Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Статистическая партонная модель с рещжевской асимптотикой и мультипартонные функции распрвделения в адронах
I. Введение 18
2. Производящий функционал и мультипартонные распределения в адронах 20
3. Примеры мультипартонных функций распределения в адронах 29
4. Производящий функционал и сингулярная компонента , глюонного распределения 32
Глава 2. Квантовая хромодинамика и партонная модель в глубоконеупругом рассеянии
I. Введение 38
2. Эволюционные уравнения квантовой хромодинамики. 41
3. Решение эволюционных уравнений КХД 47
4. Некоторые аспекты теории высших твистов 51
5. Влияние твистового вклада в структурные функции
на значение Sin. &\j\/ 53
Глава 3. Двухуровневая кхд модель нуклона
1. Введение 58
2. Волновая функция релятивистского осциллятора и глубоконеупругое рассеяние на системе трех тождественных частиц 60
3. Основной вариант двухуровневой КХД модели 64
4. Нарушение изотопической симметрии кварковых распределений в двухуровневой КХД модели 72
5. Образование кластера-дикварка в нуклоне и нарушение изотопической симметрии кварковых распределений 78
Глава 4. Ровдение частиц с открытым очарованием в партонной модем кварк-кварковой рекомбинации
1. Введение 86
2. Импульсные спектры очарованных адронов в протон-протонных столкновениях 90
3. Импульсные спектры очарованных адронов в нейтрино-протонных столкновениях 98
Заключение 106
Приложение 109
Литература
- Примеры мультипартонных функций распределения в адронах
- Решение эволюционных уравнений КХД
- Волновая функция релятивистского осциллятора и глубоконеупругое рассеяние на системе трех тождественных частиц
- Импульсные спектры очарованных адронов в протон-протонных столкновениях
Введение к работе
Проблема строения адронов и их взаимодействий занимает одно из центральных мест в физике элементарных частиц. Главным источником информации, на основе которого удается продвинуться по пути решения этой проблемы, являются жесткие лептон-нуклон-ные и нуклон-нуклонные соударения при высоких энергиях.
Важное место в ряду жестких процессов занимает глубоко-неупругое рассеяние, отличительной чертой которого является бол: шая множественность нерегистрируемых вторичных частиц. Попытки теоретического объяснения инклюзивных характеристик глубоконе-упругого лептон-нуклонного рассеяния, в конечном итоге, привели к созданию квантовой хромодинамики - основного претендента на роль фундаментальной теории сильных взаимодействий.
Впервые на важность-изучения глубоконеупругих реакций обратил внимание А.А.Логунов ' ' . Интерес к этим реакциям во многом объясняется тем, что при высоких энергиях поведение их сечений определяется свойствами адронной материи в малых пространственно-временных интервалах. Общие характеристики элементарных частиц, такие как эффективный радиус, масса, прозрачнсть и т.д., оказываются менее существенными. По этой причине глубоко-неупругие процессы представляют собой основной источник информации о "сверхтонкой" структуре адронов.
В 1969 году Дж.Бъеркен на основе алгебры токов' ' показал, что в пределе высоких энергий для структурных функций глубоко-неупругого рассеяния имеет место скейлинговый или масштабно-инвариантный режим. Этот режим означает, что структурные функциі
/ffy Q/> зависящие в общем случае от двух кинематических пере-
\ 2. 2
менных V и Q , в бъеркеновском пределе - у) , Q —-> (Зо при
у=г -О- фиксированном - являются функциями только одной
безразмерной величины У : /
F(x,qz) -* FOO (i.i)
Здесь v* , Q - энергия и квадрат 4-импульса, переданные нуклону массы М в его системе покоя.
Первые экспериментальные-данные по глубоконеупругому рассеянию электронов на протонах, подтвердившие скейлинг, были получены в том же 1969 году на Стенфордском линейном ускорите-ле/4Л
Скейлинговое поведение структурных функций находит простої объяснение в рамках известного принципа автомодельности С или масштабной инвариантности). Для глубоконеупругих процессов содержание принципа автомодельности заключается в предположении о том, что характер асимптотического поведения сечений не зависит от каких-либо размерных параметров С масс частиц, "элементарной" длины и т.д.), и, следовательно, общий вид зависимости этих сечений от кинематических переменных определяется лишь
/5/
анализом размерностей7 '.
Совместимость масштабно-инвариантного поведения структурных функций с основами квантовой теории поля была рассмотрена в работе Н.Н.Боголюбова, В.С.Владимирова и А.Н.Тавхелидзе' '. В ней был проведен детальный анализ сингулярностей коммутатора адронных токов на световом конусе, которые определяют асимптотику структурных функций глубоконеупругого рассеяния в бъер-кеновском пределе.
Независимость структурных функций от квадрата переданного импульса Q (т.е. скейлинг) предсказывается в любой модели нуклона, в которой нуклон рассматривается как система, состоящая из невзаимодействующих друг с другом точечно-подобных объев тов - партонов. Основные идеи партонной модели были высказаны
Р.Фейнманом''', развиты Дж.Бъеркеном, Е.Пашкосом' ', С.Дреллом, Д.Леви, Т.-М.Яном' ' и другими авторами.
Важная особенность модели Фейнмана для релятивистского леї тон-адронного рассеяния состоит в выделенности системы отсчета бесконечного импульса адрона, которую при больших энергиях можно отождествить с ситемой центра масс. В этой системе движение партонов замедляется (из-за релятивистского растяжения времени] поэтому падающий лептон мгновенно и некогерентно рассеивается на одном, отдельно взятом партоне (импульсное приближение).
Впоследствии такой подход лег в основу "наивной партонной модели". Естественным оказалось отождествить партоны с дробно-зарядными (токовыми или "голыми") кварками, спин которых равен 1/2. Позднее в качестве партонов стали также рассматривать глю-оны - безмассовые векторные частицы, переносящие взаимодействи< между кварками.'
Партонная модель оказалась в состоянии объяснить необычайно широкий круг явлений и дать большое число предсказаний, которые с успехом подтвердились экспериментально. Однако, являяс] лишь удачной феноменологической схемой, партонная модель требовала своего обоснования в рамках квантовой теории поля. Первые попытки такого обоснования были предприняты в работе' '. Оказалось, что получить скейлинговое поведение структурных фуш ций и воспроизвести результаты наивной партонной модели можно только в суперперенормируемых теориях. Обычную ренормируемую теорию, как известно, можно сделать суперперенормируемой путем введения обрезания по поперечному импульсу партонов в соответствующие фейнмановские интегралы' ,0Л Из-за искусственности этой процедуры, не имеющей оснований в рамках теории поля, такой подход не мог служить удовлетворительным обоснованием партонной модели. Без введения указанного обрезания ренормируемые
теоретико-полевые модели давали логарифмическое нарушение скейлинга' '. Новые методы суммирования логарифмических членов теории возмущений' '', основанные на анализе асимптотик фейн-мановских диаграмм, позволили уточнить этот результат. Было показано, что в зависимости от характера поведения эффективной константы связи, возможно как логарифмическое, так и степенное отклонение от скейлинга.
Привлечение аппарата вильсоновских операторных разложений на световом конусе' ', ренормализационной группы' ' и дисперсионных соотношений' ' существенно расширило возможности иссле дования асимптотического поведения структурных функций глубоко-неупругого рассеяния' '. В частности, было установлено, что бъеркеновский скейлинг в ренормируемых теориях может, иметь место в том случае, когда взаимодействие между кварками исчезает в пределе больших переданных импульсов Q —»оо или, что эквивалентно, на"малых расстояниях' '. Это свойство "асимптотической свободы" было найдено в неабелевых теориях' Л На основе теории возмущений было получено, что эффективная константа свя-зи в неабелевых калибровочных теориях убывает с ростом Q логарифмически o(s(Qу~ yen. ^2 t что приводит к слабому (лога рифмическому) нарушению скейлинга' '. Согласно С.Колмену и Д.Гроссу' ', только неабелевы калибровочные теории могут обладать "асимптотической свободой", поэтому логарифмическое нарушение скейлинга является минимально возможным в ренормируемых теориях.
Детальное экспериментальное исследование глубоконеупругого лептон-нуклонного рассеяния привело в 1974 году к обнаружению приближенного характера скейлинга' '. Он оказался нарушенным примерно на уровне 10%, что хорошо согласуется с предсказаниями асимптотически свободных теорий.
Сложившаяся ситуация стимулировала интенсивное изучение неабелевых калибровочных теорий и их приложение к исследованию глубоконеупругих процессов. Важным итогом э'той деятельности яви лось создание квантовой хромодинамики (КХД), впервые предложенной в работе М.Гелл-Манна, Х.Лейтвиллера и Х.Фритча' '.
В рамках КХД партонная модель получила обоснование и дальнейшее развитие. От наивной партоннои модели Фейнмана перешли к квантовохромодинамическои партоннои модели, учитывающей логариф мическое нарушение скейлинга' ' .
' Квантовая хромодинамика представляет собой результат обобщения концепции цвета и цветовой симметрии, возникшей из попыто: осмысления спектроскопических свойств.адронов в терминах модели составляющих кварков' '. КХД является неабелевой калибровочной теорией, основанной на локальной цветовой симметрии. Основу КХД составляет предположение о том, что все адроны построены из кварков, обладающих тремя цветовыми степенями свободы и взаимодействующих друг с другом посредством калибровочных глюонных полей. В КХД постулируется невылетание Сконфайнмент) цветных кварков и глюонов из адронов. В настоящее время ведуться интенсивные поиски обоснования конфайнмента.
Асимптотически-свободный характер кварк-глюонного взаимодействия позволяет применять теорию возмущений по эффективной константе взаимодействия CS(^) для расчета характеристик жестких процессов. Однако область применения теории возмущений существенным образом ограничена малыми расстояниями (или боль-шими Q ). С другой стороны в любом реальном жестком процессе немаловажную роль играют также эффекты, обусловленные большими рассояниями. Всегда наряду с большими импульсными переменными -V , Q , имеются и малые - массы адронов, средние виртуальнос-ти кварков и глюонов /С . В результате, несмотря на малость
о^Г(), применение теории возмущений сталкивается с непреодолимыми в ее рамках трудностями, обусловленными присутствием больших логарифмических членов типа
В глубоконеупругом рассеянии трудности подобного рода устраняются путем применения вильсоновского операторного разложения. Это позволяет разделить эффекты больших и малых расстояний - отфакторизовать вклад больших расстояний в матричные элементы локальных вильсоновских операторов, оставив в их коэффициентных функциях зависимость только от малых расстояний. Посл< чего коэффициентные функции могут быть полностью рассчитаны методами теории возмущений. Для матричных элементов удается по-лучить лишь закон эволюции по Q .Полное их вычисление требуем выхода за рамки теории возмущений.
На основе вильсоновского разложения и результатов ренорт группового анализа' ' ' '. КХД-партонная модель может быть получена путем отождествления матричных элементов вильсоновскиз операторов с моментами функций распределения соответствующих партонов' '. Коэффициентным функциям придается в этом случае смысл моментов элементарных оечений рассеяния падающего лептона на отдельном партоне. Такой подход получил название "формального".
Другой подход,.именуемый "интуитивным", оперирует непосред ственно с функциями распределения партонов и элементарными сечениями, не прибегая к методу моментов. Его основы заложены в работах Дж.Когута и Л.Саскинда'2 ' ', в которых на качествен-ном уровне показано возникновение <$ -зависимости функций распределения из-за наличия у кварков и глюонов последовательных структурных уровней. Далее Ж.Алтарелли и Ж.їїаризи' ', Ю.Док-шитцер, Д.Дьяконов и С.Троян' ' установили в этом подходе количественный закон Q -эволюции функций распределения в КХД,
выражаемый известными^уравнениями Липатова-Алтарелли-Паризи. Ранее в более общем случае эти уравнения получил Л.Липатов' '.
Применительно-к глубоконеупругому рассеянию в работах' ' была устоновлена "полная эквивалентность этих подходов.
Общее свойство факторизации больших и малых расстояний, доказанное в глубоконеупругом рассеянии на основе вильсоновскої операторного разложения, имеет место для всех глубоконеупругих процессов во всех порядках теории возмущений' '. Этот фундаментальный результат позволяет применять теорию возмущений и КХД-партонную модель ко всем глубоконеупрутим процессам.
Как известно, фундаментальным параметром КХД, определяющим интенсивность кварк-глюонного взаимодействия, является.постоянная величина Л (мы не будем рассматривать ее возможную массовую зависимость' '). До недавнего времени считалось, что для определения Л из ЮЩ-анализа глубоконеупругого рассеяния (см..например' ') достаточно учесть теоретико-возмущенческие поправки к главному логарифмическому приближению' ', а также, где это необходимо, кинематические степенные поправки, обусловленные учетом ненулевой массы адронной мишени' * '. Однако, исследования последних лет показали, что для корректного определения параметра Л из КХД-анализа глубоконеупругого рассеяния при достигнутых в настоящее время энергиях необходимо учитывать помимо вышеуказанных еще и твистовыед'^У^у -поправки' '. Эти поправки отвечают вкладам в структурные функции операторов высших твистов (Т> 2). Здесь М0 - характерный масштаб матричных элементов этих операторов' '. Приближение низшего твиста Т=2, для которого собственно и была доказана применимость партонной модели' ', учитывает некогерентное рассеяние падающего лептона на отдельном партоне, включение высших твистов Т> 2 соответствует учету взаимодействия между
- II -
партонами в процессе рассеяния (когерентный эффект).
Строгий расчет в КХД твистовых вкладов представляет собой весьма серьезную задачу, тесно связанную с нерешенной проблемо] конфайнмента. Ситуация, в частности, осложняется невозможность! в рамках КХД' ' применить для расчета этих вкладов представление о факторизации больших и малых расстояний' '*'. Тем не мене( было сделано несколько попыток дать партоноподобную интерпретацию вкладам в структурные функции операторов высших твистов.
Наибольший успех в этом направлении был достигнут в работах' 74/
Задача вычисления матричных элементов локальных вильсоновс ких операторов, аккумулирующих в себе информацию о больших расстояниях, вопрос суммирования всего твистового ряда и общая проблема конфайнмента в КХД - являются, по существу, отражением самых общих затруднений современной теории поля - отсутствием последовательного решения проблемы сильной связи и связанных состояний.
В этой ситуации видится, по крайней мере, три возможности. Во-первых, можно попытаться построить альтернативную квантовой теории поля теорию элементарных частиц, свободную от указанных
*
трудностей. Во-вторых, оставаясь в рамках КХД, попытаться все же найти способ положительного решения возникших проблем. В-третьих, на основе физически обоснованных феноменологических моделей, не противоречащих КХД и согласующихся с экспериментом, попытаться отчасти прояснить некоторые аспекты общей проблемы, а также придать предсказаниям КХД количественную форму, допускающую сравнение с- экспериментальными данными.
Настоящая диссертационная работа посвящена, главным образом, рассмотрению третьего случая.
Феноменологический подход позволяет обобщать различные, ж первый взгляд, экспериментальные результаты и выявлять скрытые в них для чисто эмпирического анализа внутренние закономерності
Замечательным примером широко и успешно используемой феноменологической схемы служит партонная модель. Представления о партонной структуре адронов лежит в основе современного понимания динамики глубоконеупругих взаимодействий. В рамках партої ной модели удалось объяснить широкую совокупность экспериментальных данных по инклюзивным лептон-адронным и адрон-адронным процессам. Измеряемые экспериментально характеристики этих процессов - сечения, структурные функции и т.д. выражаются через одночастичные функции распределения партонов в адронах -d^-00 . Функции распределения $0$ определяют вероятность обнаружения в адроне партона і -го типа с фиксированной долей импульса ад-рона К .
Естественным развитием партонных представлений является рассмотрение мультипартонных функций распределения -iLC^-?^ ' ' т '. Функции X Ofyj<;
В партонной модели мультипартонные функции распределения удается связать с инклюзивными характеристиками ряда протекающих при'высоких энергиях физических процессов, которые предстаЕ ляют интерес как для исследования структуры адронов, так и для выяснения механизма их образования. К таковым относятся процессы, сопровождающиеся рождением адронных струй/ * ' , полуинклюзивные процессы типа - рр-> НХ, где Н - рожденный адрон, а Х- все, что угодно, и другие. Описание такого сорта реакций на основе мультипартонных функций распределения получило широкое распространение' ?ь~'.
Между тем в стороне оставались важные вопросы построения
- ІЗ -
корректных феноменологических схем вычисления мультипартонных функций распределения. Эта задача требовала специального исследования ввиду наличия на пути ее решения определенных трудностей, связанных, например, с инфракрасными расходимостями, обусловленными "мягкими" партонами.
В первой главе диссертации развит подход к вычислению мультипартонных функций распределения в адронах. Наиболее удобен для этой цели формализм производящих функционалов' ' '^ В его рамках удается единым образом исключить из мультипартонных функций распределения инфракрасные расходимости и учесть комбинаторные факторы, отвечающие тождественным частицам. В основе подхода лежит конкретная реализация партонной модели, конструктивно опирающаяся на общепринятое в КХД представление о структуре адронов. Модель получена в рамках статистического паї тонного подхода Дж.Бьеркена, Е.Пашкоса' ' и Дж.Кути, В.Вайскоп-фа' ' , сформулированного в лоренцевой системе отсчета бесконе* ного импульса адрона Р-*). В ней используются также результг ты реджёвского анализа амплитуды виртуального комптон-эффекта на адроне/89'90/.
Найденные в главе I выражения для мультипартонных функций распределения составляют основу феноменологического описания дальнодействующих корреляций между партонами. Они могут быть применены при анализе лептон-адронных и адронгадронных реакций в области высоких энергий. Следует,однако,заметить, что в отли- чиє от одночастичных функций распределения эти функции не имекк под собой прочного теоретического обоснования в КХД. Для них не доказ.ана справедливость факторизации эффектов больших и малых расстояний, это свойство,тем не менее,постулируется и интенсивно используется.
Для глубоконеупругого рассеяния хорошо известны эволюционные уравнения КХД'39""41/, задающие логарифмический закон 6) -эво люции одночастичных функций распределения. Не так давно аналогичные уравнения были получены в КХД и для мультипартонных функ ций распределения' »''. Однако, эти предсказания содержат в настоящее время значительный функциональный произвол, связанный с теоретической неопределенностью в КВД начальных условий эволюционных уравнений, т.е. вида X -зависимости мультипартонных и одночастичных функций распределения при фиксированном
значении Q . Для задания начальных условий требуется привлечение дополнительной информации либо в виде эмпирических параметризаций экспериментальных данных, либо в виде предсказаний физі чески содержательных феноменологических моделей. Выбор опреде.-ленных начальных условий приводит к некоторой конкретной реализации КХД-партонной модели, предсказания которой уже допускают сравнение с экспериментальными данными.
На наш взгляд использование для задания начальных условий результатов феноменологической партонной модели более предпочтительно. Оно позволяет достичь большей общности в описании глубоконеупругих процессов и избежать возможных неконтролируемых систематических неопределенностей, привносимых в решение уравнений эмпирическими начальными условиями.
В этой связи полученные в главе I выражения для мультипартонных и одночастичных (частный случай мультипартонных) функциі распределения могут быть использованы в качестве явно заданных начальных* условий соответствующих эволюционных уравнений.
Вторая глава диссертации посвящена решению эволюционных уравнений КХД для одночастичных функций распределения и оценке роли КХД-твистовых поправок.
Задав начальные условия, решения эволюционных уравнений
можно представить числовыми таблицами, воспользовавшись тем ил] иным-численным алгоритмом их нахождения. Однако, такое представление решения оказывается неудобным в приложениях, область его применения ограничена. В настоящее время более предпочтительно располагать приближенными решениями эволюционных уравнений, заданными в явном аналитическом виде. Для нуклонов такиї решения широко представлены в литературе' 7 .
В главе 2 впервые получены решения эволюционных уравнений КХД для функций распределения кварков и глюонов в & -мезоне ' '. Они найдены в явном аналитическом виде с помощью вариационного метода пробных функций. Начальные условия эволюционны: уравнений и вид Х-зависимости их решений заданы на основе результатов главы I.
В связи с необходимостью прецизионного измерения фундаментального параметра электрослабой теории Sin. Эц/ /Ш«/ возникла потребность.оценить величину систематической неопределенное^ ти в измеренном значении Sin и/ , обусловленной пренебрежением вкладом в структурные функции поправок высших твистов'
'. Эта задача решена в главе 2. Искомая оценка получена на основе извлеченной из экспериментальных данных величины первой твистовой поправки' '. При этом использована партоноподобная
интерпретация вкладов в структурные функции операторов твиста
4' '. Показано, что учет твистовых поправок приводит к изме-
нению извлеченного значения S/h &W на 2тЗ^ при больших энер-гиях падающего нейтрино ( Е ^ 50 ГэВ). С уменьшением энергии различие возрастает, достигая 10 -г- 15% при Е Ф 10 ГэВ.
Наряду с твистовыми xq2 -поправками немаловажную роль в
л 2.
глубоконеупругом. рассеянии при умеренных значениях Q (I^Q-
р р
20 ГэВ /с ) могут играть и другие явления непертурбативного
характера. Речь идет о хорошо обоснованном экспериментально
существовании в нуклонах крупномасштабных объектов'iJ-^'-составляющих (составных' ') кварках, кластерах, адронных меш . ках, обладающих внутренней партонной структурой, В настоящий момент вопрос о механизме формирования этих объектов остается открытым, его решение тесно связано с общей проблемой конфайн-мента.
#-
Одна из попыток продвинуться в решении этого вопроса была предпринята в работе'113Л Её авторы провели детальный КХД-рас
четчпервои твистовои /Q -поправки и сравнили получившиеся результаты с экспериментом. Это позволило им утверждать о необходимости существования внутри нуклона пространственно разделенных объектов, размер которых примерно втрое меньше размера нуклона' '. Эти объекты естественно считать составляющими кварквами.
В третьей главе диссертации развита новая квантовохромо-динамическая версия' ' двухуровневой модели' ', в которой учитывается наличие в нуклоне указанных крупномасшта:б-ных объектов. Предполагается, что в нуклоне можно выделить два структурных уровня с существенно различными свойствами. Первый уровень - три составляющих кварка, взаимодействующие посредсівої релятивистского осцилляторного потенциала' ', который обеспечивает конфайнмент. Второй уровень- универсальная КХД-партонна^ структура каждого из составляющих кварков. Двухуровневая моделі сочетает в себе привлекательные стороны спектроскопического и партонного подходов к изучению структуры адронов.
С помощью развитой версии двухуровневой модели проанализированы данные по глубоконеупругому рассеянию в области умеренных передач и небольших значений X 'II4', исследованы возможные механизмы нарушения изотопической (ароматической) симметрш кварковых распределений'115»116/, Последнее означает эксперимек тально обнаруженное различие в поведении функций распределения
*
CC - s сі - кварков в нуклоне: а именно, отношение *at s/si/ts быстро убывает с ростом X и экстраполируется в ноль при Х=1'.
В главе 2 и главе 3 основное внимание обращено на одночас-тичные функции распределения ( в Е"-мезоне, нуклоне, составляющем кварке и кластере), которые являются простейшим частным ел; чаем мультипартонных распределений.
В четвертой главе диссертации на примере исследования инклюзивного рождения мезонов и барионов с открытым очарованием апробируются мультипартонные функции распределения' 'Л Рассчитаны инклюзивные спектры образования F ,3 -мезонов,/!с, 2с -Ларионов в Vp- и рр-столкновениях. При этом очарованные частицы считаются образующимися путем рекомбинации рождающегося в партонном подпроцессе очарованного кварка с кварками из начал] ного протона.
Из анализа экспериментальных данных определены конкретные выражения для всех возможных двух- и трехчастичных функций распределения партонов в протоне.
Таким образом, настоящая диссертационная работа представляет собой попытку расширения области применения партонных представлений о структуре адронов как в качественном аспекте - учет нового типа партонов (крупномасштабных объектов), так и в количественном - расчет и использование мультипартонных функций распределения.
Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания и заключения, в котором кратко сформулированы полученные результаты.
Вошедшие в диссертацию материалы опубликованы в работах' ! 94,I0I,I07,II4-II6,I23,I24,I26,I36/j дшшадывалиоь на оешшараз
Лаборатории теоретической физики и Лаборатории ядерных проблем Объединенного института ядерных исследований, сессиях отделения
ядерной физики АН СССР, всесоюзных конференциях и совещаниях, представлялись на международные конференции.
Примеры мультипартонных функций распределения в адронах
Аналогично определяются 3 t%(tfJJи $ c &(#?)j Соотношение (.2.12) носит пока формальный характер, так как функционал ofiJ-J содержит инфракрасные расходимости, обуслов ленные наличием неинтегрируемых особенностей при Х=0 в спектре морских кварков и глюонов ( следствие выбора функций ;?" в виде (2.2)). Покажем, что в силу условий нормировки для функций рас пределения эти расходимости устраняются. Преобразуем функционал SklJ-jl к компактному виду. Для этого расширим область интегри рования по переменным X; с, заменяя У на f . Наличие с функции закона сохранения импульса в определении функционала гарантирует его неизменность при таком преобразовании.
Представляя Ъ -функцию интегралом Фурье разделим Х-интегрирования в формуле (2.II) на независимые и C2.I4) выполним все суммирования. В результате приходим к выраженйю Здесь функция Бесселя нулевого порядка,
Два последних интеграла, ввиду соотношения (2.2), логарифмически расходятся на нижнем пределе. Выделим расходимости в явном виде Заменяя в выражении (2.16) на, получим регуляризованный производящий функционал После этого формальное соотношение (2.12) понимается в предельном смысле :
Нетрудно показать, что правая часть этой формулы имеет конечный предел. В результате приходим к выражению для конечны: нормированных МПФР Производящий функционал конечен и имеет вид: (2.26]
Зависимость функционала пд ОТ числового аргумента CL введена для удобства дальнейших вычислений. Явно выделенный ступенчатый Є&) -фактор подчеркивает важное свойство функционала \А/Д - обращение в ноль при CL . 0. Для установления этого свойства заметим, что функции , 0Е), ) - изображения Лапласа функций c(ty, ; () ,s7( ) , соответственно (см. формулы (2.17)-(2.19)). Стандартным параметром преобразования Лапласа служит в данном случае fr—tj? На основании известной теоремы операционного исчисления об аналитичности изображения Лапласа можно утверждать, что функции %Cf) $ ф)к (f)- аналитичны "в нижней полуплоскости комплексной переменно! , . Таким образом, все особые точки подинтегральной функции в (2.26) расположены в верхней полуплоскости Д и ненулевой результат внешнего F -интегрирования можно получить, замыкая контур интегрирования только в этой полуплостксти, т.е. при
Используя выражение для производящего функционала 4//f. (2.26), упростим формулы (2.25), выполняя явно все функциональные дифференцирования : Индекс A -/ определяется аналогично C2.5) и (2.9), т.е.
Отметим, что полученные мультипартонные функции респреде-ления суммируют все возможные способы реализации регистрируемой конфигурации кварков и глюонов при фрагментации адрона А.
Сравнивая общую формулу (2.27) с рисунком I, можно получить простой "графический рецепт" расчета МЇЇФР: A) каждой кварковой или глюонной линии сопоставляется затравочное распределение , Js или "; Б) группам из мц -линий тождественных частиц - фактор B) вершине, где сходятся линии всех частиц - корреляцион ный фактор AkS зависящий от импульсных перемен ных / всех кварковых и глюонных линий, при этом индекс А определяется адроном А, а индекс к it - типом адрона А и чис лом внешних линий валентных кварков различного типа; Г) перемножение перечисленных в А)-В) факторов дает соот-ветствующую многочастичную функцию распределения. В качестве важного частного случая МЇЇФР приведем общие выражения для одночастичных функций распределения.
Решение эволюционных уравнений КХД
Решая эти уравнения, получают ЮЩ ? -зависимость функци! распределения в главном логарифмическом приближении. При учете следующих по o(s поправок {Aren t ОгЛ- г- -приближение) ситуация осложняется тем, что теряется однозначная связь функций распределения с матричными элементами вильсоновских операторов. Рассмотрим кратко два наиболее распространенных способа определения в ІЇО -приближении функций распределения. Обозначим их, для удобства индексами а) и 6У .
В способе определения а) матричные элементы отождествляются (также как и в 0-приближении) с моментами соответствующих функций распределения. Коэффициентные функции С отфакто ризованы и рассматриваются как моменты элементарных сечений рас сеяния заданного тока на партонах. Связь структурных функций с функциями распределения принимает вид :
При этом, отмеченные индексом а),моменты функций распределения в (3.21) и (3.22) эволюционируют согласно эволюционным уравнениям (3.17) и (3.18). В явном виде записанные эволюционные урав нения в способе б) весьма громоздки, поэтому их удобнее предста вить в виде (3.21) и (3.22).
Далее в диссертации в тех случаях, когда вычисления проводятся в А/О -приближении, используется вариант б) определения функций распределения.
Таким образом, в настоящем параграфе приведены КХД-предска зания Q -эволюции функций распределения и их моментов. Однако эти предсказания содержат значительный функциональный произвол, связанный с теоретической неопределенностью в КХД начальных уел вий эволюционных уравнений. Начальные условия - вид Х-зависимос ти функций распределения (или бесконечная последовательность чисел Со) п. ,где tv = 1,2,...) при некотором фиксированном значении ф= Q0 - не являются в настоящее время предметом теории возмущений и не могут быть вычисленны в рамках КХД., Для их задания требуется привлечение дополнительной информации, например, в-виде физически содержательных моделей или эмпирических параметризаций экспериментальных данных .
Отметим также еще один немаловажный аспект. Значения функций распределения в дискретном наборе точек с различными значениями X и ф можно, в принципе, получить, решая эволюционные уравнения численными методами. Из-за сложности этих уравнений в А/О -приближении их численное интегрирование сопряжено с весьм, значительными трудностями, к тому же для практических приложени: табличное представление функций распределения оказывается неудобным и малоприменимым. В этой связи более привлекательно иметь предсказания КХД для глубоконеупругих процессов в .форме приближенных решений эволюционных уравнений, заданных в явной аналитической форме. Заметим также, что сами уравнения получены в некотором приближении КХД-теории возмущений, поэтому вполне достаточно располагать их приближенными решениями, точность которых сравнима с точностью самих уравнений.
Получим в явном аналитическом виде приближенные решения эволюционных уравнений ( в 10 -приближении) для функций распределения кварков и глюонов в zfc -мезоне .
Решения будем искать методом пробных функций, аналитический вид которых выберем в форме начальных условий. Эти началь ные условия зададим на основе результатов главы I, положив в формулах (2.39)-А = пион. Тогда получим : и для удобства пользования введено обозначение #/ $-
Выражения (3.23) фиксируют Х-зависимость функций распреде ЛЄНИЯ ПРИ НеКОТОрОМ Q ss Q0 , ДЛЯ НаХОЖДеНИЯ решений ЭВОЛЮЦИОН: ных уравнений (3.7) или .(3.12),(3.13) в аналитическом виде (3.23) предположим, что искомая КХД Q -зависимость заключена в свободных параметрах. Ограничиваясь линейным по эволюционной переменной S (3.8) приближением, запишем
В результате задача нахождения решения свелась к вопросу о нахождении значений параметров Q. . "Нулевые" параметры О/ задают вид начальных условии в точке начала эволюции Q0 "эволюционные" параметры Q- непосредственно отвечают за КОД Q -зависимость функций распределения и определяют приближенное решение для данного набора О- (т.е. для данных начальных условий).
Воспользовавшись правилом кваркового счета, согласно кото-рому для пиона ( )- {4 Х) при Х-»1, положим с самого начала dp = Г« » (Будем также считать, для простоты, что O —Q ) Остальные, оставшиеся не зафиксированными свободные параметры в соотношении Л3.24)-определим из условия минимума следующего квадратичного функционала
Волновая функция релятивистского осциллятора и глубоконеупругое рассеяние на системе трех тождественных частиц
Основной вариант модели изложен в 3. В 2 приводятся необходимые сведения о волновой функции релятивистского осцил ляторного потенциала , на основе которой определяется пер вый структурный уровень нуклона. В качестве примера широких возможностей этой волновой функции, в системе покоя мишени не зависимо вычислены структурные функции глу боконеупругого рассеяния заряженного лептона на трехчастичнбй связанной системе ( и, следовательно найдено явное выраже ние для величины
Второй структурный уровень нуклона определяется в рамках КХД.
В последние годы из экспериментальных данных по глубоконе упругому Ґк)ЛҐ- и е(м-)Л/ рассеянию получены новые важные сведения о свойствах кварковых и глюонных распределений. В час ности, установлено различие в поведении функций распределения кварков различных ароматов . Оказалось, что эксперименталь но измеренное отношение - функции распределения U - и d - кварков) быстро убывает с ростом X и экстраполируется в ноль при X = I. Это свойство далее будем на зывать нарушением изотопической (ароматической) симметрии квар ковых распределений.
Возможные причины этого нарушения рассматриваются в 4 и в 5. Два допустимых механизма нарушения изотопической симметрии распределений - на уровне составляющих кварков (на первом уровне) и на уровне кварков-партонов (на втором уровне) рассмотрены в 4 в рамках стандартной версии двухуровневой модел] нуклона, изложенной в 3.
Совершенно иная возможность указанного нарушения проанализирована в 5. Здесь нарушение симметрии кварковых распределений является следствием образования кластера из U - и d - 60 составляющих кварков в протоне при значения X близких к I.
2. Волновая функция релятивистского осциллятора и глубоконеупругое рассеяние на системе трех тождественных частиц В настоящем параграфе получим волновую функцию основного состояния системы из трех тождественных частиц, взаимодействующих посредством релятивистского осцилляторного потенциала.
Предположим, что искомая волновая функция подчиняется ко-вариантному уравнению с релятивистским осцилляторным потенциа-лом/121/: 3 где 1 1- координаты с-ш частицы, 92- - константа взаимодействия и р = tl /l )CCt . Диагонализация второго слагаемого в (4.1) дает J2C ( xrCfL ки)) — 3 t , при этом выделена коор дината центра )сГо)=? р= Д" xlO . Сопоставляя относительным координатам fc уотносительные импульсы р и К - f , ура: нение .(4.1) приводим к виду : Вводя полный импульс Р и операторы : получим окончательно уравнения в виде Учтя дополнительное условие Такабаяши : получим волновую функцию системы из трех частиц в осцилляторноь потенциале (координатное представление) : Её квадрат в импульсном представлении, имеет вид : осцилляторная постоянная
В следующих параграфах этой главы выражением (4.6) восполі зуемся для вычисления функций распределения крупномасштабных объектов в системе бесконечного импульса нуклона. Здесь же, наоборот, на основе (4.6) найдем структурные функции нуклона в его системе покоя.
Будем искать выражения для структурных функций FffCyC ) см« (3.1)) и связанной с ними величины где 0 ( (Xj ) - сечение поглощения продольно (поперечно) поляризованных фотонов. С этой целью, располагая волновой функцией (4.6), вычислим адронный тензор fotyCp/fc) (м« (3.1)).
Предположим, что нуклон состоит из трех тождественных точечных частиц. Рассеяние заряженного лептона на такой системе будем рассматривать как упругое рассеяние его на отдельных составляющих этой системы.
Импульсные спектры очарованных адронов в протон-протонных столкновениях
В рамках изложенной выше версии двухуровневой модели ( 3) предполагалось, что d(K)/ 0 = 1/2 ( формула (4.22)). Это условие не вступает в противоречие с данными, если интересоваті ся только описанием структурных функций /j? иЛ" 5 (4.20). Однакс привлечение дополнительной информации - данных по измерению коэффициента продольной асимметрии Aj(X) (4.30), приводит к необходимости отказаться от равенства Я А/ (4.22). Это означает, что необходимо принять во внимание нарушение изотопической симметрии кварковых распределений. В рамках двухуровневой модели, согласно формулам (4.22м), следует рассмотреть два возможных варианта нарушения указанной симметрии.
В варианте А нарушение обусловлено различным взаимодействі .ем составляющих кварков друг с другом. Что приводит к РЦ 2-% и, следовательно, ОдФ С ) (при с/и = J t/& ), т.е. нарушение осуществляется на первом структурном уровне.
В варианте Б нарушение изотопической симметрии является следствием различного поведения и - и с/- токовых кварков-партс нов в реджевской области малых значений X (Х& 0). При этом t/Jx) Ї Jtfa (х) и» следовательно, Офф& Сх)т.е. нарушение осуществляется на втором структурном уровне.
Обратимся к варианту А - рассмотрим механизм нарушения изотопической симметрии на уровне составляющих кварков. Предположим для этого, что в протоне взаимодействие между #.-составляющими кварками ( константа связи оЛ ) отличается от взаимодействия между U - и -составляющими кварками ( Ы ), т.е. o(j о 2 - В таком случае функции распределения составляющих квар-К0Б Ча #) (4.23) будут уже зависеть от аромата соответствующих кварков. Опуская промежуточные выкладки, полностью аналогичные проведенным в 3, приведем.лишь окончательные выражения для функций распределения (А(?) C - 2fi-$)}- f - - - jm (4.33)
Константы Л4 определяются из условия нормировки на один Ы - составляющий кварк и два и - составляющих кварка в протоне." Функции (4.32) и (4.33) определяют структуру первого уровня.
Согласно 3,. для определения структуры второго, партонг-; ного уровня решаются эволюционные уравнения КХД (3.12),(3.13), начальные условия и Х-зависимость решений которых задаются на основе результатов главы І. В рассматриваемом варианте А эти функции С начальные условия - rf/& () и приближенные решения уравнений ) с точностью до значений свободных параметров совпадают с использованными в- 3 (см. формулы (4.28)).
Решая эволюционные уравнения в А/О -приближении (по схеме, изложенной в главе 2), фиксируем все свободные параметры.функций распределения (значения параметров даны в таблице А). Это позволяет полностью определить функции распределения кварков и глюонов в нуклоне, соответствующие нарушению изотопической симметрии на уровне составляющих кварков.
Рассмотрим нарушение изотопической симметрии на уровне токовых кварков-партонов. В этом случае составляющие кварка имеют одинаковые функции распределения внутри нуклона ) = tyCx) = ІФиСу), вид которых задается формулой (4.25).
Для определения ЮЩ-структуры второго уровня решим эволюционные уравнения. При этом начальные условия и вид Х-зависимос-ти решений этих уравнений для и - и d - токовых кварков-партонов выберем в различной аналитической форме. В рамках статистической партонной модели главы I это можно осуществить, предположив различное поведение затравочных функций # и У&( -вален: ных кварков в области малых значений импульсных переменных.
Возьмем вместо одной функции zf-gC ) в формулах (4.27) две различные затравочные функции cVy-pf», && «-&# :/ (4-35) Здесь jr&T/e) - нормировочная константа. Для такого набора затравочных функций статистическая партої ная модель дает в случае d- составляющего кварка (в роли адро 75 на А) следующие выражения : При этом в и -составляющем кварке функции распределения кварков и глюонов 7 имеют вид, определявши формулами (4.2Е
Решая эволюционные уравнения в А/О -приближении с учетом начальных условий в форме (4.36) и (4.28), найдем значения свободных параметров (их значения приведены в таблице Б). Это поз=-воляет полностью определить функции распределения кварков и глк онов в протоне, соответствующие нарушению изотопической симметрии на уровне токовых кварков-партонов.
