Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основы релятивистской лаграниевой динамики системы частиц 36
1. Трехмерное описание системы частщ в произвольной форме релятивистской динамики 33
2. Представление группы преобразований пространства Минковского в произвольной форме динамики 46
3. Группа инвариантности и группа стабильности формы динамики 56
4. Классификация форм релятивистской динамики 59
5. Симметрии лагранкева описания систем частщ 77
6. Условия пуанкаре-инвариантности лагранжева описания 88
7. Законы сохранения 101
Глава 2. Интегралы действия типа фоккера и лагранжева релятивистская механика 107
8. Одновременная форма интегралов действия типа Фоккера 109
9. Симметрии в одновременной форме интегралов действия типа Фоккера 116
10. Теоретико-полевая интерпретация лагранжианов прямых взаимодействий 120
11. Законы сохранения в формализме ЙДФ 129
12. Интегралы действия типа Фоккера в произвольной форме лагранжевой динамики 134
Глава 3. Связь лагранжева формализма с ньютоновым и гамильтоновым описанием 141
13. Пуанкаре-инвариантность в ньютоновом и гамильтоновом формализмах . 143
14. Связь лагранжевой и предиктивной механики 154
15. Гамильтонизация лагранжевых уравнений движения 162
16. Канонические переменные 163
17. Связь между условиями симметрии в лаграниевом и гамильтоноЕом формализмах 172
18. О неточечных преобразованиях в лагранжевом формализме . 178
Глава 4. Квазирелятишстскрш приближения 187
19. Приближенная лоренц-инвариантность 189
20. Разложения по С~ в мгновенной форме лагранжевой динамики А 192
21. Потенциалы взаимодействия в первом и втором квазирелятивистском приближениях 201
22. Уравнения движения и законы сохранения 216
23. Квазирелятивистские гамильтонианы прямых межчастичных взаимодействий 230
24. Квазирелятивистские переменные центра масс типа Якоби 246
25. Стандартные лагранжианы во втором квази релятивистском приближении 258
Глава 5. Квазиредятивистские системы частщ с электромагнитным и гравитационным взаимодействием 263
26. Тензорные взаимодействия в квазирелятивистских приближениях 265
27. Система точечных зарядов 268
28. Релятивистские поправки к классической теории дипольного излучения 273
29. Система частиц во внешнем электромагнитном поле 277
30. Система гравитирующих тел 286
Приложение
- Представление группы преобразований пространства Минковского в произвольной форме динамики
- Симметрии в одновременной форме интегралов действия типа Фоккера
- Связь между условиями симметрии в лаграниевом и гамильтоноЕом формализмах
- Потенциалы взаимодействия в первом и втором квазирелятивистском приближениях
Введение к работе
В современной теоретической физике все более важную роль играет использование понятий и методов релятивистской механики (классической и квантовой) - как в качестве необходимого элемента в сравнительно новых областях знания (физика высоких энергий, астрофизика и т.п.), так и для уточнения и развития существующих моделей в тех областях, где преимущественно использовались нерелятивистские концепции (небесная механика, строение атомов и ядер, статистическая физика).
Исторически утверждение в науке релятивистских идей было связано в основном с успехами в изучении одночаетичних процессов в сочетании с теоретико-полевыми представлениями. Предысторией экспериментальных исследований в этом направлении можно считать выполненные еще в 1897 г. опыты Кауфмана по изучению поведения /Ь -лучей в электромагнитных полях (см., например, [зо] ), указавшие на отклонения траекторий быстрых электронов от предсказаний ньютоновой механики. Созданная Эйнштейном в 1905 г. классическая релятивистская механика точечного тела, движущегося в заданном внешнем поле (см., например, [і4б] ) служила и продолжает служить теоретической основой для расчетов, конструирования и эксплуатации самых разнообразных приборов и установок вплоть до современного арсенала ускорителей. Знаменитое уравнение Дирака для электрона (1928 г.), объясняющее и предсказывающее множество тонких эффектов в строении простейших атомных систем, продемонстрировало возможность и эффективность объединения двух фундаментальных направлений физики XX века: специальной теории относительности и квантовой механики.
Релятивистская задача одного тела и сегодня является актуальной темой исследований - и в качестве практически полезной модели (одночастичное приближение) при анализе свойств различных СЛОЕНЫХ систем (от кварковых моделей адронов [106,80,406] по зонную теорию полупроводников ГіЗІІ ), и в плане все более глубокого изучения явлений, связанных с поведением релятивистской частицы во внешних полях (см., например, [156,23J ). Интенсивно исследуются также обобщения уравнения Дирака для электрона в электромагнитном поле на случай частиц с другими спинами и взаимодействиями. Симметрийные свойства подобных уравнений связаны с неприводимыми представлениями группы Пуанкаре [494,223,201,202,326, 327,185,205] .
Однако решение кардинальной проблемы современной физики -объяснение наблюдаемых явлений путем изучения структуры материи и описание происходящих в ней процессов на основе некоторых "первых принципов", относящихся к простейшим структурным элементам и взаимодействиям между ними - требует принципиально иного - многочастичного - подхода.
В нерелятивистской физике эта программа может осуществляться двумя путями: в рамках механических или полевых представлений. Они глубоко отличаются исходными предпосылками, однако в нереляти-вистокой области приводят к тождественным результатам (см., например, [зі, 129] ). В механике системы частиц, основанной на концепции дальнодействия (мгновенного действия на расстоянии), понятием поля пользуются только в тех случаях, когда (при описании незамкнутых механических систем) поле выступает как самостоятельный физический объект (заданное внешнее поле или поле излучения). Нерелятивистское механическое (классическое и квантовое) описание замкнутых систем естественным образом согласуется во всех своих формализмах с требованием инвариантности относительно группы Галилея (см., например, [l28,98J ), базирующимся на ньютоновском представлении об абсолютном пространстве-времени.
Ситуация в теории многочастичных систем существенно изменялась с возникновением специальной теории относительности (СТО). Из принципа причинности СТО, запрещающего причинно-следственную связь между событиями, разделенными пространственно-подобными интервалами, следует конечность скорости распространения взаимодействий. На этой основе сформировалось убеждение, что взаимодействия в системах частиц могут быть описаны только на основе теоретико-полевых представлений, исходящих из локальности элементарного акта взаимодействия частшщ и поля и непрерывного распространения поля в пространстве-времени (см., например, [l20] с.64 ).
Это убеждение укреплялось благодаря замечательным достижениям релятивистской теории классических и квантованных полей - построению теории электромагнитного излучения [l29J и, особенно, успехам квантовой электродинамики, аппарат которой, развитый в работах Томонага, Швингера, Фейнмана, Дайсона, Бете и Солпитера (см. [іЗб] ), Н.її .Боголюбова и О.С.Парасюка [21,144] и других, позволяет рассчитывать тончайшие эффекты в системах заряженных частиц [б, 13,22,б] .
Вместе с тем развитие релятивистской теории поля обнаруживает существенные трудности как технического, так и принципиального характера. Не говоря уже о хорошо известной проблеме расходимостей (даже в классической [l20,73J , но особенно в квантовой теории), получившей относительно удовлетворительное (по крайней мере с физической точки зрения) решение в результате создания последовательной схемы перенормировок [2I,I44,22j , теория поля оказалась плохо приспособленной к описанию замкнутых систем взаимодействующих частиц. Даже последовательный вывод уравнений движения частиц в рамках полевого подхода представляет довольно сложную и трудоемкую задачу 337,343,234,I00j7a их решение хотя бы для двух тел выходит за пределы возможностей современной математики [474,297, 499,232] . В квантовой электродинамике задача о двухчастичных связанных состояниях, рассматриваемая на основе известного уравнения Бете-Солпитера ( [l35J , с.334), связана со значительными трудностями принципиального и вычислительного характера [420,486, 151] . В еще большей степени это относится к релятивистским теоретико-полевым расчетам связанных состояний кварков и адронов 383,309,II4J . К тому же не все из существующих полевых теорий конкретных взаимодействий являются общепринятыми и характеризуются столь хорошим согласием с экспериментальными данными, как квантовая электродинамика.
В этой ситуации, когда ограниченные возможности теоретико-полевого описания вступают в противоречие с бурным развитием релятивистской физики, все сильнее ощущается потребность последовательной релятивистской теории систем взаимодействующих частиц, отличной от локальной теории поля, и способной служить по крайней мере в качестве основы феноменологических подходов для систематизации результатов экспериментальных исследований. Существование прекрасно разработанного аппарата нерелятивистскои классической и квантовой механики системы частиц побуждает многих авторов к попыткам построения аналогичной релятивистской или хотя бы приближенно релятивистской теории. Сюда следует отнести в первую очередь тесно связанный с теоретико-полевым описанием квазипотенциальный подход [405,485,486,94,151,155,3] , приводящий к трехмерным уравнениям типа Шредингера с некоторым эффективным (зависящим от энергии) потенциалом взаимодействия между частицами. При анализе этих уравнений можно использовать методы, близкие к нерелятивистской квантовой механике (см., например, [265J ).
Представление группы преобразований пространства Минковского в произвольной форме динамики
Трехмерная лагранжева формулировка классической релятивистской механики системы взаимодействующих частиц, развитие которой началось с работы автора [39І и осуществлялось в дальнейшем им и его учениками, доказала за последнее десятилетие свою жизнеспособность и наличие преимуществ по сравнению с другими подходами к построению РТПВ. Не связанная с какими-либо предположениями о конкретной природе взаимодействия, она опирается на требование пуанкаре-инвариантности и исходит из того, что в каждой лоренцовой системе отсчета взаимодействие частиц определяется их одновременными переменными. Следовательно, для формулировки принципа пуанкаре-инвариантности необходимо исследование поведения одновременных переменных частиц (а в первую очередь - и понятия одновременности) при переходах между различными лоренцовы-ми системами отсчета. Это, в свого очередь, привлекает внимание к анализу различных определений одновременности в РТПВ.
В отличие от нерелятивистской механики, где параметром эволюции системы частиц служит абсолютное ньютоново время(см.налр.[21д] в релятивистской теории имеется достаточно широкая свобода в выборе способа параметризации мировых линий с помощью переменной t , являющейся обобщением нерелятивистского времени. Различным выборам г соответствуют, согласно Дираку [293]ра з личные формы релятивистской динамики, определяемые в рамках геометрического подхода.
Рассматривая проблему построения лагранжевой релятивистской механики системы частиц, общие вопросы теории мы будем формулировать для произвольной формы динамики. Поэтому рассмотрим различные способы введения релятивистского "времени" t и параметризацию с его помощью мировых линий системы частиц, позволяющую определить конфигурационное пространство системы частиц размерности 3/V . Затем ( 2) решается задача построения соответствующей реализации произвольной группы Ли преобразований пространства минковского. При этом, естественно, в первую очередь мы имеем в виду группу Пуанкаре 9 (1,3), описывающую переходы между различными инерциальными системами отсчета в релятивистской физике. Характер этого представления - точечные или неточечные (касательные) преобразования расширенного конфигурационного пространства - имеющий фундаментальное значение для трехмерной пуанкаре-инвариантной лагранжевой динамики, тесно связан с понятиями группы инвариантности и группы стабильности формы динамики, которые обсуждаются в 3. На основе этих понятий в 4 рассматривается классификация возможных форм релятивистской динамики (определяемых в геометрическом подходе).
Все отмеченные выше результаты нечувствительны к наличию или отсутствию взаимодействия в системе и отображают, по существу, кинематические аспекты релятивистской лагранжевой механики. Пятый и шестой параграфы настоящей главы посвящены центральному вопросу диссертации - формулировке и анализу условий инвариант-ности трехмерного лагранжева описания системы прямо взаимодействующих частиц относительно произвольной группы Ли преобразований пространства Минковского и, особенно, группы Пуанкаре -группы симметрии релятивистских систем. Эти условия выражаются линейной системой уравнений, что является важным преимуществом развиваемого лагранжева подхода по сравнению с ньютоновым и гамильтоновым. При этом, в отличие от гамильтонова формализма, все изложение ведется в терминах ковариантных координат частиц. Это приводит к необходимости рассматривать в любой форме производные от координат частиц сколь угодно высокого порядка.
Использование лагранжева формализма позволяет с помощью теоремы Нетер получать сохраняющиеся величины - энергию, импульс момент импульса и интеграл движения центра масс (7). Отметим, что нахождение этих величин в рамках ньютонова подхода весьма затруднительно. Указанные вопросы общей структуры лагранжевой механики особенно подробно рассматриваются в мгновенной форме динамики, в рамках которой ведутся, в основном, исследования в дальнейших главах диссертации.
Симметрии в одновременной форме интегралов действия типа Фоккера
Для системы произвольного числа прямо взаимодействующих частиц сформулированы условия симметрии одновременного трехмерного лагранжева описания относительно произвольной группы Ли преобразований пространства Минковского и, в частности, относительно группы Пуанкаре. Эти условия записаны в терминах коварнантных (физических) координат частиц и их производных всех порядков по параметру эволюции t в произвольной форме релятивистской динамики. Они выражаются линейной системой дифференциальных уравнений в частных производных для лагранжиана системы и набора вспомогательных функций, число которых равно размерности алгебры Ли группы симметрии, Получены также формулы для интегралов движения, соответствующих симметрии системы относительно рассматриваемой группы, в том числе для десяти сохраняющихся величин, связанных с пуанкаре-инвариантностью.
Главный вывод выполненных исследований состоит в том, что в произвольной форме динамики пуанкаре-инвариантные лагранжианы прямых взаимодействий неизбежно являются функциями бесконечного числа производных. Задачи нахождения релятивистских и приближенно релятивистских лагранжианов, а также их физической интерпретации будут предметом исс ледования в следующих главах диссертации.
Настоящая глава посвящена исследованию связи между сформулированной в главе I трехмерной лагранжевой релятивистской механикой и четырехмерным явно пуанкаре-инвариантным описанием системы частиц, основанным на использовании интегралов действия типа Фоккера (ИДФ). Это описание, являющееся исторически первой попыткой построения РТПВ, предпринятой в самом начале XX века работами Шваррильда, Тетроде и Фоккера (ссылки см. в [36Э;4Л;44]), исходит из действия, содержащего двухкратные интегралы по мировым линиям взаимодействующих частиц; такой вид ИДФ выражает в наиболее непосредственном виде нелокальный во времени характер прямых релятивистских взаимодействий [ZSB2.
Осуществленный в 8 переход в ИДФ к одновременному виду вместе с доказательством пуанкаре-инвариантности полученного таким путем трехмерного лагранжева описания (9) позволяет утверждать о получении широкого класса точных решений сформулированных в главе I условий пуанкаре-инвариантности. Соответствующие лагранжианы взаимодействия зависят от производных бесконечно высокого порядка, что является иной формой отображения упомянутой выше нелокальности и находится в полном согласии с теоремой о невзаимодействии (5, теорема 5.2). Отметим, что прямое получение этих лагранжианов путем решения системы уравнений (6.1)-(6.9) являлось бы несравненно более сложной задачей.
С точки зрения применений РТПВ к исследованию релятивистских эффектов в различных физических объектах большой интерес представляет известная из литературы возможность сопоставить определенные ИДФ взаимодействиям, обычно описываемым теоретико-полевыми методами (например, электромагнитному и - в некоторых тановленная нами связь трехмерного лагранжева описания с ИДФ позволяет сопоставлять различным теоретико-полевым моделям определенные релятивистские лагранжианы прямого межчастичного взаимодействия ( 10). Тем самым открывается возможность применения всего аппарата трехмерной релятивистской механики для исследования конкретных систем, учитывающего релятивистские эффекты с любой необходимой точностью. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в главах ІУ-У при последовательном изучении квазиреля-тивистских приближений.
Одной из основных проблем, тормозящих развитие подхода, основанного на ВДФ, является сложная математическая структура соответствующих уравнений движения - интегро-дифференциальных или уравнений с отклоняющимся аргументом [474,83 4Л,297 81,82]. Благодаря полученной связи с трехмерным релятивистским лагранке-вым формализмом, допускающим использование хорошо разработанного мощного аппарата аналитической механики, формализм ВДФ может получить новый стимул к своему развитию. Так, в II, исходя из одновременной формы ИДФ, мы получаем в рамках общего формализма, изложенного в главе I (с помощью теоремы Нетер), 10 сохраняющихся величин - интегралов движения, соответствующих пуанкаре-инва-риантности. Нахождение соответствующих величин в формализме ВДФ требует довольно сложных и нестандартных рассуждений [290,296]. Изложение настоящей главы осуществляется в основном в мгновенной форме релятивистской динамики. В заключительном 12 главы мы проведем обобщение основных результатов на произвольную форму динамики.
Связь между условиями симметрии в лаграниевом и гамильтоноЕом формализмах
Установленная в предыдущих параграфах связь релятивистской лагранжевой динамики с ВДФ позволяет использовать известные из литературы соотношения между ВДФ и теоретико-полевыми моделями для сопоставления последним определенных трехмерных одновременных лагранжианов прямых взаимодействий типа (8.13), являющихся решением сформулированных в главе I условий пуанкаре-инвариант-ности. Рассмотрим класс ВДФ, определяемых функциями Л#. следующего вида: где fa - константы взаимодействия, П - произвольное целое неотрицательное число, U)ab определено в (8.21) и GQJJ - некоторые функции: 4-вектора аЬ сг -Ь Как указано в работах [341,497,447] , таким взаимодействиям можно сопоставить т.н. присоединенные поля иензоршго ранга 71 : функция Грина некоторого линейного дифференциального оператора JL : (обыкновенно оС - это оператор Даламбера или Клейна-Гордона), то поля Уа/" і%) удовлетворяют полевым уравнениям где - источник поля уа (%J » создаваемого всеми частицами системы, кроме частицы CL , Он не содержит вклада от самой частицы CL - отсутствие самодействия является характерной чертой теорий рассматриваемого типа. Если (я(х) - сшлметричная функция Грина, то присоединенное поле {fa %)можно представить компактной формулой Наиболее известной из теорий рассматриваемого типа является электродинамика Уилера-Фейнмана [492,403,337] . Ей соответствует безмассовое векторное поле ( Я=і , - оператор Да-ламбера) при выборе симметричной функции Грина Если взять в качестве G симметричную функцию Грина уравнения Клейна-Гордона, то значениям U-0}i будет соответствовать скалярная и векторная мезодинамика [338,446]. Наконец, линейная композиция безмассовых тензорного )(ранга 2) и скалярного полей соответствует линейному приближению ОТО [ 344 343] В литературе [497)446] известна и более общая, чем (10.1), -двухпараметрическая - структура ЛаЬ допускающая теоретико-полевую интерпретацию: L-O iy - ; однако здесь это обобщение не рассматриваем.
Отметим только, что при 72 2 выражения (10.8) не вносят ничего нового по сравнению с (ЮЛ) [375,446]. Рассмотрим теперь, используя результаты 8, переход к одновременной форме ЩФ, определяемых соотношением (10.1). Ограничиваясь пока симметричными функциями Грина вида @(%/ , получим соответствующие функции ftafa формы (8.23), где Подставляя их в равенство (8.14) и учитывая симметричность пределов интегрирования, получим для потенциала взаимодействия следующее выражение: Здесь мы ввели функции И/$(т) , определяемые интегралами: эти интегралы существуют, если функция 0 обеспечивает для (8.23), (10.9) выполнение условия (8.15). Предполагая, что это имеет место, из (10.II) получаем следующие рекуррентные соотношения: Рассматривая в (10.10) предельный переход С -р , приходам к выводу, что а-Яь оі О-Ь) является нерелятивистским потен- . пдалом взаимодействия частиц OL и О . Так как функции (10.1) симметричны относительно индексов (L и Ь , то и все наблюдаемые величины, получаемые из лагранжиана с потенциалом (10.10), должны обладать такой же симметричностью при произвольном /{ . Это действительно так, поскольку, как уже отмечалось в 8, Д входит в U множителем перед оператором J) и, тем самым, не содержится в уравнениях движения. Удобно, однако, работать с лагранжианами, явно симметричными по индексам частиц. Это можно сделать, например, полагая . Другой способ симметризации Шп) получим, если положим А-0 и учтем, что оператор J)# =(( --}] , действующий на двухчастичные выражения, отличается от (-) членами, содержащими полную производную по времени D [379]. Отбрасывая такие члены как несущественные, получим
Потенциалы взаимодействия в первом и втором квазирелятивистском приближениях
Две предыдущие главы настоящей работы были в основном посвящены анализу требования пуанкаре-инвариантности в трехмерном лагранжевом формализме РТПВ. Основной результат, полученный в этом направлении - необходимость использования лагранжианов, содержащих производные сколь угодно высоких порядков - находится в противоречии с другим (кроме пуанкаре-инвариантности) требованием к РТПВ - принципом ньютоновской причинности или предиктивности. Последний утверждает, что эволюция системы /V частиц должна определяться решением задачи Коши с заданным набором 6N начальных данных, тогда как уравнения движения (5.2), следующие из рассмотренных выше лагранжианов взаимодействия, являются дифференциальными уравнениями бесконечно высокого порядка и формально требуют задания бесконечного числа начальных данных (или отрезков мировых линий) [379,3 ,4 4,262,498,297,499,264,2 ,51,82, 304]. В литературе трехмерные классические теории прямых релятивистских взаимодействий рассматриваются преимущественно в раджах двух подходов: ньютонового, базирующегося на уравнениях движения Еторого порядка (распространенным для него является также термин "лредиктивная релятивистская механика", CM.[230J) И гамильтоно-вого. Эти подходы автоматически удовлетворяют сформулированному выше принципу предиктивности, однако исследование их пуанкаре-инвариантности гораздо сложнее, чем в рассматриваемом лагранжевом подходе. Поэтому анализ возникшего противоречия между требованиями пуанкаре-инвариантности и предиктивности естественно искать на пути исследования связи лагранжевв подхода с ньютоновым и гамиль-ТОНОВЬЕМ. Этой проблеме и посвящена настоящая глава. характер, мы обсудим известные из литературы условия пуанкаре-инвариантности ньютонова и гамильтонова формализмов РТПВ. В 14, используя определенные правила отбора физически осмысленных решений уравнений движения бесконечно высокого порядка [379,473,411] рассмотрим переход от уравнений Эйлера-Лагранжа (5.2) к уравнениям движения второго порядка. Там же изучается связь между условиями симметрии относительно произвольной группы Ли (в частности, группы Пуанкаре) в лагранжевой и предиктивной механике.
При этом получаются обобщения известных условий Карри-Хиляа [80,348] пуан-каре-инвариантности ньютонова описания в мгновенной форме динамики на произвольную группу Ли пространственно-временных преобразований и любую форму релятивистской динамики. В 15, исходя из разложений по малому параметру, мы предлагаем метод перехода от лагранжева описания с ЕЫСШИМИ производными к предиктивному га-мильтоновому. На его основе в 16 устанавливается связь канонических переменных с ковариантными координатами и скоростями частиц. При этом показано, что зависимость лагранжиана от высших производных приводит к невозможности совпадения канонических и ковариантных координат. 17 посвящен установлению соответствия между условиями симметрии лагранжева описания и существованием канонической реализации группы симметрии, служащей основой исследования пуанкаре-инвариантности в гамильтоновом формализме. Наконец, в заключение главы( 18) анализируется возможность применения т.н. неточечных преобразований координат в рамках лагранжева формализма.
Проведение таких преобразований оказывается очень полезным в квазирелятивистской лагранжевой механике (см.главу ІУ). Основные результаты настоящей главы опубликованы в работах [330,59,66,67,331,44,43]. В рамках ньютонова подхода к построению РТПВ исходным пунктом является постулирование уравнений движения системы N взаимодействующих безструктурних частиц в виде Здесь и далее символы X и X-Vобозначают совокупность всех координат и скоростей частиц, S -{X j , Х--[Ха\ ; функции будем называть релятивистскими "силами". Инвариантность такого описания относительно некоторой гр ппы означает, что множество ffl-% решений уравнений (13.I) замкнуто относительно действия группы Q . Эквивалентная геометрическая трактовка, принятая в теории групп Ли преобразований и легко обобщаемая на случай преобразований Ли-Беклунда, состоит в тре бовании инвариантности многообразия, заданного системой (ІЗ.І) в пространстве это многообразие нам будет удобно обозна- чать тем же символом //?2 Условия инвариантности выражаются с помощью генераторов /Q группы Q равенствами [l9I,I36,90j где символ 1ру указывает, что левую часть (13.2) следует вычис-лять с учетом уравнений (13.I) (и их дифференциальных следствий). Подставляя в (13.2) выражения (4.40) и (4.41) для генераторов Хос вертикального представления группы Пуанкаре в мгновенной форме динамики, находім для функций jt систему уравнений: Согласно условиям инвариантности относительно группы Аристотеля (13.3), (13.4) функцииyUa являются трансляционно инвариантными, не зависящими явно от t компонентами 3-векторов. Условия Карри-Хилла (13.5), впервые найденные в [280] и [348] (см.также [281,229,230,455,351] ), выражают условия форм-инвариантности уравнений (I3.I) относительно преобразований Лоренца (бустов). Основные проблемы этого подхода обусловлены нелинейностью системы уравнений (13.5), из-за которой нарушается принцип линейной суперпозиции релятивистских "сил" LUfr для системы N частиц с /14 3. В настоящее время известно мало точных решений условий Карри-Хилла: построено лишь общее решение для системы двух частиц в одномерной модели [350] и найдено несколько не представляющих большого физического интереса точных двухчастичных решений в трехмерном случае [281,353 . Очень интересный способ получения точных решений условий Карри-Хмлла представлен в недавней работе [149J . Исходя из соображений, диаметрально противоположных концепции прямого межчастичного взаимодействий - из чисто полевого описания, в котором мировые ливни взаимодействующих частиц возникают как линии син-гулярностей решений нелинейных полевых уравнений, авторы [l49] , анализируя уравнение Лиувилля (см. [90,149,438] ) в двухмерном пространстве - времени, пришли для системы двух частиц к следующим уравнениям движения второго порядка Можно непосредственно убедиться в том, что правые части этих уравнений удовлетворяют нелинейным условиям Карри-Хилла (13.5). Более того, эти уравнения обеспечивают, как отмечено в [149] , времениподобность мировых линий частиц на всем интервале изменения t , а также исчезновение взаимодействия при больших расстояниях между частицами. Этот пример - одна из немногих известных явно построенных точных моделей релятивистской системы с прямым взаимодействием - демонстрирует поразительное единство различных подходов к описанию релятивистских систем частиц (гамильтонова механика со связями для систем, описываемых сингулярноетями уравнения Лиувилля, рассмотрена в работе J438J ). Однако в трехмерном случае нелинейность условий лоренц-ин-вариантности (13.5) служила до сих пор практически непреодолимым препятствием к получению физически осмысленных точных решений, даже для двухчастичных систем. Кроме того, здесь отсутствует общий способ получения интегралов движения, неясны возможности квантования.
