или II . Нарис. I.I (в) изображены траектории системы (1.6) с точностью до направления движения, причем в точках множества N правая часть (1.6) не определена. Вне множества N траектории систем (1.2) и (1.6) совпадают с точностью до направления движения, а лучи /41=1 —VT , )гФ-0 , являются траекториями системы (1.2). Итак, на рис. 1.1() изображены траектории системы (1.2)/с учетом направления движения/, а начало координат есть особая точка типа седло. Рис. I.I
Рассмотрим теперь пример неоднородных систем (4.8) и (4.9) Для этих двух систем получаем Видно, что система (4.9) имеет те же интегральные лучи - - 54 - фО , как и система (4.2). Траектории системы (4.8) являются окружностями с центром в (0,-1).
Тождество (3.13) принимает вид
Отсюда получается, что преобразование (4.3),, возможно осуществляющее эквивалентность систем (4.8) и (4.9), должно иметь вид X t-rn: 7 4=..іЛ-л 4л) т.е. оно есть либо преобразование (4.7), либо произведение преобразования (4.7) и отражения относительно оси ординат. Далее, проще всего не проверять тождества (3.24) и (3.34), а непосредственно подставить выражения (4.10) в систему (4.8). Получаем tyH (4. II) т.е. системы (4.8) и (4.9) эквивалентны. Так как отражение относительно оси ординат не меняет фазовый портрет системы (4.8), то можем считать, что преобразование (4.7) осуществляет эту эквивалентность. Так как особая точка (0,-1) системы (4.8) типа центр не содержится в множестве М , то она переходит в особую точку (0.,- ) системы (4.II) типа центр и все окружности с цен-, тром в ((?-,— Л) и непересекающие множества N переходят в замкнутые траектории системы (4.II).
Триангуляция двумерных дифференциальных сис тем при помощи билинейного преобразования
Пусть теперь Ь ФАэд Оказывается, что в этом случае фазовый портрет относится к типу [(h). Пусть теперь ІЛвд бм—0 . Тогда из второго равенства (5.58) получаем Aj A O . Если Ai0—0 , то система (5.39) геометрически эквивалентна линейной системе и этот случай не представляет интереса. Итак, пусть Д -О Система (5.39) имеет вид t (5.62) Аао +А0 1 Согласно условию (5.58) 1 п поі огРІ) . При этом, если L\f\ Д - -R — О» то система (5.62) геометрически эквивалентна линейной системе. В интересующем нас случае положим A Aoi IW1 =Г 0 . Выбираем Т 0т тО п оэ "JJ — &02/ " так чт0 ы второе равенство (5.57) удовлетворялось, Hj—-1} fc. = 07 8- . Преобразование (5.2 ) имеет вид -.-- -=: —-- . = 17 т.е. такой же, как и (5.59), и приводит систему (5.62) к виду - _-4АмХ іЧЕ,згГ)а - 4 4 ид Х2Г 5Ь т.е. к такому же, как (5.60). Поэтому фазовый портрет системы (5.62) выглядит так же, как и в рассмотренном выше случае г/ Г(6 S)r0, следовательно і«-Я . Этот случай получается из в/, поменяя местами і]А и о . Необходимым усло вием является (5.63) д/ Г(оЦЯ) =: ( ( )-0, следовательно Л10-Яа Г Сис" тема (5.46") геометрически эквивалентна системе вида (5.39), где A - jX M) В!и=15гіА,», (5.64) Как и выше, отсюда получаем необходимое условие (5.42). Случай е/ rlft jHlUAJO-O рассматривается аналогичным образом. В этих двух случаях билинейным преобразованием можно привести систему (5.39) либо к виду (5.41), либо к системе, геометрически эквивалентной линейной системе (5.45).
Отсюда получается
Следовательно, система (.5.39) билинейно эквивалентна в обобщенном смысле системе вида (5.41), т.е.. удовлетворяет условию (5.42) Доказана Теорема 5.2: Пусть система (5.39) удовлетворяет условию (5.40). Если выполнено одно из условий (5.42), (5.49), (5.55), (5.58), (5.62), то систему (5.39) можно при помощи билинейного преобразования привести к системе, геометрически эквивалентную системе вида (5.45).
Уточним, по какому признаку полученные выше фазовые портреты были отнесены к одному из типов ((Ь) - (т) . В первых, у фазовых портретов одного типа число инвариантньк прямых то же самое. Далее, известно /см. книгу В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [63, с. 48]/, что все траектории, которые могут наблюдаться в достаточно малой окрестности неустойчивой особой точки, могут быть разделены на три класса: 1. Параболические- одним концом входящие в особую точку, другим- выходящие за границу окрестности. 2. Гиперболические или седловые- в обе стороны выходящие за границу области. 3. Эллиптические- обоими концами входящие в особую точку.
Эти же названия присваиваются областям, заполненным траек ториями того или иного сорта.
Видно, что каждый из типов ( Х) - 1т) характеризуется числом инвариантных прямых и видом областей, на которые плоскость разбивается этими прямыми, причем эллиптические" области имеют наиболее простой вид /см. рис. 2.1, 2.7/.
Пусть теперь РздЧ-їадф-О Напомним, что преобразованная система (5.3") в данном случае имеет вид где (5.66) - 78 -a
Система (5.65) является системой с полиномиальной второй степени правой частью тогда и только тогда, когда многочлен КЫ) делит одновременно ,2,(4) и fvbty . Нак вытекает;.из; представления 15.66), для того, чтобы "fvjlN) и &Ч) делились на Кы) , в случае D—f) —Т СфО необходимо и достаточно, чтобы фИ) делилось на RN) , и только достаточно, если О—О.
Допустим, что фЫ) делится на RH) , т.е.
Здесь предполагается, что если какой-либо знаменатель равен О, то и соответствующий числитель равен 0. Система (5.65) имеет вид /отбрасывая множитель —Д / т.е, АІО »» oi. являются коэффициентами многочленов мгУ) » f W » следовательно они определены равенствами (5.19) -(5.24) и должны удовлетворять необходимому условию (5.42). Пусть это условие выполнено. Тогда определяем ,7)., как выше и сЦ/З 07 О так, чтобы ДфО После этого находим П,0 и 1 . - 79 -Далее, воспользовавшись равенствами (5.67), получаем A01=-r(6,S), Bb,=J iJ.,M b). Это есть система вида (5.44"), из которой находим Ь М &fcp .. Дказана Теорема 5.3: Систему вида (5.68) можно привести к виду % - 0, ,+0 + Ру , fr=4, (5.69) при помощи билинейного преобразования (5.2), если выполнено условие (5.42).
Система 15.68) имеет особую точку 10 0) и множество N преобразования (5.2) является для нее инвариантным. Далее, система І5.69) имеет, вообще говоря, одну особую точку, не совпадающую с началом координат. Если эта особая точка находится вне множества (у , то ей соответствует особая точка того же типа системы І5.68) вне множества N и других особых точек вне N система (5.68) не имеет. Если особая точка системы (5.69) принадлежит множеству у , то система (5.68) не имеет особых точек вне: множества
Триангуляция дифференциальных систем при по мощи дробно-линейного преобразования
Обратно, любому проективному преобразованию вида (7.7) соответствует дробно-линеиное преобразование вида (7.5). Преобразование вида (7.7) невырождено тогда и только тогда, когда
В этом случае соответствующее дробно-линейное преобразование (7.5") также будем называть невырожденным. Матрица преобразования 17.7), соответственно І7.5), определена неоднозначно. Если А есть матрица преобразования 17.5} или (7.7), такой является и Л А , где Л О есть произвольное действительное или комплексное число, причем соответствующие определители: будут Л и X Д. Поэтому можно считать, что Д=4 в комплексном случае и Д і1 в действительном случае. Невырожденные преобразования вида (7.7) или (7.5") образуют группу, изоморфную oL lQ/l в комплексном и 5L .Лил) !»—W в действительном случае. Здесь Е - единичная hMrD -мерная матрица. В D\ или (D невырожденное преобразование (7.5) определено и обратимо везде вне гиперплоскости TV ХАьял+Ь=0. Это будет видно также из формулы - 98 которая доказана в работе (.70, с. б] в виде отдельной леммы. Идеей ее доказательства я обязан В. Георгиеву. Аналогичная идея будет использована при доказательстве леммы 9.1, из которой формула (7.8) получается в качестве следствия. ко в (С
Исследование влияния дробно-линейного преобразования на поведение решений двумерных комплексных дифференциальных систем. Пусть система (7.2) приводится к виду (7.3) при помощи некоторого преобразования вида (7.9). Тогда она должна иметь вид
Отсюда видно, что ЬЦ , Ы, являются, вообще говоря, рациональными функциями, и правая часть системы (7.2) определена везде за исключением разве лишь гиперплоскости (7.ТО).
Все решения системы (7.3) определены для всех В COOT - 100 -ветствии с формулами (7.4). Если траектория системы (7.3) не пересекает гиперплоскости ( 7.12), то соответствующая траектория системы (7.13) также определена для всех А/ . В противном случае одной траектории системы (7.3) соответствуют несколко траекторий системы (7.13). В частности, замкнутой траектории системы (7.3) соответствует замкнутая траектория системы (7.13) тогда и только тогда, когда траектория системы (7.3) не пересекает гиперплоскости (7.12), а ограниченной траектории системы (7.3) соответствует ограниченная траектория системы (7.13) тогда и только тогда, когда траектория системы (7.3) находится на положительном расстоянии от гиперплоскости (7.12).
Обратно, пусть V10)= 1 ,10)/wyo)) есть точка вне гиперплоскости (7.10) и ftf"(t) есть решение системы (7.13), проходящее через эту точку. Пусть 2.(0) есть образ точки ІоГіО) при отображении (7.9) и .() есть решение системы (7.3), проходящее через эту точку. Тогда образ траектории при преобразовании 7.9) будет подмножеством траектории В(АУ) . Так как точки гиперплоскости (.7.10) не имеют образов при отображении (7.9), то отсюда следует, что никакая траектория системы (7.13), начинающаяся вне гиперплоскости (7.10), не может ее пересекать, даже если правая часть системы (7.13) определена и в точках этой гиперплоскости. Итак, если правая часть системы (7.13) определена везде, то (7.10) является инвариантной плоскостью для этой системы.
Для более подробного исследования влияния преобразования V?.9l на поведение решений дифференциальных систем ограничимся рассмотрением случая, когда степень многочлена 4(2.) не превосходит первой, т.е. +(2)—Cj22+С0 . Тогда система (7.3) имеет вид В этом случае правая часть системы (7.13} полиномиальна и (7.10) есть инвариантная плоскость для системы (7.13).
Заметим, что произведение дробно-линеиного и линейного преобразований есть дробно-линейное преобразование. Поэтому будем считать, что система (7.14") приведена к возможно более простому виду при помощи линейного преобразования. При интегрировании системы (7.14) различаются следующие случаи: а/ МфМФО Тогда можно считать, что Ц— 0osl/ . Решения системы (7.14) даются формулами 2.,=2.,10)/ , zt=alo)eN (7.15) Существуют две инвариантные ПЛОСКОСТИ 2- =0, (7.16 1 jr= п . Плоскость (7.І64) /соответственно (7.16)/ состоит из периодических решений тогда и только тогда, когда N /соответственно М/ мнимое, т.е. лМ& IR /соответственно
Вне (7.16,,} и (7.163) дляі,МФКилиЛ,М$]К все траектории неограничены. Если A/M A/W IR » то все траектории вне плоскостей (7.16,,), (7.16 ) находятся на поверхностях торов
